文档内容
专题 2.4 圆全章十四类必考点
【人教版】
【考点1 圆的相关概念及性质】..............................................................................................................................1
【考点2 垂径定理的运用】......................................................................................................................................3
【考点3 圆心角、弧、弦的关系】..........................................................................................................................4
【考点4 圆周角定理】..............................................................................................................................................6
【考点5 圆内接四边形的性质】..............................................................................................................................8
【考点6 点和圆的位置关系】................................................................................................................................10
【考点7 直线和圆的位置关系】............................................................................................................................12
【考点8 切线长定理】............................................................................................................................................13
【考点9 切线的判定与性质综合】........................................................................................................................15
【考点10 三角形的内切圆和内心】......................................................................................................................17
【考点11 正多边形和圆】......................................................................................................................................20
【考点12 弧长的计算】..........................................................................................................................................22
【考点13 扇形面积的计算】..................................................................................................................................23
【考点14 圆锥的侧面积】......................................................................................................................................26
【考点1 圆的相关概念及性质】
【必备知识】
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意
一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣
弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
【必刷题型】
1．（2024•建邺区校级开学）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定
点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2024春•高唐县期末）下列说法：
①直径是弦；
②半圆是弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④长度相等的两条弧是等弧；
⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023秋•惠州校级期中）下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等
弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023秋•嘉鱼县期末）如图，A，B，C是 O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的大小为
． ⊙
5．（2023秋•姑苏区期中）如图， O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA．若∠AOC＝120°，则
∠D的度数是 ． ⊙
6．（2023秋•通榆县期中）如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝
3，BC＝4，则DF的长为 ．【考点2 垂径定理的运用】
【必备知识】
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，
构成知二推三.
【必刷题型】
1．（2024•城中区校级模拟）如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD
＝8，则OE＝ ． ⊙ ⊙
2．（2023•惠农区二模）如图，已知 O的半径为7，AB是 O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝
6，则OP的长为 ． ⊙ ⊙
3．（2023秋•望奎县期末）已知 O的直径CD＝10cm，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝
8cm，则AC的长为 cm．⊙ ⊙
4．（2023秋•望奎县校级期中）在半径为13的 O中，弦AB∥CD，弦AB和CD间的距离为7，若AB＝
24，则CD的长为 ． ⊙
5．（2023秋•西湖区校级月考）如图，PA交 O于点B，PB＝4，AB＝4， O的半径为5，则OP的长为
． ⊙ ⊙6．（2023•岳阳县一模）如图，在 O中，已知AB是直径，P为AB上一点（P不与A、B两点重合），弦
MN过P点，∠NPB＝45°． ⊙
（1）若AP＝2，BP＝6，则MN的长为 ；
PM2+PN2
（2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB＝45° 不变），则 = ．
AB2
【考点3 圆心角、弧、弦的关系】
【必备知识】
圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量
也都分别相等.
【必刷题型】
1．（2023秋•延边州期末）如图， O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH
＝CH． ⊙
2．（2023秋•海州区校级月考）如图，已知AB是 O的直径，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N，
且AM＝BN．求证：^AD=^BC． ⊙3．（2023秋•沂源县期末）AB、CD是 O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：
^AC=^BD． ⊙
4．（2023秋•无锡期中）如图，在 O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且
AD＝BE，弦CM、CN分别过点D⊙、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：^AM=^BN．
5．（2024•安徽模拟）如图1，AB是 O的弦，点C和点D是 O上的点，AD和BC交于点P，AD＝
BC． ⊙ ⊙
（1）求证：AP＝BP；
（2）如图2，若AD⊥BC，点E是^BD上一点且^DE=C^D，AE与BC交于点F，求证：BE＝BF．
6．（2023•闵行区二模）如图，在扇形AOB中，点C、D在^AB上，^AD=C^B，点F、E分别在半径OA、OB上，OF＝OE，联结DE、CF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）设点 P 为C^D的中点，联结 CD、EF、PO，线段 PO 交 CD 于点 M、交 EF 于点 N．如果
PO∥DE，求证：四边形MNED是矩形．
7．（2023秋•硚口区期末）如图1，AD，BC是 O的弦，且AD＝BC，连接AB，CD．
（1）求证：AB＝CD； ⊙
（2）如图2，连接BD，若^BD=^AB+C^D，BD＝24，AB=4❑√13，求 O的半径．
⊙
【考点4 圆周角定理】
【必备知识】
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直
径）．
【必刷题型】
1．（2024•凉州区校级一模）如图，在 O中，直径AB，弦CD相交于点P．连接OC．且OC⊥AB，若
∠A＝20°，则∠BPD的度数为 ⊙ ．2．（2024•虞城县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆
O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的
度数为 ．
3．（2024•礼县模拟）如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则
∠AED＝ ． ⊙
4．（2024秋•建邺区校级月考）已知：BC 是 O的直径，A是 O上一点，AD⊥BC，垂足为 D，
^AB=^AE，BE交AD的延长线于点F，延长BE⊙、AC交于点G．求⊙证：FA＝FG．
5．（2023秋•红桥区期末）如图，OA，OB，OC都是 O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（Ⅰ）求证：∠AOB＝2∠BOC； ⊙
5
（Ⅱ）若AB＝4，OA= ，求BC的长．
2
6．（2023秋•南沙区期末）如图1，BC是 O的直径，点A、D在 O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC
⊙ ⊙＝10，AC=2❑√5．
（1）求证：AO⊥CD；
（2）求BD的长；
（3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交 O于F，求AF的长度．
⊙
【考点5 圆内接四边形的性质】
【必备知识】
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的外角等于内对角．
A
D
O
B C E
如图，四边形ABCD是 的内接四边形，则 ，
【必刷题型】
1．（2024•雨花台区模拟）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，BE是 O的直径，连接AE．若
∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是 ． ⊙ ⊙
2．（2024•江都区一模）如图，在 O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°．若点E在^AD上，
则∠E＝ °． ⊙3．（2024•滨州三模）如图，圆内接四边形 ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC
＝2∠COD，则∠BDC的度数是 ．
4．（2024•沁县二模）如图， O中，AB是直径，点C，D，E都在圆周上，连接AE，CE、BD，CD，若
∠E＝50°，则∠D的度数为⊙ ．
5．（2023秋•凉州区校级期末）如图所示，在 O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝100°．若点E
在^AD上，求∠E的度数． ⊙
6．（2023秋•青铜峡市期末）如图，已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，N是弧AC上一点，
连接AN和CN，并分别延长AN、DC相交于点⊙M，求证：∠MNC＝∠AND．7．（2024•拱墅区模拟）如图，点A，B，C，D，E在 O上顺次排列，已知AB＝BC，∠ABD＝∠BCE．
（1）求证：BD＝CE； ⊙
（2）若直线AE过圆心O，设∠BCE的度数为 ，C^D的度数为 ．
①当 ＝60时，求 的值； α β
②探索β 和 满足的α等量关系．
α β
【考点6 点和圆的位置关系】
【必备知识】
点和圆的位置关系：点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关
系决定．设 的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
则有：点在圆外⇔d > r；
点在圆上⇔d = r；
点在圆内⇔ d < r；
【必刷题型】
1．（2024•河北模拟）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点
称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值
范围为（ ）A．2❑√2＜r＜❑√17 B．❑√17＜r≤3❑√2 C．❑√17＜r＜5 D．5＜r＜❑√29
2．（2024•凉山州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB的中点．以A为圆心，r为
半径作 A，若B、C、D三点中只有一点在 A内，则 A的半径r的取值范围是（ ）
A．2.5＜⊙r≤4 B．2.5＜r＜4 ⊙C．2.5≤r⊙≤4 D．2.5≤r＜4
3．（2024秋•姜堰区校级月考）已知A为 O外一点，若点A到 O上的点的最短距离为2，最长距离为
4，则 O的半径为 ． ⊙ ⊙
4．（202⊙4•邗江区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以点A为圆心，2为半
径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为 ．
5．（2024•娄星区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且满
足∠BAE＝∠CBE，则线段CE的最小值为 ．
6．（2024•瓯海区校级三模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，点E是AC边上的动
点，以CE为直径作 F，连接BE交 F于点D，则AD的最小值为 .
⊙ ⊙【考点7 直线和圆的位置关系】
【必备知识】
位置关系 定义 图形 性质及判定
直线与圆有两个交点，直线叫
直线l与 相交
做圆的割线．
直线与圆有唯一交点，直线叫
直线l与 相切 做圆的切线，交点叫做圆的切
点．
直线l与 相离 直线与圆没有交点．
【必刷题型】
1．（2023秋•禹城市期末）已知， O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根，圆心O到直线l的距
离d＝4，则直线l与 O的位置关⊙系是（ ）
A．相交 ⊙B．相切 C．相离 D．不能确定
2．（2023秋•柘城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB的中点，以D
为圆心，2为半径作 D，则下列说法不正确的是（ ）
⊙
A．点A在圆外 B．点C在圆上
C． D与直线AC相切 D． D与直线BC相交
3．（2⊙024•崇明区二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝⊙90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的
圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（ ）
60
A．5≤r≤12或r= B．5＜r＜12
13
60 60
C． ＜r＜12 D． ≤r≤12
13 134．（2023秋•安州区期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆
有公共点，则弦AB的取值范围是 ．
5．（2023秋•盐池县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，则以2.6cm为半径的 C与直
线AB的位置关系是 ． ⊙
6．（2023秋•望奎县校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的 P的圆心
在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果 P以1cm/s的速度向右运动，那么当 P的运动时间⊙t（s）满
足条件 时， P与直线CD相交．⊙ ⊙
⊙
【考点8 切线长定理】
【必备知识】
切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
【必刷题型】
1．（2023秋•鄂伦春自治旗校级月考）如图，PA，PB为 O的两条切线，C，D切 O于点E，分别交
PA，PB于点C，D．F为 O上的点，连接AF，BF，若⊙PA＝5，∠P＝40°，则△P⊙CD的周长和∠AFB
的度数分别为（ ） ⊙
A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70°
2．（2024•凉州区三模）如图，PA、PB分别切 O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、
⊙B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为 cm．
3．（2023秋•江城区校级期中）如图，AB、AC、BD是 O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC
＝5，则BD的长为 ． ⊙
4．（2023秋•玉环市校级期中）如图所示，过半径为6cm的 O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交
O于F，过F作 O的切线，交PA，PB分别于D，E，⊙如果PO＝10cm，∠APB＝40°，则△PED的周
⊙长＝ ；∠D⊙OE的度数 ．
5．（2023秋•江汉区期末）四边形ABCD是 O的外切四边形，若∠AOB＝78°，则∠COD的度数是
． ⊙
【考点9 切线的判定与性质综合】
【必备知识】
①切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直.
②切线的判定：和圆只有一个交点的直线是圆的切线．
距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直.
【必刷题型】
1．（2024•仪征市二模）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在 O上取一点C，延长AB至点D，
连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E⊙．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若CD＝4，D⊙B＝2，求AE的长．
2．（2023秋•梁溪区校级期末）如图，AB是 O的直径，AC是弦，D是^AB的中点，CD与AB交于点
E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． ⊙
（1）求证：CF为 O的切线；
（2）连接BD．若⊙CF＝4，BF＝2，求BD的长．
3．（2024秋•邳州市校级月考）如图，AB为 O直径，点C为 O上一点，AC平分∠HAB，AH⊥CH，
垂足为H，垂足为H，AH 交 O 于点D．⊙ ⊙
（1）求证：直线HC是 O的⊙切线；
（2）若HC＝8，DH＝4⊙，求 O的直径．
⊙4．（2024秋•天门校级月考）如图，线段AB经过 O的圆心O，交 O于A，C两点，BC＝5，AD为 O
的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接D⊙O并延长交 O于⊙点E，连接BE交 O于点M． ⊙
（1）求证：直线BD是 O的切线； ⊙ ⊙
（2）求 O的半径和线⊙段BM的长
⊙
5．（2024•凉山州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的 O交AB于点D，E为BC
的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若∠A＝30°，⊙DF＝3，求CE长．
6．（2023秋•新余期末）如图，AB为 O的直径，过圆上一点D作 O的切线CD交BA的延长线于点
C，过点O作OE，OE∥AD交CD于⊙点E，连接BE． ⊙
（1）求证：直线BE与 O相切．
（2）若CA＝4，CD＝6⊙，求DE的长．7．（2024•双峰县模拟）如图，AB为 O的直径，点C在 O上，∠ACB的平分线交 O于点D，过点D
作DE∥AB，交CB的延长线于点E⊙． ⊙ ⊙
（1）求证：ED是 O的切线；
（2）若AC＝9❑√2，⊙BC＝3❑√2，求CD的长．
【考点10 三角形的内切圆和内心】
【必备知识】
三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心
是三条内角平分线的交点．
（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部．
（2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径．
A
F
D
g
O
B E C
（ 3 ） 常 见 结 论 ： 如 图 ， ， ， ，
， ．
【必刷题型】
1．（2024秋•海门区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作
IE⊥BD于点E．若BD＝14，CD＝6，则BE的长为（ ）A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2023秋•兴隆县期末）已知 O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点 O恰好又是
△BCP的外心，则∠BPC的度数为（ ）
A．50° B．55° C．62.5° D．65°
3．（2024•邯郸模拟）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为
（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
4．（2024•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝5，AC＝12，设△ABD与
△ACD的内切圆半径分别为r 、r ，则r 的值为（ ）
1 2 1
r
237 12 25 37
A． B． C． D．
23 5 18 33
5．（2024•江汉区二模）如图，△ABC的内切圆 O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝
20，BC＝21，CA＝13，则下列说法不正确的是（⊙ ）
A．∠EDF＝∠A B．∠EOF＝∠B+∠C
14
C．BD＝14 D．OE=
3
5
6．（2024•拱墅区一模）如图，在△ABC中，AB+AC= BC，AD⊥BC于D， O为△ABC的内切圆，设
3
⊙
R
O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
ℎ
⊙
3 2 1 1
A． B． C． D．
8 7 3 2
7．（2024秋•姑苏区校级月考）如图，△ABC的内切圆 O与AB、BC、AC相切于点D、E、F，已知AB
＝4，AC＝3，BC＝5，则DE的长是（ ） ⊙
❑√10 2❑√10 3❑√10 4❑√10
A． B． C． D．
5 5 5 5【考点11 正多边形和圆】
【必备知识】
(n−2)·180° 360°
正多边形的性质：（1）正多边形的一个内角等于 ；（2）中心角： ；（3）正多边形的
n n
中心角等于外角的度数.
【必刷题型】
1．（2024•青岛）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形 ABCDE和正方形CDFG
中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90° B．99° C．108° D．135°
2．（2024春•金安区校级期末）如图，正六边形ABCDEF和正方形ABGH有公共边AB，连接CG交EF于
点M，则∠HGM的度数为（ ）
A．15° B．18° C．20° D．25°
3．（2024•凤台县三模）如图，正三角形 ABC 和正六边形 ADBECF 都内接于 O，连接 OC，则
∠ACO+∠ABE＝（ ） ⊙
A．90° B．100° C．110° D．120°4．（2024•呼和浩特）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于 O，AD和EF相交于点M，则
∠AMF的度数为（ ） ⊙
A．26° B．27° C．28° D．30°
5．（2024•沛县校级一模）如图，六边形ABCDEF是 O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为
⊙
S ，△ACE的面积为S ，则S ．
1 2 1=
S
2
6．（2024•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于 O，连接BG，则弦BG
所对圆周角的度数为 ． ⊙
【考点12 弧长的计算】
【必备知识】
n nπR
弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则l= ·2πR= ；对于公式中出现的三
360 180
个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量.【必刷题型】
1．（2023秋•防城区期末）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形， O的半径为2，∠D＝110°，则
^AC的长为 ． ⊙ ⊙
2．（2024•二道区校级模拟）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过
程中，点B落在扇形BAC的弧AC上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为
.（结果保留 ）
π
3．（2024•前郭县校级模拟）如图，AB是 O的直径，点C是 O上一点，点D在BA的延长线上，CD
与 O交于另一点E，DE＝OB＝2，∠D⊙＝20°，则^BC的长度为⊙ （结果保留 ）．
⊙ π
4．（2024•武威三模）生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构
成，虽然不是圆是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，其原理为每个顶点到
所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图②，△ABC的中心O到三个顶点的距离均为2❑√3cm，则
这个莱洛三角形的周长为 cm．5．（2024•船营区校级模拟）如图，扇形AMB的圆心角∠AMB＝60°，将扇形AMB沿射线MB平移得到扇
形CND，已知线段CN经过^AB的中点E，若AM=2❑√3，则阴影部分的周长为 ．
6．（2024•市北区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC=2❑√3，以AB的中点O
为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，再以点B为圆心，以OB的长为半径作^DE，交半圆于点
D，交BC于点E，则图中阴影部分的周长为 ．
7．（2024•固始县校级二模）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为^AB的中点，过点C作CD⊥OA，
CE⊥OB，垂足分别为D，E，分别以CD，CE为轴折叠扇形AOB，点A，B的对应点为M，N两点，若
OA＝2，则阴影部分的周长为 ．
【考点13 扇形面积的计算】
【必备知识】
n
扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S= ·πR2=
360nπR2
360
1
用弧长和半径R表示扇形面积：S= lR
2
注意：
①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.
②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长.
③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等
弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.
【必刷题型】
1．（2023秋•青岛期末）如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点
A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为 ．
2．（2024•绥化模拟）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为点D，延长
OD与半圆O交于点E．若AB＝16，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．
3．（2024•沿河县一模）如图，已知AB是 O的直径，点C，D在 O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作
OE⊥AC交 O于点F，垂足为E． ⊙ ⊙
（1）∠CAB⊙的度数为 ；
（2）求OE的长；
（3）求阴影部分的面积．4．（2023秋•江岸区期末）如图，已知AD是 O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足
分别为E、F． ⊙
（1）求证：2OE＝CD；
（2）若∠BAD＝30°，AD＝4，求阴影部分的面积．
5．（2023秋•海安市期末）如图，AB是 O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D； ⊙
（2）若CD=4❑√3，∠D＝30°，求阴影部分的面积．
6．（2023秋•碑林区校级期末）如图，这是一张以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在 O上，
将该圆形纸片沿直线CO对折，使点B落在 O上的点D处，连接AD，CB，CD，CD与直径⊙AB交于
点E，连接OD，AC，且OD∥AC． ⊙
（1）求证：四边形ACOD是菱形．
（2）若BC=4❑√3，求扇形AOC的面积．7．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝45°，以BC为直径作半圆，交
AC于点D，交AB于点E求；
（1）求弧DE的长；
（2）求阴影部分的面积．
【考点14 圆锥的侧面积】
【必备知识】
圆锥的侧面积：①设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为
母线l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S =πrl. S = πrl+πr 2 .
侧 全
②圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式： r 2 +h 2 =l 2
③圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径为 r，其侧面展开扇形的半径
nR
为R，圆心角度数为n°，则可推得r=
360
【必刷题型】
1．（2024•天河区校级三模）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面
圆的直径为 ．
2．（2024•湖南模拟）如图，已知圆锥底面半径为4cm，其侧面展开图面积是48 cm2，则该圆锥的母线长
为 cm． π3．（2023秋•梅里斯区期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长 l为
9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角 为 °．
θ
4．（2024•高邮市校级模拟）如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为
216°，半径是5cm，那么这个圆锥的底面半径是 ．
5．（2023秋•宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB＝90°的扇形CAB．
（1）求阴影部分面积；
（2）用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
6．（2023秋•睢阳区校级月考）小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进
行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为20cm，高为40❑√2cm的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）．
（1）求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数．
（2）如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：
❑√3≈1.7）
