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第十六章 二次根式相关计算必考五大类型（100 题）
【人教版】
【类型1 二次根式的乘除运算·20题】...................................................................................................................1
【类型2 二次根式的加减运算·20题】...................................................................................................................6
【类型3 二次根式的混合运算·20题】.................................................................................................................10
【类型4 二次根式的化简求值·20题】.................................................................................................................18
【类型5 含字母的二次根式化简·20题】.............................................................................................................27
【类型1 二次根式的乘除运算·20题】
√ 1 1 √5
1．（2024春•丰满区校级月考）计算：−❑√3×2❑2 ÷ ❑ ．
3 4 2
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
√7 ❑√10
【解答】解：原式=−❑√3×2❑ ÷
3 8
2❑√21 4❑√10
=−❑√3× ×
3 5
8❑√70
=− ．
5
3 3
2．（2024春•杨浦区期中）计算： ❑√3×❑√2÷ ❑√3×❑√2．
4 2
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算．
3❑√3 2
【解答】解：原式= ×❑√2× ×❑√2
4 3❑√3
3×❑√2×2×❑√2
=
4×3
12
=
12
＝1．
√ 2 1 √2 1
3．（2024秋•市中区校级期中）3❑2 ÷ ❑ ×(− ❑√15)．
3 2 5 8
【分析】先化简二次根式，再进行计算即可．2❑√6 1 ❑√10 1
【解答】解：原式＝3× ÷ × ×（− ❑√15）
3 2 5 8
10 ❑√15
＝﹣2❑√6× ×
❑√10 8
15
=− ．
2
√5 3 √5 1
4．（2024秋•奉贤区校级期中）计算：3❑ ÷ ❑ × ❑√8．
4 4 2 2
【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
3 3
【解答】解：原式= ❑√5÷ ❑√10×❑√2
2 8
3 3
=( ❑√5×❑√2)÷ ❑√10
2 8
3 3
= ❑√10÷ ❑√10
2 8
＝4．
1
5．（2024秋•青浦区校级期中）计算：3❑√18× ❑√3÷2❑√6．
6
【分析】按照从左到右的顺序进行计算，即可解答．
1
【解答】解：原式= ❑√54÷2❑√6
2
1
= ❑√9
4
3
= ．
4
3 √ 1
6．（2024秋•闵行区期中）计算：3❑√1.25÷ ❑2 ×2❑√18．
4 2
【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
√5 3 √5
【解答】解：原式=3❑ ÷ ❑ ×2❑√18
4 4 2
√5 4 √2
=3❑ × ❑ ×2❑√18
4 3 5
4 √5 2
=3× ×2×❑ × ×18
3 4 5
＝24．√ 1 √ 2
7．（2024春•西吉县期末）计算：❑2 ÷（3❑√28）×（﹣5❑2 ）．
2 7
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
√5 1 √ 1 √ 2
【解答】解：原式=❑ × ❑ ×（﹣5❑2 ）
2 3 28 7
5 √5 1 16
=− ❑ × ×
3 2 28 7
5 ❑√10
=− ×
3 7
5
=− ❑√10．
21
2 2 1
8．（2024春•周至县期末）计算： ❑√32÷(− ❑√6)× ❑√24．
5 3 6
【分析】利用二次根式的乘除法则进行计算即可．
2 3 1
【解答】解：原式= ❑√32×（− ）× ❑√24
5 2❑√6 6
2 3 1 1
＝[ ×（− ）× ]×（❑√32× ×❑√24）
5 2 6 ❑√6
1 √32×24
=− ×❑
10 6
1
=− ×8❑√2
10
4❑√2
=− ．
5
2 1 √ 1 1
9．（2024秋•嘉定区期中）计算： ❑√0.2÷ ❑1 × ❑√24．
3 5 5 2
【分析】先把二次根式外面的数移到里面，再从左到右依次计算即可．
√4 1 √ 1 6 √1
【解答】解：原式=❑ × ÷❑ × ×❑ ×24
9 5 25 5 4
√ 4 √ 6
=❑ ÷❑ ×❑√6
45 125
√ 4 125
=❑ × ×6
45 6
√100
=❑
910
= ．
3
4 1
10．（2024秋•浦东新区期中）计算：− ❑√18÷2❑√8× ❑√54．
3 3
【分析】由二次根式的乘除法知：❑√a÷❑√b=❑√a÷b，❑√a×❑√b=❑√ab，可得答案．
4 1
【解答】解：原式＝（− ÷2× ）❑√18÷8×54
3 3
2 9❑√6
=− × =−❑√6．
9 2
√8 √ 1
11．（2024秋•青浦区期中）计算：3❑√54×(−❑ )÷7❑1 ．
9 5
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
2❑√2 1 √5
【解答】解：原式＝3×3❑√6×（− ）× ❑
3 7 6
6 √ 5
=− ❑6×2×
7 6
6
=− ❑√10．
7
√ 1 ❑√2 √ 1
12．（2024秋•浦东新区校级期中）计算：3❑1 × ÷❑ ．
7 2 14
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．
1 √8 1
【解答】解：原式＝3× ×❑ ×2÷
2 7 14
3 √8
= ×❑ ×2×14
2 7
3
= ×❑√32
2
3
= ×4❑√2
2
＝6❑√2．
4 √ 1 √7 5 √ 2
13．（2024秋•浦东新区校级月考）计算： ❑3 ÷❑ × ❑1 ．
35 3 3 2 5
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．
4 5 √10 3 7
【解答】解：原式= × ×❑ × ×
35 2 3 7 52
= ❑√2．
7
√ 1 2 √ 1 √ 2
14．（2024秋•闵行区校级月考）计算：❑3 ÷( ❑2 )×(4❑1 )．
3 5 3 5
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
√ 1 2 √ 1 √ 2
【解答】解：❑3 ÷( ❑2 )×(4❑1 )
3 5 3 5
2 √10 7 7
＝（1÷ ×4）❑ ÷ ×
5 3 3 5
5 √10 3 7
＝（1× ×4）❑ × ×
2 3 7 5
＝10❑√2．
3 √ 2 √1
15．（2024秋•徐汇区校级月考）计算：9❑√45× ❑2 ÷3❑ ．
2 3 5
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
3 1 √ 2
【解答】解：原式＝9× × ❑45×2 ×5
2 3 3
9 √ 8
= ❑45× ×5
2 3
9
= ×10❑√6
2
＝45❑√6．
√1 √ 3
16．（2024秋•丰台区校级期中）计算：❑√45÷2❑ ×❑1 ．
8 5
【分析】先化简，再进行二次根式的乘法与除法的运算法则．
√1 √ 3
【解答】解：❑√45÷2❑ ×❑1
8 5
❑√2 2❑√10
＝3❑√5÷ ×
2 5
2❑√10
＝3❑√5×❑√2×
5
＝12．
1 √1
17．（2024秋•门头沟区期末） ❑√8÷2❑ ×(−2❑√2)❑．
4 2
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则求出答案．1 1
【解答】解：原式=− × ×2❑√8×2×2，
4 2
1
=− ❑√32，
4
=−❑√2．
√2 1 1 √2
18．（2024秋•夏津县校级月考）计算：3❑ ×(− ❑√15)÷ ❑ ．
3 8 2 5
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则求出即可．
√2 1 1 √2
【解答】解：3❑ ×(− ❑√15)÷ ❑
3 8 2 5
1 √2 5
＝3×（− ）×2❑ ×15×
8 3 2
3
=− ×5
4
15
=− ．
4
√1 1
19．（2024秋•门头沟区期末）计算：4❑ ÷（−❑√6）× ❑√12．
2 3
【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则求解．
2❑√3
【解答】解：原式＝﹣2❑√2÷❑√6×
3
2 2❑√3
=− ×
❑√3 3
4
=− ．
3
3 √ 2 1 √2
20．（2024秋•博湖县校级月考）计算：❑√30× ❑2 × ❑ ．
2 3 2 5
【分析】先将带分数化为分数，然后然后根据❑√a×❑√b=❑√ab进行二次根式的乘法运算即可．
3 √8 1 √2
【解答】解：原式=❑√30× ❑ × ❑
2 3 2 5
3 √ 8 2
= ❑30× ×
4 3 5
3
= ×4❑√2
4
＝3❑√2．【类型2 二次根式的加减运算·20题】
1 √1
21．（2024秋•榆中县期末）计算： ❑√18−❑√50−❑ +❑√32．
3 2
【分析】利用二次根式的加减法则计算即可．
1 ❑√2
【解答】解：原式= ×3❑√2−5❑√2− +4❑√2
3 2
❑√2
=❑√2−5❑√2− +4❑√2
2
❑√2
=− ．
2
√1
22．（2024秋•新城区校级期中）计算：2❑√12−12❑ +3❑√48．
3
【分析】先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可．
√1
【解答】解：2❑√12−12❑ +3❑√48
3
=4❑√3−4❑√3+12❑√3
=12❑√3．
1 √2 1
23．（2024秋•黄浦区期中）计算：❑√24− ❑√3+2❑ − ❑√12．
2 3 6
【分析】根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可．
1 2❑√6 ❑√3
【解答】解：原式=2❑√6− ❑√3+ −
2 3 3
2❑√6 ❑√3 ❑√3
=(2❑√6+ )−( + )
3 2 3
8❑√6 5❑√3
= − ．
3 6
√1
24．（2024秋•闵行区校级期中）计算：❑√125+❑√12−5❑ −❑√75．
5
【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式=5❑√5+2❑√3−❑√5−5❑√3
=4❑√5−3❑√3．
√ 1 √1 1
25．（2024秋•浦东新区校级期中）计算：(❑√2−6❑ )−(4❑ − ❑√75)．
12 8 2
【分析】先去括号，再把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．√ 1 √1 1
【解答】解：原式=❑√2−6❑ −4❑ + ❑√75
12 8 2
5
=❑√2−❑√3−❑√2+ ❑√3
2
3❑√3
= ．
2
1 1
26．（2024秋•嘉定区期中）计算： ❑√27− （❑√12−❑√48）．
3 2
【分析】直接化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案．
1 1
【解答】解：原式= ×3❑√3− ×（2❑√3−4❑√3）
3 2
1
=❑√3− ×（﹣2❑√3）
2
=❑√3+❑√3
＝2❑√3．
√ 1 √1
27．（2024秋•浦东新区校级期中）计算：❑√12−❑5 −❑√0.27+❑
3 3
【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．
√16 √ 27 ❑√3
【解答】解：原式＝2❑√3−❑ −❑ +
3 100 3
4 3 ❑√3
＝2❑√3− ❑√3− ❑√3+
3 10 3
7
= ❑√3．
10
1 3
28．（2024•安宁区校级模拟）计算：2❑√8+ ❑√18− ❑√32．
3 4
【分析】根据二次根式的加减运算法则和二次根式的性质即可求出答案．
1 3
【解答】解：2❑√8+ ❑√18− ❑√32
3 4
1 3
=4❑√2+ ×3❑√2− ×4❑√2
3 4
=4❑√2+❑√2−3❑√2
=2❑√2．
1 √1
29．（2024春•中山市期中）计算： ❑√20−❑√45+5❑ ．
2 5【分析】先将二次根式逐一化简，再根据二次根式加减法则计算即可．
1 √1
【解答】解： ❑√20−❑√45+5❑
2 5
1 ❑√5
= ×2❑√5−3❑√5+5×
2 5
=❑√5−3❑√5+❑√5
=−❑√5．
1 √1
30．（2024春•澄海区期末）计算：6❑√12−2❑√27+ ❑√8−4❑ ．
2 2
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可．
1 √1
【解答】解：6❑√12−2❑√27+ ❑√8−4❑
2 2
1 ❑√2
=6×2❑√3−2×3❑√3+ ×2❑√2−4×
2 2
=12❑√3−6❑√3+❑√2−2❑√2
=6❑√3−❑√2．
√1
31．（2024春•黄石期末）计算：❑√12−4❑ −(❑√3−❑√8)．
8
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝2❑√3−❑√2−（❑√3−2❑√2）
＝2❑√3−❑√2−❑√3+2❑√2
=❑√3+❑√2．
3 5 1 5
32．（2024春•浦东新区期中）计算： ❑√3− ❑√3+ ❑√3+ ❑√3．
2 4 4 2
【分析】直接合并同类项即可．
3 5 1 5
【解答】解：原式＝（ − + + ）❑√3
2 4 4 2
＝（4﹣1）❑√3
＝3❑√3．
√1 1
33．（2024春•莱芜区期中）计算：4❑ +❑√12−( ❑√48+❑√18)．
2 2
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式．
√1 1
【解答】解：4❑ +❑√12−( ❑√48+❑√18)
2 2❑√2 1
＝4× +2❑√3−（ ×4❑√3+3❑√2）
2 2
＝2❑√2+2❑√3−2❑√3−3❑√2
=−❑√2．
1 1
34．（2024春•闵行区期中）计算：2❑√5− ❑√6−(− ❑√5+❑√6)．
3 3
【分析】根据二次根式的加减运算顺序和法则进行计算，即可得出答案．
1 1
【解答】解：2❑√5− ❑√6−(− ❑√5+❑√6)
3 3
1 1
＝2❑√5− ❑√6+ ❑√5−❑√6
3 3
7 4
= ❑√5− ❑√6．
3 3
√ 1 √ 1 2
35．（2024秋•武胜县校级期末）2❑√12+3❑1 −❑5 − ❑√48．
3 3 3
【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．
√4 √16 2
【解答】解：原式＝2×2❑√3+3×❑ −❑ − ×4❑√3
3 3 3
4❑√3 8❑√3
＝4❑√3+2❑√3− −
3 3
＝2❑√3．
√1 √16
36．（2024秋•黄浦区期中）计算：❑√75−❑ +❑ −❑√27．
3 3
【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，再进行加减法的运算．
❑√3 4❑√3
【解答】解：原式＝5❑√3− + −3❑√3
3 3
1 4
＝（5− + −3）❑√3
3 3
＝3❑√3．
√ 1 1
37．（2024秋•金山区校级月考）计算：2(❑√0.5−2❑1 )− (4❑√0.125−❑√12)．
3 2
【分析】先计算开方运算，再去括号，合并即可得到答案．
❑√2 4❑√3 1
【解答】解：原式＝2×（ − ）− ×（❑√2−2❑√3）
2 3 28❑√3 ❑√2
=❑√2− − +❑√3
3 2
❑√2 5❑√3
= − ．
2 3
√ 1 2
38．（2024秋•杨浦区期中）计算：❑√12−❑√0.75−(❑5 + ❑√48)．
3 3
【分析】先化简二次根式，再合并二次根式．
❑√3 4❑√3 2
【解答】解：原式＝2❑√3− − − ×4❑√3
2 3 3
5
=− ❑√3．
2
√3 1 √1
39．（2024秋•奉贤区校级期中）计算：❑√12−2❑ + ❑√27−6❑ ．
2 3 6
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
√3 1 √1
【解答】解：❑√12−2❑ + ❑√27−6❑
2 3 6
❑√6 1 ❑√6
=2❑√3−2× + ×3❑√3−6×
2 3 6
=2❑√3−❑√6+❑√3−❑√6
=3❑√3−2❑√6．
√2 √1
40．（2024秋•浦东新区期中）计算：❑√0.2+6❑ −（❑√24−4❑ ）．
3 5
【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系
数相加减，根式不变．
1 4
【解答】解：原式= ❑√5+2❑√6−（2❑√6− ❑√5）
5 5
1 4
= ❑√5+2❑√6−2❑√6+ ❑√5
5 5
=❑√5．
【类型3 二次根式的混合运算·20题】
√1
41．（2024秋•永春县期末）计算：❑√12×❑ −❑√50÷❑√2+(−2025) 0．
3
【分析】先算乘除法和零指数幂，再算加减法即可．
√1
【解答】解：❑√12×❑ −❑√50÷❑√2+(−2025) 0
3=❑√4−❑√25+1
＝2﹣5+1
＝﹣2．
√1 ❑√24
42．（2024秋•惠安县期末）计算：(❑√3−1)(❑√3+1)−❑ ×❑√50+ ．
2 ❑√6
【分析】先利用平方差公式、二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的加减
运算．
√1 √24
【解答】解：原式＝3﹣1−❑ ×50+❑
2 6
＝3﹣1−❑√25+❑√4
＝3﹣1﹣5+2
＝﹣1．
❑√12 1 1
43．（2024秋•崇明区期末）计算： + −(❑√3−1) 2+( ) 0 ．
2 ❑√3+❑√2 ❑√2025
【分析】先分母有理化，再根据完全平方公式和零指数的意义计算，然后合并即可．
2❑√3
【解答】解：原式= +❑√3−❑√2−（3﹣2❑√3+1）+1
2
=❑√3+❑√3−❑√2−4+2❑√3+1
＝4❑√3−❑√2−3．
1 √1
44．（2024秋•杨浦区期末）计算： −4❑ +（❑√48−❑√24）÷❑√6．
❑√3−2 2
【分析】先分母有理化和除法运算化为乘法运算，再根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式
后合并即可．
1
【解答】解：原式＝﹣（❑√3+2）﹣2❑√2+（❑√48−❑√24）×
❑√6
√48 √24
=−❑√3−2﹣2❑√2+❑ −❑
6 6
=−❑√3−2﹣2❑√2+2❑√2−2
=−❑√3−4．
45．（2024秋•未央区校级期中）计算：(7−2❑√5)(7+2❑√5)−❑√72÷❑√8．
【分析】先进行二次根式的乘除法运算，然后进行合并同类二次根式，得到答案．
【解答】解：原式＝49﹣20﹣3＝26．
46．（2024秋•雁塔区校级期中）计算：（3+2❑√2）（3﹣2❑√2）﹣（❑√5−1）2．
【分析】先用平方差与完全平方公式计算，再计算加减即可．
【解答】解：（3+2❑√2）（3﹣2❑√2）﹣（❑√5−1）2
=32−(2❑√2) 2 −(5−2❑√5+1)
=9−8−5+2❑√5−1
=2❑√5−5．
2 1 0
47．（2024秋•长宁区校级期中）计算： −(1−❑√3) 2+( ) +(❑√48−❑√24)÷❑√6．
❑√2−❑√3 ❑√2−❑√3
【分析】首先计算分母有理化，完全平方公式，零指数幂和二次根式的除法，然后合并即可．
2(❑√2+❑√3)
【解答】解：原式= −(1−2❑√3+3)+1+❑√8−❑√4
(❑√2−❑√3)(❑√2+❑√3)
=−2❑√2−2❑√3−4+2❑√3+1+2❑√2−2
＝﹣5．
√1 √ 1
48．（2024秋•汝阳县期中）计算：(❑√3+❑√2) 2−(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)−2(❑√6−❑ )÷❑1 ．
3 2
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再把除法运算化为乘法运算，然后进行二次根式的乘
法运算即可．
√1 √2
【解答】解：原式＝3+2❑√6+2﹣（3﹣2）﹣（❑√6−❑ ）×❑
3 3
√ 2 √1 2
＝5+2❑√6−1﹣2（❑6× −❑ × ）
3 3 3
2❑√2
＝4+2❑√6−4+
3
2❑√2
＝2❑√6+ ．
3
49．（2024秋•登封市校级期中）计算：
（1）❑√2×❑√6+❑√12÷❑√3−❑√27；
（2）(❑√3−1) 2 −(2❑√2+3)(2❑√2−3)．
【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式，后计算加减即可；
（2）先利用乘法公式计算，再计算加减即可．【解答】解：（1）原式=2❑√3+❑√4−3❑√3
=2❑√3+2−3❑√3
=−❑√3+2；
（2）原式=3−2❑√3+1−(8−9)
=3−2❑√3+1+1
=5−2❑√3．
50．（2024秋•兴宁市校级期中）计算：
（1）❑√18−(❑√2+1) 2+(❑√3+1)(❑√3−1)；
2
（2）(3❑√12−6+❑√48)÷2❑√3+ ．
❑√3−1
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后把❑√18化简后合并即可；
（2）先把除法运算化为乘法运算，再利用二次根式的除法法则运算，接着分母有理化，然后化简二次
根式后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝3❑√2−（2+2❑√2+1）+3﹣1
＝3❑√2−3﹣2❑√2+2
=❑√2−1；
1 2
（2）原式＝（3❑√12−6+❑√48）× +
2❑√3 ❑√3−1
3 √12 6 1 √48 2
= ❑ − + ❑ +
2 3 2❑√3 2 3 ❑√3−1
＝3−❑√3+2+❑√3+1
＝6．
51．（2024秋•陵川县期中）计算：
√1
（1）（❑√6−❑√3）×❑√12−4❑ ；
2
（2）（3❑√18−2❑√2）÷❑√2−（❑√3−2）2+（❑√2−1）0．
【分析】（1）根据乘法分配律计算，同时化简二次根式，然后计算加减法即可；
（2）根据二次根式的除法、完全平方公式和零指数幂计算，然后去括号，再算加减法即可．
√1
【解答】解：（1）（❑√6−❑√3）×❑√12−4❑
2
=❑√6×12−❑√3×12−2❑√2＝6❑√2−6﹣2❑√2
＝4❑√2−6；
（2）（3❑√18−2❑√2）÷❑√2−（❑√3−2）2+（❑√2−1）0
＝3❑√18÷2−2❑√2÷2−（3﹣4❑√3+4）+1
＝3❑√9−2❑√1−3+4❑√3−4+1
＝9﹣2﹣3+4❑√3−4+1
＝1+4❑√3．
52．（2024秋•新野县期中）计算：
（1）
❑√12−3
−(❑
√1
)
2
−❑√ (❑√3−2) 2 ；
❑√3 3
√1 √6
（2）(❑√48−3❑ )÷❑√3+❑√24−❑ ×❑√45．
3 5
【分析】（1）先分母有理化，再根据二次根式的性质计算，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，接着把括号内合并，然后
进行二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可．
(❑√12−3)×❑√3 1
【解答】解：（1）原式= − +（❑√3−2）
❑√3×❑√3 3
❑√12×3−3❑√3 1
= − +❑√3−2
3 3
6−3❑√3 1
= − +❑√3−2
3 3
1
＝2−❑√3− +❑√3−2
3
1
=− ；
3
√6
（2）原式＝（4❑√3−❑√3）÷❑√3+2❑√6−❑ ×45
5
＝3❑√3÷❑√3+2❑√6−3❑√6
＝3+2❑√6−3❑√6
＝3−❑√6．
53．（2024秋•七里河区校级期末）计算：
（1）❑√24×❑
√1
−4×❑
√1
×(1−❑√2) 0 ；
3 8（2）(2❑√3−❑√5)(2❑√3+❑√5)−(❑√7−2) 2．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可；
（2）先算完全平方公式和平方差公式，再合并同类二次根式即可．
√ 1 ❑√2
【解答】解：（1）原式=❑24× −4× ×1
3 4
＝2❑√2−❑√2
=❑√2；
（2）原式＝（2❑√3）2﹣（❑√5）2﹣（7﹣4❑√7+4）
＝12﹣5﹣11+4❑√7
＝4❑√7−4．
54．（2024秋•西峡县期中）计算：
√1
（1）❑√48÷❑√3+❑ ×❑√12−❑√24；
2
（2）(❑√6−❑√3) 2 −❑√2(❑√8−❑
√1
)−(1−❑√3) 0 ．
2
【分析】（1）先算二次根式的除法和乘法，化简二次根式，再算二次根式的加减即可；
（2）首先计算完全平方公式，二次根式的乘法，零指数幂，然后计算加减即可．
【解答】解：（1）原式=❑√16+❑√6−2❑√6
=4+❑√6−2❑√6
=4−❑√6；
（2）原式=6−2❑√18+3−❑√16+1−1
=6−6❑√2+3−4+1−1
=5−6❑√2．
55．（2024秋•麦积区月考）计算：
√3
（1）❑√12×❑ −❑√10÷❑√5+❑√8；
2
（2）(2❑√5−❑√7)(2❑√5+❑√7)−(❑√5−3) 2．
【分析】（1）根据二次根式的加减乘除法则运算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
√ 3
【解答】解：（1）原式=❑12× −❑√10÷5+2❑√2
2=3❑√2−❑√2+2❑√2
=4❑√2；
（2）原式=20−7−(5−6❑√5+9)
=6❑√5−1．
56．（2024秋•洛阳期中）计算：
√1
（1）❑√48÷❑√3+❑ ×❑√12−❑√24；
2
（2）(2❑√5−3)(2❑√5+3)−(❑√5−1) 2．
【分析】（1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
√1
【解答】解：（1）原式=❑√48÷3+❑ ×12−2❑√6
2
＝4+❑√6−2❑√6
＝4−❑√6；
（2）原式＝20﹣9﹣（5﹣2❑√5+1）
＝11﹣6+2❑√5
＝5+2❑√5．
57．（2024春•洛龙区期中）计算：
√1
（1）❑√48÷❑√3+❑ ×❑√12−❑√24；
2
（2）(7+4❑√3)(7−4❑√3)−(3❑√5−1) 2．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
√1
【解答】解：（1）原式=❑√48÷3+❑ ×12−2❑√6
2
=❑√16+❑√6−2❑√6
=4−❑√6；
（2）原式=49−48−(45−6❑√5+1)
=1−46+6❑√5
=6❑√5−45．
58．（2024秋•雁塔区校级期中）计算：√1
（1）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√14+❑√28
2
√2
（2）（❑√3+2）（❑√3−2）+❑√6×❑ ．
3
【分析】（1）先计算乘法，再计算加减；
（2）利用平方差公式，二次根式的乘法法则计算即可．
√1
【解答】解：（1）原式=❑√48÷3−❑ ×14+❑√4×7
2
＝4−❑√7+2❑√7
＝4+❑√7；
√ 2
（2）原式＝（❑√3）2﹣22+❑6×
3
＝3﹣4+2
＝1．
59．（2024秋•郸城县月考）计算：
3 √ 2 √ 1
（1）❑√30× ❑2 ÷2❑2 ；
2 3 2
（2）(2❑√3−3❑√2−❑√6)(2❑√3+3❑√2−❑√6)．
【分析】（1）根据二次根式的运算顺序计算即可；
（2）将原式整理得[(2❑√3−❑√6)−3❑√2][(2❑√3−❑√6)+3❑√2]，先利用平方差公式，再用完全平方差
计算即可．
3 √ 8 √5
【解答】（解：1）原式= ❑30× ÷2❑
2 3 2
3 √5
=( ÷2)(❑√10×8÷❑ )
2 2
3 1 √ 2
=( × )(❑10×8× )
2 2 5
3
= ×4❑√2
4
=3❑√2；
（2）原式=[(2❑√3−❑√6)−3❑√2][(2❑√3−❑√6)+3❑√2]
=(2❑√3−❑√6) 2 −(3❑√2) 2
=12−12❑√2+6−18=−12❑√2．
60．（2024秋•大东区校级月考）计算：
（1）(3❑√5+❑√2)(3❑√5−❑√2)−(3❑√2−1) 2；
√1 1
（2）(❑√27−6❑ )÷❑√3× ．
3 ❑√2
【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式计算乘法和乘方，然后再算加减即可；
（2）先把各个二次根式化成最简二次根式，然后先算括号里面的，再把除法写成乘法，进行计算即
可．
【解答】解：（1）原式=(3❑√5) 2−(❑√2) 2−(18−6❑√2+1)
=45−2−19+6❑√2
=24+6❑√2；
❑√3 ❑√2
（2）原式=(3❑√3−6× )÷❑√3×
3 2
1 ❑√2
=(3❑√3−2❑√3)× ×
❑√3 2
1 ❑√2
=❑√3× ×
❑√3 2
❑√2
= ．
2
【类型4 二次根式的化简求值·20题】
61．已知x＝2−❑√3，求代数式（7+❑√3）x2+（2+❑√3）x+❑√3的值．
【分析】首先计算x2的值，然后代入所求的式子利用平方差公式计算，最后合并同类二次根式即可．
【解答】解：x2＝（2−❑√3）2＝7﹣4❑√3，
则原式＝（7+❑√3）（7﹣4❑√3）+（2+❑√3）（2−❑√3）+❑√3
＝49﹣21❑√3−12+1+❑√3
＝38﹣20❑√3．
62．已知x=❑√3+1，求(4−2❑√3)x2−(❑√3−1)x+❑√3的值．
【分析】先计算出x2＝4+2❑√3，再把x2和x的值分别代入代数式中，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：∵x=❑√3+1，
∴x2＝（❑√3+1）2＝3+2❑√3+1＝4+2❑√3，∴原式＝（4﹣2❑√3）×（4+2❑√3）﹣（❑√3−1）×（❑√3+1）+❑√3
＝16﹣12﹣（3﹣1）+❑√3
＝4﹣2+❑√3
＝2+❑√3．
63．已知x=❑√5+1，y=❑√5−1．
（1）求x2﹣xy+y2的值；
y x
（2）求 + 的值．
x y
【分析】（1）先求出x+ y=2❑√5，xy＝4，把x2﹣xy+y2变形为（x+y）2﹣3xy，利用整体代入求值即
可；
y x (x+ y) 2−2xy
（2）把 + 变为 ，利用整体代入求值即可．
x y xy
【解答】解：（1）∵x=❑√5+1，y=❑√5−1，
∴x+ y=❑√5+1+❑√5−1=2❑√5，xy=(❑√5+1)(❑√5−1)=4，
∴x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
=(2❑√5) 2 −3×4
＝8；
（2）由（1）知，x+ y=❑√5+1+❑√5−1=2❑√5，xy=(❑√5+1)(❑√5−1)=4，
y x
+
x y
x2+ y2
=
xy
(x+ y) 2−2xy
=
xy
(2❑√5) 2 −2×4
=
4
＝3．
❑√7−❑√5 ❑√7+❑√5
64．已知x= ，y= ，求下列各式的值．
2 2
1 1
（1） + ；
x yx y
（2） + ．
y x
【分析】（1）先根据题意得出x+y与xy的值，代入代数式进行计算即可；
（2）根据（1）中出x+y与xy的值，代入代数式进行计算即可．
❑√7−❑√5 ❑√7+❑√5
【解答】解：（1）∵x= ，y= ，
2 2
❑√7−❑√5 ❑√7+❑√5 7−5 1 ❑√7−❑√5 ❑√7+❑√5
∴xy= • = = ；x+y= + =❑√7，
2 2 4 2 2 2
y+x ❑√7
= = =
∴原式 xy 1 2❑√7；
2
1
（2）由（1）知，xy= ，x+y=❑√7，
2
1
(❑√7) 2−2×
x2+ y2 (x+ y) 2−2xy 2 7−1
∴原式= = = = = 12．
xy xy 1 1
2 2
1 1
65．已知x= ，y= ；
2+❑√3 2−❑√3
（1）求x2﹣xy+y2的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求(a+b) 2+❑√(a−b) 2的值．
【分析】（1）先求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可；
（2）先求出a，b的值，进而可得出结论．
1 2−❑√3 1 2+❑√3
【解答】解：（1）∵x = = = 2−❑√3，y = = = 2+❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3) 2−❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3)
∴x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝（2−❑√3+2+❑√3）2﹣3×（2−❑√3）（2+❑√3）
＝42﹣3×1
＝16﹣3
＝13；
（2）由（1）知，x＝2−❑√3，y＝2+❑√3，
∵1＜3＜4，
∴1＜❑√3＜2，∴﹣2＜−❑√3＜−1，3＜2+❑√3＜4，
∴0＜2−❑√3＜1，
∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
∴a＝2−❑√3，b＝2+❑√3−3=❑√3−1，
∴原式＝（2−❑√3+❑√3−1）2+❑√ (2−❑√3−❑√3+1) 2
＝1+❑√(3−2❑√3) 2
＝1+2❑√3−3
＝2❑√3−2．
66．化简求值：
1
（1）若m为 的小数部分，求m的值；
❑√2+1
1 1
（2）已知x= ，y= ，求x2+xy+y2．
❑√5−2 ❑√5+2
1
【分析】（1）先把 有理化，再估算出有理化的结果即可得到答案；
❑√2+1
（2）先分母有理化求出x、y的值，进而求出x+y和xy的值，再根据完全平方公式的变形代值计算即
可．
1 ❑√2−1 ❑√2−1
【解答】解：（1） = = =❑√2−1，
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 2−1
∵1＜❑√2＜2，
∴0＜❑√2−1＜1，
∴m=❑√2−1；
❑√5+2 ❑√5+2 ❑√5−2 ❑√5−2
（2）x= = =❑√5+2，y= = =❑√5−2，
(❑√5−2)(❑√5+2) 5−4 (❑√5−2)(❑√5+2) 5−4
∴x+ y=❑√5+2+❑√5−2=2❑√5，xy=(❑√5−2)(❑√5+2)=5−4=1，
∴x2+xy+ y2=(x+ y) 2−xy=(2❑√5) 2 −1=20−1=19．
67．已知a=2❑√2−3，b=2❑√2+3，求：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2﹣ab．
【分析】（1）先求得a+b=4❑√2，ab＝﹣1，再将a2b+ab2变形为ab（a+b），代入即可求解；（2）将a2+b2﹣ab变形为（a+b）2﹣3ab，再代入即可求解．
【解答】解：（1）∵a=2❑√2−3，b=2❑√2+3，
∴a+b=(2❑√2−3)+(2❑√2+3)=4❑√2，ab=(2❑√2−3)(2❑√2+3)=(2❑√2) 2 −32=8−9=−1，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）=−1×4❑√2=−4❑√2；
（2）由（1）知，a+b＝4❑√2，ab＝﹣1，
∴a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝（4❑√2）2﹣3×（﹣1）
＝32+3
＝35．
1 1
68．已知x= ，y= ，求下列各式的值：
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
（1）x2+xy+y2；
y x
（2） + ．
x y
【分析】（1）先利用分母有理化法则求出x=❑√3+❑√2，y=❑√3−❑√2，进而得到x+ y=2❑√3，xy＝1，
再根据完全平方公式的变形求解即可；
y x (x+ y) 2−2xy
（2）根据 + = 进行求解即可．
x y xy
1 1
【解答】解：（1）∵x= ，y= ，
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
∴x= =❑√3+❑√2，y= =❑√3−❑√2，
(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
∴x+ y=❑√3+❑√2+❑√3−❑√2=2❑√3，xy=(❑√3+❑√2)×(❑√3−❑√2)=3−2=1，
∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝12﹣1＝11；
y x
（2） +
x y
x2+ y2
=
xy
(x+ y) 2−2xy
=
xy
12−2
=
1＝10．
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
69．已知x= ，y= ，求代数式x2﹣2xy+y2的值．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
【分析】先将x、y分母有理化，再将x、y的值代入因式分解后的代数式即可解答．
❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2) 2 3+2−2❑√6
【解答】解：∵x= = = =5﹣2❑√6；
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 3−2
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2) 2 3+2+2❑√6
y= = = =5+2❑√6．
❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) 3−2
原式＝（x﹣y）2＝（5﹣2❑√6−5﹣2❑√6）2＝96．
1−2a+a2 ❑√a2−2a+1 1 ❑√2
70．先化简，再求值： − − ，其中a= ．
a−1 a2−a a 2
【分析】先对分式分子分母因式分解，利用二次根式性质化简，再约分、去绝对值得到化简结果，代值
求解即可得到答案．
❑√2
【解答】解：∵a= ，
2
∴a﹣1＜0，
1−2a+a2 ❑√a2−2a+1 1
∴ − −
a−1 a2−a a
(a−1) 2 ❑√(a−1) 2 1
= − −
a−1 a(a−1) a
|a−1| 1
=a−1− −
a(a−1) a
1 1
=a−1+ −
a a
＝a﹣1，
❑√2 ❑√2
当a= 时，原式= −1．
2 2
1 1
71．已知x= （❑√7+❑√3），y= （❑√7−❑√3），求下面各代数式的值：
2 2
x y
（1）x2+3xy+y2；（2） + ．
y x【分析】（1）先由x、y的值计算出x+y=❑√7，xy＝1，再代入x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy计算可得；
x y x2+ y2 (x+ y) 2−2xy
（2）将x+y、xy的值代入 + = = 计算可得．
y x xy xy
1 1
【解答】解：（1）∵x= （❑√7+❑√3），y= （❑√7−❑√3），
2 2
1 1
∴x+y= （❑√7+❑√3）+ （❑√7−❑√3）=❑√7，
2 2
1 1 1
xy= （❑√7+❑√3）× （❑√7−❑√3）= ×（7﹣3）＝1，
2 2 4
则x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy
＝（❑√7）2+1
＝7+1
＝8；
x y x2+ y2
（2） + =
y x xy
(x+ y) 2−2xy
=
xy
(❑√7) 2−2×1
=
1
＝7﹣2
＝5．
72．已知a=❑√7−❑√5，b=❑√7+❑√5，求值：
b a
（1） + ；
a b
（2）3a2﹣ab+3b2．
【分析】（1）（2）根据二次根式的加法法则求出a+b，根据二次根式的乘法法则求出ab，根据完全平
方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵a=❑√7−❑√5，b=❑√7+❑√5，
∴a+b＝（❑√7−❑√5）+（❑√7+❑√5）＝2❑√7，ab＝（❑√7−❑√5）（❑√7+❑√5）＝7﹣5＝2．
a2+b2 (a+b) 2−2ab 28−2×2
（1）原式= = = =12；
ab ab 2
（2）原式＝3（a2+b2）﹣ab＝3（a+b）2﹣7ab＝3×28﹣7×2＝70．√b 2
73．先化简，再求值：a❑ − ❑√ab3+3❑√ab，其中a＝2，b＝3．
a b
【分析】利用二次根式的性质化简，然后代入计算即可．
【解答】解：原式=❑√ab−2❑√ab+3❑√ab
＝2❑√ab，
当a＝2，b＝3时，原式＝2❑√6．
1
74．已知a = ．
2+❑√3
（1）求a2﹣4a+4的值；
a2−1 ❑√a2−2a+1
（2）化简并求值： − ．
a+1 a2−a
【分析】（1）先将a化简，然后通过配方法将原式化简，最后代入a求值．
（2）将原式先化简，然后代入a的值求解．
1 2−❑√3
【解答】解：（1）a = = = 2−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，
将a＝2−❑√3代入（a﹣2）2得（−❑√3）2＝3．
a2−1 ❑√a2−2a+1
（2） − ，
a+1 a2−a
(a+1)(a−1) ❑√(a−1) 2
= −
a+1 a(a−1)
|a−1|
＝（a﹣1）− ，
a(a−1)
∵a＝2−❑√3，
∴a﹣1＝1−❑√3＜0，
1
∴原式＝a﹣1+ =2−❑√3−1+2+❑√3=3．
a
1−2a+a2 ❑√a2−2a+1 1
75．（1）已知a=2−❑√3，化简求值 − − ；
a−1 a2−a ay2−x2 2xy+ y2 1 1
（2）先化简，再求值： ÷(x+ )⋅( + )，其中x=2+❑√3，y=2−❑√3．
x2−xy x x y
【分析】（1）先判断a﹣1＜0，再把所给代数式化简，然后把a=2−❑√3代入计算；
（2）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入
计算．
【解答】解：（1）∵1＜❑√3＜2，
∴0＜2−❑√3＜1，
∴a﹣1＜0，
1−2a+a2 ❑√a2−2a+1 1
∴ − −
a−1 a2−a a
(a−1) 2 1−a 1
= − −
a−1 a(a−1) a
1 1
=a−1+ −
a a
＝a﹣1，
当a=2−❑√3时，
原式=2−❑√3−1=1−❑√3；
y2−x2 2xy+ y2 1 1
（2） ÷(x+ )⋅( + )
x2−xy x x y
(y−x)(y+x) x2+2xy+ y2 x+ y
= ÷ ⋅
x(x−y) x xy
(y−x)(y+x) x x+ y
= • •
x(x−y) (x+ y) 2 xy
1
=− ，
xy
当x=2+❑√3，y=2−❑√3时，
1
原式
=− =−1．
(2+❑√3)(2−❑√3)
(1−x) 2 ❑√x2+4−4x 1
76．先化简，再求值： + ，其中x= ．
x−1 x−2 3+2❑√2
【分析】直接化简得出x的值，再利用分式的基本性质计算得出答案．1 3−2❑√2
【解答】解：∵x= = = 3﹣2❑√2，
3+2❑√2 (3+2❑√2)(3−2❑√2)
(1−x) 2 ❑√x2+4−4x
∴ +
x−1 x−2
2−x
＝x﹣1+
x−2
＝x﹣1﹣1
＝x﹣2，
当x＝3﹣2❑√2时，
原式＝3﹣2❑√2−2＝1﹣2❑√2．
77．已知x=2−❑√3，y=2+❑√3，求下列代数式的值：
（1）x2﹣y2；
√ y √ x
（2）❑ +❑ ．
x y
【分析】（1）根据分式的加减法法则分别求出x+y，x﹣y，根据平方差公式把原式变形，代入计算即
可；
（2）根据二次根式的性质把原式变形，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）∵x＝2−❑√3，y＝2+❑√3，
∴x+y＝（2−❑√3）+（2+❑√3）＝4，x﹣y＝（2−❑√3）﹣（2+❑√3）＝﹣2❑√3，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×（﹣2）❑√3=−8❑√3；
（2）xy＝（2−❑√3）（2+❑√3）＝4﹣3＝1，
√ y √ x
则❑ +❑
x y
❑√xy ❑√xy
= +
x y
x+ y
=❑√xy×
xy
4
＝1×
1
＝4．
√ y √ x 1 1
78．（1）先化简，再求值：❑√25xy+x❑ −4 y❑ − ❑√x y3，其中x= ，y＝4．
x y y 3
3x2−9x 5
（2）先化简，再求值： ÷(x+2− )，其中x=❑√5−3．
x−2 x−2【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再进行合并，然后把x、y的值代入计算；
（2）先算括号内的运算，再把除法变成乘法，然后约分化简代入求值即可．
【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，
∴原式=5❑√xy+❑√xy−4❑√xy−❑√xy=❑√xy，
1
当x= ，y＝4时，
3
√4 2❑√3
原式=❑ = ；
3 3
3x(x−3) x2−4 5
（2）原式= ÷( − )
x−2 x−2 x−2
3x(x−3) (x+3)(x−3)
= ÷
x−2 x−2
3x(x−3) x−2
= ⋅
x−2 (x+3)(x−3)
3x
= ，
x+3
当x=❑√5−3时，
3×(❑√5−3) 3❑√5−9 9❑√5
原式= = =3− ．
❑√5−3+3 ❑√5 5
79．（1）已知a=2+❑√3，b=2−❑√3，求❑√a2+b2+4ab的值；
1
（2）已知y=❑√1−4x+❑√4x−1+ ，求(❑√2x+❑√y) 2的值．
2
【 分 析 】 （ 1 ） 由 题 意 得 出 a+b ＝ 4 ， ab ＝ 1 ， 再 利 用 完 全 平 方 公 式 将 式 子 变 形 为
❑√a2+b2+4ab=❑√(a+b) 2+2ab，代入计算即可得出答案；
1 1
（2）由二次根式有意义的条件得出1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，从而得出x= ，代入得出y= ，利用完全
4 2
平方公式将式子展开，再将x、y的值代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵a=2+❑√3，b=2−❑√3，
∴a+b＝4，ab=(2+❑√3)(2−❑√3)=4−3=1，
∴❑√a2+b2+4ab=❑√(a+b) 2+2ab=❑√42+2×1=❑√18=3❑√2；
（2）根据题意得1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，1
∴x= ，
4
1 1
∴y=❑√1−4x+❑√4x−1+ = ，
2 2
∴(❑√2x+❑√y) 2=2x+2❑√2xy+ y=2× 1 +2❑ √ 2× 1 × 1 + 1 = 1 +1+ 1 =2．
4 4 2 2 2 2
1 1 1 x−2❑√xy+ y x−y
80．已知x＝3，y= ，求❑√xy( + )− + (x≠ y)的值．
3 ❑√x ❑√y ❑√x−❑√y ❑√x−❑√y
【分析】首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解，最后代数
求解即可．
(❑√x−❑√y) 2 (❑√x+❑√y)(❑√x−❑√y)
【解答】解：原式=❑√y+❑√x− +
❑√x−❑√y ❑√x−❑√y
=❑√y+❑√x−(❑√x−❑√y)+❑√x+❑√y
=❑√y+❑√x−❑√x+❑√y+❑√x+❑√y
=3❑√y+❑√x，
1
∵x＝3，y= ，
3
√1
∴原式=3❑√y+❑√x=3❑ +❑√3=❑√3+❑√3=2❑√3．
3
【类型5 含字母的二次根式化简·20题】
1 √ x2 √ y2 1 √ 1
81．化简： ❑− •(−4❑− )÷ ❑ ．
3 y x 6 x3 y
【分析】根据二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简计算方法进行计算即可得出答案．
x2 y2 1
【解答】解：∵− ＞0，− ＞0， ＞0，
y x x3 y
∴x＜0，y＜0，
4 √ x2 y2 1 √ 1
原式=− （❑(− )(− )÷ ❑
3 y x 6 x3 y
4
=− ❑√xy×6❑√x3y
3
＝﹣8|x2|•|y|．
＝﹣8x2•（﹣y）＝8x2y．
2 2 1 √b
82．计算： ❑√ab3 ⋅(− ❑√b)÷ ❑ (a＞0，b＞0)．
b 3 3 a
【分析】根据二次根式的乘除法则计算即可．
2 2 √ a
【解答】解：原式= ×（− ）×3❑ab3 ⋅b⋅
b 3 b
＝﹣4a❑√b．
2 3 √b
83．计算： ❑√ab5 ⋅(− ❑√a3b)÷(3❑ )(b＞0)．
b 2 a
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵b＞0，
∴a＞0，
2 3 1 √ a
∴原式= ⋅(− )× ❑ab5 ⋅a3b⋅
b 2 3 b
1
=− ❑√a5b5
b
1
=− ⋅a2b2❑√ab
b
=−a2b❑√ab．
2 2 1
84．化简： ❑√16a÷(− ❑√ab)× ❑√4b(a＞0，b＞0)．
3 3 6
【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解．
2 2 1
【解答】解： ❑√16a÷(− ❑√ab)× ❑√4b
3 3 6
8❑√a 2 ❑√b
= ÷(− ❑√ab)×
3 3 3
8❑√a 3 ❑√b
= ×(− )×
3 2❑√ab 3
4
=− ．
3
√ y2 √x2
85．计算：8x2❑√xy⋅6❑ ÷12❑ ．
x y
【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可．√ y2 √x2
【解答】解：原式＝48x2❑ xy⋅ ÷12❑
x y
√x2
＝48x2y❑√y÷12❑
y
48x2y √ y
＝（ ）❑ y⋅
12 x2
y
＝4x2y•
x
＝4xy2．
3 4 √ y 5
86． ❑√x y2÷(− ❑ )⋅(− ❑√x3y)．
5 15 x 6
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式= 3 ❑√x y2 •(− 15 ❑ √ x )•(− 5 ❑√x3y)
5 4 y 6
3 15 5 √ x
＝（ × × ）•❑ x y2 ⋅ ⋅x3y
5 4 6 y
15
= ❑√x5y2
8
15
= ❑√x4 y2 •❑√x
8
15
= x2y❑√x．
8
√1 1
87．计算：8❑√a−b❑ + ❑√a3b2 (b＞0)．
a a2
【分析】先将各个二次根式化简，再进行加减运算，合并同类二次根式即可．
√1 1
【解答】解：8❑√a−b❑ + ❑√a3b2 ，
a a2
b ab
=8❑√a− ❑√a+ ❑√a，
a a2
b b
=8❑√a− ❑√a+ ❑√a．
a a
=8❑√a．b √1
88．计算：2a❑√3ab2− ❑√27a3+3ab❑ a（b＞0）
2 3
【分析】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
3 3
【解答】解：原式＝2ab❑√3a− ab❑√3a+ab❑√3a= ab❑√3a．
2 2
89．计算：4mn❑
√3m
−（
n
❑√27m3−m❑√3mn2）（n＞0）．
4 6
【分析】先化简二次根式，再合并即可．
【解答】解：4mn❑
√3m
−（
n
❑√27m3−m❑√3mn2）
4 6
1
＝2mn❑√3m− mn❑√3m+mn❑√3m
2
5
= mn❑√3m．
2
2 √ 1 √x
90．化简： x❑√9x−x3❑ +6x❑ ．
3 x3 4
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
2 ❑√x ❑√x
【解答】解：原式= x•3❑√x−x3• + 6x•
3 x2 2
＝2x❑√x−x❑√x+3x❑√x
＝4x❑√x．
√ 1
91．计算：a❑√8a−2a2❑ +3❑√2a3．
8a
【分析】根据二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式即可．
√ 1
【解答】解：a❑√8a−2a2❑ +3❑√2a3
8a
❑√2a
＝2a❑√2a−2a2• +3a❑√2a
4a
1
＝2a❑√2a− a❑√2a+3a❑√2a
2
9
= a❑√2a．
2
√2a √ b
92．化简：❑√2ab−b❑ −a❑ (a＞0)．
b 2a
【分析】利用二次根式的性质及加减法则计算即可．√ 2a √ b
【解答】解：原式=❑√2ab−❑b2
⋅
−❑a2
⋅
b 2a
√ab
=❑√2ab−❑√2ab−❑
2
❑√2ab
=− ．
2
√ y √ x 7
93．计算：8❑√x y3−3x❑ −4 y❑ + ❑√x3y．
x y x
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式．
【解答】解：当x＞0，y＞0时，
√ y √ x 7
8❑√x y3−3x❑ −4 y❑ + ❑√x3y
x y x
＝8y❑√xy−3❑√xy−4❑√xy+7❑√xy
＝（8y﹣3﹣4+7）❑√xy
＝8y❑√xy；
当x＜0，y＜0时，
√ y √ x 7
8❑√x y3−3x❑ −4 y❑ + ❑√x3y
x y x
＝﹣8y❑√xy+3❑√xy+4❑√xy−7❑√xy
＝（﹣8y+3+4﹣7）❑√xy
＝﹣8y❑√xy．
3 √x √1 √x
94．计算： ❑√4x+2❑ −x❑ +2❑ （x＞0 ）．
2 9 x 2
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
3 ❑√x ❑√x ❑√2x
【解答】解：原式= •2❑√x+2× −x• +2×
2 3 x 2
2❑√x
＝3❑√x+ −❑√x+❑√2x
3
8❑√x
= +❑√2x．
3
√ 2 1 √ m
95．计算：2m❑ + ❑√8m3−8❑ ．
3m 6m 32
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式计算即可．
2m 2m❑√2m 8❑√2m
【解答】解：原式= ❑√6m+ −
3m 6m 82❑√6m ❑√2m
= + −❑√2m
3 3
2 2
= ❑√6m− ❑√2m．
3 3
√ 1
96．7a❑√8a−2a2❑ +7a❑√2a
8a
【分析】分别通过分母有理化和开根号，将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，即得结果．
a❑√2a
【解答】解：原式=14a❑√2a− +7a❑√2a
2
41
= a❑√2a．
2
√ 1
97．计算：7a❑√8a−4a2❑ +7a❑√2a．
8a
【分析】先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可．
【解答】解：原式＝14a❑√2a−a❑√2a+7a❑√2a
＝20a❑√2a．
2x √2y √ x
98．计算： ❑√18xy+x2❑ +6xy❑ （x＜0）
3 x 8 y
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，合并同类二次根式即可．
3x❑√2xy
【解答】解：原式＝2x❑√2xy−x❑√2xy−
2
1
=− x❑√2xy．
2
√a √a
99．计算：2 ❑ −b❑ +❑√a3b−3❑√ab3（a＞0，b＞0）
b b
【分析】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合
并，合并方法为系数相加减，根式不变．
√ab √ab
【解答】解：原式＝2❑ −b❑ +a❑√ab−3b❑√ab
b2 b2
2❑√ab
= −❑√ab+a❑√ab−3b❑√ab
b
2
＝（ −1+a﹣3b）❑√ab．
b
100．计算下列各题：1 √3 √a a
（1） ❑√27a3−a2❑ +3a❑ − ❑√108a；
3 a 3 4
√ 1
（2）7a❑√8a−4a2❑ +7a❑√2a．
8a
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解；
（2）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解．
1 √3 √a a
【解答】解：（1） ❑√27a3−a2❑ +3a❑ − ❑√108a
3 a 3 4
1 ❑√3a ❑√3a a
= ×3a❑√3a−a2× +3a× − ×6❑√3a
3 a 3 4
3
=a❑√3a−a❑√3a+a❑√3a− a❑√3a
2
3
=(a−a+a− a)❑√3a
2
1
=− a❑√3a；
2
√ 1
（2）解：7a❑√8a−4a2❑ +7a❑√2a
8a
❑√2a
=7a×2❑√2a−4a2× +7a❑√2a
4a
=14a❑√2a−a❑√2a+7a❑√2a
．
