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专题 4.4 二次函数应用题必考六大类型
【人教版】
【类型1 面积最值问题】..........................................................................................................................................1
【类型2 路径与边界问题】......................................................................................................................................8
【类型3 过桥与边界问题】....................................................................................................................................14
【类型4 利润最值问题】........................................................................................................................................20
【类型5 点的运动与变速滑行】............................................................................................................................27
【类型6 分段函数】................................................................................................................................................30
【类型1 面积最值问题】
1．（2024•洪山区模拟）根据以下素材，完成探索任务．
问题提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格之和）不高于 5900元的情况
下，如何设计最大饲养室面积的方案？
素材一 如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有 16m长的墙，中间用一道墙隔开，计
划中建筑材料可建围墙的总长为22m，开两个门，且门宽均为1m．
素材二 每个门的价格为250元．
素材三 与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．
问题解决
任务1 设AB＝x m，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式．
任务2 探究自变量x的取值范围．
任务3 确定设计方案．当AB＝ m，BC＝ m时，S的最大值为 m2．（直接填写结果）
【分析】任务一：先根据题中条件写BC的长，即可求出S关于x的函数表达式；
任务二：先根据1＜BC≤16，解出2≤x＜7，写出新墙建筑费用的代数式，然后分选用型号A门和型号
C门两种情况，利用总费用不高于6400元，分别求出x的取值范围即可；任务三：先把函数表达式配成顶点式，然后根据x的取值范围和图象开口方向即可求出面积的最大值．
【解答】解：任务1：根据题意可得BC＝22+2﹣3x＝（24﹣3x）m，
∴S＝AB•BC
＝x（24﹣3x）
＝﹣3x2+24x；
任务2：由题意得，1＜BC≤16，
即1＜24﹣3x≤16，
8 23
解得： ≤x＜ ，
3 3
根据题意可得：新墙建筑费用＝200（3x﹣1）+300（23﹣3x）＝（6700﹣300x）元，
则总费用＝6700﹣300x+500＝（7200﹣300x）元，
∵总费用不高于5900元，
13
∴7200﹣300x≤5900，解得：x≥ ，
3
13 23
∴ ≤x＜ ．
3 3
任务3：由任务1知S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
13 23
∵﹣3＜0，图象开口向下，且4＜ ＜ ，
3 3
13 2
∴当x= 时，面积S有最大值，最大值为47 ，
3 3
13
此时BC＝24﹣3× =11（m），
3
13 2
∴设计方案是AB= m，BC＝11m，S的最大值为47 m2．
3 3
13 2
故答案为： ，11，47 ．
3 3
2．（2024•东海县一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第 8页练习3（3）进行变式探究：
如图，用长为60m的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃ABCD，其中EF∥AB，且墙
长为30m．
（1）设AB＝x（m），矩形花圃ABCD的面积为y（m2）．则y关于x的函数关系式为 ，x的
取值范围为 ；
（2）求矩形花圃ABCD面积的最大值；（3）在（2）的情况下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收
入W （单位：元）与种植面积S (m2 )的函数关系式为W ＝30S ；乙种鲜切花的年收入W （单位：
1 1 1 1 2
元）与种植面积S (m2 )的函数关系式为W =−S2+320S ，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，
2 2 2 2
求CF的长．
【分析】（1）用x表示BC的长度，即可得到y与x的函数关系式，根据墙长30m列不等式，可求x的
范围；
（2）利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案；
（3）设BF＝t m，可得矩形ABFE的面积为10t m2，矩形EFCD的面积为10（30﹣t） m2，根据两种
鲜切花的年收入之和达到28800元，列出一元二次方程解答即可．
【解答】解：（1）由已知得：BC＝（60﹣3x）m，
∴y＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x，
∵墙长30m，
∴0＜60﹣3x≤30，
解得：10≤x＜20（m），
∴x的取值范围是10≤x＜20；
故答案为：y＝﹣3x2+60x，10≤x＜20；
（2）∵y＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300，
∴抛物线对称轴为直线x＝10，
∵a＝﹣3＜0，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴x＝10时，y取最大值，最大值是300，
∴矩形ABCD面积的最大值是300m2；
（3）由（2）得：x＝10时，y取最大值，最大值是300，
∴BC＝60﹣3x＝30 m，
设BF＝t m，则CF＝（30﹣t）m，∴矩形ABFE的面积为10t m2，矩形EFCD的面积为10（30﹣t） m2，
∴W ＝30×10t＝300t，W ＝﹣100（30﹣t）2+320×10（30﹣t），
1 2
根据题意得：
300t﹣100（30﹣t）2+320×10（30﹣t）＝28800，
解得：t ＝19，t ＝12，
1 2
∴CF＝11m或18m．
3．（2023秋•潜山市期末）一段长为25m的墙MN前有一块矩形ABCD空地，用90m长的篱笆围成如图所
示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形 AEFH和四边形CDHG是矩
形，四边形EBGF是边长为5m的正方形，设CD＝x m．
（1）若矩形CDHG的面积为125m2，求CD的长．
（2）当CD的长为多少时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）首先求得GC＝90﹣3x﹣10＝（80﹣3x）cm，，根据矩形CDHG面积＝GC•CD＝（80﹣
3x）x＝125，即可求解；
85 7225
（2）设矩形ABCD的面积为S，则S＝BC•CD＝x（80﹣3x+5）＝﹣3（x− ）2+ ，进而根据二
6 12
次函数的性质即可求解．
【解答】（1）∵CD＝HG＝AB＝x cm，EF＝BG＝5，
∴GC＝90﹣3x﹣10＝（80﹣3x）cm，
∴x（80﹣3x）＝125，
5
∴x ＝25，x = ，
1 2 3
∵BC＝80﹣3x+5≤25，
∴x≥20，
∴CD的长为25米；
85 7225
（2）设矩形ABCD的面积为S，则S＝BC•CD＝x（80﹣3x+5）＝﹣3（x− ）2+ ，
6 12
∵﹣3＜0，故抛物线开口向下，x≥20，85 7225
当x＝20时，S取得最大值为：﹣3（20− ）2+ =500（m2）．
6 12
即当CD的长20m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是500m2．
4．（2023秋•长沙县期末）在“校园劳动节”活动中，某劳动小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边
DC和DA足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形劳动基地ABCD（篱笆只围AB和BC两边），设AB
＝x m，则S矩形ABCD ＝y m2．
（1）求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当矩形劳动基地的面积为192m2时，求AB的长；
（3）如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙DC和DA的距离分别是14m和8m，如果要将这
棵树围在矩形劳动基地内部（含边界），试求矩形劳动基地面积的最大值．
【分析】（1）依据题意，根据矩形面积＝长×宽求解．
（2）依据题意，令y＝192，解一元二次方程求解．
（3）依据题意，由点P在矩形内部可得x的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：（1）由题意，∵AB＝x，
∴BC＝28﹣x．
∴y＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x．
∵28﹣x＞0，
∴x＜28．
∴y与x的关系式为y＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．
（2）由题意，令y＝192，则﹣x2+28x＝192，
解得x＝16或x＝12，
∴AB长为16m或12m．
（3）由题意，∵点P在矩形内部，
{ x≥8 )
∴ ．
28−x≥14
∴解得8≤x≤14．
∵y＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，当x＜14时，y随x增大而增大，
∴x＝14时，y取最大值为196．
答：花园面积最大值为196 m2．
5．（2023秋•南开区期末）如图1，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a为10m），围
成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．设花圃的宽AB为x m（宽AB不大于长BC），面积为S m2．
（Ⅰ）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）请求出花圃ABCD能围成的最大面积，并写出此时x的值；
（Ⅲ）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽均为1m的两扇小门，能
否使围成的花圃面积为51m2？如果能，请直接写出花圃宽AB和长BC的值；如果不能，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据矩形的面积即可写出函数关系式，并根据墙长求出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积；
（Ⅲ）根据矩形的面积公式写出函数解析式，根据墙长求出 x的取值范围，再令S＝51，解方程求出x
的值即可．
【解答】解：（Ⅱ）∵宽AB＝x m，则长BC＝（24﹣3x）m，
∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，
又x＞0，且10≥24﹣3x≥x，
14
∴ ≤x≤6，
3
14
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣3x2+24x（ ≤x≤6）；
3
（Ⅱ）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x2﹣8x）＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
14
∵ ≤x≤8，
3
14 140
∴当x= 时，S有最大值，最大值为 ，
3 314 140
∴当x= 时，花圃ABCD能围成的最大面积为 m2；
3 3
（Ⅲ）能使围成的花圃面积为51m2．理由：
设AB＝x m，则BC＝24﹣3x+2＝（26﹣3x）m，
∴S＝x•（26﹣3x）＝﹣3x2+26x，
令S＝51，则﹣3x2+26x＝51，
17
解得x = ，x ＝3，
1 3 2
∵墙的最大可用长度为10米，
∴x≤26﹣3x≤10，
16 13
∴ ≤x≤ ，
3 2
17
∴x= ，
3
此时，BC＝26﹣3x＝26﹣17＝9（m），
17
∴当AB= m，BC＝9m时，能使围成的花圃面积为51m2．
3
6．（2024•海淀区校级模拟）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总
长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相
等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2
（1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【分析】（1）设AE＝a，根据三块矩形区域的面积相等列式得出BE和a、AB和a的关系，再根据总长
为160m，将a用x表示出来，然后根据矩形面积得y关于x 的函数关系，再令y＝1500，求△进行判断
即可；
（2）将（1）二次函数写成顶点式，从而求得y何时有最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）设AE＝a，由题意得：
AE•AD＝2BE•BC
∵AD＝BC
1 3
∴BE= a，AB= a
2 2
1
由题意可得：2x+3a+2× a＝160
2
1
∴a＝40− x
2
3 3 1
∴y＝AB•BC= ax= （40− x）x
2 2 2
3
∴y=− x2+60x （0＜x＜80）
4
3
令y＝1500得：− x2+60x＝1500
4
化简得：x2﹣80x+2000＝0
∵△＝802﹣4×2000＝6400﹣8000＜0
∴方程无解
答：不存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2
3 3
（2）∵y=− x2+60x=− （x﹣40）2+1200
4 4
∴当x＝40时，y有最大值，最大值是1200m2．
【类型2 路径与边界问题】
1．（2024秋•交口县期末）某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物
40
线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点 M离墙1米，离地面 米，则水流下落点B
3
离墙距离OB是（ ）
A．3米 B．2米 C．5米 D．4米【分析】以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式
后，令y＝0，即可解答．
【解答】解：以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
如图，
40
设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+ ，
3
把点A（0，10）代入抛物线解析式得：
10
a=− ，
3
10 40
∴抛物线解析式：y=− （x﹣1）2+ ．
3 3
当y＝0时，x ＝﹣1（舍去），x ＝3．
1 2
∴OB＝3米．
故选：A．
2．（2024秋•铜陵期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条
抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形
桶，试图让网球落入桶内，已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径
为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少（ ）
个时，网球可以落入桶内．
A．7 B．8 C．9 D．10【分析】以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定
抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确
定m的范围，根据m为正整数，得出m的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个
数．
【解答】解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），
3
∴M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（ ，0），
2
设抛物线的解析式为y＝ax2+k，
∵抛物线过点M和点B，
{0=4a+k)
∴ ，
k=5
5
解得：k＝5，a=− ，
4
5
∴抛物线解析式为：y=− x2+5，
4
15
∴当x＝1时，y= ；
4
3 35
当x= 时，y= ，
2 16
15 3 35
∴P（1， ），Q（ ， ）在抛物线上．
4 2 16
设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
35 3 15
由题意得： ≤ m≤ ，
16 10 47 1
解得：7 ≤m≤12 ．
24 2
∵m为整数，
∴m的最小整数值为：8，
∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内．
故选：B．
3．（2023•贵州模拟）燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，武汉数学小杰燃放一种手持烟花，这种烟
花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发
射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如表：
飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 ……
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 ……
（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度；
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹
与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
【分析】（1）设其解析式为：h＝at2+bt+c，把点（0，2），（0.5，9.5），（1，16）解方程组即可得
到结论；
（2）把函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据第二发花弹的函数表达式为 h′＝﹣2（t﹣6）2+34．得到皮皮发现在第一发花弹爆炸的同
时，第二发花弹与它处于同一高度，于是得到h＝h′＝32＞30m，即可得到结论．
【解答】解：（1）设其解析式为：h＝at2+bt+c，
{
c=2
)
把点（0，2），（0.5，9.5），（1，16）代入得： 0.25a+0.5b+c=9.5 ，
a+b+c=16
{a=−2
)
解得 b=16 ，
c=2
故相应的函数解析式为：h＝﹣2t2+16t+2；（2）∵h＝﹣2t2+16t+2＝﹣2（t﹣4）2+34，
∴当第一枚花弹到达最高点时，t＝4，
∴第二发花弹发射4﹣2＝2（s），
把t＝2代入h＝﹣2（t﹣4）2+34，
得h＝﹣2×（2﹣4）2+34＝26，
即第二发花弹达到的高度为26m；
（3）∵这种烟花每隔2s发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同，小杰发射出的
第一发花弹的函数表达式为h＝﹣2（t﹣4）2+34，
∴第二发花弹的函数表达式为h′＝﹣2（t﹣6）2+34．
皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，
则令h＝h′，得﹣2（t﹣4）2+34＝﹣2（t﹣6）2+34，
解得t＝5，此时h＝h′＝32＞30，
故花弹的爆炸高度符合安全要求．
4．（2023•商丘四模）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图
是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为 1m，并且相距
4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面
1
直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为y=− x2+bx+c．
6
（1）求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
（3）身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他的头顶，
请求出s的取值范围．
1
【分析】（1）把（0，1），（4，1）代入抛物线y=− x2+bx+c，得到二元一次方程组，解方程组
6
即可；
（2）由自变量的值求出函数值，再比较便可；（3）由y＝1.64时求出其自变量的值，便可确定s的取值范围．
1
【解答】解：（1）根据题意，抛物线y=− x2+bx+c经过点（0，1），（4，1）．
6
{
c=1，
)
∴ 11
4b+c= .
3
{ b= 2 ，)
解得 3
c=1.
1 2
∴绳子所对应的抛物线解析式为：y=− x2+ x+1．
6 3
（2）身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
2
1 2 3
∵y=− x2+ x+1，当x=− =2时，
6 3 1
2×(− )
6
1 2 2
y最大值=− ×22+ ×2+1=1 ＜1.7．
6 3 3
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
1 2
（3）当y＝1.64时，− x2+ x+1=1.64，
6 3
即x2﹣4x+3.84＝0，
4±❑√0.64 4±0.8
解得x= = ．
2 2
∴x ＝2.4，x ＝1.6．
1 2
∴1.6＜s＜2.4．
5．（2023•武汉模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷
出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形
DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上
边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单
位：m）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
【类型3 过桥与边界问题】
1．（2023秋•高邑县期末）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是 4m时，拱顶距离水面是2m．当
水面下降1m后，水面宽度是 m．（结果保留根号）
【分析】根据题意，建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将 y＝﹣3代入函数解
析式，求出x的值，然后即可求得水面下降1m后，水面宽度．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，
设该抛物线的解析式为y＝ax2，
由题意可知：点（2，﹣2）在该函数图象上，
∴﹣2＝a×22，
1
解得a=− ，
2
1
∴该抛物线的解析式为y=− x2，
2
1
当y＝﹣3时，﹣3=− x2，
2
解得x =−❑√6，x =❑√6，
1 2
∴当水面下降1m后，水面宽度是：❑√6−（−❑√6）=❑√6+❑√6=2❑√6（m），
故答案为：2❑√6．2．（2024•新化县一模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线
2
的函数表达式为y=− x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安
81
装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．
【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的
横坐标即为EF的长．
【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，
可知y＝8，
2
把y＝8代入y=− x2+10得：
81
2
8=− x2+10，
81
解得x＝±9，
∴由两点间距离公式可求出EF＝18（米）．
故答案为：18．
3．（2024•宽城区一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划
进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可
看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度 y（单位：m）
与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.01（x﹣30）2+9．据调查，龙舟最高处距
离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少 3m．若每条龙舟赛道宽度为9
米，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计 条．【分析】依据题意，令y＝5，解方程求出x的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的
条数．
【解答】解：由题意，当y＝5时，﹣0.01（x﹣30）2+9＝5，
解得x＝10或x＝50，
∴可设计赛道的宽度为50﹣10＝40（m），
40 4
∵ =4 ，
9 9
∴最多可设计龙舟赛道的数量为4条．
故答案为：4．
4．（2023秋•兴隆县期末）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已
知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：
（1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；
（2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
（3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱
桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1）
【分析】（1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为 x轴，拱桥的最高点在y轴上，
设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4，利用待定系数法求解；
（2）水位上涨了2米时，则y＝2，求出对应的x的值即可；
（3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求
解．
【解答】解：（1）如图，AB为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下：
1
则OA=OB= AB=8，OC＝4，
2
∴抛物线的顶点坐标为C（0，4），B（8，0），
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4，
将B（8，0）代入，得：a⋅82+4＝0，
1
解得：a=− ，
16
1
∴该抛物线的表达式为y=− x2+4；
16
1 1
（2）在y=− x2+4中，当y＝2时，则y=− x2+4=2，
16 16
解得：x=±4❑√2，
4❑√2−(−4❑√2)=8❑√2，
∴水面上升2米后的水面宽度为8❑√2米，
（3）如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到O′处，
∵货船的高为2.6米，宽为3.2米，
1
∴EF= ×3.2=1.6米，O′E＝2.6，
2
设OO′＝m米，则OE＝OO′+O′E＝（m+2.6）米，
∴点F的坐标为（1.6，m+2.6），1 1
将F（1.6，m+2.6）代入y=− x2+4，得：− ×1．62+4=m+2.6
16 16
解得m＝1.24，
∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升1.2米．
5．（2024•黄石模拟）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点 P距离地面高度为8米，
宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽
2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面
OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大
值是多少，请你帮施工队计算一下．
【分析】（1）根据题意，可得点M及抛物线顶点P的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
9 207 207
（2）由题知，当x= 时，y= ，而 ＞5，即可得出结论；
2 32 32
1
（3）设OB＝x，则BC＝16﹣2x，根据矩形的性质得出AD＝BC＝16﹣2x，AB=DC=− x2+2x，设l
8
＝AB+AD+DC，进而表示出l的长，根据二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O点为原
点，
∴点M（16，0），顶点P（8，8），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx．
把点M（16，0），点P（8，8）代入得：
{ 64a+8b=8 )
，
256a+16b=0{ a=− 1 )
解得 8 ，
b=2
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+2x，
8
∵OM＝16，M（16，0），
∴自变量x的取值范围为：0≤x≤16；
9 1 9 2 9 207
（2）当x=8−2.5−1= 时，y=− ×( ) +2× = ＞5，
2 8 2 2 32
∴能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆．
（3）设OB＝x，则BC＝16﹣2x，
∵四边形ABCD是矩形，
1
∴AD＝BC＝16﹣2x，AB=DC=− x2+2x
8
1
设l＝AB+AD+DC，则l=− x2+4x+16−2x，
4
1
∴l=− x2+2x+16，
4
1
∵− ＜0，
4
b 4ac−b2
∴当x=− =4时，l有最大值为 =20．
2a 4a
答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是20米．
6．（2024•郸城县二模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长OA＝12m，宽OB＝
1
4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=− x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面
6
17
OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为 m．为安全起见，隧道正中间有宽为0.4m的隔离带．
2
（1）求b，c的值，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车
能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，
那么两排灯的水平距离最小是多少米？【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶
点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为直线x＝6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面
OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比
较即可判断；
（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为 8所对应的自变量的
值即可得到两排灯的水平距离最小值．
17
【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3， ），
2
17 1 {
c=4
)
把B（0，4），C（3，
2
）代入y=−
6
x2+bx+c得
−
1
×32+3b+c=
17 ，
6 2
{b=2)
解得 ．
c=4
1
所以抛物线解析式为y=− x2+2x+4，
6
1
则y=− （x﹣6）2+10，
6
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（1.8，0）或（10.2，0），当x＝1.8或x＝10.2时，
y＝7.06＞6，所以这辆货车能安全通过；
1
（3）令y＝8，则− （x﹣6）2+10＝8，解得x ＝6+2❑√3，x ＝6﹣2❑√3，
6 1 2
则x ﹣x ＝4❑√3，
1 2
所以两排灯的水平距离最小是4❑√3m．【类型4 利润最值问题】
1．（2023秋•龙安区期中）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第 x天的售价与销量的相关
信息如下表：
第x天 售价（元/件） 日销售量（件）
1≤x≤30 x+60 300﹣10x
已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．
【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
（2）由y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，即可求解；
（3）令y＝﹣10x2+100x+6000＝5400，解得x＝﹣4或x＝14，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+60﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000；
（2）y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，
∵﹣10＜0，故抛物线开口向下，
当x＝5（天）时，y取得最大值为6250（元）．
∴销售该商品第5天时，日销售利润最大，最大日销售利润6250元；
（3）令y＝﹣10x2+100x+6000＝5440，解得x＝﹣4或x＝14，
故当月有14天的日销售利润不低于5440元．
2．（2023秋•武昌区校级期中）某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天
的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝20时，y＝1000，当x＝25
时，y＝950．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；
（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单
价应控制在什么范围内？
【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）每天的销售利润不低于20000元，根据二次函数与不等式的关系求出x的取值范围，再根据每天
的总成本不超过7000元，以及65≤x≤95，列不等式组即可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，将当x＝20时，y＝1000，当x＝25时，y＝950代入得：
{1000=20k+b) {k=−10)
， ，
950=25k+b b=1200
y＝﹣10x+1200．
（2）设销售利润为W元
W＝（x﹣40）（﹣10x+1200）
＝﹣10x2+1600x﹣48000
＝﹣10（x﹣80）2+16000
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝80时，W ＝16000，
max
答：销商店销售该商品每天获得的最大利润是16000元．
（3）当W＝13750时，
﹣10（x﹣80）2+16000＝13750，
解得：x ＝65，x ＝95，
1 2
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴W≥13750时解集为：65≤x≤95，
由每天的总成本不超过20000元，
得40（﹣10x+1200）≤20000，
解得：x≥70，
∴70≤x≤95，
答：销售单价应该控制在70元至95元之间．
3．（2023秋•新洲区期中）某网店销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，
且不高于32元．试销售期间发现，当销售单价定为 40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1
元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售．设销售单价为x元，每天销售量为y件．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当销售单价是多少元时，网店每天获利8360元？
（3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元（4＜a≤8）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润
为7280元，求a的值．
【分析】（1）根据原销售件数减去减少的件数即为所求；
（2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出方程，解方程确定x的值；
（3）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数解析式，再根据函数的性质以及最大利润为7280元列方程，求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，y＝500﹣10（x﹣40）＝﹣10x+900，
∵每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于32元，
∴自变量x的取值范围是40≤x≤62，
∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x+900（40≤x≤62）；
（2）依题意得：（x﹣30）（﹣10x+900）＝8360，
∴x ＝52，x ＝68，
1 2
∵40≤x≤62，
∴x＝52，
即：当销售单价是52元时，网店每天获利8360元；
（3）设利润为w元，
w＝（x﹣30﹣a）（﹣10x+900）＝﹣10x2+（1200+10a）x﹣900（30+a），
1200+10a 1
对称轴为：x=− =60+ a，
−20 2
∵4＜a≤8，
1
∴62＜60+ ≤64，
2
∵40≤x≤62，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝62时，w ＝7280，
max
∴（62﹣30﹣a）（﹣620+900）＝7280，
∴a＝6．
4．（2023秋•天门期中）某超市销售一种成本为30元/千克的食品，设第x天的销售量为n千克，销售价
格为y元/千克，现已知以下条件：①y与x满足一次函数关系，且当x＝10时，y＝50；当x＝20时，y
＝45；②n与x的关系式为n＝6x+60．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设每天的销售利润为W元，在整个销售过程中，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该超市把销售价格在当天的基础提高 a元/千克（a为整数），那么在前30天（包含第30
天）每天的销售利润随x的增大而增大，求a的最小值．
【分析】（1）设出一次函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据利润＝每千克利润×销售量列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值；
（3）根据利润＝每千克利润×销售量列出函数关系式，求出函数对称轴，再根据在前30天（包含第30天）每天的销售利润随x的增大而增大得出对称轴大于等于30，从而得出结论．
【解答】解：（1）由题意可设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
∵当x＝10时，y＝50；当x＝20时，y＝45，
{10k+b=50)
∴ ，
20k+b=45
{ k=− 1 )
解得： 2 ，
b=55
1
∴y与x的函数关系式为y=− x+55；
2
（2）由题意，得
W＝（y﹣30）n
1
＝（− x+55﹣30）（6x+60）
2
＝﹣3x2+120x+1500
＝﹣3（x﹣20）2+2700，
∵﹣3＜0，
∴当x＝20时，W有最大值，最大值为2700，
∴第20天的销售利润最大，最大利润是2700元；
（3）∵销售价格在当天的基础提高a元/千克，
1
∴W＝（y﹣30+a）n＝（− x+25+a）（6x+60）＝﹣3x2+（120+6a）x+1500+60a，
2
120+6a
∴对称轴为直线x =− = 20+a，
2×(−3)
∵在前30天（包含第30天）每天的销售利润随x的增大而增大，﹣3＜0，
∴20+a＞29.5，
解得：a＞9.5，
∴a的最小值为10．
5．（2023•武汉模拟）某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种农产品后，分成A，B两类（A类直接销
售，B类深加工后再销售），并全部售出．
A类农产品的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13．
B类农产品深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，销售
价格为9万元/吨．注：总利润＝总售价﹣总成本（1）设其中A类农产品有x吨，用含x的代数式表示下列各量．
①B类农产品有 吨；
②A类农产品所获得总利润为 万元；
③B类农产品所获得总利润为 万元．
（2）若两类农产品获得总利润和为30万元，问A，B两类农产品各有多少吨？
（3）直接写出两类农产品获得总利润和的最大值．
【分析】（1）①根据题意可得答案；
②根据总利润＝每吨的利润×数量可得答案；
③根据总利润＝总售价﹣总费用可得答案；
（2）根据题意列出方程，（﹣x2+10x）+（﹣3x+48）＝30，解方程可得答案；
（3）设两类农产品总利润的和为w万元，得出w关于x的关系式，再根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）①B类产品有（20﹣x）吨；
故答案为：（20﹣x）；
②A类农产品所获得总利润为（﹣x+13﹣3）x＝﹣x2+10x，
故答案为：（﹣x2+10x）；
③B类农产品所获得总利润为（9﹣3）（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝﹣3x+48，
故答案为：（﹣3x+48）；
（2）由题意得，（﹣x2+10x）+（﹣3x+48）＝30，
解得x ＝9，x ＝﹣2（舍去），
1 2
20﹣x＝11，
答：A类农产品有9吨，B类农产品有11吨；
（3）设两类农产品总利润的和为w万元，
则w＝（﹣x2+10x）+（﹣3x+48）＝﹣x2+7x+48＝﹣（x﹣3.5）2+60.25，
答：两类农产品总利润的和的最大值是60.25万元．
6．（2024•市南区三模）2015年年初，南方草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3万元/吨
的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类
草莓的包装成本为1万元/吨，当甲类草莓的销售量x＜8吨时，它的平均销售价格y＝﹣x+14，当甲类
草莓的销售量x≥8吨时，它的平均销售价格为6万元/吨；乙类草莓深加工总费用s（单位：万元）与加
工数量t（单位：吨）之间的函数关系为s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）某次该公司收购了20吨的草莓，其中甲类草莓有x吨，经营这批草莓所获得的总利润为w万元；
①求w与x之间的函数关系式；②若该公司获得了30万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？
（2）在某次收购中，该公司准备投入100万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总
利润，并求出最大的总利润．
【分析】（1）①当0≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营
总成本＝w +w ﹣3×20；
A B
②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类草梅的数量；
（2）本问是方案设计问题，总投入为100万元，这笔100万元包括购买草莓的费用+A类草梅加工成本
+B类草莓加工成本．共购买了m吨草莓，其中A类草莓为x吨，B类草莓为（m﹣x）吨，分别求出当
2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．
【解答】解：（1）①设销售A类草莓x吨，则销售B类草莓（20﹣x）吨．
①当0≤x＜8时，
w ＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；
A
w ＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x
B
∴w＝w +w ﹣3×20
A B
＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x2+7x+48；
当x≥8时，
w ＝6x﹣x＝5x；
A
w ＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x
B
∴w＝w +w ﹣3×20
A B
＝（5x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x+48．
∴w关于x的函数关系式为：
{−x2+7x+48(2≤x＜8))
w= ．
−x+48(x≥8)
②当0≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x ＝9，x ＝﹣2，均不合题意；
1 2
当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．
∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类草莓有18吨．
（2）设投入资金后甲类分到收购的草莓为x吨，乙类为y吨，
总投入为3（x+y）+x+12+3y＝100，即：2x+3y＝44，
44−2x
当x＜8时总利润为w＝（﹣x+14）x+9× −100＝﹣x2+8x+32＝﹣（x﹣4）2+48，
3
当x＝4时，取到最大值48；
44−2x
当x≥8时，总利润w＝6x+9× −100＝32为常数，
3
故方案为收购16吨，甲类分配4吨，乙类分配12吨，总收益为48万元．
【类型5 点的运动与变速滑行】
1．（2024•沂南县二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间
的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛
出 秒时，两个小球在空中的高度相同．
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相
同．
【解答】解：∵h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∴该函数的对称轴是直线t＝3，
∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同，
∴第二个小球抛出3﹣0.5＝2.5秒时，两个小球在空中的高度相同，
故答案为：2.5．
2．（2023秋•江岸区校级月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t
（秒）之间关系是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动5秒共运动的路径长是 米．
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动5秒共运动的
路径长，本题得以解决．
【解答】解：∵h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45（0≤t≤6），
当t＝3时，h取得最大值，此时h＝45，
当t＝5时，h＝25，
∴小球从抛出后运动5秒共运动的路径长是：45+（45﹣25）＝65（米），
故答案为：65．
3．（2023秋•江夏区校级月考）已知飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的
函数解析式是s＝80t﹣2.5t2，则飞机着陆后滑行 米才能停下来．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．
5
【解答】解：∵s＝80t﹣2.5t2=− （t﹣16）2+640，
2∴当t＝16时，s取得最大值640，即飞机着陆后滑行640米才能停下来，
故答案为：640．
4．（2023秋•广饶县期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式
3
是y＝60t− t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是 s．
2
【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围，然
后解方程即可得到结论．
【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当y＝600﹣150＝450时，
3
即60t− t2＝450，
2
解得：t＝10，t＝30（不合题意舍去），
∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10＝10，
故答案为：10．
5．（2023秋•思明区校级期中）如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，滑雪者在滑坡
上滑行的距离y （单位：m）和滑行时间t （单位s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
1 1
滑行时间t /s 0 1 2 3 4
1
滑行距离y /s 0 4.5 14 28.5 48
1
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y （单位：m）和滑行时间t （单位：s）满足：y ＝52t ﹣2t 2，滑雪者从
2 2 2 2 2
A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s．
（1）求y 和t 满足的二次函数解析式；
1 1
（2）求滑坡AB的长度．
【分析】（1）设y ＝at❑ 2+bt ，把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析即可求解；
1 1 1（2）y ＝52t﹣2t2，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下，求出t值，即可求解．
2
【解答】解：（1）设y ＝at❑ 2+bt ，
1 1 1
{ 4.5=a+b )
把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析式得， ，
14=4a+2b
{a=2.5)
解得： ，
b=2
∴二次函数解析式为：y ＝2.5t 2+2t …①；
1 1 1
（2）y ＝52t﹣2t2，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下，
2
b
此时，t=− =13，
2a
则：滑雪者在AB段用的时间为23﹣13＝10，
把t＝10代入①式，
解得：则AB＝y ＝270（米），
1
答：滑坡AB的长度270m．
6．（2023秋•通榆县校级月考）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，
此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：
cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表：
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二
次函数关系．
运动时间t（s） 0 1 2 3 4
运动速度v（cm/s） 10 9.5 9 8.5 8
运动距离y（cm） 0 9.75 19 27.75 36
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，则黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
【分析】（1）设 v＝mt+n，代入（0，10），（2，9），利用待定系数法可求出 m 和 n；设 y＝
at2+bt+c，代入（0，0），（2，19），（4，36），利用待定系数法求解即可；（2）令y＝64，代入（1）中关系式，可先求出t，再求出v的值即可；
（3）设黑白两球的距离为w cm，根据题意可知w＝70+2t﹣y，化简，再利用二次函数的性质可得出结
论．
【解答】解：（1）设v关于t的函数解析式为v＝mt+n，
将（0，10），（2，9）代入v＝mt+n中，
{ n=10 )
得 ，
2m+n=9
{ m=− 1 )
解得， 2 ，
n=10
1
∴v关于t的函数解析式为v=− t+10；
2
设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c，
将（0，0），（2，19），（4，36）代入y＝at2+bt+c中，
{
c=0
)
得 4a+2b+c=19 ，
16a+4b+c=36
1
{ a=− )
4
解得 ，
b=10
c=0
1
∴y关于t的函数解析式为y=− t2+10t；
4
1
（2）令y＝64，即− t2+10t＝64，
4
解得t＝8或t＝32，
当t＝8时，v＝6；
当t＝32时，v＝﹣6（舍），
∴黑球运动的速度为6cm/s；
（3）设黑白两球的距离为w cm，
根据题意可知，w＝70+2t﹣y
1
= t2﹣8t+70
4
1
= （t﹣16）2+6，
41
∵ ＞0，
4
∴当t＝16时，w的最小值为6，
∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．
【类型6 分段函数】
1．（2023秋•硚口区期末）有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到 100℃
时，自动停止加热，随后转入冷却阶段，当水温降至 60℃时，热水壶又自动加热，…，重复上述过
程；若在冷却过程中，按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到100℃后，又重复上述程序，如图
是常规模式下，冷却、加热过程中水温y（℃）与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线
的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段BC表示加热过程．
（1）直接写出抛物线AB段，线段BC分别对应的函数解析式；
（2）从100℃开始冷却，其间按下“再沸腾”键，马上加热到100℃，
①若按下“再沸腾”键时，水温是82.5℃，求该冷却、加热过程一共所用时间；
②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min，直接写出按下“再沸腾”键时的水温．
【分析】（1）依据题意，运用待定系数法即可得解；
（2）①依据题意，结合（1）函数解析式分别求出从100℃冷却到82.5℃所用时间、从82.5℃加热到
100℃所用时间进而计算可以得解；
②依据题意，设按下“再沸腾”键时已冷却了a（min）（0＜a＜40），从而再加热到100℃用了（26
1
﹣a）min，则按下“再沸腾”键时的水温可以表示为[ （a﹣40）2+60]℃，也可以表示为{5[48﹣（26
40
1
﹣a）]﹣140}℃，故可得方程 （a﹣40）2+60＝5[48﹣（26﹣a）]﹣140，最后计算可以得解．
40
【解答】解：（1）由题意，AB段抛物线的顶点为B（40，60），∴可设抛物线为y＝a（x﹣40）2+60．
又抛物线过点A（0，100），
∴1600a+60＝100．
1
∴a= ．
40
1
∴抛物线AB为y= （x﹣40）2+60（0≤x≤40）．
40
由题意，设BC为y＝kx+b，
又B（40，60），C（48，100），
{40k+b=60
)
∴ ．
48k+b=100
{ k=5 )
∴ ．
b=−140
∴BC为y＝5x﹣140（40＜x≤48）．
（2）①若按下“再沸腾”键时，水温是82.5℃，
1
∴82.5= （x﹣40）2+60．
40
∴x ＝10，x ＝70（不合题意，舍去）．
1 2
∴冷却过程所用时间为10min．
又对于函数y＝5x﹣140，
令y＝82.5，
∴x＝44.5．
∴48﹣44.5＝3.5（min）．
∴加热过程所用时间为3.5min．
∴该冷却、加热过程一共所用时间为：10+3.5＝13.5（min）．
②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min，
∴该冷却、加热过程一共所用时间为：48﹣22＝26（min）．
设按下“再沸腾”键时已冷却了a（min）（0＜a＜40），
∴再加热到100℃用了（26﹣a）min．
1
∴按下“再沸腾”键时的水温可以表示为[ （a﹣40）2+60]℃，也可以表示为{5[48﹣（26﹣a）]﹣
40
140}℃．1
∴ （a﹣40）2+60＝5[48﹣（26﹣a）]﹣140．
40
∴a ＝20，a ＝260（不合题意，舍去）．
1 2
1
∴ （20﹣40）2+60＝70．
40
∴按下“再沸腾”键时的水温为70℃．
2．（2023秋•江岸区期中）某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第 x天的
成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第x天该产品
的销售量z（件）与x（天）满足关系式z＝x+10．
（1）第5天，该商家获得的利润是 元；第40天，该商家获得的利润是 元；
（2）设第x天该商家出售该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有 天？（直接填写结果）
【分析】（1）根据已知条件的第5天和第40天时的成本和销售量，则可求得第5天和第40天的利润．
（2）①利用每件利润×总销量＝总利润，分情况求出函数最值即可；
②把w＝1125分别代入w＝30x+300和w＝﹣（x﹣25）2+1225中，求出x即可．
【解答】解：（1）当x＝5时，z＝5+10＝15，y＝50，
∴该商家获得的利润是（80﹣50）×15＝450（元）；
当x＝40时，z＝40+10＝50，
设直线BC的关系为y＝kx+b，
{30k+b=50)
∴ ，
50k+b=70
{k=1
)
∴ ，
b=20
∴y＝x+20，
则第40天的利润为：（80﹣60）×50＝1000（元）．故答案为：450，1000；
（2）①当0≤x≤30时，
w＝（80﹣50）（x+10）＝30x+300，
当x＝30时，w最大 ＝1200元；
当30＜x≤50时，
w＝[80﹣x﹣20）]（x+10）
＝﹣x2+50x+600
＝﹣（x﹣25）2+1225，
∵﹣1＜0，30＜x≤50，且x为正整数，
∴当x＝31时，w最大值 ＝1189．
综上所述，第30天的利润最大，最大利润为1200元；
②当0≤x≤30时，
若w＝1125，则30x+300＝1125，
解得x＝27.5，
∵x为正整数，
∴第28天至30天的利润都不低于1125元；
当30＜x≤50时，
令﹣（x﹣25）2+1225＝1125，
解得x ＝35，x ＝15（不合题意舍去），
1 2
∴第31天至35天的利润都不低于1125元，
此时，当天利润不低于1125元的天数为8天．
故答案为：8．
3．（2024•郾城区一模）某医院在偏远山区组织了一次免费体检活动，包含血常规检查，当天早上居民陆
续到抽血点排队，设置了6个采样速度相同的抽血窗口，并在上午8点半开始抽血，10点整之后不再有
新增的排队居民．医护志愿者小聪就排队采样的时间和排队人数进行了统计，列表如表：
时间x/分钟 0 15 30 45 75 90 95 100 110
排队人数y/人 60 115 160 195 235 240 180 120 0
小聪把表格中的数据在平面直角坐标系中描点连线，得到如图所示的函数图象．在 0～90分钟，y是x
的二次函数（点M是其图象的顶点），在90～110分钟，y是x的一次函数．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若排队人数不少于220人，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续了多少分钟？【分析】（1）依据题意，由M点的坐标（90，240），可设二次函数解析式为：y＝a（x﹣90）2+240，
再将（0，60）代入二次函数解析式中进行计算即可得解；设在90～110分钟，一次函数的解析式为：y
＝kx+b，将（90，240），（110，0）代入计算可得一次函数的解析式；
（2）依据题意，利用待定系数法将一次函数解析式求出来，然后将y＝220分别代入两个函数求出x，
相减即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意，∵顶点M（90，240），
∴可设二次函数解析式为：y＝a（x﹣90）2+240．
又抛物线过A（0，60），
∴60＝a×902+240．
1
∴a=− ，
45
1
∴在0～90分钟，二次函数解析式为：y=− x2+4x+60；
45
由题意，设在90～110分钟，一次函数的解析式为：y＝kx+b，
将（90，240），（110，0）代入得，
{90k+b=240)
110k+b=0
∴k＝﹣12，b＝1320．
∴在90～110分钟，一次函数的解析式为：y＝﹣12x+1320．
1
将y＝220代入y=− x2+4x+60中，
45
∴x＝60或x＝120（舍去）．
将y＝220代入y＝﹣12x+1320中，
275
解得：x= ．
3275 95
∵ −60 = ，
3 3
95
∴满负荷状态的时间为 分．
3
4．（2024•无为市模拟）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服
装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价y（元）与月份x的函数关系如
5
图所示，该服装每件的进价z（元）与月份x的关系为z=− x2+12x+60．
3
（1）①求y与x之间的函数关系式；
②第3个月每件服装的利润是多少？
（2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），当0≤x≤5时，由图象上点的坐标，
利用待定系数法，可求出y与x之间的函数关系式；当5＜x≤10时，观察函数图象，可知y＝150；
②利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，可求出当x＝3时，y，z的值，
再将其代入y﹣z中，即可求出结论；
（2）设每个月的利润为w元，利用总利润＝每件的利润×月销售量，可得出w关于x的函数关系式，再
利用二次函数的性质，可求出当0≤x≤5及5＜x≤10时w的最大值，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．
{ b=100 )
当0≤x≤5时，将（0，100），（5，150）代入y＝kx+b得： ，
5k+b=150
{k=10
)
解得： ，
b=100
∴此时y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
当5＜x≤10时，y＝150．
{10x+100(0≤x≤5))
综上所述，y与x之间的函数关系式为y = ；
150(5＜x≤10)5
②当x＝3时，y＝10×3+100＝130，z=− ×32+12×3+60＝81，
3
∴y﹣z＝130﹣81＝49，
∴第3个月每件服装的利润是49元；
（2）设每个月的利润为w元，则w＝120（y﹣z），
{ 200x2−240x+4800(0≤x≤5) )
∴w= ．
200x2−1440x+10800(5＜x≤10)
当0≤x≤5时，w＝200x2﹣240x+4800，
即w＝200（x﹣0.6）2+4728，
∵200＞0，
∴当x＝5时，w取得最大值，最大值＝200×（5﹣0.6）2+4728＝8600；
当5＜x≤10时，w＝200x2﹣1440x+10800，
即w＝200（x﹣3.6）2+8208，
∵200＞0，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值＝200×（10﹣3.6）2+8208＝16400．
∵8600＜16400，
∴第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元．
5．（2024•新吴区二模）某服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销
售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期 30天的跟踪调查，其中实体商店的
1
日销售量y（百件）与时间（t为整数，单位：天）的函数关系为：y =− t2+6t，网上商店的日销售
1 5
量（百件）与时间（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．
（1）求y 与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
2
（2）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系
式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．【分析】（1）当0≤t≤10时，设y ＝kt，求得y 与t的函数关系式为：y ＝4t，当10≤t≤30时，设y
2 2 2 2
＝mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y 与t的函数关系式为：y ＝t+30，
2 2
（2）依题意得y＝y
1
+y
2
，当0≤t≤10时，得到y最大 ＝80；当10＜t≤30时，得到y最大 ＝91.2，于是得
到结论．
【解答】解：（1）当0≤t≤10时，设y ＝kt，
2
∵（10，40）在其图象上，
∴10k＝40，
∴k＝4，
∴y 与t的函数关系式为：y ＝4t，
2 2
当10≤t≤30时，设y ＝mt+n，
2
{10m+n=40)
将（10，40），（30，60）代入得 ，
30m+n=60
{m=1)
解得 ，
n=30
∴y 与t的函数关系式为：y ＝t+30，
2 2
{ 4t(0≤t≤10且为整数) )
综上所述，y 与t的函数关系式为y = ；
2 2 t+30(10＜t≤30且为整数)
1 1 1
（2）依题意得y＝y +y ，当0≤t≤10时，y=− t2+6t+4t=− t2+10t=− （t﹣25）2+125，
1 2 5 5 5
∴t＝10时，y最大 ＝80；
1 1 1 35 365
当10＜t≤30时，y=− t2+6t+t+30=− t2+7t+30=− （t− ）2+ ，
5 5 5 2 4
∵t为整数，
∴t＝17或18时，y最大 ＝91.2，∵91.2＞80，
∴当t＝17或18时，日销售总量y达到最大，最大值为91.2百件．
