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专题 4.11 因式分解计算必考五大类型（100 题）
【人教版】
【类型1 提公因式法·20题】....................................................................................................................................1
【类型2 公式法·20题】............................................................................................................................................7
【类型3 提公因式法与公式法综合运用·20题】.................................................................................................12
【类型4 分组分解法·20题】..................................................................................................................................18
【类型5 十字相乘法·20题】..................................................................................................................................23
【类型1 提公因式法·20题】
1．（2024春•大荔县期末）因式分解：9（m+n）2﹣3（m﹣n）（m+n）．
【分析】先提取公因式3（m+n），合并后再提取公因式2即可得出答案．
【解答】解：原式＝3（m+n）[3（m+n）﹣（m﹣n）]
＝3（m+n）（2m+4n）
＝6（m+n）（m+2n）．
2．（2023秋•闵行区校级期中）因式分解：ab（a﹣b）2﹣b（a﹣b）．
【分析】把ab（a﹣b）2﹣b（a﹣b）提公因式，即可作答．
【解答】解：ab（a﹣b）2﹣b（a﹣b）
＝b（a﹣b）[a（a﹣b）﹣1]
＝b（a﹣b）（a2﹣ab﹣1）．
3．（2024秋•宝山区校级期中）﹣15a3b2+9a2b2﹣3ab3．
【分析】先提公因式＝﹣3ab2即可．
【解答】解：﹣15a3b2+9a2b2﹣3ab3＝﹣3ab2（5a2﹣3a+b）．
4．（2024秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．
【分析】原式变形可得a2（a+2b）+2ab（a+2b），再提公因式a（a+2b）因式分解即可．
【解答】解：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）
＝a2（a+2b）+2ab（a+2b）
＝a（a+2b）（a+2b）
＝a（a+2b）2．5．（2023秋•泸县校级期末）因式分解：（2x﹣y）（x+3y）﹣（2x+3y）（y﹣2x）．
【分析】将原式变形后利用提公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式＝（2x﹣y）（x+3y）+（2x+3y）（2x﹣y）
＝（2x﹣y）[（x+3y）+（2x+3y）]
＝（2x﹣y）（x+3y+2x+3y）
＝（2x﹣y）（3x+6y）
＝3（2x﹣y）（x+2y）．
6．（2024秋•长宁区校级期中）分解因式：6（x+y）2+2（y﹣x）（x+y）．
【分析】提取公因式2（x+y），然后将括号内整理即可．
【解答】解：原式＝2（x+y）[3（x+y）+（y﹣x）]
＝2（x+y）（2x+4y）
＝4（x+y）（x+2y）．
1
7．（2024秋•青浦区期中）因式分解： x3y2 (2a−b) 2−5x2y3 (b−2a) 2 ．
3
【分析】用提公因式法分解因式即可．
1
【解答】解： x3y2 (2a−b) 2−5x2y3 (b−2a) 2
3
1
= x3y2 (2a−b) 2−5x2y3 (2a−b) 2
3
1
= x2y2 (2a−b) 2 (x−15 y)．
3
8．（2024秋•黄浦区期中）因式分解：4（a﹣b）（2a﹣3b）+（3b﹣2a）b2．
【分析】提公因式即可解答．
【解答】解：原式＝4（a﹣b）（2a﹣3b）﹣（2a﹣3b）b2
＝（2a﹣3b）（4a﹣4b﹣b2）．
9．（2024春•凌河区校级期中）因式分解：
（1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z．
（2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3．
【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）利用提公因式法因式分解即可．
【解答】解：（1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z＝4xy2（xy+2xz﹣3z）；
（2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3＝5x（x﹣2y）3+20y（x﹣2y）3
＝5（x﹣2y）3（x+4y）．
10．（2024春•工业园区校级期末）因式分解：
（1）3x2﹣6x+12xy；
（2）（x﹣y）3+4x（x﹣y）2．
【分析】（1）提公因式3x，即可求解；
（2）提公因式（x﹣y）2，即可求解．
【解答】解：（1）3x2﹣6x+12xy
＝3x（x﹣2+4y）；
（2）（x﹣y）3+4x（x﹣y）2
＝（x﹣y）2（x﹣y+4x）
＝（x﹣y）2（5x﹣y）．
11．（2024春•莘县期末）把下列各式进行因式分解：
（1）﹣2x2+4x﹣8
（2）2a（a﹣b）+8a3（b﹣a）
【分析】（1）运用提取公因式法分解即可；
（2）先提取公因式，再套用公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2（x2﹣2x+4）；
（2）原式＝2a（a﹣b）﹣8a3（a﹣b）
＝2a（a﹣b）（1﹣4a2）
＝2a（a﹣b）（1﹣2a）（1+2a）．
12．（2024春•西安校级月考）因式分解：
（1）8m2n+2mn；
（2）xy（x﹣y）﹣x（y﹣x）2．
【分析】（1）直接提取公因式即可得到答案；
（2）直接提取公因式即可得到答案．
【解答】解：（1）原式＝2mn（4m+1）
（2）原式＝x（x﹣y）（y﹣x+y）
＝x（x﹣y）（2y﹣x）．
13．（2024春•永定区期中）把下列各式分解因式：
（1）24a2b﹣18ab2；（2）m（a﹣3）+2m2（3﹣a）．
【分析】（1）利用提取公因式法分解因式即可；
（2）利用提取公因式法分解因式即可．
【解答】解：（1）24a2b﹣18ab2＝6ab（4a﹣3b）；
（2）m（a﹣3）+2m2（3﹣a）
＝m（a﹣3）﹣2m2（a﹣3）
＝m（a﹣3）（1﹣2m）．
14．（2023春•凌河区校级期中）因式分解：
（1）2（a﹣b）2+4（b﹣a）；
（2）（2x+1）（3x﹣2）﹣（2x+1）2．
【分析】（1）先将原式变形为2（a﹣b）2﹣4（a﹣b），再提取公因式即可；
（2）利用提取公因式法分解因式即可．
【解答】解：（1）2（a﹣b）2+4（b﹣a）
＝2（a﹣b）2﹣4（a﹣b）
＝2（a﹣b）（a﹣b﹣2）；
（2）（2x+1）（3x﹣2）﹣（2x+1）2
＝（2x+1）（3x﹣2﹣2x﹣1）
＝（2x+1）（x﹣3）．
15．（2024秋•烟台期末）分解因式：
（1）a2（x﹣y）﹣4（y﹣x）；
（2）4（x+2）（x﹣3）+25．
【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可；
（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝a2（x﹣y）+4（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2+4）；
（2）原式＝4x2﹣4x﹣24+25
＝4x2﹣4x+1
＝（2x）2﹣2•2x•1+12
＝（2x﹣1）2．
16．（2024秋•惠阳区校级月考）把下列各式因式分解：
（1）（x﹣y）2+（y﹣x）3；（2）ab（3x﹣y）+ac（y﹣3x）﹣ad（y﹣3x）．
【分析】（1）直接利用提取公因式法提取公因式（x﹣y）2，即可得到答案；
（2）直接利用提取公因式法提取公因式a（3x﹣y），即可得到答案．
【解答】解：（1）（x﹣y）2+（y﹣x）3
＝（x﹣y）2+（y﹣x）2⋅（y﹣x）
＝（x﹣y）2+（x﹣y）2⋅（y﹣x）
＝（x﹣y）2[1+（y﹣x）]
＝（x﹣y）2（1﹣x+y）；
（2）ab（3x﹣y）+ac（y﹣3x）﹣ad（y﹣3x）
＝ab（3x﹣y）﹣ac（3x﹣y）+ad（3x﹣y）
＝a（3x﹣y）（b﹣c+d）．
17．（2024春•乐安县期中）分解因式：
（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）利用提公因式法，进行分解即可解答．
【解答】解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）
＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（a+b）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）]
＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y）
＝﹣2xy（x+y）．
18．（2024春•娄底期中）因式分解：
（1）9abc﹣6a2b2+12abc2．
（2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）．
【分析】（1）直接找出公因式3ab，进而提取公因式得出答案；
（2）直接将原式变形找出公因式3x（x﹣y），进而提取公因式分解因式即可．
【解答】解：（1）9abc﹣6a2b2+12abc2
＝3ab（3c﹣2ab+4c2）；（2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）
＝3x2（x﹣y）﹣6x（x﹣y）
＝3x（x﹣y）（x﹣2）．
19．（2024秋•梅里斯区期末）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先利用相反数把（b﹣a）转化为（a﹣b），再提取公因式．
【解答】解：（1）原式＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2；
（2）原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）
＝3（a﹣b）（x+2y）．
20．（2024春•肃州区校级期中）把下列各式分解因式：
（1）﹣8a3b2+6ab3c；
（2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）．
【分析】（1）提取公因式﹣2ab2分解因式即可；
（2）提取公因式（x﹣y）分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2ab2（4a2﹣3bc）；
（2）原式＝（x﹣y）[x（x﹣y）+y]＝（x﹣y）（x2﹣xy+y）．
【类型2 公式法·20题】
1．（2024秋•浦东新区校级期中）因式分解：81a4﹣16．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（9a2）2﹣42
＝（9a2+4）（9a2﹣4）
＝（9a2+4）（3a+2）（3a﹣2）．
2．（2024秋•西宁期末）分解因式：x4﹣2x2y2+y4．
【分析】首先利用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x4﹣2x2y2+y4
＝（x2﹣y2）2
＝（x﹣y）2（x+y）2．
3．（2024春•神木市期末）分解因式：（a2+4）2﹣16a2．【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）
＝（a+2）2（a﹣2）2．
4．（2024秋•虹口区校级月考）分解因式：（5m2﹣2n2）2﹣（2m2﹣5n2）2．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：（5m2﹣2n2）2﹣（2m2﹣5n2）2
＝[（5m2﹣2n2）+（2m2﹣5n2）][（5m2﹣2n2）﹣（2m2﹣5n2）]
＝（7m2﹣7n2）（3m2+3n2）
＝21（m﹣n）（m+n）（m2+n2）．
5．（2024秋•宝山区期中）因式分解：（2x﹣y）2+4（2x﹣y）+4．
【分析】把2x﹣y看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（2x﹣y）2+4（2x﹣y）+4＝（2x﹣y+2）2．
6．（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：（m2+16n2﹣9mn）2﹣m2n2．
【分析】先利用平方差公式分解因式，然后根据十字相乘法和完全平方公式即可求解．
【解答】解：原式＝（m2+16n2﹣9mn）2﹣（mn）2，
＝（m2+16n2﹣9mn+mn）（m2+16n2﹣9mn﹣mn），
＝（m2﹣8mn+16n2）（m2﹣10mn+16n2），
＝（m﹣4n）2（m﹣2n）（m﹣8n）．
7．（2024秋•松江区期中）因式分解：（3a+2b）2﹣2（a+b）（3a+2b）+（a+b）2．
【分析】用完全平方公式继续分解即可解答
【解答】解：原式＝[（3a+2b）﹣（a+b）]2
＝（2a+b）2．
8．（2024秋•奉贤区期中）分解因式：（x2﹣5x）2﹣12（x2﹣5x）+36．
【分析】先利用完全平方公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：（x2﹣5x）2﹣12（x2﹣5x）+36
＝（x2﹣5x﹣6）2
＝[（x+1）（x﹣6）]2
＝（x+1）2（x﹣6）2．
9．（2024秋•杨浦区期中）分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2．
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2．
10．（2024秋•静安区期中）分解因式：（4a+b）2﹣4（a+b）2．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：（4a+b）2﹣4（a+b）2
＝（4a+b）2﹣（2a+2b）2
＝（4a+b+2a+2b）（4a+b﹣2a﹣2b）
＝（6a+3b）（2a﹣b）
＝3（2a+b）（2a﹣b）．
11．（2024秋•黄浦区期中）因式分解：（a2﹣4a）2+8（a2﹣4a）+16．
【分析】根据（a±b）2＝a2±2ab+b2，即可解答．
【解答】解：（a2﹣4a）2+8（a2﹣4a）+16
＝（a2﹣4a+4）2
＝[（a﹣2）2]2
＝（a﹣2）4．
12．（2024春•泰兴市月考）将下列各式分解因式：
①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）；
②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9．
【分析】①先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
②先进行变形，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2﹣16）
＝（x﹣1）（x+4）（x﹣4）；
②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9
＝（m﹣n）2+6（m﹣n）+9
＝（m﹣n+3）2．
13．（2024春•盐城期中）因式分解
（1）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2；
（2）x4﹣8x2y2+16y4．
【分析】（1）先根据平方差公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2
＝（x2﹣2y+1﹣2y）（x2﹣2y﹣1+2y）
＝（x2﹣4y+1）（x2﹣1）
＝（x2﹣4y+1）（x﹣1）（x+1）；
（2）x4﹣8x2y2+16y4
＝（x2﹣4y2）2
＝[（x+2y）（x﹣2y）]2
＝（x+2y）2（x﹣2y）2．
14．（2023秋•兰山区校级月考）把下列各式分解因式：
（1）（a2﹣4）2+6（a2﹣4）+9；
（2）（x2+16y2）2﹣64x2y2．
【分析】（1）将（a2﹣4）作为整体，根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解，即可求解；
（2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解，即可求解．
【解答】解：（1）（a2﹣4）2+6（a2﹣4）+9
原式＝（a2﹣4+3）2
＝（a2﹣1）2
＝（a+1）2（a﹣1）2
（2）（x2+16y2）2﹣64x2y2
＝（x2+16y2）2﹣（8xy）2
＝（x2+8xy+16y2）（x2﹣8xy+16y2）
＝（x+4y）2（x﹣4y）2．
15．（2023春•振兴区校级期中）因式分解
（1）（m2+4）2﹣16m2
（2）（x2+6x）2+18（x2+6x）+81
【分析】（1）先根据平方差公式，再根据完全平方公式进行计算即可；
（2）根据将x2+6x看作一个整体，再根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（m2+4+4m）（m2+4﹣4m）
＝（m+2）2（m﹣2）2；
（2）设m＝x2+6x，则
原式＝m2+18m+81
＝（m+9）2＝（x2+6x+9）2
＝（x+3）4．
16．（2023春•射阳县校级期中）将下列各式分解因式：
（1）9x2﹣25；
（2）x4y4﹣8x2y2+16．
【分析】（1）直接利用平方差公式分解即可；
（2）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：（1）9x2﹣25＝（3x+5）（3x﹣5）；
（2）x4y4﹣8x2y2+16
＝（x2y2﹣4）2
＝（xy﹣2）2（xy+2）2．
17．（2023春•邵阳县期末）因式分解：
（1）4x2y2﹣（x2+y2）2；
（2）（x2﹣x）2﹣（1﹣x）2．
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式，再结合完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用平方差公式分解因式，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）4x2y2﹣（x2+y2）2
＝（2xy）2﹣（x2+y2）2
＝（2xy+x2+y2）（2xy﹣x2﹣y2）
＝﹣（x+y）2（x﹣y）2；
（2）（x2﹣x）2﹣（1﹣x）2
＝（x2﹣x+1﹣x）（x2﹣x﹣1+x）
＝（x2﹣2x+1）（x2﹣1）
＝（x﹣1）2（x+1）（x﹣1）
＝（x﹣1）3（x+1）．
18．（2024秋•环翠区期中）将下列多项式进行因式分解：
（1）81（a+b）2﹣4（a﹣b）2；
1
（2）(x+3)(x+4)+ ．
4
【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先进行多项式乘多项式的运算，化简后利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：（1）原式＝[9（a+b）+2（a﹣b）][9（a+b）﹣2（a﹣b）2]
＝（9a+9b+2a﹣2b）（9a+9b﹣2a+2b）
＝（11a+7b）（7a+11b）；
1
（2）原式=x2+7x+12+
4
49
=x2+7x+
4
7 2
=(x+ ) ．
2
19．（2024春•东安县校级期中）因式分解：
（1）﹣4x2+12xy﹣9y2；
（2）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2．
【分析】（1）先提取﹣号，再套用完全平方公式分解即可；
（2）把（y﹣x）看作一个整体，直接套用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）﹣4x2+12xy﹣9y2
＝﹣（4x2﹣12xy+9y2）
＝﹣（2x+3y）2；
（2）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2
＝[2﹣3（y﹣x）]2
＝（2﹣3y+3x）2．
20．（2024秋•新泰市校级月考）因式分解：
（1）（a2+1）2﹣4a2．
（2）9x2﹣6x（x+2y）+（x+2y）2．
【分析】（1）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）
＝（a+1）2（a﹣1）2；
（2）原式＝（3x）2﹣2•3x（x+2y）+（x+2y）2
＝（3x﹣x﹣2y）2
＝（2x﹣2y）2
＝4（x﹣y）2．【类型3 提公因式法与公式法综合运用·20题】
1．（2023秋•宝山区校级期中）分解因式：﹣3a3b3+6a2b2﹣3ab．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣3ab（a2b2﹣2ab+1）
＝﹣3ab（ab﹣1）2．
2．（2024秋•北京期中）因式分解：x3y﹣4xy3．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：x3y﹣4xy3
＝xy（x2﹣4y2）
＝xy（x+2y）（x﹣2y）．
3．（2024春•西安期末）因式分解：2a（a﹣b）+8a3（b﹣a）．
【分析】先提取公因式再利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝2a（a﹣b）（1﹣4a2）
＝2a（a﹣b）（1+2a）（1﹣2a）．
4．（2023秋•集贤县期末）分解因式：x4（m﹣2）+（2﹣m）y4．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝（m﹣2）（x4﹣y4）
＝（m﹣2）（x2﹣y2）（x2+y2）
＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）（x2+y2）．
5．（2024秋•普陀区校级期中）﹣2x3+12x2﹣18x．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：﹣2x3+12x2﹣18x
＝﹣2x（x2﹣6x+9）
＝﹣2x（x﹣3）2，
故答案为：﹣2x（x﹣3）2．
6．（2022春•涟源市校级期末）因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
【分析】首先提取（a﹣b）进而利用平方差公式以及提取公因式法分解因式即可．
【解答】解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）
＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]，
＝（a﹣b）[9a2+b2+6ab﹣（a2+9b2+6ab）]，
＝（a﹣b）（8a2﹣8b2），＝8（a﹣b）（a2﹣b2），
＝8（a﹣b）2（a+b）．
7．（2023春•沅陵县期末）分解因式：16x4﹣72x2y2+81y4．
【分析】原式先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可得到结果．
【解答】解：原式＝（4x2﹣9y2）2＝（2x+3y）2（2x﹣3y）2．
8．（2023秋•闵行区校级期中）an+2﹣18an+81an﹣2（n为大于2的正整数）．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝an﹣2（a4﹣18a2+81）
＝an﹣2（a2﹣9）2
＝an﹣2（a+3）2（a﹣3）2．
9．（2024秋•浦东新区校级期中）因式分解：2x2（a+b）2﹣2xy（a+b）2﹣12y2（﹣a﹣b）2．
【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式＝2x2（a+b）2﹣2xy（a+b）2﹣12y2（a+b）2
＝2（a+b）2（x2﹣xy﹣6y2）
＝2（a+b）2（x+2y）（x﹣3y）．
10．（2024秋•西城区校级期中）因式分解：
（1）x3y﹣xy3；
（2）﹣2a2b+16ab﹣32b．
【分析】（1）先提公因式，然后再用平方差公式进行计算即可；
（2）先提公因式，然后再用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）x3y﹣xy3
＝xy（x2﹣y2）
＝xy（x+y）（x﹣y）；
（2）﹣2a2b+16ab﹣32b
＝﹣2b（a2﹣8a+16）
＝﹣2b（a﹣4）2．
11．（2024秋•麦积区期中）因式分解：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：（1）a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
12．（2024秋•岳麓区校级月考）因式分解：
（1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可；
（2）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2
＝﹣2a（a2﹣2ab+b2）
＝﹣2a（a﹣b）2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
13．（2024春•太原期末）分解因式：
（1）a3﹣4a2b+4ab2；
（2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式．
【解答】解：（1）a3﹣4a2b+4ab2
＝a（a2﹣4ab+4b2）
＝a（a﹣2b）2；
（2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）
＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）
＝（x﹣y）（x2﹣y2）
＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y）＝（x﹣y）2（x+y）．
14．（2024春•高新区校级月考）因式分解：
（1）﹣4x3+4x2﹣x．
（2）m2（a﹣3）+4（3﹣a）．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）﹣4x3+4x2﹣x
＝﹣x（4x2﹣4x+1）
＝﹣x（2x﹣1）2；
（2）m2（a﹣3）+4（3﹣a）
＝（a﹣3）（m2﹣4）
＝（a﹣3）（m+2）（m﹣2）．
15．（2024春•泰州期末）将下列各式分解因式：
（1）2x3﹣18xy2；
（2）a3+2a2（b+c）+a（b+c）2．
【分析】（1）先提公因式2x，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝2x（x2﹣9y2）
＝2x（x+3y）（x﹣3y）；
（2）原式＝a[a2+2a（b+c）+（b+c）2]
＝a（a+b+c）2．
16．（2024春•鼓楼区校级月考）因式分解：（1）a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）；
（2）﹣x3+2x2﹣x．
【分析】（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
（2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣9b2）
＝（x﹣y）（a+3b）（a﹣3b）；
（2）原式＝﹣x（x2﹣2x+1）
＝﹣x（x﹣1）2．
17．（2024春•碑林区校级期末）因式分解：（1）3ax2﹣6axy+3ay2；
（2）x2（m﹣n）﹣4y2（m﹣n）．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）3ax2﹣6axy+3ay2
＝3a（x2﹣2xy+y2）
＝3a（x﹣y）2；
（2）x2（m﹣n）﹣4y2（m﹣n）
＝（m﹣n）（x2﹣4y2）
＝（m﹣n）（x+2y）（x﹣2y）．
18．（2024春•沈阳校级期中）因式分解：
（1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）；
（2）﹣a3+2a2b﹣ab2．
【分析】（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
（2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝m2（a﹣b）﹣4n2（a﹣b）
＝（a﹣b）（m2﹣4n2）
＝（a﹣b）（m+2n）（m﹣2n）；
（2）原式＝﹣a（a2﹣2ab+b2）
＝﹣a（a﹣b）2．
19．（2023秋•寻乌县期末）因式分解：
（1）﹣x3﹣2x2﹣x；
（2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）．
【分析】（1）先提公因式﹣x，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解；
（2）先提公因式（a﹣1），然后根据平方差公式因式分解，即可求解．
【解答】解：（1）﹣x3﹣2x2﹣x
＝﹣x（x2+2x+1）
＝﹣x（x+1）2；
（2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）
＝x2（a﹣1）﹣y2（a﹣1）
＝（a﹣1）（x2﹣y2）＝（a﹣1）（x+y）（x﹣y）．
20．（2023秋•淮阳区校级月考）因式分解：
（1）x3﹣16x．
（2）x2y﹣2xy+（x﹣1）（x﹣3）+1．
【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式；
（2）先把多项式乘以多项式展开，化简，前两项提公因式 xy，后三项是一个完全平方公式，再提公因
式x﹣2，即可得到答案．
【解答】解：（1）x3﹣16x
＝x（x2﹣16）
＝x（x+4）（x﹣4）；
（2）原式＝x2y﹣2xy+x2﹣3x﹣x+3+1
＝x2y﹣2xy+x2﹣4x+4
＝xy（x﹣2）+（x﹣2）2
＝（x﹣2）（xy+x﹣2）．
【类型4 分组分解法·20题】
1．（2024秋•宝山区期中）因式分解：x2﹣4y2﹣2x+1．
【分析】先进行分组得到（x2﹣2x+1）﹣4y2，再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x2﹣4y2﹣2x+1
＝（x2﹣2x+1）﹣4y2
＝（x﹣1）2﹣4y2
＝（x﹣1+2y）（x﹣1﹣2y）．
2．（2024秋•奉贤区期中）分解因式：2x2y﹣6xy+2x2﹣6x．
【分析】前两项结合，后两项结合，再连续提公因式即可分解因式．
【解答】解：2x2y﹣6xy+2x2﹣6x
＝（2x2y﹣6xy）+（2x2﹣6x）
＝2xy（x﹣3）+2x（x﹣3）
＝2x（x﹣3）（y+1）．
3．（2024秋•徐汇区校级期中）因式分解：4y2+25x2﹣1﹣4y4．
【分析】先将原式变形为25x2﹣（4y4﹣4y2+1），再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可．
【解答】解：4y2+25x2﹣1﹣4y4
＝25x2﹣（4y4﹣4y2+1）＝25x2﹣（2y2﹣1）2
＝（5x+2y2﹣1）（5x﹣2y2+1）．
4．（2024秋•闵行区校级月考）因式分解：9﹣4x2+4xy﹣y2．
【分析】首先将原式进行分组得到原式变形分组，再利用公式法分解因式即可．
【解答】解：原式＝9﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝9﹣（2x﹣y）2
＝（3+2x﹣y）（3﹣2x+y）．
5．（2024秋•徐汇区校级期中）因式分解：2x4﹣x3﹣13x2﹣x﹣15．
【分析】根据分组分解法对所给多项式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝2x4﹣x3﹣15x2+2x2﹣x﹣15
＝x2（2x2﹣x﹣15）+（2x2﹣x﹣15）
＝（2x2﹣x﹣15）（x2+1）
＝（x﹣3）（2x+5）（x2+1）．
6．（2024秋•杨浦区校级月考）因式分解：a2（b﹣c）+b2（c﹣a）+c2（a﹣b）．
【分析】先去括号，再进行分组，利用提公因式法，即可解答．
【解答】解：a2（b﹣c）+b2（c﹣a）+c2（a﹣b）
＝a2b﹣a2c+b2c﹣b2a+c2a﹣c2b
＝（a2b﹣b2a）﹣（a2c﹣b2c）+（c2a﹣c2b）
＝ab（a﹣b）﹣c（a+b）（a﹣b）+c2（a﹣b）
＝（a﹣b）[ab﹣c（a+b）+c2]
＝（a﹣b）（c﹣a）（c﹣b）．
7．（2024秋•杨浦区校级月考）分解因式：x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2．
【分析】首先将前三项分解因式进而利用十字相乘法分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2
＝（x﹣5y）（x+2y）+x+9y﹣2
＝（x﹣5y+2）（x+2y﹣1）．
1 3 9
8．（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：16− a2+ ab− b2 ．
4 5 25
【分析】先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
1 3 9
【解答】解：16− a2+ ab− b2
4 5 251 3 9
=16−( a2− ab+ b2 )
4 5 25
1 3 2
=42−( a− b)
2 5
1 3 1 3
=(4+ a− b)(4− a+ b)．
2 5 2 5
9．（2023秋•杨浦区期末）因式分解：﹣2mnx2+m2x2+n2x2﹣4（m﹣n）2．
【分析】先把前三项作为一组，提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【解答】解：﹣2mnx2+m2x2+n2x2﹣4（m﹣n）2
＝（﹣2mnx2+m2x2+n2x2）﹣4（m﹣n）2
＝x2（﹣2mn+m2+n2）﹣4（m﹣n）2
＝x2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2
＝（m﹣n）2（x2﹣4）
＝（m﹣n）2（x﹣2）（x+2）．
10．（2023秋•杨浦区期末）因式分解：2a2﹣6bc+4ab﹣3ac．
【分析】先把各式分组，再提取公因式即可．
【解答】解：2a2﹣6bc+4ab﹣3ac
＝（2a2+4ab）﹣（6bc+3ac）
＝2a（a+2b）﹣3c（2b+a）
＝（a+2b）（2a﹣3c）．
11．（2023秋•浦东新区期末）分解因式：a3﹣a+2a2b+ab2．
【分析】先提公因式，再三、一分组，利用完全平方公式和平方差公式分解．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1+2ab+b2）
＝a[（a2+2ab+b2）﹣1]
＝a[（a+b）2﹣1]
＝a（a+b+1）（a+b﹣1）．
12．（2023秋•金山区期末）因式分解：x2﹣4xy﹣4+4y2．
【分析】先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案．
【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2）﹣4，
＝（x﹣2y）2﹣22，
＝（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）．
13．（2024秋•杨浦区期末）分解因式：x3+2x2y﹣4x﹣8y．【分析】首先将原式进行分组得到原式＝x2（x+2y）﹣4（x+2y），再利用提取公因式法以及公式法分
解因式即可．
【解答】解：原式＝x2（x+2y）﹣4（x+2y）
＝（x2﹣4）（x+2y）
＝（x+2）（x﹣2）（x+2y）．
14．（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy．
【分析】先进行分组，再提取公因式和利用平方差公式分解，最后再提取公因式即可．
【解答】解：原式＝（4x3﹣9xy2）+（﹣2x2﹣3xy）
＝x（4x2﹣9y2）﹣x（2x+3y）
＝x（2x+3y）（2x﹣3y）﹣x（2x+3y）
＝x（2x+3y）（2x﹣3y﹣1）．
15．（2023秋•仁寿县期中）因式分解：
（1）﹣10xy2+y3+25x2y；
（2）a3+a2b﹣ab2﹣b3．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）利用分组分解法因式分解即可．
【解答】解：（1）﹣10xy2+y3+25x2y
＝y（﹣10xy+y2+25x2）
＝y（5x﹣y）2；
（2）a3+a2b﹣ab2﹣b3
＝（a3+a2b）﹣（ab2+b3）
＝a2（a+b）﹣b2（a+b）
＝（a+b）（a2﹣b2）
＝（a+b）2（a﹣b）．
16．（2024秋•浦东新区校级期末）分解因式：
（1）m2﹣n2+6n﹣9；
（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．
【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式解答；
（2）用提公因式法和十字相乘法解答．
【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）
＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；
（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）
＝（x+2y）（x2+6x﹣7）
＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．
17．（2024秋•青浦区期中）分解因式：xy+y2+x﹣y﹣2．
【分析】分组分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式．
【解答】解：xy+y2+x﹣y﹣2
＝xy+x+y2﹣y﹣2
＝x（y+1）+（y+1）（y﹣2）
＝（y+1）（x+y﹣2）．
18．（2024秋•虹口区校级月考）因式分解：a2﹣2ab+b2﹣3a+3b+2．
【分析】先利用完全平方公式进行运算，再利用十字相乘法进行因式分解即可．
【解答】解：原式a2﹣2ab+b2﹣3a+3b+2
＝（a﹣b）2﹣3（a﹣b）+2
＝（a﹣b﹣1）（a﹣b﹣2）．
19．（2024秋•闵行区校级期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．
【分析】先把多项式按三、二分组，再分别因式分解，最后提取公因式．
【解答】解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y
＝（x2+9xy+18y2）﹣（3x+9y）
＝（x+3y）（x+6y）﹣3（x+3y）
＝（x+3y）（x+6y﹣3）．
20．（2024秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．
【分析】先利用分组分解法进行恰当的分组，再利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）
＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2）
＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）
＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．
【类型5 十字相乘法·20题】
1．（2024秋•上海期末）分解因式：3x2﹣9x﹣30．
【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解．
【解答】解：3x2﹣9x﹣30＝3（x2﹣3x﹣10）
＝3（x﹣5）（x+2）．
2．（2024秋•宝山区期末）分解因式：2x2+6xy+4y2．
【分析】先提公因式，再用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：2x2+6xy+4y2
＝2（x2+3xy+2y2）
＝2（x+2y）（x+y）．
13
3．（2024秋•青浦区期中）因式分解：x2− x+1．
6
【分析】先提取公因式后，再利用十字相乘法进行分解即可．
13
【解答】解；x2− x+1
6
1
= (6x2−13x+6)
6
1
= (2x−3)(3x−2)．
6
4．（2023秋•丰泽区期末）因式分解：x2+2xy﹣3y2．
【分析】利用十字相乘法分解．
【解答】解：x2+2xy﹣3y2＝（x+3y）（x﹣y）．
5．（2024秋•杨浦区校级月考）分解因式：4x2﹣11xy﹣3y2．
【分析】将4化为1×4，﹣3y2化为﹣3y•y，用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：4x2﹣11xy﹣3y2＝（x﹣3y）（4x+y）．
6．（2024秋•普陀区期末）分解因式：ax4﹣14ax2﹣32a．
【分析】首先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式，再结合平方差公式分解因式即可．
【解答】解：ax4﹣14ax2﹣32a
＝a（x4﹣14x2﹣32）
＝a（x2+2）（x2﹣16）
＝a（x2+2）（x+4）（x﹣4）．
7．（2024秋•黄浦区校级期中）分解因式：x4﹣5x2y2﹣36y4．
【分析】先用十字相乘法分解，再用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：x4﹣5x2y2﹣36y4
＝（x2+4y2）（x2﹣9y2）＝（x2+4y2）（x﹣3y）（x+3y）．
8．（2023•紫金县校级开学）a4b﹣5a2b+4b．
【分析】首先提取公因式b，再利用十字相乘法可分解成b（a2﹣1）（a2﹣4），然后再利用平方差公式
进一步分解即可．
【解答】解：原式＝b（a4﹣5a2+4）＝b（a2﹣1）（a2﹣4）＝b（a+1）（a﹣1）（a+2）（a﹣2）．
9．（2024秋•黄浦区校级月考）因式分解：（a2+6a）2+14（a2+6a）+45．
【分析】利用十字相乘法对所给整式进行因式分解即可．
【解答】解：因为45＝5×9，1＝1×1，且1×+1×9＝14，
所以原式＝（a2+6a+5）（a2+6a+9）
＝（a+1）（a+5）（a+3）2．
10．（2024秋•上海月考）分解因式：（x2+x）2﹣3（x2+x）+2．
【分析】先利用十字相乘法分解，再继续利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式＝（x2+x﹣1）（x2+x﹣2）
＝（x﹣1）（x+2）（x2+x﹣1）．
11．（2023秋•浦东新区期末）分解因式：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12
＝（x2+x﹣6）（x2+x﹣2）
＝（x+3）（x﹣2）（x+2）（x﹣1）．
12．（2023秋•奉贤区期中）因式分解：（4x﹣x2）2+8（x2﹣4x）+16．
【分析】先根据完全平方公式分解因式，再次根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（4x﹣x2）2+8（x2﹣4x）+16
＝（x2﹣4x+4）2
＝[（x+2）2]2
＝（x﹣2）4．
13．（2024秋•金山区期末）分解因式：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72．
【分析】把（x2﹣x）看成一个整体，利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72
＝[（x2﹣x）﹣6][（x2﹣x）﹣12]
＝（x2﹣x﹣6）（x2﹣x﹣12）
＝（x﹣3）（x+2）（x﹣4）（x+3）．14．（2024秋•青浦区期中）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8．
【分析】x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项
是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）
（x+q），进而得出即可．
【解答】解：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8
＝（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）
＝（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）．
15．（2024春•济阳区期末）因式分解：（m+1）（m﹣9）+8m．
【分析】直接利用多项式乘多项式化简，再合并同类项，最后结合平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝m2﹣8m﹣9+8m
＝m2﹣9
＝（m+3）（m﹣3）．
16．（2024秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．
【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）
＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．
17．（2024秋•浦东新区校级期中）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．
【分析】将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用
字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
【解答】解：设x2+x＝y，则
原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10
＝（y﹣2）（y+5）＝（x2+x﹣2）（x2+x+5）
＝（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）．
说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，
比如令x2+x+1＝u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．
故答案为（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）
18．（2024秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．
【分析】原式利用十字相乘法分解后，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）＝（x﹣2）（x+4）（x+1）2．
19．（2024秋•松江区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣2（x2+4x）﹣15．
【分析】把（x2+4x）看成一个整体，利用十字相乘法因式分解，注意分解要彻底．【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+3）
＝（x+5）（x﹣1）（x+3）（x+1）．
20．（2024秋•徐汇区校级期中）因式分解：（m2﹣5m+2）（m2﹣5m﹣4）﹣16．
【分析】设m2﹣5m+2＝x，则m2﹣5m﹣4＝x﹣6，则原式可转化为x（x﹣6）﹣16，进而得x2﹣6x﹣16
＝（x+2）（x﹣8），再将m2﹣5m+2＝x代入，然后再次利用十字相乘法进行因式分解即可得出答案．
【解答】解：设m2﹣5m+2＝x，则m2﹣5m﹣4＝x﹣6，
∴（m2﹣5m+2）（m2﹣5m﹣4）﹣16
＝x（x﹣6）﹣16
＝x2﹣6x﹣16
＝（x+2）（x﹣8）
＝（m2﹣5m+2+2）（m2﹣5m+2﹣8）
＝（m2﹣5m+4）（m2﹣5m﹣6）
＝（m﹣1）（m﹣4）（m+1）（m﹣6）．
