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第一章 反比例函数
反比例函数
1.定义:一般地,形如 y＝k／x (k 为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中 x 是自变量，y 是 x 的函数,k 是
比例系数。若 y=k/nx 此时比例系数为:k/n,如 y=2/3x 的比例系数为 2/3
反比例函数的定义中需要注意什么？
(1)常数 k 称为比例系数,k 是非零常数；
(2)自变量 x 次数不是 1,x 与 y 的积是非零常数；
(3)除 k、x 、y 三项以外,不含其他项。
反比例函数自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。
2.反比例函数的三种表现形式:(k 为常数,k≠0)
全
(1)y＝k／x
(2)xy=k
大
(3)y=kx-1(即:y 等于 x 的负一次方,此处 x 必须为一次方)
2.K 的几何含义:
反比例函数 y＝k／x (k≠0)中比例系数 k 的几何意义,即过双曲结线 y＝k／x (k≠0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴
垂线,设垂足分别为 A、B,则所得矩形 OAPB 的面积为|k|，所得三角形面积|k|/2。
二、反比例函数的图象和性质 总
1.图像:
反比例函数的图像是双曲线,他们关于原点成中心对称。双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相
点
交。因为在 y=k/x(k≠0)中,x 不能为 0,y 也不能为 0,所以反比例函数的图象不可能与 x 轴相交，也不可能与 y
轴相交。
识
2.性质:
当 k>0 时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y 的值随 x 值的增大而减小；
知
当 k<0 时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y 的值随 x 值的增大而增大。
三、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：
中
⑴ 设所求的反比例函数 y＝k／x ⑵将已知条件代入得到关于k 的方程 ⑶解方程求出 k 的值
⑷把 k 的值代入反比例函数 y＝k／x 中
初
四、反比例函数的应用：
1.建立反比例函数模型 2.求出反比例函数解析式 3.结合函数解析式图像性质做出解答，特别要注意自变量
的取值范围。
第二章 解直角三角形
一、锐角三角函数
在直角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,∠C 为直角。则定义以下运算方式:
sin ∠A=∠A 的对边长/斜边长，sin A 记为∠A 的正弦；sinA=a/c
cos∠ A=∠A 的邻边长/斜边长，cos A 记为∠A 的余弦；cosA=b/c
tan∠ A=∠A 的对边长/∠A 的邻边长, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A 记为∠A 的正切
1.sin=对/斜 cos=邻/斜 tan=对/邻 2.sinA=cos(90°-A)
cos A=sin(90°-A)
tanA=sinA/cosA
sin²A＋cos²A＝１
3.增减性(A 为锐角)
sinA 、tanA 随着∠A 的增大而增大,cosA、随着∠A 的增大而减小
4.取值范围:00。微信公众号【初中知识点总结大全】，分享好用学习资料
二、30°,45°,60°角的三角函数
三角函数 余弦 cosα
正弦 sinα 正切 tanα
锐角α
30° 1 3 3
2 2 3
45°
2 2
1
2 2
60°
3 1
3
2 2
三.解直角三角形及其应用
1.解直角三角形的概念:
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素。
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形。
2.解直角三角形的依据:
全
(2)三边之间的关系:a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°
大
(4)边角之间的关系:sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/ b,cot=b/a
3.解直角三角形的原则
结
(1)有角先求角,无角先求边
(2)有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。
总
这两句话的意思是:当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切或余切；当所求的元素既
可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法；既可点以由已知数据又可由中间数据求解时,则用已知数据,尽量避
免用中间数据。
识
4.解直角三角形的应用
(1)把实际问题转化成数学问题,这个转化包括两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的
知
示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系；
(2)把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形；
中
(3)仰角和俯角
在进行观察或测量时，
初
从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角。
第二章 二次函数
一.对函数的再认识
定义:一般地,在一个变化过程中有两个变量,对于自变量x 某一范围内的每一个确定值,y 都有惟一确定的值与
它对应,那么就说 y 是 x 的函数。
强调:对于函数概念的理解,主要抓住以下三点
①函数不是数,是指在一个变化过程中两个变量之间的关系；
②自变量每一个确定值,函数有一个并且只有一个值与之对应； ③自变量的取值范围。
函数值的定义:对于自变量在可以取值范围内的一个确定的值函数有惟一确定的对应值 ,这个对应值叫做当时
函数的值,简称函数值。
一 二次函数及其表达式
1. 定义:我们把形如 y=ax +bx+c(其中 a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。
2
ax 叫做二次项,a 为二次项系数,bx 叫做一次项,b 为一次项系数,c 为常数项。
2
注意:二次函数的二次项系数不能为零。因为如果 a 为 0,就没有二次项,也就谈不上什么二次函数!微信公众号【初中知识点总结大全】，分享好用学习资料
2.三种表达式:
(1)一般式:y=ax +bx+c (2)顶点式:y=a(x-h) +k,对称轴 x=h,顶点坐标是(h,k)
2 2
(3)交点式: y=(x-x )(x-x ),与 x 轴两交点坐标为(x ,0)、(x ,0)
1 2 1 2
3.确定函数的解析式
一般地,在所给条件中已知顶点坐标时,可设顶点式 y=a(x-h) +k,在所给条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标
2
或已知抛物线与 x 轴一交点坐标与对称轴，可设交点式 y=(x-x )(x-x )；在所给的三个条件是任意三点时,可
1 2
设一般式 y=ax +bx+c,然后组成三元一次方程组来求解。
2
三、 二次函数的图像与性质
二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象,是一个轴对称图形,对称轴是直线 x=-b/2a
对于一般式 y=ax +bx+c(其中 a,b,c 是常数,a≠0),当 x=-b/2a 时,y 最大或最小。即抛物线顶点坐标为
2
(-b/2a,4ac-b /4a)
2
(1)a 决定开口方向:a>0 开口向上；a<0 开口向下
补充:|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大
①当 a>0 时,开口向上,对称轴左侧(即 x<-b/2a 时),y 随 x 增大而减小；对称轴右侧(x≥-b/2a),y 随 x 增大而
全
增大。当 x=-b/2a 时,有最小值 y=4ac-b /4a；
2
②当 a<0 时,开口向下,对称轴左侧(即 x<-b/2a 时),y 随 x 增大而增大；对称轴右侧((x≥-b/2a)),y 随 x 增大
大
而减小。当 x=-b/2a 时,有最大值 y=4ac-b /4a。
2
(2)a、b 共同决定对称轴:抛物线 y=ax +bx+c 的对称轴是直线 x=-b/2a
2
a、b 同号(即 ab>0,则-b/2a<0) 对称轴在 y 轴左侧 结
a、b 异号(即 ab<0,则-b/2a>0) 对称轴在 y 轴右侧
b=0 对称轴是 y 轴 总
(3)c 决定抛物线与 y 轴的交点(与 y 轴交点的横坐标为 0,即 x=0,此时纵坐标 y=c):
c>0 与 y 轴正半轴相交
点
c<0 与 y 轴负半轴相交
c=0 经过坐标原点(即 x=0 时,纵坐标 y=c=0)
识
(4)Δ=b -4ac 确定抛物线与 x 轴交点的个数(联系一元二次方程):
2
b -4ac>0 与 x 轴有两个交点
2 知
b -4ac=0 与 x 轴有一个交点
2
b -4ac<0 与 x 轴无交点
2
中
(5)抛物线 y=ax +bx+c 在 x 轴上方,即函数 y=ax +bx+c(a≠0)的值永远是正值的条件是
2 2
a>0 且 b -4ac<0(开口向上且与 x 轴无交点)
2
初
(6)抛物线 y=ax +bx+c 在 x 轴下方,即函数 y=ax +bx+c(a≠0)的值永远是负值的条件是
2 2
a<0 且 b -4ac<0(开口向下且与 x 轴无交点)
2
同样自己可确定不论x取何值时,函数y=ax +bx+c(a≠0)的值永远是非负数或非正数的条件
2
四、二次函数与一元二次方程
二次函数的图像与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根,反之也成立。微信公众号【初中知识点总结大全】，分享好用学习资料
第四章 投影与视图
一、投影：
1.光源
点光源：像手电筒、路灯、台灯都可以看成一个点光源。
平行光源：太阳光可以看成是一个平行光源
2.概念
定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做
投影线，投影所在的平面叫做投影面。
（1）平行投影：
由平行光线（太阳的光线是平行光线）形成的投影。
（2）中心投影：
由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。
（3）两者区别与联系：
区别：平行投影 平行的投射线 物体与原物体全等
全
中心投影 从一点出发的投射线 放大(位似变换)
相同：都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影)
大
3.投影知识点：
测量同一时刻物体的高度和影长时：
① 两物体的高度之比等于影长之比时，则这两个物体的影子是结平行投影。
②若两物体的高度之比不等于影长之比时，则这两个物体的影子是中心投影
4.投影的性质： 总
①将两个等高物体垂直于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较短，反之则越长。
②将两个等高物体平行于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较长，反之则越短。
点
5．易错题整理：
1）直线的平行投影一定是直线（×） 原因：
识
2）矩形的投影一定是矩形（×） 原因：
3）一个圆在平面上的投影一定是圆。（×） 原因：
知
二．视图：
1.概念：
中
用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。
2.分类：
初
视图有：主视图、左视图、俯视图
3.正方体的主要视图及展开：
正方体的展开图有 11 种：
1）1-4-1 型：6 种 ①--⑥
2）2-3-1 型：3 种 ⑦--⑨
3）2-2-2 型：1 种 ⑩
4）3-3 型：1 种微信公众号【初中知识点总结大全】，分享好用学习资料
4.看视图确定物体有多少正方体组成：在俯视图中画圈标注，在观察主视图，左视图确定有几层，每层有几个。
全
第五章 圆
大
圆
1.定义 结
(1)几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中,定点称为圆心,定长称为半径的长
（通常也称为半径）。以点 O 圆心的圆记作⊙O 作“圆 O总
(2)轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆
(3)集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
点
连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母 r 表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,用
字母 d 表示。圆心决定圆的位置,半径和直径决定圆的大小。在同一个圆或等圆中,半径都相等,直径也都相等,
识
直径是半径的 2 倍,半径是直径的 1/2。
2.点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
知
(1)点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；
(2)点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；
中
(3)点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径。
3.圆的有关概念
初
(1)弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆
上任意两点的线段叫做弦。圆中最长的弦为直径。
(2)圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。顶点在圆周上,
且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
(3)弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离
(4)等弧:在同圆中能够重合的弧叫等弧
二、圆的对称性
1.圆是周对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴。
2.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心。一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重
合。这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性
3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
特别注意:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
垂径定理的逆定理:平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦
垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等
4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
推论:在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对
应的其余各组量都分别相等微信公众号【初中知识点总结大全】，分享好用学习资料
三、圆周角
1.顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角
2.圆周角定理:同弧(等弧)所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半
3.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等
4.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径
四、确定圆的条件
1.三点定圆
(1)经过两点 A、B 的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上
(2)经过三点 A、B、C 的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点 O 的位置
(3)定理:不在一条直线上的三个点确定一个圆(三点定圆)
4.三角形与圆的位置关系
(1)三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。外接圆的圆心
是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心
(2)锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角
形外
全
5.四边形与圆的位置关系
(1)如果四边形的四个顶点在一个圆,这圆叫做四边形的外接圆，这个四边形叫做圆的内接四边形。
大
(2)重要性质:
①圆内接四边形对角互补；
②圆内接四边形对的一个外角等于它的内对角； 结
③对角互补的四边形内接于圆。
五、直线和圆的位置关系 总
1.三种位置关系
(1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线；
点
(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
识
直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的,即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两
个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。
知
2.用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系来揭示圆和直线的位置关系
(1)回忆:直线外一点到这条直线垂线段的长度叫点到直线的距离；连结直线外一点与直线所
中
有点的线段中,最短的是垂线段
(2)设⊙O 的圆心 O 到直线 l 的距离为 d,⊙O 的半径为 r,则
初
①直线 l 和⊙O 相离 d>r
②直线 l 和⊙O 相切 d=r
③直线 l 和⊙O 相交 dR+r,公共点 0(两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部)
(2)外切 d=R+r,公共点 1(两个圆有唯一公共点,并且除这公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部)
(3)相交 R-r
