文档内容
八年级上册考点总结
第一章 因式分解
1 因式分解
一,知识梳理
1.因式分解
定义:把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫因式分解.
即：多项式 几个整式的积
例: 因式分解，应注意以下几点.
1。因式分解的对象是多项式;
2。因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3。分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止;
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6。题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法：
（1）提公因式法:
定义：如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写
成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式:多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母,也可以是
一个单项式或多项式.
例： 的公因式是 ．
解析:从多项式的系数和字母两部分来考虑,系数部分分别是12、—8、6，它们的最大
公约数为2；字母部分 都含有因式 ，故多项式的公
因式是2 .
提公因式的步骤
第一步:找出公因式;
第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商
即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后,对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第
一项有负号的，要先提取符号。
例1：把 分解因式。
解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为
6ab。
解： 例2：把多
项式 分解因式
解析:由于 ，多项式 可以变形为
，我们可以发现多项式各项都含有公因式（ ),所以我们可
以提取公因式( ）后，再将多项式写成积的形式。
解： = = 例3：把多
项式 分解因式
解： = (2）运用公式法
定义：把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方
法叫做运用公式法.
注意: 公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；
若多项式是三项式，可考虑完全平方公式.
例1：因式分解 解： = 例2:因式分解
解： =
(3）分组分解法（拓展）
将多项式分组后能提公因式进行因式分解；
例：把多项式 分解因式解： = =
将多项式分组后能运用公式进行因
式分解.
例：将多项式 因式分解
解： =
（4）十字相乘法（形如 形式的多项式，可
以考虑运用此种方法）
方法：常数项拆成两个因数 ,这两数的和 为一次项系数
例:分解因式 分解因式 补充点详
解 补充点详解
我们可以将—30分解成p×q的形式， 我们可以将100分解成p×q的形
式,
使p+q=-1， p×q=-30,我们就有p=-6, 使p+q=52, p×q=100，我们
就有p=2,
q=5或q=—6,p=5. q=50或q=2,p=50。
所以将多项式 可以分 所以将多项式
可以分
解为 解为
5 2
—6 50温馨提示：初三复习——初中数学全套知识点
3.因式分解的一般步骤:
如果多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是
四项或四项以上的多项式，
通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、
“二套”、“三分组"、“四十字”.
注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否则就是不完全的因式分
解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，
因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。
一、例题解析
提公因式法
提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。
确定公因式的方法：
系数—-取多项式各项系数的最大公约数；
字母(或多项式因式)-—取各项都含有的字母(或多项式因式）的最低次幂。
【例 1】分解因式：
⑴ （ 为正整数）
⑵ （ 、 为大于1的自然数）
【巩固】分解因式： ,
为正整数.
【例 2】先化简再求值， ，其中 ，
．
【巩固】求代数式的值：
，其中
。
【例 3】已知： ，求
的值.【巩固】分解因式:
。
2 提公因式法 1．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式．
2．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．3．提取公因式的方法：把多项式
各项的公因式提取出来，写成公因式与另一个因式乘积的形式．【要点梳理】
要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因
式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项
式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结
果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解
为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种
恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫
做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式
可以是一个数，也可以是一个字母，（3）公因式的确定分为数字系数和字母两
部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，
指数取各字母指数最低的.
3 公式法
首先要通过Δ=b2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b2-4ac<0时 x无实数根(初中 )
2.当Δ=b2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2
3.当Δ=b2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：
x={-b±√(b2-4ac)}/2a
来求得方程的根
公式法就是解一元二次方程的万能方法，就是打开关键之门的钥匙。
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因
式。于是有：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方
法叫做运用公式法。用公式法解一元二次方程，要先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值，然后再计算判
别式的值，当判别式的值为非负数时，进一步代入求根公式，如果判别式的值为负，则
一元二次方程无实根。
用公式法解一元二次方程
要用公式解方程，首先化成一般式。
调整系数随其后，使其成为最简比。
确定参数abc，计算方程判别式。
判别式值与零比，有无实根便得知。
有实根可套公式，没有实根要告之。
第二章 分式与分式方程 1 认识分式 1，定义：一般地，如果 A 和 B 为两个
整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式，A 为分子，B 为
分母。请联系前面讲的分数，基本是一样的 2，与分式有关的一些知识
点：1>分式有意义，要求分母不为 0，隐含 分母要有字母；2>分式
无意义，分母为 0；3>分式值为 0，分子为 0 ，且分母不为 0；4>分式
值为负或小于 0，分子分母异号；5>分式值为正或大于 0，分子分母同
号；6>分式值为 1，分子分母值相等；7>分式值为-1，分子分母值互
为相反数； 2 分式的乘除法
一.分式的乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
用字母表示为：a/b*c/d=ac/bd
二.分式的除法法则：
(1).两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
a/b÷c/d=ad/bc
(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。
a/b÷c/d=a/b*d/c
(3).分式的乘除混合运算统一为乘法运算。
①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，
有括号先算括号里面的；
②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；
③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因
式）或整式的形式。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
用式子表示是： （其中n是正整数）
三.注意：
（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加
减，分子是单项式时括号可以省略；（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注
意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；
（3）运算时顺序合理、步骤清晰；
（4）运算结果必须化成最简分式或整式。
3 分式的加减法
一.分式的加减法则：
1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示为：
2.异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。
用式子表示为：
二.注意
（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号
后再加减，分子是单项式时括号可以省略；
（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算
时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；
（3）运算时顺序合理、步骤清晰；
（4）运算结果必须化成最简分式或整式。
三.分式的混合运算：
分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的
混合运算一样：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面
的，计算结果要化为整式或最简分式。
4 分式方程
一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：
①是等式；
②方程里含有分母；
③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般
的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数
的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两
边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生
使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可
能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
三、解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当
分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则这
个解是原分式方程的解，若最简公分母等于 0，则这个解不是原分式方程
的解，原分式方程无解.
知识点一
分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，
分式的值不变。
第三章 数据的分析 1 平均数
1.平均数是通过把多的部分移给少的部分，使各部分都相等而得到的数，所以平均数在
最大数与最小数之间
2.平均数=总数÷总分数
3.平均数是统计中的一个重要概念，也是一个非常抽象的概念，在具体情境中体会为什
么要学习平均数，在统计的背景中理解平均数的含义，在比较、观察中把握平均数的特
征，进而运用平均数解决问题，了解它的价值。2 中位数与众数
一、平均数、中位数和众数的意义
1、中位数和众数的意义：将一组数据从小到大(或从大到小)
排列，中间的数称为这组数据的中位数。
2、中位数和众数的求法。
将一组数据按大小的顺序排列，如果是奇数个数据，中间的
数就为这组数据的中位数，如果是偶数个数据，中间两个数的平
均数为这组数据的中位数。
众数，就是一组数据中出现次数最多的，有可能是多个众数。
3、能根据具体的问题，选择合适的统计两表示数据的不同特
征。
4、平均数
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
5、中位数
中位数是指将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起
来，形成一个数列，处于变量数列中间位置的变量值就称为中位
数。
6、众数
众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数
在一组数中有好几个。
二、平均数、中位数、众数的区别1.平均数的大小与一组数据里的每个数均有关系，其中任何
数据的变动都会相应引起平均数的变动。
2.总数着眼于对各数据出现频率的考察，其大小只与这组数
据的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，
其众数往往是我们关心的一种统计量。
3.中位数仅与数据的排列有关，一般来说，部分数据的变动
对中位数没有影响，当一组数据中个别数据变动较大时，可用中
位数来描述其中集中的趋势。
三、平均数、中位数、众数的联系
众数、中位数及平均数都是描述一组数据的集中趋势的量，
其中以平均数最为重要，其应用也最为广泛。
3 从统计图分析数据的集中趋势
1.统计表：
(1)单式统计表：只有一组统计项目的统计表，叫做单式统计表;
(2)有两组或以上统计项目的统计表，叫做复式统计表。
2.统计图：
(1)条形统计图：特点是用一个单位长度表示一定的数量，用直条的长短
表示数量的多少;作用是从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于相互比较。(2)折线统计图：特点是用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏
表示数量的增减变化;作用是能清楚地看出数量增减变化的情况，也能看出数
量的多少。
(3)扇形统计图：特点是用整个圆的面积表示总数，用圆内的扇形面积表
示各部分数量占总数的百分数;作用是能清楚地看出各部分数量与总数的百分
比，以及部分与部分之间的关系。
4 数据的离散程度
1、极差:
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公
式: 极差=最大值一最小值。
极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一
般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。
2、方差
方差与标准差
标准差：方差的算术平方根
方差和标准差也是用来描述一组数据的离散程度，即方差或标准差越小，数据的波
动越小，这组数据越稳定。
性质：
一组数据x1，x2，xn的平均数为x，方差为s，标准差为s
则(1)数据x1a，x2a，xna的平均数为xa，方差为s，标准差为s
(2)数据bx1，bx2，bxn的平均数为bx，方差为bs，标准差为bs
(3)数据bx1a，bx2a，bxna的平均数为bxa，方差为bs，标准差为222222bs第四章 图形的平移与旋转 1 图形的平移
1、平移的定义：把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种
图形的平行移动，简称平移。平移式图形变换的一种形式。
2、平移的两个要素：（1)平移方向；（2）平移距离。
3、对应点、对应线段、对应角
一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合
的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，
互相重合的角称为对应角。
4、平移方向和距离的确定
2 图形的旋转
1、旋转：
将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中
心，转动的角度叫做旋转角。
2、旋转性质:
① 旋转后的图形与原图形全等
② 对应线段与O形成的角叫做旋转角
③ 各旋转角都相等
3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其
中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。
4、平移性质
① 平移后的图形与原图形全等
② 两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）
③ 各组对应线段平行且相等5、中心对称与中心对称图形
① 中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全
重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、
两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
② 中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形
完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称
中心。
3 中心对称
基本概念
1.把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就
说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
2.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
3.关于中心对称的两个图形是全等形。
中心对称的性质
有一个对称中心点；成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，
并且被对称中心平分；中心对称的两个图形具有（一般地）旋转的一切性质。
4 图形变化的简单应用 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规
律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题。
第五章 平行四边形 1 平行四边形的性质
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
1、平行四边形属于平面图形。
2、平行四边形属于四边形。
3、平行四边形属于中心对称图形。
性质：（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两
组对边分别相等。（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两
组对角分别相等（简述为“平行四边形的两组对角分别相
等”）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻
角互补。（简述为“平行四边形的邻角互补”）
（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线
间的高距离处处相等”）
（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两
条对角线互相平分。（简述为“平行四边形的对角线互相平
分”）
（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
（推论）
（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩
形。）
（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成
全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的
交点.
（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对
称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性
质。
2 平行四边形的判定
平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
从“边”看 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从“对角线”看 对角线互相平分的四边形是平行四边形
判
定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（这个不
可以直接使用，需要转化到定义法：两组对边分别平
从“角”看 行的四
边形是平行四边形）
平行四边形的判定方法主要有：
（1）两组对边分别平行；
（2）两组对边分别相等；
（3）一组对边平行且相等；
（4）对角线互相平分；
（5）两组对角分别相等。
平行四边形的上述判定方法，分别从边、对角线、角三个角度，给出了确定一个四边形
是平行四边形的根据。
温馨提示：初三复习——初中数学全套知识点
3 三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角
相等。
注意：重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线；⑵加倍中线；⑶添加辅助平行线
证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法-反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来
4 多边形的内角与外角和
一、多边形的概念
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做
多边形
①边形有个顶点、条边、个内角。
②在多边形的基本概念中难点是对角线，从一个顶点可引条对角线，则从个顶点
可引条，但是，从一点引向另一点与由另一点引向这一点重复，所以，多边形共有
条对角线。
二、多边形的内角和定理
多边形的内角和等于°
①对于公式的理解可以认为从一个顶点引条对角线，把边形分成个三角形，且这
个三角形的内角和恰好是边形的内角和，所以边形的内角和等于°。
②根据定理我们可以看到，内角和随着边数的变化而变化，边数每增加1，内
角和就增加180°。
③利用内角和知识解决，如图∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数是多
少？
析解：连接，在⊿和⊿中，因为∠=∠，所以∠4+∠5=∠8+∠9，所以
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠8+∠9+∠6+∠7（恰好是
五边形的五个内角）=°三、正多边形的定义
在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形
① 内角都相等、边也都相等，二者缺一不可，内角都相等的多边形不一定是
正多边形，如：矩形；边都相等的多边形不一定是正多边形，如：菱形。
②由于正多边形的每个内角都相等，所以它的每个外角也都相等。
四、多边形外角和定理
多边形外角和都等于360°
①外角和是在每一个顶点都只取一个外角。
②同一个顶点的一个外角和它相邻的内角互补。
③多边形的外角和不随边数变化，都等于360°。
④利用所学知识完成，小明和同学们做游戏，规定从点向前走20米，左拐
30°，再向前走20米，再左拐30°，直到回到点，请问小明共走了多少米？
析解：小明走的路线构成一个正多边形，小明走的路程就是这个正多边形的周长，
根据已知得这个正多边形的每个外角均为30°，所以这个多边形的边数为，所以小
明共走了米。
