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第六章 数据的分析
一、知识点讲解：
1.平均数：
（1）算术平均数：一组数据中，有n个数据 ，则它们的算术平均数为
.
（2）加权平均数：
若在一组数字中， 出现 次， 出现 次，…， 出现 次，那么
叫做 、 、…、 的加权平均数。其中， 、 、…、 分别是 、 、…、 的权.
权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。
2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数
就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
4.平均数中位数众数的区别与联系
相同点
平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可
用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。
不同点
它们之间的区别，主要表现在以下方面。
1）、定义不同
平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
2）、求法不同
平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。
中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这
组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或
只需简单的计算。
众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。
3）、个数不同
在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，
也可能没有众数。
4）、代表不同
平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。
中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。
众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。
这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。
5）、特点不同
平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的
影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。
中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数
据极端值的影响。
众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，
不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。
6）、作用不同
平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充
分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它
在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。
1 / 4中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏
小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。
众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中，如果个别数据
有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适
合。
5.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差反映的是数据的变化范围。
6.方差：设有n个数据 ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 ，
…， 我们用它们的平均数，即用
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。
当一组数据比较小时可以用公式 计算。
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
标准差：方差的算术平方根，即
并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.
7.极差、方差和标准差的区别与联系：
联系：极差、方差和标准差都是用来衡量（或描述）一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来
比较两组数据的波动情况。
区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值
之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是
反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组
数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。
标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。
8.数据的收集与整理的步骤：
1.收集数据 2.整理数据 3.描述数据 4.分析数据 5.撰写调查报告 6.
交流
9.平均数、方差的三个运算性质
如果一组数据x，x，x，……，x 的平均数是x，方差是s2。
1 2 3 n
那么（1）一组新数据x+b，x+b，x+b，……，x+b的平均数是x+b，方差是s2。
1 2 3 n
（2）一组新数据ax，ax，ax，……，ax 的平均数是ax，方差是a2s2.
1 2 3 n
（3）一组新数据ax+b，ax+b，ax+b，……，ax+b的平均数是ax+b，方差是a2s2.
1 2 3 n
二、典型例题：
1．5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：mm）：2，2，1，1，0，则这组数据的极差
为（ ）．
A．4 mm B．3 mm C．5 mm D．0 mm
2．小伟五次数学考试成绩分别为：86分，78分，80分，85分，92分，李老师想了解小伟数学学习变化情况，则
2 / 4李老师最关注小伟数学成绩的（ ）．
Ａ．平均数 Ｂ．众数 Ｃ．中位数 Ｄ．方差
3. 一组数据的方差一定是（ ）．
A．正数 B．任意实数 C．负数 D．非负数
4．金华火腿闻名遐迩.某火腿公司有甲、乙、丙三台切割包装机，同时分装质量为500克的火腿心片.现从它
们分装的火腿心片中各随机抽取10盒，经称量并计算得到质量的方差如表所示,你认为包装质量最稳定的
切割包装机是（ ）.
包装机 甲 乙 丙
A.甲 B.乙
方差(克2) 1.70 2.29 7.22
C.丙 D. 不 能 确定
5．某地统计部门公布最近5年国民消费指数增长率分别为8.5%，9.2%，9.9%，10.2%，3.8%，业内人士评论说：
“这五年消费指数增长率之间相当平稳”，从统计角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据的哪个数
据比较小（ ）.
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
6．在一次射击测试中，甲、乙、丙、丁的平均环数均相同，而方差分别为8.7，6.5，9.1，7.7，则这四人中，射击
成绩最稳定的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．一次数学测试后，随机抽取九年级二班5名学生的成绩如下：78，85，91，98，98．关于这组数据的错误说法
是（ ）．
Ａ．极差是20 Ｂ．众数是98 Ｃ．中位数是91 Ｄ．平均数是91
8．若一组数据2，4，x，6，8的平均数是6，则这组数据的方差是（ ）.
A． B．8 C． D．40
2 2 2 10
9．我国著名的珠穆朗玛峰海拔高达8844m，在它周围2km的附近，耸立的几座著名山峰的高度如下表：
珠穆 马卡 普莫
山峰名 洛子峰 卓穷峰 章子峰 努子峰
朗玛 鲁峰 里峰
海拔高度 8844m 8516m 7589m 8463m 7543m 7855m 7145m
则这七座山峰海拔高度的极差为 m．
10．一组数据5，5，5，5，5的方差是 ．
11．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量．其平均数、方差计算结果如下：机床甲： 10， =0.02；
x = S 2
甲 甲
机床乙： 10， = 0．0 6，由此可知：_________（“甲”或“乙”）机床性能好．
x = S 2
乙 乙
12．甲、乙两种产品进行对比实验，得知乙产品性能比甲产品性能更稳定，那么分析计算它们的方差
S
2，
甲
S
2的大小关系是 ．
乙
13．一组数据1，2，3，x，5的平均数是3，则该组数据的方差是 ．
14．已知数据a，b，c的方差是1，则4a，4b，4c的方差是 ．
15．甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，从中各抽取10袋，测得其实际质量分别如下表：（单位：
克）
3 / 4甲 203 204 202 196 199 201 205 197 202 199
乙 201 200 208 206 210 209 200 193 194 194
（1）分别计算出两个样本的平均数与方差；
（2）从计算结果看，哪台包装机的10袋糖果的平均质量更接近200g？哪台包装机包装的10袋糖果质量比较
稳定？
16．李明、王林两人参加奥赛班集训的11次测验成绩如下表：（单位：分）
测 验 成 绩
李明 99 100 100 95 93 90 98 100 93 90 98
王林 98 99 96 94 95 92 92 98 96 99 97
（1）他们两人的平均成绩各是多少分？
（2）他们两人的极差和方差各是多少？
（3）现要从中选一人参加比赛，历届比赛的成绩表明，成绩在98分以上才能进入决赛，你认为应选谁参加这
次比赛呢，为什么？
（4）试分析两位同学的成绩特点，并对他们以后的学习各提出一条建议．
17.某校为选拔参加2007年全国初中数学竞赛的选手，进行了集体培训．在集训期间进行了10次测试，假设
其中两位同学的测试成绩如下表所示：
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
甲 85 95 94 96 94 85 92 95 99 95
乙 80 99 100 99 90 82 81 80 90 99
（1）根据图表中所示的信息填写下表：
信息 平均数 众数 中位数 方差
类别
甲 93 95 18.8
乙 90 90 68.8
（2）这两位同学的测试成绩各有什么特点（从不同的角度分别说出一条即可）?
（3）为了使参赛选手取得好成绩，应选谁参加比赛？为什么？
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