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第1章 解直角三角形
三角函数的定义在 Rt△ABC 中，如果锐角 A 确定，那么∠A
的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
∠A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正弦(sine)，记作
A的对边
sinA，即 sinA＝
斜边
全
A的邻边
∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作 cosA，即 cosA=
斜边
大
A的对边
∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作 tanA，即 tanA=
A的邻边
结
锐角 A 的正弦、余弦和正切统称∠A 的三角函数.
注意：sinA，cosA，tanA 都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中 A 前面的
总
“∠”一般省略不写。
点
明确：0＜sina＜1，0＜cosa＜1.
识
若∠A 与∠B 互余，则有：
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
知
中
30°、45°、60°角的三角函数值
初
三角函数角
角度 sinα cosα tanα
1 3 3
30°
2 2 3
2 2
45° 1
2 2微信公众号：初中知识点总结大全，分享好用学习资料
3 1
60° 3
2 2
Sinα，tanα随着锐角α的增大而增大； Cosα随着锐角α的增大而减小．
在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另
三个元素，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）
在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
竖直高度
坡比：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝ ，坡
全
水平宽度
度通常用 l：m 的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三大角函数的概念可以知道，坡度
与坡角的关系是 i＝tan 坡角，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
结
四边形是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分
总
割成直角三角形和矩形
仰角、俯角的定义： 点
从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水
识
平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1 就是仰角， ∠2 就是俯角。
知
中
第2章 简单事件的概率
初
在数学中，我们把事件发生的可能性的大小，称为事件发生的概率
如果事件发生的各种可能结果的可能性相同，结果总数为n，事件A 发生的可能的结果
m
P(A)
总数为 m，那么事件 A 发生的概率是 。
n
无论哪个或哪些结果都是机会均等的；部分与全部之比，不要误会为部分与部分之比。
事件的概率表示：列表、树状图。
在用列表法分析事件发生的所有情况时往往第一次在列，第二次在行。表格中列在前，行在
后，其次若有三个红球，要分红 1、红 2、红 3。虽然都是红球但摸到不同的红球时不能表
达清楚的。
实验次数越多,频率越接近概率微信公众号：初中知识点总结大全，分享好用学习资料
尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事
件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件发生概率
的估计值。
率。
所以通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概
第3章直线与圆、圆与圆的位置关系
探究直线与圆的位置关系：
由直线和圆的公共点的个数，得出直线和圆的三种位置关系 ：
全
（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时的直线叫做圆的割线；
大
（2）相切：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共
结
点叫做切点；
（3）直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
总
线与圆的位置关系量化
点
r
识
O r O r O
d d
知
d
l
T
T l
(1)中
(2) T l
(3)
如果⊙初O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么：
1.d r 直线 l 与⊙O 相交；
2.d r 直线 l 与⊙O 相切；
3.d r 直线 l 与⊙O 相离。
由于圆心 O 到直线 l 的距离等于圆的半径，因此直线l 一定与圆相切。
。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
圆的切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线。
经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
判定定理：
（1）根据切线的定义判定：即与圆有 公共点的直线是圆的切线。微信公众号：初中知识点总结大全，分享好用学习资料
（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于 的直线是圆的切线。
（3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的 并且 这条半径的直线是
圆的切线。
证明一条直线是圆的切线常用的辅助线有两种：
1、如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心得到辅助线半径，再证明所作半径
与这条直线垂直即可；
2、如果已知条件即没有给出圆上一点，也没有指出直径上的点，那么过圆心作直线的垂线
段为辅助线，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。
全
三角形的内切圆：
大
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这
个三角形叫做圆的外切三角形。
结
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
总
连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角。
点
三角形的内切圆和三角形的外接圆的类比：
图形 识⊙O 的名称 △ABC 的名称
A
知
F ⊙O 叫做△ABC 的内切圆 △ABC 叫做⊙O 的外切三角形
D O
中
B
C
E
初
A
⊙O 叫做△ABC 的外接圆 △ABC 叫做⊙O 的内接三角形
O
B
C
圆心 O 的名称 圆心 O 确定 “心”的性质
圆心 O 叫做△ABC 的内心 作两角的角平分线 内心 O 到三边的距离相等
外心 O 到三个顶点的距离相
圆心 O 叫做△ABC 外心 作两边的中垂线
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顶点与切点间的线段长与三角形三边关系：
如图，⊙I 切△ABC 三边于点 D、E、F，
A
1
则 AD=AF= (AB AC BC)
2 A
1
BD=BE= (AB BC AC)
2
F
D
1
D F
CE=CF= (AC BC AB)
2
I
I
特别地，当∠C=Rt∠时，如图，四边形 CEID C
C
E
B B E
是正方形，
全
内切圆的半径
1
r CD (CA CB AB)
大
2
1
S rl (其中 r 、l 分别是内切圆的半径和三角形的周长)
结
ABC 2
总
当两个圆有唯一公共点时，叫做两圆相切，唯一的公共点叫做切点。相切的两个圆，除
点
了切点外，一个圆上的点都在另一圆的外部时，我们就说这两个圆外切；相切的两个圆，除
了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，我们就说这两个圆内切。
识
知
中
T
O1
O2
01
O2 T
初
图2
图1
相切两圆的连心线（经过两个圆心的直线）必经过切点。
设两圆心的半径为 R 和 r(R>r)，圆心距为 d，则：
1.d R r 两圆外切；
2. d R r 两圆内切。
相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆的圆心的直线叫做连心线，是他们的对称轴，由
此我们得到相切两圆的连心线的性质：相切两圆的连心线必经过切点。微信公众号：初中知识点总结大全，分享好用学习资料
R r
o1 R o2
O1 O2
r O1 O2
(1) (2)
(3)
当两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交（如图 1）；当两个圆没有公共点时，叫做两圆相
离，相离的两个圆，如果一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们就说这两个圆外离（如图
全
2），如果一个圆上点都在另一个圆的内部。我们就说这两个圆内含（如图3）
观察上图，可以得到：
大
设两个圆的半径为 R 和 r,圆心距为 d,则
结
（1）两圆相交 R- r＜ d＜R+ r;
总
（2）两圆外离 d＞R+ r;
（3）两圆内含 d＜R- r（R＞r）;
点
识
根据两圆相切，构造直角三角形，用勾股定理求解是一种常用的方法。
知
第4章投影与三视图
中
人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的
初
两条视线所成的角叫做视角。
我们把视线不能达到的区域叫做盲区。
投影：
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。光线叫做投射线，
影子（也叫投影）所在的平面叫做投影面．
因为太阳离我们非常遥远，所以太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影成
为平行投影.微信公众号：初中知识点总结大全，分享好用学习资料
物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变， 当小棒、三角形
等纸片与投影面平行时，它们的影子的大小和形状与原物全等，当小棒、三角形等纸片与太
阳光线平行时，它们的影子形成一个点,一条线.。
由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影。
由同一点出发的投影线所形成的投影叫做中心投影。
全
平行投影与中心投影的区别与联系
大
区别
结
联系
总
物体与投影面平行
光线
点
时的投影
识
平行投影 平行的投射线 全等
都是物体在光线的照射下，
知
在某个平面内形成的影子。
中
从一点出发的
(即都是投影)
中心投影 放大(位似变换)
投射线
初
在平行投影中，如果投影射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影。正投影面上的正投影是主视图，
水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图。
在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主
视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。
