文档内容
第 1 章 数学与我们同行
一、生活 数学
1、生活中的数学
观察、积累生活中常见的数学符号，了解它们表达的意义
如：身份证号码、邮政编码……
2、生活中的图形
观察、认识生活中的图形，感知它们与数学知识的联系
如：城市建筑群、超市的商品……
二、活动 思考
1、数学活动——动手操作、探索新知
数学活动包括观察、试验、操作、猜想、归纳等。
2、数学思考——规律探索
数形结合、从特殊到一般的思想方法 图形规律、数字规律
三、思想方法
转化思想、建模思想、归纳思想、从特殊到一般……
四、常见题型
探究数字、图形规律题
实践操作题
图案设计题
简单的数字推理题第二章 有理数
一、正数和负数
1 、正数和负数的概念
（1）负数：比0小的数。
（2）正数：比0大的数。
0既不是正数，也不是负数。
（3）注意：
①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数
时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数
是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简
单判断）。
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”
的正数的符号是正号。
2 、具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，
比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃。
3 、 0 表示的意义
（1）0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
（2）0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
二、有理数
1 、有理数的概念
（1）正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）。（2）正分数和负分数统称为分数。
（3）正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的
数称为有理数。
2 、理解 ： 只有能化成分数的数才是有理数。
（1）π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
（2）②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
3 、注意 ：
引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶
数，-1,-3,-5…也是奇数。
4 、有理数的分类
（ 1 ）按有理数的意义分类：
（ 2 ）按正、负来分类：（3）总结：
①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
三、数轴
1 、数轴的概念
（1）规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
（2）注意：
①数轴是一条向两端无限延伸的直线；
②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；
③同一数轴上的单位长度要统一；
④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2 、数轴上的点与有理数的关系
（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点
表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有
理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的
点 π 不是有理数 ）
3 . 利用数轴表示两数大小
（1）在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；（3）两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4 . 数轴上特殊的最大（小）数
（1）最小的自然数是0，无最大的自然数；
（2）最小的正整数是1，无最大的正整数；
（3）最大的负整数是-1，无最小的负整数。
5. a 可以表示什么数
（1）a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
（2）a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0；
（3）a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0。
6 . 数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长
度则加上几，从而得到所需的点的位置。
四、相反数
1 、相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0
的相反数是0。
注意：
（1）相反数是成对出现的；
（2）相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
（3）0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。2 . 相反数的性质与判定
（1）任何数都有相反数，且只有一个；
（2）0的相反数是0；
（3）互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相
反数，则a+b=0。
3 . 相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相
反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距
离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4 . 相反数的求法
（1）求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5
的相反数是-5）；
（2）求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简
（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
（3）求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简
(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
5 . 相反数的表示方法
（1）一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负
数或0。
①当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
②当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
③当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）6 . 多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；
“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，
“-”的个数是偶数时，结果为正。
五、绝对值
1 、绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2 、绝对值的代数定义
（1）一个正数的绝对值是它本身；
（2）一个负数的绝对值是它的相反数；
（3）0的绝对值是0。
3 、可用字母表示为
（1）如果a>0，那么|a|=a；
（2）如果a<0，那么|a|=-a；
（3）如果a=0，那么|a|=0。
4 、可归纳为
（1）a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数
是非负数。）
（2）a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其
相反数的数是非正数。）5 、绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所
以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即
（1）0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；
（2）一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；
（3）任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
（4）绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a
（a>0），则x=±a；
（5）互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|
a|=|b|；
（6）绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或
a=-b；
（7）若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|
=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只
有这几个非负数同时为0）
6 、有理数大小的比较
（1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边
的小；
（2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而
小；异号两数比较大小，正数大于负数。
7 、绝对值的化简
（1）当a≥0时， |a|=a ；
（2）当a≤0时， |a|=-a。8 、已知一个数的绝对值， 求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的
点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为
相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
六、有理数的加减法
1 . 有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大
的绝对值减去较小的绝对值；
（3）互为相反数的两数相加，和为零；
（4）一个数与零相加，仍得这个数。
2 . 有理数加法的运算律
（1）加法交换律：a+b=b+a
（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常
有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3 . 加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0后的和等于原
数。即：（1）当b>0时，a+b>a
（2）当b<0时，a+b
