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湘教版九年级上册数学知识点总结
第 一 章 反 比 例 函 数
( 一 )反比例函数
(k≠0)可以写成 y=kx⁻ ¹(k≠0)的形式，注意白变量 x 的指数为-1,在解决有关
1.
自变
量指数问题时应特别注意系数k≠0 这一限制条件；
(k≠0) 也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k, 从而
2.
得到反比例函数的解析式；
(二)反比例函数的图象与性质
1. 函数解析式： (k≠0)
2. 自变量的取值范围： x≠0
3. 图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量 x 的取值不能为
0, 且 x 应对称取点(关于原点对称).
(1)图象的形状：双曲线 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直. 越小，图象的弯曲度越大.
(2)图象的位置和性质：自变量x≠0, 函数图象与 x 轴、y 轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐
近
线.
当k>0 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， y 随 x 的增大而减小；
当k<0 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内， y 随 x 的增大而增大.
(3)对称性：图象关于原点对称，若 (a,b) 在双曲线的一支上，(-a,-b) 在双曲线的另一支上.
图象关于直线 y=±x 对称，即若 (a,b) 在双曲线的一支上，则 (b,a) 和(-b,-a)
在
双曲线的另一支上.
4.k 的几何意义： 如图1,设点 P(a,b) 是双曲线 上任意 点，作 PA⊥x 轴 于A 点 ，
PB⊥y
轴于B 点，则矩形 PBOA 的面积是 (三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是如图 2,由双曲线的对称性可知， P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QC⊥PA 的延长线于
C,则有三角形 PQC 的面积为2|k|
图1 图2
5. 说明：
(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一
概而论.(2)直线 y=k x 与双曲线 的关系：当 k k ₂ >0 时，两 图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
(三)反比例函数的应用
1、求函数解析式的方法：(1)待定系数法；(2)根据实际意义列函数解析式.
2、反比例函数与一次函数的联系.
3、充分利用数形结合的思想解决问题.
第二章 一 元二次方程
(一)一元二次方程
1、只含有一个未知数的整式方程(分母不含未知数),且都可以化为ax²+bx+c=0(a、b、c为常数，
a≠0) 的形式，这样的方程叫一元二次方程。
2、把ax²+bx+c=0(a、b、c 为常数， a≠0) 称为一元二次方程的一般式， a 为二次项系数； b
为一 次项系数； c 为常数项(包括符号)。
(二)一元二次方程的解法
1、直接开平方法：如果方程化成 x²=p(p≥0) 的形式，那么可得 x=±√p;
如果方程能化成(nx+m)²=p (p≥0)的形式，那么 nx+m=±√p 进而得出方程的根。
2、 配方法：配方式
基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成 1;③把常数项移到
方 程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成左边为一个完全平方式， 右
边化
为一个常数；两边开方求其根。
23、公式法 . (注意在找 a、b、c 时须先把方程化为一般形式)
4、分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因
式” 和“十字相乘”)
(三)一元二次方程根的判别式
判别式△=b²-4ac与根的关系：
当b²-4ac>0时，则方程有两个不等的实数根；
当b2-4ac=0时，则方程有两个相等的实数根；
当b²-4ac≥0时，则方程有两个实数根；
当b³-4ac<0 时，则方程无实数根
(,上述结论反之也成立，但注意都同时要满足二次项系数a≠0)
(四)一元二次方程根与系数的关系：
1、根与系数关系：如果一元二次方程α²+bx+c=0 的两根分别为x
₁
、x₂, 则有：
. (韦达定理)
2、 一元二次方程的两根与系数的关系的作用：
(1)已知方程的一根，求另一根；
(2)不解方程，求二次方程的根x、x₂ 的对称代数式的值，特别注意以下公式：
①x²+x²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ ③(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂
④ |x₁-x₂ |=√(x₁+x₂)²-4x₁x₂ ⑤(|x|+|x₂D²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂+2|x₁x₂I
⑥x₁³+x₂²=(x₁+x₂)³-3x₁x₂(x₁+x₂) ⑦其他能用x
₁
+x₂ 或x
₁
x₂ 表达的代数式。
a(x-x₁)(x-
(3)已知方程的两根x 、x₂, 可以构造一元二次方程： x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0,
₁
(4)已知两数x 、x₂ 的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程x²- (x₁+x₂)x+x x₂=0
₁ ₁
的
两根。
(五)十元二次方程的应用
1、配方法作用： 一元二次方程配方可以解该方程： ax²+bx+c
(a≠0) (两边同时除以a 得 )
(可作为公式记忆)
(一次项系数 除以 2 并写成完全平方式得)
32、二次代数式配方可以求最值(应用题常考): 二次代数式 ax²+bx+c
提取二次项系数a 得 (不能同时除以二次项系数a)
合并常数项得 (作为公式记忆， 一步化到
位) 此时可知当 .时， ax²+bx+c 有最大值 (a<0) 最大值为
当： 时，αx²+bx+c 有最小值 (a.>0) 最小值为
3、平均增长率问题：(设月增长率为x)
①一月产量为a, 二、三月平均增长率为x, 三月产量为b, 则有a(1+x)²=b
②一月产量为a, 二、三月平均增长率为x, 第一季度产量为b, 则有a+a(1+x)+a(1+x)²=b
4、翻几番增长率问题：(设年增长率为x)
①两年翻一番,则a(1+x)²=2a, 解得 x=√2- 1≈41.4%
(次数2是指两年翻了两次，翻一番指起初数量 a 变成2a)
②两年翻两番，则a(1+x)²=4a , 解得 x=100%
(次数2是指两年翻了两次，翻一番指起初数量a 变成2a, 再翻一番就变成了4a)
5、互相握手、互相送礼问题：
①互相握手： (n 是指人数)
②互相送礼： n(n-1)=礼物总数 (n 是指人数)
6、涨价总利润问题：(设涨价x 元)
x
总利润=(定价+上涨价格x— 进价)(原销量一 ·每上涨的价格相应减少的销量)
每上涨的价格
7、降价总利润问题：(设降价x 元)
x
总利润=(定价—降价价格x— 进价)(原销量+ ·每下降的价格相应增加的销量)
每下降的价格
第 三 章 图形的相似
(一)比例线段
1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段 a,b 的长度分别为m,n, 那么就说这两条线段的比
是，或写成
在两条线段的比a:b 中， a 叫做比的前项， b 叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例
线
段，简称比例线段
若四条 a,b,c,d 满足或a:b=c:d, 那么a,b,c,d 叫做组成比例的项，线段a,d
做比例外项，线段b,c 叫做比例内项，线段的d 叫做 a,b,c 的第四比例项。
那么线段 b 叫做线段 a,c
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 或 a:b=b:c,
的比例中项。
2、 比例的性质
(1)基本性质①a:b=c:d⇔ad=bc ②a:b=b:c⇔b²=ac
(2)更比性质(交换比例的内项或外项)
(3)反比性质(交换比的前项、后项):
(4)合比性质：
(5)等比性质：
3、 黄金分割
把线段AB 分成两条线段 AC,BC(AC>BC), 并且使AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄
金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点值得关注的近似数：假设AB=1 则 AC≈0.618
BC=AD≈0.382)
C B
定义：
5(二)平行线分线段成比例
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：如图，因为 AD//BE//CF,
所以AB:BC=DE:EF; AB:AC=DE:DF; BC: AC=EF: DF。
也可以说AB:DE=BC:EF; AB:DE=AC:DF; BC:EF=AC:DF
推论：(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平
行于三角形的第三边。
(2)平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
(三)相似图形
1、对应角相等，对应边的比相等的两个图形就叫相似图形。
2、相似多边形：(1)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形
叫
做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数)
(2)相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
② 相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比
④相似多边形面积的比等于相似比的平方
(四)相似三角形的判定和性质。
1、 相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，相似三角形
对
应边的比叫做相似比(或相似系数)。
62、 相似三角形的基本定理
(1)反身性：对于任一 △ABC, 都有△ABC∽△ABC;
(2)对称性：若△ABC∽△A’B'C’, 则 △A’B’C'∽△ABC
(3)传递性：若△ABC∽△A’B’C’, 并且△A’B’C′∽△A’’B''C’’, 则 △ABC △A''B''C''。
3、三角形相似的判定
(1)三角形相似的判定方法
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原
三
角形相似
③判定定理 1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角
形
相
似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
判定定理 2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那
么
这
两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理 3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角
形
相
似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似
(2)直角三角形相似的判定方法
①以上各种判定方法均适用
② 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对
应
成
比例，那么这两个直角三角形相似
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、 相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比
(2)相似三角形周长的比等于相似比
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
(五)相似三角形的应用
测量高度：如测量旗杆的高度：利用同一时刻下阳光的影子 A 物高： B 物高=A 影长： B 影长
(六)位似图形71、位似图形：
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经
过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做
位似中心，此时的相似比叫做位似比。
2、性质：(1)位似图形对应线段的比等于位似比。
(2)位似图形的对应角都相等。
(3)位似图形对应点连线的交点是位似中心。
(4)位似图形面积的比等于位似比的平方。
(5)位似图形高、周长的比都等于位似比。
(6)位似图形对应边互相平行或在同一直线上
第四章 锐角三角函数
(一)正弦、余弦、正切
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c的平方。 | a²+b²=c ²
2、 如下图，在Rt△ABC 中，∠C为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):
定 义 表达式 取值范围 关 系
正
00
切 (∠A为锐角)
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
sin A=cos(90°-A)
cos A=sin(90°-A)
sin A=cosB
4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
cos A=sin B
三角函数
0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1
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载
cosα 1 0
0 1 √3
tanɑ
5、 正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时， sinα随α的增大而增大， cosα随α的增大而减小。
6、 正切的增减性：
当0°<α<90°时， tanα随α的增大而增大
(二)解直角三角形：
1、 定义：已知边和角(两个，其中必有一边) →所有未知的边和角。
2、 依据：①边的关系： a²+b²=c²;② 角的关系： A+B=90°;③ 边角关系：三角函数的定义
(三)解直角三角形的应用：
1、仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
2、 坡面的铅直高度h 和水平宽度1的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 。坡度一般写成
1:m 的形式，如 i=1:5 等。把坡面与水平面的夹角记作 α(叫做坡角),那么
3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3,0A、OB、OC 的方
向 角分别是：45°、135°、225°
4、 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,0A、OB、
OC、 OD 的方向角分别是：北偏东 30° (东北方向) , 南偏东 45° (东南方向),
南偏西 60° (西南方向), 北偏西 60° (西北方向)。
第 五 章 用 样 本 推 断 总 体
(一)平均数的计算方法
(1)定义法： 一般地，如果有n 个 数x₁,x₂, …,x,, 数据比较分散，那么，
这n 个数的平均数， x 读作“x 拔”。
(2)加权平均数法：如果所给数据重复出现，即n 个数中， x 出 现f 次， x₂ 出 现f₂ 次， … , x 出
现f
9次(这里f+f₂+…fx=n) 那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为
,这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中f,f2,…,f₁叫做权。
(3)新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时， 一般选用简化公式： x=x'+a。
其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， (x¹=x₁-a,x'₂=x₂-a,…,
x',=x.-a 。 是新数据的平均数(通常把x₁,x₂,…,x,,叫做原数据，
x,x²₂,…,x, 叫做新数据)。
(二)、统计学中的几个基本概念
1、总体：所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体：总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
7、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平
均
数)
叫做这组数据的中位数。
(三)总体平均数和方差的估计
1、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数； 统计中，通常用样本平均数估计总体平
均
数。
2、方差：在一组数据x₁,x₂, …,x,, 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据
的
方差。通常用 “s²” 表示，即
(1)简化计算公式 (I): (此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方)
也可写成
(2)简化计算公式(Ⅱ); 当一组数据中的数据较大时，可以依
照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减 1 平 均 ,得到一组新
数
据
1
图 图x¹=x₁-a,x²₂=x₂-a, …,x¹,=xη-a, 那么，
(此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方)
(3)新数据法：原数据 x₁,x₂,…,x,,的方差与新数据 x=x₁-a,x'2=x₂-a,…,xn=x,-a
的方 差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得 x¹,x₂,…,x',,的方差就等于原数据
的方差。
3、标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
(方差或标准差越大，离散程度越大，稳定性越差，反之越稳定)
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