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湘教版八年级数学上册知识大全
六、分式的四则运算与分式的乘方
1、分式的乘除法法则：
第一章 分 式
一、分式的定义： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
一般地，如果A,B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式， A 为分子，B 为分 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：
母。
二、与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0 (B≠0) ②分式无意义：分母为0 (B=0) 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：
③分式值为0:分子为0且分母不为0 3、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，
字母表示： ,其中A、B、C 是整式，C≠0。
再通分。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 4、分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，
即： 提 高解题质量。
注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C≠0 这个限制条件和隐含条件B≠0. 注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查
四、分式的约分 对有无错误或分析出错的原因。
1. 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
2. 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。 七、整数指数幂
3.注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去 ①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数
分 子分母相同因式的最低次幂。 指 数幂一样适用。即；
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4. 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 a" ·a"=a"+ (a")=a"" (ab)=a"b" a"÷a"=a"-* (a≠0)
◆约分时。分子分母公因式的确定方法：
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.
2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. a°=1(a≠0) (任何不等于零的数的零次幂都等
3)如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母分解因式，然后判断公因式. 于
五、分式的通分
1. 定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 1)其中m,n 均为整数。
(依据：分式的基本性质!) 八、分式方程的解的步骤：
2. 最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 (1)去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)
(2)解整式方程，得到整式方程的解。
◆通分时，最简公分母的确定方法：
(3)检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
1. 系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 如果最简公分母为0,则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0,则是原
3. 如果分母是多项式，则应先把每个分母分解因式，然后判断最简公分母， 方 程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
第-1-页共6页九、列分式方程——基本步骤：
审：仔细审题，找出等量关系。设：合理设未知数。列：根据等量关系列出方程(组)。
第-1-页共6页解：解出方程(组)。验：检验 答：答题。
5、三角形中三角的关 区 别 相 同
系
(1)三角形内角和定理： 角平
第二章 三角形 三角形的内角和为 分线 平分内角 三条角平分线都一定在三角形内部
1、三角形： 180°。 1、都是线段
定义： 不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形， (2)三角形外角和定 中线 平分对边 三条中线都在内部，平分三角形面积 2、都从顶点画出
(1)三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C 的三角形，记作 理： 三 角 形 的 3、所在直线相交
“△ABC”, 读作“三角形ABC”。 外 角 和 为 锐角三角形三条高线都在三角形内部 于一点
(2)组成三角形的三条线段叫做三角形的边， 360° 高线 垂直于对边 直角三角形其中两条恰好是直角边
(3)三角形的一个外 或其延长线
(3)∠A、∠B、∠C 为△ABC 的三个内角，也称三角形的角。 角 等于与它不相邻 钝角三角形其中两条在三角形外部
2、 三角形的分类 的两个 内角的和.
(4)三角形的一个外
不等边三角形 6、三角形有稳定性、 四边形有不稳定性.
(1)按边分 只有两边相等的等腰三 角形 7、定义： 对一个概念含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫做定义。
等腰三 等边三角形
8、命 题 ：对某件事情作出判断的语句(陈述句)叫做命题。
(1)命题由题设和结论两部分组成，常可写成“如果 ……那么 …… ”的形式。
(2)正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
(3)一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称
(2)按角分类：三角形 为互逆命题
9、定理： 经过证明为真的命题叫做定理。
10、公理： 人们长期以来在实践中总结出来的命题叫做公理。
·锐角三角形，即三个内角都是锐角的三角形； 11、等腰三角形
·直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，常用 “Rt△”表示直角三角形 定义： 有两边相等的三角形叫做等腰三角形
·钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。 性质：
3、三角形的三边关系 (1)等腰三角形的两腰相等，两底角相等
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合(三线合一)
(1)判断三条线段能否组成三角形的方法：当较短两边之和大于最长边时， (3)等腰三角形是轴对称图形。
可以组成三角形，否则不可以组成三角形。 判定
(2)确定第三边取值范围的方法：第三边大于两边的差而小于两边的和。 (1)定义法
4、三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线。 (2)有两角相等的三角形是等腰三角形。
(1)三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交 12、等边三角形
点 之间的线段叫做三角形的角平分线。 定义： 三边相等的三角形叫做等边三角形
(2)三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
性质：
(3)从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的 (1)等边三角形的三边相等；三角相等，每个角都是60度
线段叫做三角形的高线.,简称为三角形的高。
(2)等边三角形每个的角平分线、对边的高、对边的中线重合(三线合一)
(3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
判定
(1)定义法
(2)三个角相等的三角形是等边三角形
第-2-页共6页(3)有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形
13、线段的垂直平分线(中垂线) 术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a, 即x²=a
(1)垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线(中垂线) 那么这个非负数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为 √ a ,
(2)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
(3)到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上。 算术平方根为非负数 √a≥0
14、全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形。 正数的平方根有2个，它们互为相反数
(1)全等图形的形状和大小都相同。 平方根O的平方根是0
(2)全等图形的对应角和对应线段分别相等。
负数没有平方根
(3)全等图形的面积或周长均相等。
15、全等三角形 2.无理数的表示 定义： 如果一个数的平方等于 a , 即 x²=a , 那么这个
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形， 数就 叫做a的平方根，记为± √a
(1)用符号“四”表示，读作“全等于”,对应顶点的字母写在对应的位置
上 正数的立方根是正数
(2)相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角 立方根 负数的立方根是负数
性质： 0的立方根是0
(1)全等三角形的对应边、对应角相等。
定义： 如果一个数 x 的立方等于 a , 即 x³=a , 那么这
(2)全等三角形的对应角平分线、对应高、对应中线相等
(3)全等三角形的面积相等、周长相 个数 x 就叫做 g 的立方根，记为
等 判定
(1)两边及其夹角对应相等的两三角形全等，简写为. “边角边”或 “SAS” 5。与实数有关的概念：
(2)两角及其夹边对应相等的两三角形全等，简写为“角边角”或 “ASA” 概念有理数和无理数统称实数
(3)两角及其中一角的对边对应相等的两三角形全等。“角角边”或"AAS"。
有理数
(4)三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或"SSS"。 正
第三章实数 分类 无理数 或 0
1。平方根和算术平方根的概念及其性质： 负数
(1)概念：如果x²=a, 那么x 是a 的平方根，记作：± √a; 其中 √a 叫做a的算术平方根。 3.实数及其相关概念
绝对值、相反数、倒数的意义同有理数
(2)性质：①当a≥0 时， √a≥0; 当a<0 时， √a 无意义；
②(√a)=a:③√a=|. 实数与数轴上的点是一一对应
实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则
2. 立方根的概念及其性质： 运算规律相同。
(1)概念：若x²=a, 那么x 是a 的立方根，记作：Va;
(2)性质：① √C=a;②( √)=a;③ √-
a=- 3。实数的概念及其分类：
第四章 一元一次不等式和不等式组
(1)概念：实数是有理数和无理数的统称；
(2)分类：按定义分为有理数可分为整数和分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小 一、一元一次不等式
数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
(书 上有图) 1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
4、无理数：无限不循环小数
2.一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
注：其标准形式： ax+b<0 或 ax+b≤0, ax+b>0 或 ax+b≥0(a≠0).
第-3-页共6页xa x≤a x≥a 六、解一元一次不等式组的步骤
二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为xa (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
或x≥a 或r≤a) 的形式，其一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项：(5)
系 七、一元一次不等式的综合应用
第五章 二次根式
数化为1。
一、 二次根式的概念
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似。不同的是： 一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一
一般地，我们把形如 √a(a≥0) 的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。
个 负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方。
三、一元一次不等式组 ★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
(1)二次根式的概念是从形式上界定的， 必须含有二次根号“√”,“√”的根指数
含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件： 为2
①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；
即 ”,我们一般省略根指数2,写作 可以写作 √⑤。
②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多.
(2) 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
四、一元一次不等式组的解集 3)式子 √表示 非负数 a 的算术平方根，因此a≥0,√C≥0。其中a≥0 是 √有
一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分。叫做这个一元一次不等式组的解集。 意义的
一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定。
前提条件。
五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(ab, 如下图： ② 的解集是x0) 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 一、同类二次根式
★将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式是同类二次根式。
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数(或分式)的 合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数(式)相加，根指数和被开方数不变，合并
的 依据是乘法分配律，如m√atm√a=(m+n)√a
二、二次根式的加减
二次根式时，先将其化 的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分
★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被同类二次根式进行合并。
母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成 ★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：
假 分数。 (1)将各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出化简后被开方数相同的二次根式；(3)合
五、最简二次根式的概念 并被开方数相同的二次根式一将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：
★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 化简→判断→合并。
(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ★二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：
★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释： 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法
(1)被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；
系数 系数相乘除 系数相加减
(2)被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。
被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变
★化简二次根式的一般方法
方法 举例 化简 结果化成最简二次根 先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根
式 式
将被开方数中能开得尽 √8= √4×2=2 √2, √xy'= √xy',x=xy^Y
二、二次根式的混合运算
方的因数或因式进行开
方 ★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，
有 括号的先算括号里面的(或先去掉括号)。
★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。
化去 注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运
根号
用 公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。
下的
分母
分
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