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专题 4.9 一元一次方程含参问题必考七大类型（49 题）
【人教版2024】
【类型1 根据一元一次方程的定义求参·7题】.....................................................................................................1
【类型2 已知一元一次方程的解直接代入求参·7题】.........................................................................................3
【类型3 根据一元一次方程的整数解求参·7题】.................................................................................................6
【类型4 根据一元一次方程解的个数情况求参·7题】.......................................................................................10
【类型5 由两个一元一次方程的解之间的关系求参·7题】...............................................................................13
【类型6 利用换元法求含参一元一次方程的解·7题】.......................................................................................16
【类型7 根据一元一次方程的错解求参·7题】...................................................................................................19
【类型1 根据一元一次方程的定义求参·7题】
1．（2024春•南关区校级月考）已知关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+6＝3k是一元一次方程，则k＝（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1
【分析】根据等式两边只有一个未知数且未知数的最高指数为1的方程是一元一次方程列式求解即可得
到答案．
【解答】解：∵方程（k﹣2）x|k|﹣1+6＝3k是一元一次方程，
∴|k|﹣1＝1且k﹣2≠0，
解得k＝﹣2，
故选：C．
2．（2024春•商水县校级期中）若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值
为（ ）
1 1
A．0 B．﹣1 C．− D．
2 2
【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的次数为 1的方程是一元一次方
程”，即可解答．
【解答】解：∵方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，
∴2k+1＝0，﹣（2k﹣1）≠0，
1
解得：k=− ，
2故选：C．
3．（2023秋•任城区校级期末）若方程（a﹣2）x2|a|﹣3+3＝﹣2是关于x的一元一次方程，则这个一元一次
方程为（ ）
A．4x+3＝﹣2 B．﹣4x+3＝﹣2 C．4x﹣3＝﹣2 D．﹣4x2+3＝﹣2
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这
样的整式方程叫一元一次方程．
【解答】解：∵方程（a﹣2）x2|a|﹣3+3＝﹣2是关于x的一元一次方程，
{ a−2≠0 )
∴ ，
2|a|−3=1
解得a＝﹣2．
∴这个一元一次方程为﹣4x+3＝﹣2．
故选：B．
4．（2023秋•和平区期末）若（m﹣2）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．任何数
【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，系数不为
0，则这个方程是一元一次方程．据此列出关于m的等式，继而求出m的值．
{ m−2≠0 )
【解答】解：根据一元一次方程的特点可得 ，
2m−3=±1
解得m＝1．
故选：A．
5．（2024春•杨浦区校级期中）如果关于x的方程kx+5＝2x﹣1是一元一次方程，那么k的值为 ．
【分析】先移项得到一元一次方程的一般式，再根据一元一次方程的定义列出关于k的不等式，求出k
的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程kx+5＝2x﹣1是一元一次方程，
∴（k﹣2）x+6＝0，
∴k+2≠0，解得：k≠2．
故答案为：k≠2．
6．（2024春•项城市期末）若3xm+（n﹣2）y﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则m+n＝ ．
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程，它的
一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此可得出关于m、n的方程，可求出m、n的值，代入
计算即可得出答案．【解答】解：∵3xm+（n﹣2）y﹣5＝0是关于x的一元一次方程，
∴m＝1，n﹣2＝0，
解得m＝1，n＝2，
∴m+n＝1+2＝3．
故答案为：3．
7．（2023秋•嘉祥县期末）如果方程(m+2)xm2−3+5=0是关于x的一元一次方程，那么m的值是
．
【分析】根据等式两边是只含有一个未知数且未知数的次数为1的整式的方程叫一元一次方程直接列式
求解即可得到答案．
【解答】解：∵方程(m+2)xm2−3+5=0是关于x的一元一次方程，
∴m2﹣3＝1，m+2≠0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【类型2 已知一元一次方程的解直接代入求参·7题】
a+4 y a−2y
1．（2023秋•靖宇县期末）若关于y的一元一次方程 = +1的解是y＝﹣4，则a的值是（
6 2
）
A．23 B．﹣23 C．20.5 D．﹣20.5
【分析】根据一元一次方程解的定义，把y＝﹣4代入原方程，得到关于a的方程，然后去分母，去括
号，移项，合并同类项，把x的系数化成1即可．
a+4 y a−2y
【解答】解：把 y＝﹣4 代入方程 = +1 得：
6 2
a−16 a+8
= +1，
6 2
a﹣16＝3（a+8）+6，
a﹣16＝3a+24+6，
a﹣16＝3a+30，
a﹣3a＝30+16，
﹣2a＝46，
a＝﹣23，故选：B．
2．（2023秋•康县期末）若x＝2是关于x的方程2a﹣5（x﹣1）＝3x﹣（3a+1）的解，则a等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接把x的值代入进而得出答案．
【解答】解：∵x＝2是关于x的方程2a﹣5（x﹣1）＝3x﹣（3a+1）的解，
∴2a﹣5（2﹣1）＝3×2﹣（3a+1），
解得a＝2．
故选：B．
3．（2023秋•陇县期末）关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4+2（m﹣1）的解为x＝﹣2，则m﹣a的值是（
）
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
【分析】先根据定义求出来a的值，然后将一元一次方程的解代入，求得m的值，即可求得结果．
【解答】解：∵2xa﹣2+m＝4+2（m﹣1）是一元一次方程，
∴a﹣2＝1，即a＝3，
∴2x+m＝4+2（m﹣1），
∵2x+m＝4+2（m﹣1）的解为x＝﹣2，
∴2×（﹣2）+m＝4+2m﹣2，即m＝﹣6，
∴m﹣a＝﹣6﹣3＝﹣9，
故选：D．
t n
4．（2023秋•海安市期末）实数m是关于x的方程3x﹣n＝1的解，若a＝m﹣t，b= − ，则a+2b的值
2 6
为（ ）
1
A．﹣1 B． C．1 D．3
3
t n n
【分析】把x＝m代入3x﹣n＝1，得3m﹣n＝1，由此可得n＝3m﹣1，由b= − 可得2b＝t− ，再把
2 6 3
3m−1
n＝3m﹣1代入可得2b＝t− ，然后把a与2b的值代入计算即可．
3
【解答】解：∵实数m是关于x的方程3x﹣n＝1的解，
∴3m﹣n＝1，
t n
∵b= − ，
2 6n 3m−1
∴2b＝t− =t− ，
3 3
∴a+2b
3m−1
＝m﹣t+t−
3
3m−1
＝m−
3
1
＝m﹣m+
3
1
= ．
3
故选：B．
5．（2023秋•东阿县期末）已知x＝2是方程3x﹣m＝x+2n的解，则式子m+2n+2023的值为 202 7 ．
【分析】将x＝2代入方程3x﹣m＝x+2n，求得m+2n＝4，由此再求代数式的值即可．
【解答】解：∵x＝2是方程3x﹣m＝x+2n的解，
∴6﹣m＝2+2n，
∴m+2n＝4，
∴m+2n+2023＝4+2023＝2027，
故答案为：2027．
6．（2024•渝北区校级开学）已知x＝3是关于x的一元一次方程（m﹣1）x+m2＝1的解，则2026﹣2m2﹣
6m的值是 201 8 ．
【分析】先根据方程解的定义得到关于m的等式，再整体代入求值．
【解答】解：把x＝3代入关于x的一元一次方程，得（m﹣1）×3+m2＝1，
整理，得m2+3m＝4．
∴﹣2m2﹣6m＝﹣8．
∴2026﹣2m2﹣6m
＝2026﹣8
＝2018．
故答案为：2018．
x m(x−1)
7．（2023秋•广州期末）已知x＝3是关于x的方程( +1)+ =1的解，n满足关系式|m+n|＝2，
3 2
则mn的值是 1 或﹣ 3 ．
【分析】把x＝3代入方程即可求出m的值，再将m的值代入|m+n|＝2中即可求出n的值，从而求出mn的值．
x m(x−1)
【解答】解：∵x＝3是关于x的方程( +1)+ =1的解，
3 2
3 (3−1)m
∴( +1)+ =1，
3 2
∴2+m＝1，
解得m＝﹣1，
∵|m+n|＝2，
∴|﹣1+n|＝2，
解得n＝﹣1或3，
∴mn＝1或﹣3，
故答案为：1或﹣3．
【类型3 根据一元一次方程的整数解求参·7题】
kx−1 x−1
1．（2023秋•福清市期末）已知关于x的方程 − =1的解为正整数，则符合条件的所有整数 k
3 6
的和为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．1
7
【分析】求得方程的解x= ，根据解是正整数，分类计算即可．
2k−1
kx−1 x−1
【解答】解： − =1，
3 6
2（kx﹣1）﹣（x﹣1）＝6，
2kx﹣2﹣x+1＝6，
（2k﹣1）x＝7，
7
∴ ，
2k−1
kx−1 x−1
∵方程 − =1的解为正整数，
3 6
∴2k﹣1＝1，2k﹣1＝7，
解得k＝1或k＝4，
∴符合条件的所有整数k的和为：1+4＝5．
故选：B．2−mx x+1
2．（2024•渝中区校级开学）若关于x的方程x− = 的解是负整数，m是整数，则所有满足条
6 3
件方程的解的和为（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．﹣19 D．﹣24
【分析】先用含m的式子表示出方程的解，再根据题中的条件求出所有满足条件方程的解，最后加在一
起便是结果．
2−mx x+1
【解答】解：x− = ，
6 3
6x﹣2+mx＝2x+2，
（4+m）x＝4，
4
x= ．
m+4
∵方程解是负整数，m是整数，
∴m+4＝﹣4；
m+4＝﹣2；
m+4＝﹣1，
∴﹣4+（﹣2）+（﹣1）＝﹣7，
故选：B．
1−ax
3．（2023秋•渝北区期末）若关于x的方程2x− =2(x+1)−1的解是负整数，且关于y的多项式
3
（a2﹣1）y2+ay﹣1是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3
4
【分析】此题先解方程得出x= ，根据解为负整数得出a值，再根据多项式的项数与次数，进一步求
a
出a值，再计算和．
1−ax
【解答】解：2x− =2（x+1）﹣1，
3
4
解得：x= ，
a
∵解是负整数，
∴a＝﹣1或a＝﹣2或a＝﹣4，
∵多项式（a2﹣1）y2+ay﹣1是二次三项式，{a2−1≠0)
∴ ，
a≠0
解得：a≠±1且a≠0，
∴满足条件的整数a的值为﹣2或﹣4，
∴所有满足条件的整数a的值之和为（﹣2）+（﹣4）＝﹣6．
故选：B．
kx−2 x−3
4．（2024•渝中区校级开学）已知关于x的方程 − =1的解是整数，且k也是整数，则满足条
2 4
件的所有k值的和为 2 ．
kx−2 x−3 5
【分析】先求解方程 − =1，解得：x= ，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所
2 4 2k−1
有k值的和．
kx−2 x−3 5
【解答】解：解方程 − =1得：x = ，
2 4 2k−1
∵x为整数，且k是整数，
∴k的值为0或1或3或﹣2，
∴所有k值的和为0+1+3﹣2＝2，
故答案为：2．
7−x x+a
5．（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知关于x的方程 −1= 的解是非负整数，那么正整数a的所
3 6
有可能的值之和为 1 5 ．
8−a
【分析】此题先解方程得出x= ，根据方程的解为非负整数和a为正整数这两个已知条件，得出a
3
的值，继而进一步计算出所有正整数a的值之和．
7−x x+a
【解答】解： −1= ，
3 6
8−a
解得：x= ，
3
∵方程的解为非负整数且a为正整数，
∴8﹣a＝0或8﹣a＝3或8﹣a＝6，
∴a＝8或a＝5或a＝2，
∴所有满足条件的正整数a的值之和为8+5+2＝15．
故答案为：15．x 2−ax
6．（2024春•萨尔图区校级期末）已知关于x的方程 −2=x− 有非正整数解，则整数a的所有可
3 6
能的取值的和为 2 ．
4 4
【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为x= ，结合原方程有正整数解，可得出 为正
3−a 3−a
整数，结合a为整数，可求出a的所有可能的值，再将其相加，即可求出结论．
x 2−ax
【解答】解：∵ −2＝x− ，
3 6
∴2x﹣12＝6x﹣2+ax，
∴（﹣4﹣a）x＝10，
10
∴x=− ．
4+a
x 2−ax
∵关于x的方程 −2＝x− 有非正整数解，
3 6
10
∴− 为非正整数，
4+a
又∵a为整数，
∴a＝6或1或﹣2或﹣3，
∴整数a的所有可能的取值之和为﹣2+6+1+（﹣3）＝2．
故答案为：2．
1−ax 5x+5
7．（2023秋•锦江区校级期末）若关于x的方程2x− = −1的解是整数，且关于y的多项式
3 3
ay2﹣（a2﹣4）y+1是二次三项式，则满足条件的整数a的值是 ﹣ 4 ．
【分析】求出方程的解，根据其解是整数，确定a的可能值，再根据多项式的次数和项数，进一步求出
a的值即可．
1−ax 5x+5
【解答】解：2x− = −1，
3 3
6x﹣（1﹣ax）＝5x+5﹣3，
（a+1）＝3，
3
x= ，
a+1
3
∵ 是整数，
a+1
∴a+1＝±1或±3，∴a＝0或﹣2或2或﹣4；
∵关于y的多项式ay2﹣（a2﹣4）y+1是二次三项式，
∴a≠0，且a2﹣4≠0，
∴a≠0，且a≠±2；
∴a＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【类型4 根据一元一次方程解的个数情况求参·7题】
2kx+a x−bk
1．（2024•金昌三模）若不论k取什么数，关于x的方程 − =1（a、b是常数）的解总是x
3 6
＝1，则a﹣b的值是（ ）
1 1 15 15
A．− B． C． D．−
2 2 2 2
2kx+a x−bk
【分析】将x＝1代入 − =1中，化简得到（4+b）k＝7﹣2a，由不论k取什么数，关于x
3 6
2kx+a x−bk
的方程 − =1（a、b是常数）的解总是x＝1可知，k的值对方程没有影响，即可得到
3 6
{ 4+b=0 )
，求解即可．
7−2a=0
2kx+a x−bk
【解答】解：∵不论k取什么数，关于x的方程 − =1（a、b是常数）的解总是x＝1，
3 6
2k+a 1−bk
∴ − =1，
3 6
∴4k+2a﹣1+bk＝6，
∴（4+b）k＝7﹣2a，
∴4+b＝0，7﹣2a＝0，
7
∴a= ，b=−4，
2
7 15
∴a−b= −(−4)= ，
2 2
故选：C．
2．（2023秋•泰兴市期末）已知a为常数，且无论k取何值，关于x的方程ak﹣2x＝kx﹣4的解总是x＝
2，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】把x＝2代入方程ak﹣2x＝kx﹣4得出ak﹣4＝2k﹣4，求出（a﹣2）k＝0，根据方程的解总是x
＝2得出a﹣2＝0，再求出a即可．
【解答】解：把x＝2代入方程ak﹣2x＝kx﹣4，得ak﹣4＝2k﹣4，
ak﹣2k＝﹣4+4，
（a﹣2）k＝0，
∵a为常数，且无论k取何值，关于x的方程ak﹣2x＝kx﹣4的解总是x＝2，
∴a﹣2＝0，
∴a＝2．
故选：D．
x mx+2
3．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的方程 + =n有无数个解，则2mn的值为（ ）
2 7
49 7 4
A． B．﹣2 C．− D．−
4 4 49
x mx+2
【分析】先解关于x的方程 + =n，根据它有无数个解，列出关于m，n的方程，求出m，n的
2 7
值，再代入2mn进行计算即可．
x mx+2
【解答】解： + =n，
2 7
7x+2（mx+2）＝14n，
7x+2mx+4＝14n，
7x+2mx＝14n﹣4，
（7+2m）x＝14n﹣4，
x mx+2
∵关于x的方程 + =n有无数个解，
2 7
∴7+2m＝0，14n﹣4＝0，
7 2
∴m=− ，n= ，
2 7
7 2
∴2mn=2×(− )× =−2，
2 7
故选：B．
4．（2023秋•椒江区校级期末）关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝（ ）
3 3
A．﹣5 B．0 C． D．
2 5【分析】要使一元一次方程无解，则需要一次项系数为 0，常数项不等于0，根据这个知识点可以得到
关于a的方程，从而求解即可．
【解答】解：由原方程得：2ax+10a﹣3x﹣1＝0，
即（2a﹣3）x＝1﹣10a，
要使方程无解，则2a﹣3＝0，
3
解得：a= ，
2
故选：C．
2kx+m x−nk
5．（2023秋•监利市期末）若关于x的方程 =2+ ，无论k为任何数时，它的解总是x＝2，
3 6
那么m+n＝ ﹣ 1 ．
【分析】将x＝2代入原方程即可求出答案．
2kx+m x−nk 4k+m 2−nk
【解答】解：将x＝2代入 =2+ ，得 =2+ ．
3 6 3 6
∴（8+n）k＝14﹣2m，
由题意可知：无论k为任何数时（8+n）k＝14﹣2m恒成立，
∴n+8＝0，14﹣2m＝0，
∴n＝﹣8，m＝7，
∴m+n＝﹣8+7＝﹣1，
故答案为：﹣1．
6．（2023秋•三明期末）已知关于x的方程a（2x﹣1）+3b＝5x﹣3有无数多解，则a﹣3b＝ 3 ．
【分析】首先把方程化成一般形式，方程无数多解，则一次项系数等于 0，常数项不等于0，即可求得
a，b的值．
【解答】解：方法1：a（2x﹣1）+3b＝5x﹣3，
去括号，得：2ax﹣a+3b＝5x﹣3，
移项、合并同类项得：（2a﹣5）x＝a﹣3b﹣3，
根据题意得：a﹣3b﹣3＝0，
解得：∴a﹣3b＝3．
方法2：a（2x﹣1）+3b＝5x﹣3，
去括号，得：2ax﹣a+3b＝5x﹣3，
移项、合并同类项得：（2a﹣5）x＝a﹣3b﹣3，{ 2a−5=0 )
根据题意得： ，
a−3b−3=0
5 1
解得：a= ，b=− ，
2 6
5 1
∴a﹣3b= + =3．
2 2
故答案为：3．
7．（2023秋•龙泉驿区期末）已知关于 y的方程2+5y＝（b+5）y无解，关于x的方程5+ax＝2a有唯一
解，则关于z的方程az＝b的解为 z ＝ 0 ．
【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．
2a−5
【解答】解：关于x的方程5+ax＝2a可以简化为：x= ，
a
∵关于x的方程5+ax＝2a有唯一解，
∴a≠0，
∵2+5y＝（b+5）y，
∴2+5y＝by+5y，
∴by＝2，
2
∴y= ，
b
∵关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解，
∴b＝0，
b
关于z的方程az＝b可以简化为：z= ，
a
∵a≠0，b＝0，
∴z＝0．
故答案为：z＝0．
【类型5 由两个一元一次方程的解之间的关系求参·7题】
m+ y
1．（2023秋•梁园区校级月考）已知关于y的方程6﹣3（y+1）＝0与 −3m=2+2y的解互为相反
2
数，则m＝（ ）
1 1
A． B．− C．5 D．﹣5
5 5
【分析】根据相反数的定义构建方程求解，即可．【解答】解：∵6﹣3（y+1）＝0，
解得：y＝1，
m+ y
∵y的方程6﹣3（y+1）＝0与 −3m=2+2y的解互为相反数，
2
m+ y
∴方程 −3m=2+2y的解为：﹣1，
2
m−1
∴ −3m=2+2×(−1)，
2
1
解得：m=− ．
5
故选：B．
1 a
2．（2024•济南模拟）已知方程2（x﹣6）＝﹣16的解同时也是方程a(x+3)= a+x的解，则a2− +1
2 2
的值为 1 9 ．
【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出a的值，再把a的值代入所求
代数式计算即可．
【解答】解：2（x﹣6）＝﹣16，
2x﹣12＝﹣16，
2x＝12﹣16，
2x＝﹣4，
x＝﹣2，
1
∵方程2（x﹣6）＝﹣16的解同时也是方程a(x+3)= a+x的解，
2
1
∴(−2+3)a= a−2，
2
解得：a＝﹣4，
a −4
∴a2− +1=(−4) 2− +1=19．
2 2
故答案为：19．
3．（2023秋•陇县期末）若方程5x+4＝4x﹣3的解比方程2（x+1）﹣m＝﹣2（m﹣2）的解大2，则m＝
20 ．
【分析】先根据等式的性质求出第一个方程的解是 x＝﹣7，求出第二个方程的解是x＝﹣9，再把x＝﹣
9代入第二个方程得出2×（﹣9+1）﹣m＝﹣2（m﹣2），再求出方程的解即可．【解答】解：解方程5x+4＝4x﹣3，得x＝﹣7，
∵方程5x+4＝4x﹣3的解比方程2（x+1）﹣m＝﹣2（m﹣2）的解大2，
∴方程2（x+1）﹣m＝﹣2（m﹣2）的解是x＝﹣7﹣2＝﹣9，
代入得：2×（﹣9+1）﹣m＝﹣2（m﹣2），
解得：m＝20．
故答案为：20．
1 x−k
4．（2023秋•玉环市期末）若关于 x的一元一次方程x+k＝3和 x−k= 的解互为相反数，则 k＝
2 3
﹣ 1 ．
1 x−k
【分析】解解方程 x+k＝3 得：x＝3﹣k，故 x−k= 的解为：x＝k﹣3；将 x＝k﹣3 代入
2 3
1 x−k
x−k= 即可求解．
2 3
【解答】解：解方程x+k＝3得：x＝3﹣k，
1 x−k
∵方程x+k＝3和 x−k= 的解互为相反数，
2 3
1 x−k
∴ x−k= 的解为：x＝k﹣3，
2 3
1 x−k
将x＝k﹣3代入 x−k= 得：
2 3
1 k−3−k
(k−3)−k= ，
2 3
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
x+1 x+7 a−x
5．（2023秋•滕州市校级月考）如果方程2− = 的解也是方程2− =0的解，那么a的值是
3 6 3
7 ．
x+1 x+7 a−x
【分析】先求得方程2− = 的解，然后将x＝1代入2− =0解得a的值即可．
3 6 3
x+1 x+7
【解答】解：2− = ，
3 6
去分母得：12﹣2（x+1）＝x+7，
去括号得：12﹣2x﹣2＝x+7，
移项合并得：﹣3x＝﹣3，系数化为1得：x＝1．
a−x a−1
将x＝1代入2− =0得：2− =0，
3 3
去分母得：6﹣（a﹣1）＝0，
去括号得：6﹣a+1＝0，
解得：a＝7．
故答案为：7．
1
6 ． （ 2023 秋 • 夏 津 县 月 考 ） 已 知 关 于 x 的 方 程 (1−x)=1+k的 解 与
2
3 2 k 3(x−1)
(x−1)− (3x+2)= − 的解互为相反数，k＝ 1 ．
4 5 10 2
【分析】先求出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，列出关于k的方程，进行求解即可．
1
【解答】解：解方程 （1﹣x）＝1+k，得：x＝﹣2k﹣1，
2
3 2 k 3(x−1)
解方程 （x﹣1）− （3x+2）= − ，
4 5 10 2
去分母，得：15（x﹣1）﹣8（3x+2）＝2k﹣30（x﹣1），
去括号，得：15x﹣15﹣24x﹣16＝2k﹣30x+30，
移项、合并同类项，得：21x＝2k+61，
2k+61
系数化为1，得：x= ．
21
∵已知两方程的解互为相反数，
2k+61
∴﹣2k﹣1+ =0，
21
∴﹣42k﹣21+2k+61＝0，
∴﹣40k＝﹣40，
∴k＝1．
故答案为：1．
3
7．（2024春•桐柏县校级月考）当k为何值时，关于x的方程 +8x＝7k+6x的解比关于x的方程k（2+x）
4
＝x（k+2）的解大6．
3
【分析】通过解关于x的方程 +8x＝7k+6x、k（2+x）＝x（k+2），分别求得它们的解，然后依题意列
4出关于k的方程，求出k的值即可．
3 28k−3
【解答】解方程 +8x＝7k+6x的解是：x= ；
4 8
方程k（2+x）＝x（k+2）的解是：x＝k，
28k−3
依题意，得 −k＝6，
8
51
解得，k= ．
20
【类型6 利用换元法求含参一元一次方程的解·7题】
1
1．（2023秋•淄博期末）已知关于x的一元一次方程 x+3=2x+b的解为x＝﹣3，那么关于y的一元
2024
1
一次方程 （y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（ ）
2024
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
【分析】根据已知条件得出方程y+1＝﹣3，求出方程的解即可．
1
【解答】解：∵关于x的一元一次方程 x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，
2024
1
∴关于y的一元一次方程 （y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝﹣3，
2024
解得：y＝﹣4，
故选：D．
1
2．（2023秋•虞城县期末）若关于x的一元一次方程 x+4=3x+b的解为x＝﹣3，则关于y的一元
2024
1
一次方程 (y−1)+4=3(y−1)+b的解为（ ）
2024
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣2 D．y＝﹣3
1
【分析】根据关于 x的一元一次方程 x+4=3x+b的解为x＝﹣3得出关于y的一元一次方程
2024
1
(y−1)+4=3(y−1)+b中y﹣1＝﹣3，再求出y即可．
2024
1
【解答】解：∵关于x的一元一次方程 x+4=3x+b的解为x＝﹣3，
2024
1
∴关于y的一元一次方程 (y−1)+4=3(y−1)+b中y﹣1＝﹣3，
2024∴y＝﹣2．
故选：C．
x
3．（2024春•德化县期末）已知关于x的一元一次方程 +5＝2024x+m的解为x＝2024，则关于y的一
2024
y−5
元一次方程 = 2024（y﹣5）+5﹣m的解为（ ）
2024
A．y＝﹣2029 B．y＝2019 C．y＝﹣2019 D．y＝2029
y−5
【 分 析 】 把 关 于 y 的 一 元 一 次 方 程 =2024 （ y﹣ 5 ） +5﹣ m 两 边 同 时 乘 ﹣ 1 得 ：
2024
5−y x
+5=2024(5−y)+m，然后根据关于x的一元一次方程 +5＝2024x+m的解为x＝2024，列
2024 2024
出关于y的方程，解方程即可．
y−5
【解答】解，∵关于y的一元一次方程 =2024（y﹣5）+5﹣m两边同时乘﹣1得：
2024
5−y
=2024(5−y)−5+m，
2024
5−y
+5=2024(5−y)+m，
2024
x
∵关于x的一元一次方程 +5＝2024x+m的解为x＝2024，
2024
∴5﹣y＝x，即5﹣y＝2024，
解得：y＝﹣2019，
故选：C．
2023
4．（2023秋•天元区期末）若关于x的一元一次方程 x−9=3x+a的解为x＝﹣2，则关于y的一元
2024
2023
一次方程 (y+1)−9=3(y+1)+a的解为（ ）
2024
A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
2023
【分析】令Y＝y+1，将关于y的一元一次方程 (y+1)−9=3(y+1)+a化为关于Y的一元一次方
2024
程，它的解为Y＝﹣2，从而求得y的解即可．
2023 2023
【解答】解：令Y＝y+1，则方程 (y+1)−9=3(y+1)+a变为 Y﹣9＝3Y+a，
2024 20242023
∵方程 x−9=3x+a的解为x＝﹣2，
2024
2023
∴方程 Y﹣9＝3Y+a的解为Y＝﹣2，即y+1＝﹣2，解得y＝﹣3．
2024
故选：C．
2021 2022 2023
5．（2023秋•微山县期末）已知关于x的一元一次方程 x+ = x+a的解为x＝2023，那么
2022 2023 2024
2022 2021 2023
关于y的一元一次方程 + (y−1)=a+ （y﹣1）的解为（ ）
2023 2022 2024
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
2021 2022 2023
【分析】先把关于y的一元一次方程化为 (y−1)+ = (y−1)+a，再根据关于x的一元
2022 2023 2024
2021 2022 2023
一次方程 x+ = x+a的解为x＝2023得到y﹣1＝2023，从而求出y的值．
2022 2023 2024
2022 2021 2023
【解答】解：关于y的一元一次方程 + (y−1)=a+ （y﹣1）可化为
2023 2022 2024
2021 2022 2023
(y−1)+ = (y−1)+a，
2022 2023 2024
2021 2022 2023
∵关于x的一元一次方程 x+ = x+a的解为x＝2023，
2022 2023 2024
∴y﹣1＝2023，
解得y＝2024，
故选：D．
x
6．（2023秋•嘉兴期末）已知a为实数，关于x的方程 +a=2024x的解为x＝5，则关于y的方程
2024
y−2
+a+4048=2024 y的解为y＝ 7 ．
2024
x
【分析】两个方程形式相似，第一个方程 +a=2024x的解为x＝5，则第二个方程中y﹣2与x对
2024
应，可得y﹣2＝5，可得结果．
x
【解答】解：关于x的方程 +a=2024x的解为x＝5，
2024
y−2
则 +a+4048=2024 y
2024y−2
+a=2024 y−4048=2024(y−2)，
2024
∴y﹣2＝5，
∴y＝7．
故答案为：7．
x
7．（2024春•临县月考）已知关于x的一元一次方程 −15＝2024x+m的解为x＝﹣6，则关于y的一元
2024
2
2− y 2
一次方程 3 15＝2024（2− y）+m的解为 y ＝ 1 2 ．
− 3
2024
2
2 2− y 2 t
【分析】令t＝2− y，则 3 15＝2024（2− y）+m可化为 −15=2024t+m，从而得到t＝2
3 − 3 9024
2124
2
− y＝﹣6，继而得解．
3
2
【解答】解：令t=2− y，
3
2
2− y t
则 3 2 可化为 −15=2024t+m，
−15=2024(2− y)+m 9024
2124 3
x
∵关于x的一元一次方程 −15=2024x+m的解为x＝﹣6，
9024
t
∴ −15=2024t+m的解为t＝﹣6，
9024
2
∴t=2− y=−6，
3
解得：y＝12，
故答案为：y＝12．
【类型7 根据一元一次方程的错解求参·7题】
x−1 x+2m
1．（2024春•射洪市校级月考）小马虎在解关于x的方程 = −1去分母时，方程右边的“﹣
3 2
1”没有乘以6，最后他求得方程的解为3．则方程正确的解为（ ）
3
A．3 B．8 C． D．6
4【分析】将错就错，求出m的值，再解方程即可．
【解答】解：按照小马虎的方法去分母，得：2（x﹣1）＝3x+6m﹣1，
此时方程的解为3，
∴2（3﹣1）＝3×3+6m﹣1，
2
解得：m=− ，
3
4
x−
∴原方程化为：x−1 3 ，
= −1
3 2
解得：x＝8；
故选：B．
x 1
2．（2024春•南安市期中）小南在解关于x的一元一次方程 +m= 时，由于粗心大意在去分母时出现漏
4 3
乘错误，把原方程化为3x+m＝4，并解得为x＝2，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（ ）
20 28 5
A．x=− B．x＝2 C．x= D．x=
3 3 4
x 1
【分析】把x＝2代入方程3x+m＝4得出6+m＝4，求出m＝﹣2，再把m＝﹣2代入方程 +m= 得出
4 3
x 1
−2 = ，再根据等式的性质求出方程的解即可．
4 3
【解答】解：把x＝2代入方程3x+m＝4，得6+m＝4，
解得：m＝﹣2，
x 1 x 1
把m＝﹣2代入方程 +m= ，得 −2= ，
4 3 4 3
去分母，得3x﹣24＝4，
3x＝4+24，
3x＝28，
28
x= ，
3
28
即方程的解是x= ．
3
故选：C．
2−2x 3x−m
3．（2023秋•合川区期末）小军在解关于x的方程 = +3去分母时，方程右边的3未乘21，
3 714
由此求得方程的解为x= ，则这个方程的正确的解应为 x ＝﹣ 2 ．
23
【分析】由题意可知x＝3是方程4x+2﹣1＝5x+5m的解，然后可求得m的值，然后将m的值代入原方
程求解即可．
14 14 14
【解答】解：将x= 代入7（2﹣2x）＝3（3x﹣m）+3得：14﹣14× =9× −3m+3，
23 23 23
14
即3m=(14+9)× +3−14，
23
解得：m＝1，
2−2x 3x−1
故原方程为 = +3，
3 7
7（2﹣2x）＝3（3x﹣1）+63，
14﹣14x＝9x﹣3+63，
﹣14x﹣9x＝﹣3+63﹣14，
﹣23x＝46，
解得x＝﹣2．
答案为：x＝﹣2．
3x−1
4．（2022秋•桥西区期末）嘉嘉在解关于 x的一元一次方程 +▓＝5时，发现常数“▓”被污染
2
了．
（1）若嘉嘉猜“▓”是﹣2，则原方程的解为 5 ；
（2）老师说：“此方程的解是正整数且常数▓为正整数”，则被污染的常数“▓”是 1 或 4 ．
3x−1
【分析】（1）根据题意得到一元一次方程 −2＝5，再解方程即可；
2
（2）解方程可得3x＝11﹣2×▓，根据题意可得11﹣2×▓是3的倍数，由▓是正整数，即可求▓的值．
【解答】解：（1）∵“▓”是﹣2，
3x−1
∴ −2＝5，
2
3x﹣1＝14，
x＝5，
故答案为：5；
3x−1
（2） +▓＝5，
23x﹣1+2×▓＝10，
3x＝11﹣2×▓，
∵方程的解是正整数，
∴11﹣2×▓是3的倍数，
∴▓是1或4，
故答案为：1或4．
2x−1 x+a
5．（2024春•德惠市校级月考）小明解方程 = −3，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的
3 2
﹣3没有乘6，由此求得的解为x＝2，试求a的值，并求出原方程的解．
【分析】先根据错误的做法：“方程右边的﹣3没有乘以6”而得到x＝2，代入错误方程，求出a的
值，再把a的值代入原方程，求出正确的解．
【解答】解：去分母时方程右边的﹣3漏乘了6，
此时变形为2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣3，
将x＝2代入，得2（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣3，
解得：a＝1，
2x−1 x+1
则原方程应为： = −3，
3 2
去分母得：2（2x﹣1）＝3（x+1）﹣18，
去括号得：4x﹣2＝3x+3﹣18，
解得：x＝﹣13．
x−a x+1
6．（2023秋•西安期末）小芳同学在解关于x的一元一次方程 −1= 时，误将x﹣a抄成x+a，求
2 3
得方程的解为x＝2，请帮小芳求出原方程正确的解．
x+a x+1
【分析】依题意得方程 −1= 的解为x＝2，根据一元一次方程根的定义可求出a＝2，进而得
2 3
x−2 x+1
原方程为 −1= ，然后再解原方程求出x即可．
2 3
x+a x+1
【解答】解：依题意得：方程 −1= 的解为x＝2，
2 3
2+a 2+1
∴ −1= ，
2 3
2+a
∴ =2，
2∴2+a＝4，
∴a＝2，
x−2 x+1
∴原方程为 −1= ，
2 3
去分母，方程两边同时乘以6，得：3（x﹣2）﹣6＝2（x+1），
去括号，得：3x﹣6﹣6＝2x+2，
移项，得：3x﹣2x＝2+6+6，
合并同类项，得：x＝14．
x+1 2−x
7．（2023秋•行唐县期末）老师在批改嘉淇作业时发现，嘉淇在解方程 −1=■+ 时，把“2﹣
2 3
x”抄成了“x﹣2”，解得x＝5，而且“■”处的数字也模糊不清了．
（1）求“■”处的数字；
（2）请你解出原方程正确的解．
x+1 2−x
【分析】（1）将x＝5代入程 −1=■+ 中，进而求出“■”处的数字；
2 3
（2）将（1）中■的值代入原方程，求解即可．
x+1 x−2
【解答】解：（1）根据题意将x＝5代入 −1＝■+ 中，
2 3
5+1 5−2
得 −1＝■+ ，
2 3
解得■＝1，
∴“■”处的数字为1；
x+1 2−x
（2）将■＝1代入原方程得， −1＝1+ ，
2 3
去分母得，3（x+1）﹣6＝6+2（2﹣x），
去括号得，3x+3﹣6＝6﹣2x+4，
移项合并得，5x＝13，
系数化为1得，x．
