文档内容
七下数学第一次月考复习五大类型 25 个必考点
【人教版2024】
【类型1 基础题篇·30题】........................................................................................................................................2
【必考点1 对顶角与邻补角】..................................................................................................................................2
【必考点2 点到直线的距离】..................................................................................................................................2
【必考点3 平行线的判定与性质】..........................................................................................................................3
【必考点4 三角板问题】..........................................................................................................................................4
【必考点5 命题与定理】..........................................................................................................................................4
【必考点6 平移的性质运用】..................................................................................................................................5
【必考点7 平方根与立方根】..................................................................................................................................6
【必考点8 无理数的定义】......................................................................................................................................6
【必考点9 无理数的估算】......................................................................................................................................7
【必考点10 实数与数轴】........................................................................................................................................7
【类型2 计算题篇·22题】........................................................................................................................................8
【必考点11 实数的混合运算】................................................................................................................................8
【必考点12 利用开平方或开立方解方程】...........................................................................................................9
【必考点13 利用平方根与立方根性质求值】.......................................................................................................9
【类型3 作图题篇·9题】........................................................................................................................................10
【必考点14 格点平移作图】..................................................................................................................................10
【必考点15 利用算术平方根解图形裁剪问题】.................................................................................................13
【类型4 中档题篇·30题】......................................................................................................................................14
【必考点16 探究两个角的两边的关系】..............................................................................................................14
【必考点17 平行线中折叠问题】..........................................................................................................................14
【必考点18 平行线中拐点问题】..........................................................................................................................15
【必考点19 相交线中求角度问题】......................................................................................................................17
【必考点20 完善平行线证明中推理根据】.........................................................................................................18
【必考点21 平行线的性质与判定证明】..............................................................................................................20
【必考点22 无理数的整数和小数部分判断】.....................................................................................................22
【类型5 压轴题篇·16题】......................................................................................................................................22
【必考点23 平行线中多结论问题】......................................................................................................................22
【必考点24 平行线判定与性质综合问题】.........................................................................................................24
【必考点25 平行线中动态旋转问题】..................................................................................................................26
【类型1 基础题篇·30题】
【必考点1 对顶角与邻补角】
1．下列关于对顶角的说法中，正确的是（ ）A．相等的角是对顶角
B．有公共点并且相等的角是对顶角
C．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2
D．两条直线相交所成的角是对顶角
2．如图，直线AB和CD相交于点O，OE、OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是（ ）
A．∠AOF和∠DOE B．∠EOF和∠BOE
C．∠COF和∠BOD D．∠BOC和∠AOD
3．下列各选项，∠1和∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【必考点2 点到直线的距离】
4．如图，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
5．若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，PA＝10cm，PB＝8cm，PC＝6cm，则点P到直线l
的距离（ ）
A．等于6cm B．大于6cm而小于8cm
C．6cm D．不大于6cm6．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），开始挖渠才能使水渠的长度最短，这
样做的依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【必考点3 平行线的判定与性质】
7．如图，下列说法正确的是（ ）
A．因为∠2＝∠4，所以AD∥BC
B．因为AD∥BC，所以∠B+∠BCD＝180°
C．因为AD∥BC，所以∠1＝∠3
D．因为∠D+∠BCD＝180°，所以AB∥CD
8．如图，小明用两块同样的三角板，按下面的方法作出了平行线，则AB∥CD的理由是（ ）
A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠6 D．∠2+∠3+∠6＝180°
9．如图，点E在AC的延长线上，∠A＝∠DCE，以下结论：①BD∥AC；②AB∥CD；③∠D+∠ABD
＝180°；④∠ACB＝∠CBD．一定正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【必考点4 三角板问题】
10．一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线
上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
11．如图，已知AB∥CD，一副三角板按如图放置，∠AEG＝45°，则∠HFD为（ ）
A．45° B．30° C．40° D．60°
12．如图，l ∥l ，将一副直角三角板作如下摆成，图中点 A、B、C在同一直线上，则∠1的度数为
1 2
（ ）
A．80° B．85° C．75° D．70°
【必考点5 命题与定理】
13．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，则下列命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中是真命题个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
14．下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平
行；③相等的角是对顶角；④平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中是真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．关于命题：若|a|＞|b|，则a＞b．下列说法正确的是（ ）
A．它是真命题
B．它是假命题，反例a＝3，b＝﹣4
C．它是假命题，反例a＝4，b＝3
D．它是假命题，反例a＝﹣4，b＝3
【必考点6 平移的性质运用】
16．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，
则阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
17．如图，将周长为12cm的△ABC沿边BC向右移动5cm，得到△A′B′C′，则四边形AA′C′B的周
长是（ ）cm．
A．17 B．19 C．22 D．24
18．如图，直角三角形ABC从点B出发沿着BC方向匀速平移得到三角形DEF，当点E平移至点C时停止
运动．若AB＝6cm，当点G恰好是线段DE三等分点时，四边形DGCF的面积为25cm2，那么平移的距离是（ ）
25
A．4cm B．5cm或 cm
4
C．6cm D．8cm
【必考点7 平方根与立方根】
19．下列语句：
①81的立方根是3，
②❑√16=±4，
③立方根等于平方根的数是1，
④4的算术平方根是2．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20．下列说法不正确的是（ ）
1 1
A． 的平方根是±
25 5
B．﹣9是81的一个平方根
C．0.2的算术平方根是0.04
D．﹣27的立方根是﹣3
21．下列说法错误的是（ ）
A．4是16的算术平方根
B．2是4的一个平方根
C．0的平方根与算术平方根都是0
D．（﹣3）2的平方根是﹣3
【必考点8 无理数的定义】
1 π
22．有下列各数：0.5，3.1415，√3 8，❑√5， ， ，2.3030030003（相邻两个3之间0的个数逐次
3 2
增加1），其中无理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个1
23．以下各数﹣3，❑√5， ， ，1.9191191119…（每两个9之间依次多一个1），√3 9，❑√4中，其中无理
7
π
数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
22 1 π 1
24．下列一组数﹣8， ，3 ， ， ，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其
7 2 2 3
中无理数的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【必考点9 无理数的估算】
25．a，b是两个连续整数，若a＜❑√17＜b，则ab是（ ）
A．12 B．13 C．20 D．21
26．估计❑√23的值应在（ ）
A．3.5和4之间 B．4和4.5之间
C．4.5和5之间 D．5和5.5之间
27．正整数a、b分别满足√355＜a＜√3 97、❑√7＜b＜❑√15，则ba＝（ ）
A．16 B．27 C．64 D．81
【必考点10 实数与数轴】
28．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简❑√c2−(❑√a) 2+(√3 a+b) 3得（ ）
A．b﹣c B．﹣2a﹣b﹣c C．b+c D．﹣b﹣c
29．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点C在数轴上，且表示的数为﹣1．若将正方形ABCD绕点C逆
时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（ ）
A．❑√2−1 B．❑√2+1 C．−❑√2+1 D．−❑√2−1
30．一个正数 x 的两个不同的平方根分别是 2a+3 和 a﹣9．如图，在数轴上表示实数√3 x+3a的点是
（ ）A．点N B．点M C．点Q D．点P
【类型2 计算题篇·22题】
【必考点11 实数的混合运算】
1．计算：
（1）|❑√2−❑√7|+❑√2；
10
（2）❑√13×(❑√13− )−√327．
❑√13
2
√3 √ 27 √ 61
2．计算：❑√(−7) 2+(❑ ) −3− −31+ ．
2 8 64
3．计算：
（1）|❑√5−3|+|❑√5−2|；
√ 1
（2）❑√16+√3−27−❑7 ．
9
4．计算题：
（1）❑√9−❑√(−6) 2−√3−27；
√7 √ 1
（2）−3 −1−❑2 +❑√(−2) 2．
8 4
5．计算：
（1）−12+√327−(−2)×❑√9；
（2）❑√25−√38+(−1) 2022+|3.14−π|．
√9 √ 1
6．计算：❑√16+9−❑ +2×❑ −❑√25×❑√4．
4 16
7．计算．
（1）3(❑√2+❑√3)+|❑√2−❑√3|+2❑√2；
√ 1 √ 19
（2）❑2 −31− ．
4 27
8．计算：
√ 8 √1
（1）3− ×❑ −❑√(−2) 2．
27 4
（2）√3 (−1)+√3−8+❑√3+3❑√2−|❑√3−❑√2|．【必考点12 利用开平方或开立方解方程】
9．求下列各式中x的值．
（1）9x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2＝36．
10．求下列各式中x的值：
（1）3x3﹣1＝17；
（2）（x﹣1）2﹣2＝7．
11．求下列各式中x的值：
（1）x2﹣81＝0；
（2）（x﹣2）3＝﹣27．
12．解方程：
121
（1）x2− =0；
49
1
（2） (x−1) 3=−4．
2
13．解方程：
（1）2x2＝18
（2）3（x+1）3+81＝0
14．求下列各式中x的值．
（1）4x2﹣9＝0；
（2）64（x﹣2）3﹣1＝0．
15．求下列各式中x的值．
（1）9x2＝4；
（2）2（x+3）3+54＝0．
16．求下列各式中x的值．
（1）16（x﹣4）2＝4；
（2）（x+1）3﹣3＝﹣67．
【必考点13 利用平方根与立方根性质求值】
17．解答题．
（1）一个正数a的平方根是2x﹣4与3﹣x，则a是多少？
（2）已知a、b满足❑√2a+8+|b−❑√3|=0，求a+2b2的平方根．18．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是❑√13的整数部分，求2a+b﹣c2的平方根．
19．（1）一个正数的两个不同的平方根是2a﹣4与﹣3﹣a，b的立方根是﹣2，求﹣2b﹣a的平方根．
（2）已知a、b满足❑√2a+24+|b−❑√2|=0，求a+2b2的立方根．
20．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
21．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是❑√13的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
22．已知a，b，c满足以下条件：
①一个正数a的两个平方根分别是2b+4和﹣b﹣8；
②√3 b+6+√3 c−11=0．
（1）求a，b，c；
（2）求：a2+b2+c2的算术平方根的小数部分．
【类型3 作图题篇·9题】
【必考点14 格点平移作图】
1．画图并填空：如图，三角形ABC的顶点都在方格纸的格点上，每个格子的边长为 1个单位长度，将三
角形ABC向上平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′．
（1）在图中作出三角形ABC边AB上的高CD；
（2）在图中画出平移后的三角形A′B′C′；
（3）三角形ABC的面积为 ；
（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是 ．
2．如图，每个小正方形的边长为1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）：
（1）在方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'，画出三角形A'B'C'；
（2）过点A画线段AD使AD∥BC且AD＝BC；
（3）图中AD与C′B'的关系是 ；
（4）点E在线段AD上，CE＝4，点H是直线CE上一动点，线段BH的最小值为 ．
3．如图，将四边形ABCD进行平移后，使点A的对应点为点A′，
（1）请你画出平移后所得的四边形A′B′C′D′；
（2）若每个小正方形的面积为1，线段AB在平移中扫过的面积是 ；
（3）直线CD上有一点P，三角形BCP与四边形ABCD面积恰好相等．在图中标出点P的位置．
4．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示．
现将三角形ABC平移，使点A移动到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形DEF；
（2）直接写出三角形ABC的面积为 ；
（3）连接AD、BE，直接写出AD与BE的位置关系： ；
（4）线段AB扫过的图形的面积为 ．5．如图，在一个6×6的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角
形称为格点三角形，图中△ABC就是一个格点三角形．
（1）△ABC的面积为 平方单位；
（2）请用无刻度直尺按要求在网格中画图（保留画图痕迹）．
①如图1，在格点上找一点D，连AD，使AD∥BC；
②如图2，在AB边上找一点E，连CE，使△ACE和△BCE的面积相等；
③如图3，画格点△PBC，使△PBC和△ABC的面积相等（画出一个即可）．
6．如图，下列网格是边长为1个单位长度的小正方形组成，按照要求完成作图，结果用实线表示．
（1）如图1，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC平移得到△DEF，B点的对应点是点 E，画出
△DEF，并直接写出△ABC的面积；
（2）如图2，直线L 经过格点A、B，过点A作直线L ⊥L ，作直线L ∥L ，画出直线L ，L ，若继续
1 2 1 3 2 2 3
作L ，L ，L ，L …，按此规律，则L 与L ，L 与L 的位置关系分别是 L L ，L
4 5 6 7 9 12 100 2023 9 12 100L ．
2023
【必考点15 利用算术平方根解图形裁剪问题】
7．如图，小丽想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它
的长宽之比为5：4，她不知能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“一定能用一块面积大的纸片裁
出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
8．如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）则大正方形的边长是 ；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积
为360cm2？
9．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1（dm2）的小正方形纸片剪拼成一个面积
为n（dm2）的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
（1）如图1，当n＝2时，拼成的大正方形ABCD的边长为 ；
如图2，当n＝5时，拼成的大正方形A B C D 的边长为 ；
1 1 1 1
如图3，当n＝10时，拼成的大正方形A B C D 的边长为 ；
2 2 2 2
（2）小李想沿着正方形纸片A B C D 边的方向能否裁出一块面积为2.42（dm2）的长方形纸片，使它
1 1 1 1
的长宽之比为2：1？他能裁出吗？请说明理由．
（3）小周想沿着正方形纸片A B C D 边的方向能否裁出一块面积为4.86（dm2）的长方形纸片，使它
2 2 2 2
的长宽之比为3：2，且要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
【类型4 中档题篇·30题】
【必考点16 探究两个角的两边的关系】
1．若∠ 与∠ 的两边分别平行，且∠ ＝（2x+10）°，∠ ＝（3x﹣20）°，则∠ 的度数为（ ）
A．7α0° β B．30° α C．70°或8β6° D．30°或38α°
2．如果角 和角 的两边分别平行，且满足2 ＝ +40°，则角 的度数是 ．
3．∠A的两α边与∠βB的两边分别平行，且3∠Aα﹣∠βB＝60°，则α∠B的度数为 ．
4．已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍多30°，则∠COD的度数为
．
【必考点17 平行线中折叠问题】
5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G
点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝ ．
6．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别落在D'，C'的位置，与BC的交点为G．若
∠EFG＝x°，则∠3﹣∠2为 ．（用含x的式子表示）
7．如图①是长方形纸带，∠DEF＝ ，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的
∠CFE的度数是 ． α8．如图，在四边形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，EF为
1
折痕，FH交CD于点K．若∠CKF＝40°，则180°− (∠A+∠GED)= °．
2
【必考点18 平行线中拐点问题】
1 1
9．如图，AB∥ED，∠ABF= ∠ABC，∠EDF= ∠CDE，若∠BCD＝90°，则∠F的度数为（ ）
3 3
A．90° B．60° C．70° D．80°
10．如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE、∠DCE，若∠AEC＝
，则∠AFC的度数用含 的式子表示为（ ）
α α
1 1
A． α B．90°− α C．120°﹣2 D．180°﹣3
2 2
α α
11．已知直线AB∥DE，∠CBM＝m∠ABM，∠CDN＝m∠NDE，射线BM，DN的反向延长线交于点F，若
4∠F+∠C＝540°，则m的值为（ ）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
12．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝
42°，则∠E的度数为（ ）度
A．46 B．72 C．88 D．96
13．已知AB∥CD．
（1）如图1所示，判断∠APC，∠A，∠C之间的数量关系并说明理由；
（2）如图2所示，判断∠APC，∠A，∠C之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，设∠ABM＝ ，∠DNM＝ ，∠CDN＝ ．请直接写出∠BMN的大小（用含 ， ， 的式
子表示）． α β γ α β γ
【必考点19 相交线中求角度问题】
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF＝66°，则∠BOC＝
°．15．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°．
求：（1）∠BOD的度数；
（2）∠COE的度数．
16．如图，直线AB、CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝44°．
（1）求∠COE的度数；
（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．
17．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数；
（2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数．【必考点20 完善平行线证明中推理根据】
19．如图，已知∠3＝∠C，∠ADF+∠EFD＝180°，证明∠1＝∠2的过程如下，请填上推理的根据．
证明：∵∠3＝∠C（已知），
∴AC∥DG（ ），
∴∠2＝∠4（ ），
∵∠ADF+∠EFD＝180°（已知），
∴AD∥EF（ ），
∴∠1＝∠4（ ），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
20．如图，已知CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D，F，∠B+∠BDG＝180°，试说明∠BEF＝∠CDG．将
下面的解答过程补充完整．
证明：CD⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴EF∥CD （ ）
∴∠BEF＝ （ ）
又∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥DG （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠CDG＝∠BEF （ ）21．请把下面证明过程补充完整．
如图，已知AD⊥BC于点D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于点C，交AC于点F，∠E＝∠1．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ ）．
∴AD∥EG（ ）．
∴∠1＝ （ ），
∠E＝ （ ）．
∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3（ ）．
∴AD平分∠BAC（ ）．
22．如图，点G，D，F共线，且∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，求证：∠AED＝∠4．
证明：∵∠1+∠BDF＝180°，∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠BDF（ ），
∴EF∥AB（ ）．
∴∠3＝∠ADE（ ）．
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE（ ）．
∴DE∥BC（ ）．
∴∠AED＝∠ACB（ ）．
∵∠ACB＝∠4（ ）．∴∠AED＝∠4（ ）．
【必考点21 平行线的性质与判定证明】
23．已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝
180°．求证：∠EFC＝∠A．
24．如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2，试说明：DM∥BC．
25．如图，已知∠1，∠2互为补角，且∠3＝∠B，
（1）求证：∠AFE＝∠ACB；
（2）若CE平分∠ACB，且∠1＝80°，∠3＝45°，求∠AFE的度数．
26．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD与EC平行吗？请说明理由；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝75°，求∠FAB的度数．
27．如图，已知D是AE上一点，C是BF上一点，∠ABC＝∠ADC，∠F＝∠EDF．
（1）如图（1），求证：AB∥CD；
（2）如图（2），连接BD，BD⊥DF，∠EDF＝n∠CDF．
①当n＝1时，求证：BD平分∠ABC；
②若∠ADB+∠BCD＝150°．直接用含n的式子表示∠A的大小．
【必考点22 无理数的整数和小数部分判断】
28．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，但
是由于1＜❑√2＜2，所以❑√2的整数部分为1．将❑√2减去其整数部分1，差就是小数部分❑√2−1．根据
以上的内容，解答下面的问题：
（1）❑√5的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若设2+❑√3整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的值．
29．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部写出来．将这
个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为❑√2的整数部分是1，于是用❑√2−1来表示❑√2的小数部
分．又例如：∵❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3，∴❑√7的整数部分是2，小数部分为❑√7−2．
（1）❑√17的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若m，n分别是6−❑√5的整数部分和小数部分，求3m2﹣n的值．30．阅读理解：“∵1＜2＜4，∴1＜❑√2＜2，∴❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是
小数部分．即：❑√2的小数部分为(❑√2−1)，类似的：∵2＜❑√5＜3，∴❑√5的小数部分就是(❑√5−2)
．
解决问题：
（1）初步运用：❑√33的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）综合拓展：如果❑√143的小数部分为a，❑√43的整数部分为b，求a+2b−❑√143的值．
【类型5 压轴题篇·16题】
【必考点23 平行线中多结论问题】
1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，∠DCE的平分线交BE于
点F，下列结论：①∠1＝∠2；②∠F＝∠1+∠3；③CE⊥BF；④若CE⊥BF，则∠4＝2∠3．其中
正确的结论有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
2．如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝
∠BEP−∠DFP
180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则 =2，
∠GPH
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，AB∥CD，E是线段AB上一点，F是线段DE的延长线上一点，∠ABF的平分线BG交EF于点
G，交线段DA的延长线于点I，过点D作DH⊥BG于点H．且∠ADC＝2∠ADE．下列结论：
①2∠BED＝3∠BAD；②∠CDH﹣∠ABG＝90°；
③∠F+∠ADF＝2∠I；
④若∠FDH＝55°，则∠F+∠ADF＝35°．
正确结论的序号是 ．
4．如图，AB∥CD，点E，F在直线AB上（F在E的左侧），点G在直线CD上，EH⊥HG，垂足为H，P
为线段EH上的一动点，连接GP，GF，∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，且点Q在直线AB，CD
之间的区域，下列结论：
①∠BEH+∠DGH＝90°；
②∠CGH+2∠FQG＝270°；
③若∠PGH＝3∠DGH，则3∠BEH+∠EPG＝360°；
1
④若∠PGH＝n∠DGH，则∠BEH+ ∠PGD=90°，其中n为正整数．
n+1
上述说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
5．如图，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB，CD之间，∠AEP和∠CFP的角平分
线相交于点M，∠DFP的角平分线交EM的反向延长线于点N，下列四个结论：
①∠EPF＝∠AEP+∠CFP；
②∠EPF＝2∠M；
③若EP∥FN，则∠AEM＝∠CFM；
④∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM．
其中正确的结论是 （填写序号）．【必考点24 平行线判定与性质综合问题】
6．已知AB∥CD，点P为直线AB上方一点．
（1）如图1，求证：∠A＝∠P+∠C；
（2）如图2，CE平分∠PCD，过点P作CE的平行线交∠PAB的角平分线于点Q，探索∠Q与∠APC
之间的关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，若CE经过点A，∠APC+∠PCE＝110°，点M是直线PC上一点，请
直接写出∠BAM和∠AMC、∠APC三个角之间的数量关系．
7．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD与GE之间的一点，HD∥GE．
（1）求证：∠HAB+∠BCG＝∠ABC；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若∠B+∠F＝138°，求 + 的度
数； α β
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠NBM＝24°，直接写出∠BAH的度
数．
8．已知△ABC，点M在CB的延长线上．（1）【问题情景】如图1，求证：∠BAC＝∠ABM﹣∠ACB．
证明：过A点作AH∥BC，请按照上述思路继续完成证明过程；
（2）【尝试运用】如图2，延长AB至D，过点D作DN∥BC，再作∠ACB的平分线，交∠NDA的邻补
角的平分线于点E，请探究∠A与∠CED的数关系并证明你的结论；
（3）【拓广探索】如图3，P是平面内一点，且不在直线MB、ND、AB上，∠MBP＝m，∠NDP＝n，
∠BPD的度数为多少？请直接写出答案 （用含m、n的式子表示）．
9．如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，若∠A＝50°，求∠CME的度数；
（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；
（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为
1
H．若∠ACH= ∠ECH，求∠MNB与∠A之间的数量关系．
2
10．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝ （0°＜ ＜90°）．小安将一
个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线ABα、CD上α，且在点G、H的右
侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．（1）填空：∠PNB+∠PMD ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当ON∥EF，PM∥EF时，求 的度数；
②当PM∥EF时，求∠MON的度α数（用含 的式子表示）．
【必考点25 平行线中动态旋转问题】 α
11．如图，已知直线AB∥CD．
（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB，CD之间，若∠1＝28°，∠3＝
73°，则∠2＝ ；
（2）如图 2，若 FN 平分∠CFG，延长 GE 交 FN 于点 M，且∠AEM：∠MEN＝1：2，当
1
∠N+∠MGF=50°时，求∠CFG的度数；
3
（3）在（2）的条件下，若AE绕E点以每秒转动4°的速度逆时针旋转一周，同时GF绕F点以每秒转
动1°的速度逆时针旋转，当AE转动结束时GF也随即停止转动，在整个转动过程中，当 t＝ 秒
时，AE∥GF．
12．如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠AEP＝30°．（1）求∠FPE的度数；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立
刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒10°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB
后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
13．宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图 1，灯A射线
从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停
交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即
PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ °；
（2）若灯B射线先转动30s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的
光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，假设射出的光束交于点C，过点C作∠ACD
交PQ于点D，且∠ACD＝120°，请探究：在转动过程中，∠BAC与∠BCD之间的数量关系是否发生变
化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
14．如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝
∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，
G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤45）．①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D
的对应点为H，K）．请求出当边BG∥HK时t的值．
15．如图①，点A、点B分别在直线EF和直线MN上，EF∥MN，∠ABN＝45°，射线AC从射线AF的位
置开始，绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线BD从射线BM的位置开始，绕点B以每秒6°的
速度顺时针旋转，射线BD旋转到BN的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）∠BAF＝ °；
（2）在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线BD所在直线的夹角为80°，若存在，求
出t的值；若不存在，请说明理由；
∠AHK
（3）在转动过程中，若射线AC与射线BD交于点H，过点H作HK⊥BD交直线AF于点K，
∠ABH
的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．
16．如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．
（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；
∠Q
（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问 是否为定值，
∠DPB
若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；
（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，
∠Q
∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问 的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过
∠DPB
程，说明理由．
