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专题 4.5 二次函数应用题必考六大类型
【人教版】
【类型1 面积最值问题】..........................................................................................................................................1
【类型2 路径与边界问题】......................................................................................................................................3
【类型3 过桥与边界问题】......................................................................................................................................6
【类型4 利润最值问题】..........................................................................................................................................8
【类型5 点的运动与变速滑行】..............................................................................................................................9
【类型6 分段函数】................................................................................................................................................11
【类型1 面积最值问题】
1．（2024•洪山区模拟）根据以下素材，完成探索任务．
问题提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格之和）不高于 5900元的情况
下，如何设计最大饲养室面积的方案？
素材一 如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有 16m长的墙，中间用一道墙隔开，计
划中建筑材料可建围墙的总长为22m，开两个门，且门宽均为1m．
素材二 每个门的价格为250元．
素材三 与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．
问题解决
任务1 设AB＝x m，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式．
任务2 探究自变量x的取值范围．
任务3 确定设计方案．当AB＝ m，BC＝ m时，S的最大值为 m2．（直接填写结果）
2．（2024•东海县一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第 8页练习3（3）进行变式探究：
如图，用长为60m的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃ABCD，其中EF∥AB，且墙
长为30m．（1）设AB＝x（m），矩形花圃ABCD的面积为y（m2）．则y关于x的函数关系式为 ，x的
取值范围为 ；
（2）求矩形花圃ABCD面积的最大值；
（3）在（2）的情况下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收
入W （单位：元）与种植面积 的函数关系式为W ＝30S ；乙种鲜切花的年收入W （单位：
1 S (m2 ) 1 1 2
1
元）与种植面积 的函数关系式为 ，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，
S (m2 ) W =−S2+320S
2 2 2 2
求CF的长．
3．（2023秋•潜山市期末）一段长为25m的墙MN前有一块矩形ABCD空地，用90m长的篱笆围成如图所
示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形 AEFH和四边形CDHG是矩
形，四边形EBGF是边长为5m的正方形，设CD＝x m．
（1）若矩形CDHG的面积为125m2，求CD的长．
（2）当CD的长为多少时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是多少？
4．（2023秋•长沙县期末）在“校园劳动节”活动中，某劳动小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边
DC和DA足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形劳动基地ABCD（篱笆只围AB和BC两边），设AB
＝x m，则S矩形ABCD ＝y m2．
（1）求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当矩形劳动基地的面积为192m2时，求AB的长；
（3）如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙 DC和DA的距离分别是14m和8m，如果要将这
棵树围在矩形劳动基地内部（含边界），试求矩形劳动基地面积的最大值．5．（2023秋•南开区期末）如图1，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a为10m），围
成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．设花圃的宽AB为x m（宽AB不大于长BC），面积为S m2．
（Ⅰ）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）请求出花圃ABCD能围成的最大面积，并写出此时x的值；
（Ⅲ）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽均为1m的两扇小门，能
否使围成的花圃面积为51m2？如果能，请直接写出花圃宽AB和长BC的值；如果不能，请说明理由．
6．（2024•海淀区校级模拟）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总
长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相
等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2
（1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【类型2 路径与边界问题】
1．（2024秋•交口县期末）某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物
40
线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点 M离墙1米，离地面 米，则水流下落点B
3离墙距离OB是（ ）
A．3米 B．2米 C．5米 D．4米
2．（2024秋•铜陵期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条
抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形
桶，试图让网球落入桶内，已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径
为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少（ ）
个时，网球可以落入桶内．
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2023•贵州模拟）燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，武汉数学小杰燃放一种手持烟花，这种烟
花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发
射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如表：
飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 ……
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 ……
（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度；
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹
与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．4．（2023•商丘四模）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图
是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为 1m，并且相距
4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面
1
直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为y=− x2+bx+c．
6
（1）求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
（3）身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他的头顶，
请求出s的取值范围．
5．（2023•武汉模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷
出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形
DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上
边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单
位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
【类型3 过桥与边界问题】
1．（2023秋•高邑县期末）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是 4m时，拱顶距离水面是2m．当
水面下降1m后，水面宽度是 m．（结果保留根号）
2．（2024•新化县一模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线
2
的函数表达式为y=− x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安
81
装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．
3．（2024•宽城区一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划
进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可
看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度 y（单位：m）
与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.01（x﹣30）2+9．据调查，龙舟最高处距
离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少 3m．若每条龙舟赛道宽度为9
米，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计 条．
4．（2023秋•兴隆县期末）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已
知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：（1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；
（2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
（3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱
桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1）
5．（2024•黄石模拟）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点 P距离地面高度为8米，
宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为 2米，该双车道能否同时并行两辆宽
2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面
OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大
值是多少，请你帮施工队计算一下．
6．（2024•郸城县二模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长OA＝12m，宽OB＝
1
4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=− x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面
6
17
OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为 m．为安全起见，隧道正中间有宽为0.4m的隔离带．
2
（1）求b，c的值，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车
能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【类型4 利润最值问题】
1．（2023秋•龙安区期中）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第 x天的售价与销量的相关
信息如下表：
第x天 售价（元/件） 日销售量（件）
1≤x≤30 x+60 300﹣10x
已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．
2．（2023秋•武昌区校级期中）某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天
的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝20时，y＝1000，当x＝25
时，y＝950．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；
（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单
价应控制在什么范围内？
3．（2023秋•新洲区期中）某网店销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，
且不高于32元．试销售期间发现，当销售单价定为 40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1
元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售．设销售单价为x元，每天销售量为y件．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当销售单价是多少元时，网店每天获利8360元？
（3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元（4＜a≤8）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润
为7280元，求a的值．
4．（2023秋•天门期中）某超市销售一种成本为30元/千克的食品，设第x天的销售量为n千克，销售价格为y元/千克，现已知以下条件：①y与x满足一次函数关系，且当x＝10时，y＝50；当x＝20时，y
＝45；②n与x的关系式为n＝6x+60．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设每天的销售利润为W元，在整个销售过程中，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该超市把销售价格在当天的基础提高 a元/千克（a为整数），那么在前30天（包含第30
天）每天的销售利润随x的增大而增大，求a的最小值．
5．（2023•武汉模拟）某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种农产品后，分成A，B两类（A类直接销
售，B类深加工后再销售），并全部售出．
A类农产品的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13．
B类农产品深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，销售
价格为9万元/吨．注：总利润＝总售价﹣总成本
（1）设其中A类农产品有x吨，用含x的代数式表示下列各量．
①B类农产品有 吨；
②A类农产品所获得总利润为 万元；
③B类农产品所获得总利润为 万元．
（2）若两类农产品获得总利润和为30万元，问A，B两类农产品各有多少吨？
（3）直接写出两类农产品获得总利润和的最大值．
6．（2024•市南区三模）2015年年初，南方草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3万元/吨
的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类
草莓的包装成本为1万元/吨，当甲类草莓的销售量x＜8吨时，它的平均销售价格y＝﹣x+14，当甲类
草莓的销售量x≥8吨时，它的平均销售价格为6万元/吨；乙类草莓深加工总费用s（单位：万元）与加
工数量t（单位：吨）之间的函数关系为s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）某次该公司收购了20吨的草莓，其中甲类草莓有x吨，经营这批草莓所获得的总利润为w万元；
①求w与x之间的函数关系式；
②若该公司获得了30万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？
（2）在某次收购中，该公司准备投入100万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总
利润，并求出最大的总利润．
【类型5 点的运动与变速滑行】
1．（2024•沂南县二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间
的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出 秒时，两个小球在空中的高度相同．
2．（2023秋•江岸区校级月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t
（秒）之间关系是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动5秒共运动的路径长是 米．
3．（2023秋•江夏区校级月考）已知飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的
函数解析式是s＝80t﹣2.5t2，则飞机着陆后滑行 米才能停下来．
4．（2023秋•广饶县期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式
3
是y＝60t− t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是 s．
2
5．（2023秋•思明区校级期中）如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，滑雪者在滑坡
上滑行的距离y （单位：m）和滑行时间t （单位s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
1 1
滑行时间t /s 0 1 2 3 4
1
滑行距离y /s 0 4.5 14 28.5 48
1
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y （单位：m）和滑行时间t （单位：s）满足：y ＝52t ﹣2t 2，滑雪者从
2 2 2 2 2
A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s．
（1）求y 和t 满足的二次函数解析式；
1 1
（2）求滑坡AB的长度．
6．（2023秋•通榆县校级月考）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，
此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：
cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表：
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二
次函数关系．
运动时间t（s） 0 1 2 3 4
运动速度v（cm/s） 10 9.5 9 8.5 8
运动距离y（cm） 0 9.75 19 27.75 36
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，则黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
【类型6 分段函数】
1．（2023秋•硚口区期末）有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到 100℃
时，自动停止加热，随后转入冷却阶段，当水温降至 60℃时，热水壶又自动加热，…，重复上述过
程；若在冷却过程中，按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到100℃后，又重复上述程序，如图
是常规模式下，冷却、加热过程中水温y（℃）与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线
的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段BC表示加热过程．
（1）直接写出抛物线AB段，线段BC分别对应的函数解析式；
（2）从100℃开始冷却，其间按下“再沸腾”键，马上加热到100℃，
①若按下“再沸腾”键时，水温是82.5℃，求该冷却、加热过程一共所用时间；
②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min，直接写出按下“再沸腾”键时的水温．
2．（2023秋•江岸区期中）某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第 x天的
成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第x天该产品
的销售量z（件）与x（天）满足关系式z＝x+10．
（1）第5天，该商家获得的利润是 元；第40天，该商家获得的利润是 元；
（2）设第x天该商家出售该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有 天？（直接填写结果）3．（2024•郾城区一模）某医院在偏远山区组织了一次免费体检活动，包含血常规检查，当天早上居民陆
续到抽血点排队，设置了6个采样速度相同的抽血窗口，并在上午8点半开始抽血，10点整之后不再有
新增的排队居民．医护志愿者小聪就排队采样的时间和排队人数进行了统计，列表如表：
时间x/分钟 0 15 30 45 75 90 95 100 110
排队人数y/人 60 115 160 195 235 240 180 120 0
小聪把表格中的数据在平面直角坐标系中描点连线，得到如图所示的函数图象．在 0～90分钟，y是x
的二次函数（点M是其图象的顶点），在90～110分钟，y是x的一次函数．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若排队人数不少于220人，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续了多少分钟？
4．（2024•无为市模拟）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服
装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价y（元）与月份x的函数关系如
5
图所示，该服装每件的进价z（元）与月份x的关系为z=− x2+12x+60．
3
（1）①求y与x之间的函数关系式；
②第3个月每件服装的利润是多少？
（2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？5．（2024•新吴区二模）某服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销
售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期 30天的跟踪调查，其中实体商店的
1
日销售量y（百件）与时间（t为整数，单位：天）的函数关系为：y =− t2+6t，网上商店的日销售
1 5
量（百件）与时间（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．
（1）求y 与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
2
（2）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系
式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．
