文档内容
七上数学期中复习必考五大类型（16 个题型）
【人教版2024】
【类型1 概念辨析篇】..............................................................................................................................................1
【题型一 有理数相关概念】.....................................................................................................................................1
【题型二 科学记数法】.............................................................................................................................................3
【题型三 近似数】.....................................................................................................................................................4
【题型四 代数式概念及书写要求】........................................................................................................................5
【题型五 单项式】.....................................................................................................................................................6
【题型六 多项式】.....................................................................................................................................................7
【类型2 计算篇】......................................................................................................................................................8
【题型一 有理数混合运算】.....................................................................................................................................8
【题型二 整式的化简求值】...................................................................................................................................11
【类型3 实际应用篇】............................................................................................................................................15
【题型一 有理数的实际应用】..............................................................................................................................15
【题型二 列代数式及其求值】..............................................................................................................................19
【类型4 规律及新定义篇】....................................................................................................................................24
【题型一 数式规律问题】.......................................................................................................................................24
【题型二 图形规律问题】.......................................................................................................................................31
【题型三 新定义问题】...........................................................................................................................................37
【类型5 压轴篇】....................................................................................................................................................43
【题型一 与数轴有关的综合】..............................................................................................................................43
【题型二 与绝对值有关的综合】..........................................................................................................................50
【题型三 整式的加减的应用】..............................................................................................................................55
【类型1 概念辨析篇】
【题型一 有理数相关概念】
1．（2023秋•江安县期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数
B．两个数相加，和一定大于其中一个加数
C．有理数分为正有理数和负有理数
D．若a表示一个有理数，则﹣a不一定是负数
【分析】根据有理数的分类、绝对值及加法法则解答即可．
【解答】解：如果一个有理数的绝对值等于它本身，那么这个数是非负数，故A错误；﹣1+（﹣2）＝﹣3，﹣3＜﹣1，故B错误；
有理数分为正有理数、负有理数和0，故C错误；
若a表示一个有理数，则﹣a不一定是负数，如a＝﹣2，则﹣a＝2，此时﹣a是正数，故D正确．
故选：D．
2．（2024秋•闵行区期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．0既不是正数也不是负数
b
B．只要能够写成分数 形式（a、b是整数，a≠0）的数都是有理数
a
C．0是自然数，也是整数，还是有理数
D．有理数可分为正有理数和负有理数
【分析】根据有理数的分类即可作出判断．
【解答】解：A、0既不是正数也不是负数，不符合题意；
b
B、只要能够写成分数 形式（a、b是整数，a≠0）的数都是有理数，不符合题意；
a
C、0是自然数，也是整数，还是有理数，不符合题意；
D、有理数可分为正有理数和负有理数还有0，符合题意；
故选：D．
3．（2023秋•环翠区校级期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A．平方等于本身的数只有0和1
B．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数
C．两个数的差为正数，至少其中有一个正数
D．两个负数，绝对值大的负数反而小
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则和相反数的定义以及绝对值的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、平方等于本身的数只有0和1，正确，不合题意；
B、正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，正确，不合题意；
C、两个数的差为正数，至少其中有一个正数，错误，符合题意；
D、两个负数，绝对值大的负数反而小，正确，不合题意．
故选：C．
4．（2023秋•慈溪市校级期中）下列说法中正确的个数有（ ）
①最大的负整数是﹣1；
②相反数是本身的数是正数；
③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边；
⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由有理数的含义与分类可判断①，③，由相反数的含义可判断②，由﹣a不一定是负数可判
断④，由有理数的乘法的符号确定的方法可判断⑤，从而可得答案．
【解答】解：最大的负整数是﹣1，说法正确，故①符合题意；
相反数是本身的数是0，原说法错误，故②不符合题意；
有理数分为正有理数和负有理数和0，原说法错误，故③不符合题意；
数轴上表示﹣a的点不一定在原点的左边，原说法错误，故④不符合题意；
几个非零有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，原说法错误，故⑤不符合题意；
故选：A．
【题型二 科学记数法】
5．（2023秋•惠城区校级期中）“一带一路”的“朋友圈”究竟有多大？“一带一路”涉及沿线65个国
家，总涉及人口约4500000000，将4500000000用科学记数法表示为（ ）
A．4.5×107 B．45×108 C．4.5×109 D．0.45×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4500000000＝4.5×109．
故选：C．
6．（2023秋•高新区校级期中）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费
一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记
数法表示为（ ）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10
时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：∵3240万＝32400000，
∴3240万用科学记数法表示为3.24×107．
故选：C．
7．（2023秋•汝州市期中）中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过 8 万亿元，直接带动经济总产出达 10.6 万亿元．其中数据 10.6 万亿用科学记数法表示为
（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．
故选：B．
【题型三 近似数】
8．（2023秋•池州期中）下列说法正确的是（ ）
A．0.750精确到百分位
B．3.079×104精确到千分位
C．38万精确到个位
D．2.80×105精确到千位
【分析】根据近似数的精确度分别进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A、0.750精确到千分位，故本选项错误；
B、3.079×104精确到十位，故本选项错误；
C、38万精确到万位，故本选项错误；
D、2.80×105精确到千位，故本选项正确；
故选：D．
9．（2023秋•科尔沁区期中）对于由四舍五入法得到的近似数8.8×104，下列说法正确的是（ ）
A．精确到十分位 B．精确到个位
C．精确到千位 D．精确到万位
【分析】根据近似数的精确度进行判断．
【解答】解：8.8×104精确到千位．
故选：C．
10．（2024秋•朝阳区期中）用四舍五入法得到 的近似数是2.170，则 的取值范围是（ ）
A．2.169≤ ＜2.174 αB．2.1694＜ ＜2.1704 α
C．2.1695≤α ＜2.1705 D．2.1695＜α≤2.1705
【分析】根据α四舍五入可得2.1695≤ ＜2.1705，本题得以α解决．
【解答】解：由题意可得， α当2.1695≤ ＜2.1705时，近似数为2.170，
故选：C．α
【题型四 代数式概念及书写要求】
11．（2023秋•冷水滩区校级期中）在下列各式中（1）3a，（2）4+8＝12，（3）2a﹣5b＞0，（4）0，
（5）s＝ r2，（6）a2﹣b2，（7）1+2，（8）x+2y，其中代数式的个数是（ ）
A．3个 π B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一
个字母也是代数式．依此作答即可．
【解答】解：由题可得，属于代数式的有：（1）3a，（4）0，（6）a2﹣b2，（7）1+2，（8）x+2y，
共5个，
故选：C．
12．（2023秋•济南期中）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（ ）
7a 1
﹣2x2y，2×（a+b），a÷b，ab﹣2， ，2 bc2 ．
4 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据代数式的书写要求分别进行判断即可．
7a
【解答】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：﹣2x2y，ab﹣2， ，共有3个．
4
故选：C．
1 m2+n2
13．（2023秋•花山区校级期中）下列各式：①1 x；②2•3；③20%x；④a﹣b﹣c；⑤ ；
3 6
③x﹣5千克，其中，不符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
1 4
【解答】解：1 x应写成 x，
3 3
2•3应写成2×3，
20%x符合书写要求，
a﹣b﹣c符合书写要求，
m2+n2
符合书写要求，
6
x﹣5千克应写成（x﹣5）千克．故选：C．
【题型五 单项式】
3 2x2y x+ y 3 1
14．（2023秋•惠城区校级期中）在式子：− ab， ， ，﹣a2bc，1，x2﹣2x+3， ， +1中，
5 5 2 a x
单项式个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据单项式的定义进行判断．
3 2x2y x+ y 3 1 3
【解答】解：在式子：− ab， ， ，﹣a2bc，1，x2﹣2x+3， ， +1中，单项式为− ab，
5 5 2 a x 5
2x2y
，﹣a2bc，1．
5
故选：C．
15．（2023秋•自流井区校级期中）下列说法错误的是（ ）
A．数字1是单项式
πx y2 1
B． 的系数是 ，次数是3
3 3
1
C． ab是二次单项式
4
2mn 2
D．− 的系数是− ，次数是2
3 3
【分析】根据单项式的定义逐项判断即可得到答案．
【解答】解：A、数字1是单项式，说法正确，不符合题意；
πx y2 π 1
B、 的系数是 ，不是 ，说法错误，符合题意；
3 3 3
1
C、 ab是二次单项式，说法正确，不符合题意；
4
2mn 2
D、− 的系数是− ，次数是2，说法正确，不符合题意．
3 3
故选：B．
16．（2023 秋•岳阳县校级期中）已知（m+4）xy2z|m|﹣1是关于 x，y，z 的六次单项式，则 m 的值为
（ ）
A．3 B．﹣4 C．±4 D．4
【分析】根据单项式的次数的定义解答即可．【解答】解：由题意知，1+2+|m|﹣1＝6，m+4≠0，
解得，m＝4，
故选：D．
【题型六 多项式】
17 ． （ 2023 秋 • 砀 山 县 期 中 ） 下 列 式 子 ：
a+b x y2 3 2 x
①a2b+ab−b2；② ；③− ；④−x+ ；⑤0；⑥ ；⑦ ， 多 项 式 的 个 数 是
2 3 y x 2
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据多项式的定义进行判断即可．
a+b
【解答】解：多项式有：a2b+ab﹣b2、 ，共2个，
2
故选：B．
18．（2023秋•曲江区校级期中）关于多项式0.3x2y﹣2x3y2﹣7xy3+1，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式
B．四次项的系数是7
C．常数项是1
D．三次项的系数是0.3
【分析】直接利用多项式的有关定义分析得出答案．
【解答】解：A、多项式0.3x2y﹣2x3y2﹣7xy3+1，是五次四项式，故此选项正确，不符合题意；
B、四次项的系数是﹣7，故此选项错误，符合题意；
C、它的常数项是1，故此选项正确，不符合题意；
D、三次项的系数是0.3，故此选项正确，不符合题意．
故选：B．
19．（2023秋•横县校级期中）已知关于y的多项式2y﹣3yn+7与my3+4y2﹣5的次数相同，那么﹣5n2的值
是（ ）
A．80 B．﹣80 C．﹣80或﹣54 D．﹣45或﹣20
【分析】根据两个多项式的次数相同，求出n的值，代入求解即可．
【解答】解：当m＝0时，my3+4y2﹣5＝4y2﹣5，次数为2；
当m≠0时，my3+4y2﹣5次数为3；
多项式2y﹣3yn+7的次数为n，∵多项式2y﹣3yn+7与my3+4y2﹣5的次数相同，
∴当m＝0时，n＝2，﹣5n2＝﹣5×22＝﹣20，
当m≠0时，n＝3，﹣5n2＝﹣5×32＝﹣45，
∴﹣5n2的值是﹣45或﹣20．
故选：D．
【类型2 计算篇】
【题型一 有理数混合运算】
1．（2023秋•荣昌区期末）计算：
1 5 3
（1）(−24)×( − + )；
3 6 8
1
（2）−14−(1−0.5)× ×[2−(−3) 2 ]．
3
【分析】（1）用乘法分配律计算即可；
（2）先算括号内的和乘方，再算乘法，最后算加减．
1 5 3
【解答】解：（1）原式＝﹣24× +24× −24×
3 6 8
＝﹣8+20﹣9
＝3；
1 1
（2）原式＝﹣1− × ×（2﹣9）
2 3
1 1
＝﹣1− × ×（﹣7）
2 3
7
＝﹣1+
6
1
= ．
6
2．（2023秋•滕州市期中）计算：
1 3 7 1
（1）（ + − ）÷ ；
4 8 12 24
1 1
（2）﹣14﹣（1− ）2× ×[2+（﹣3）3]．
2 5
【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除，后计算加减法，有括号的先计算括号内的．1 3 7
【解答】解：（1）原式＝（ + − ）×24
4 8 12
1 3 7
= ×24+ ×24− ×24
4 8 12
＝6+9﹣14
＝1；
1 1
（2）原式＝﹣1−( ) 2× ×（2﹣27）
2 5
1 1
＝﹣1− × ×(−25)
4 5
5
＝﹣1+
4
1
= ．
4
3．（2023秋•沙坪坝区校级期中）计算
1
（1）|−23|÷(−2) 3−(−1) 2023×(−
)；
6
3 2 3
（2）−16+(1 +2 −3 )×24．
8 3 4
【分析】（1）先绝对值和有理数乘方运算，再乘除运算，然后加减运算即可；
（2）先有理数的乘方运算，同时乘法分配律进行乘法运算，然后加减运算即可．
1
【解答】解：（1）原式=8÷(−8)−(−1)×(− )
6
1
=−1−
6
1
=−1 ；
6
11 8 15
（2）原式=−1+ ×24+ ×24− ×24
8 3 4
＝﹣1+33+64﹣90
＝﹣1+97﹣90
＝﹣1+7
＝6．
4．（2023秋•秦都区校级期中）阅读下列材料：1 1 1 1
计算： ÷（ − + ）．
24 3 4 12
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
解法一：原式= ÷ − ÷ + ÷ = ×3− ×4+ ×12= ．
24 3 24 4 24 12 24 24 24 24
1 4 3 1 1 2 1 1
解法二：原式= ÷（ − + ）= ÷ = ×6 = ．
24 12 12 12 24 12 24 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解法三：原式的倒数＝（ − + ）÷ =（ − + ）×24 = ×24− ×24 + ×24＝4．
3 4 12 24 3 4 12 3 4 12
1
所以，原式= ．
4
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 一 是错误的；
1 1 3 2 2
（2）请你选择合适的解法计算：（− ）÷（ − + − ）．
42 6 14 3 7
【分析】（1）我认为解法一是错误的；
（2）选择解法三求出值即可．
【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的；
故答案为：一；
1 3 2 2 1 1 3 2 2
（2）原式的倒数为：（ − + − ）÷（− ）＝（ − + − ）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12
6 14 3 7 42 6 14 3 7
＝﹣35+21＝﹣14，
1
则原式=− ．
14
5．（2023秋•右玉县期中）阅读下题中的计算方法，解决问题．
5 2 3 1
（1）−5 +(−9 )+17 +(−3 )
6 3 4 2
5 2 3 1
解：原式=[(−5)+(− )]+[(−9)+(− )]+[(+17)+(+ )]+[(−3)+(− )]
6 3 4 2
5 2 3 1
=[(−5)+(−9)+(+17)+(−3)]+[(− )+(− )+(+ )+(− )]
6 3 4 2
1
=0+(−1 )
4
1
=−1 ．
4
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的拆项法可将6.25拆为 6+0.2 5 ，﹣2.236拆为 ﹣ 2+ （﹣ 0.23 6 ） ．（2）类比上述计算方法计算：
1 2 2 1
−2023 −2024 +4045 −1 ．
4 5 5 2
【分析】（1）根据题干信息进行解答即可；
（2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）6.25＝6+0.25，﹣2.236＝﹣2+（﹣0.236），
故答案为：6+0.25；﹣2+（﹣0.236）；
1 2 2 1
（2）−2023 −2024 +4045 −1
4 5 5 2
1 2 2 1
=[−2023+(− )]+[−2024+(− )]+(4045+ )+[−1+(− )]
4 5 5 2
1 2 2 1
=[−2023+(−2024)+4045+(−1)]+[(− )+(− )+ +(− )]
4 5 5 2
3
=−3+(− )
4
3
=−3 ．
4
【题型二 整式的化简求值】
3 5
6．（2023秋•江阳区校级期中）已知M＝2x2+ax﹣5y+b，N＝bx2− x− y﹣3，其中a，b为常数．
2 2
（1）求整式M﹣2N；
（2）若整式M﹣2N的值与x的取值无关，求（a+2M）﹣（2b+4N）的值．
【分析】（1）将M和N代入整式M﹣2N，进行整式的加减运算即可；
（2）结合（1）的结果，根据整式M﹣2N的值与x的取值无关，可得a和b的值，进而可求（a+2M）
﹣（2b+4N）的值．
3 5
【解答】解：（1）∵M＝2x2+ax﹣5y+b，N＝bx2− x− y﹣3，
2 2
3 5
∴M﹣2N＝2x2+ax﹣5y+b﹣2（bx2− x− y﹣3）
2 2
＝2x2+ax﹣5y+b﹣2bx2+3x+5y+6
＝2x2+ax+b﹣2bx2+3x+6；
（2）由（1）知：
M﹣2N＝2x2+ax+b﹣2bx2+3x+6
＝（2﹣2b）x2+（a+3）x+b+6∵整式M﹣2N的值与x的取值无关，
∴2﹣2b＝0，a+3＝0，
解得b＝1，a＝﹣3，
∴（a+2M）﹣（2b+4N）
＝（﹣3+2M）﹣（2+4N）
＝﹣3+2M﹣2﹣4N
＝﹣5+2（M﹣2N）
＝﹣5+2（b+6）
＝﹣5+2b+12
＝2b+7
当b＝1时，原式＝2×1+7＝9．
7．（2023秋•横峰县期中）已知代数式A＝2x2﹣2x﹣1，B＝﹣x2+xy+1，M＝4A﹣（3A﹣2B）．
（1）当（x+1）2+|y﹣2|＝0时，求代数式M的值．
（2）若代数式M的值与x的取值无关，求y的值．
【分析】（1）利用非负数的性质求解；
（2）4A﹣（3A﹣2B），将M整理成关于x的多项式，M的值与x的取值无关，说明x项的系数等于
0．
【解答】解：∵A＝2x2﹣2x﹣1，B＝﹣x2+xy+1，
∴M＝4A﹣（3A﹣2B）
＝4A﹣3A+2B
＝A+2B
＝2x2﹣2x﹣1+2（﹣x2+xy+1）
＝2x2﹣2x﹣1﹣2x2+2xy+2
＝﹣2x+2xy+1．
（1）因为（x+1）2+|y﹣2|＝0，
所以x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣1，y＝2．
将x＝﹣1，y＝2代入原式，得
M＝﹣2×（﹣1）+2×（﹣1）×2+1
＝2﹣4+1
＝﹣1．（2）∵M＝﹣2x+2xy+1＝﹣2（1﹣y）x+1，M的值与x的取值无关，
∴1﹣y＝0．
∴y＝1．
8．（2023秋•罗平县校级期中）已知代数式A＝2x2+5xy﹣7y﹣3，B＝x2﹣xy+2．
（1）求3A﹣（2A+3B）的值；
（2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据题意将A﹣2B化简，然后令含x的项的系数为0即可求出y的值．
【解答】解：（1）3A﹣（2A+3B）
＝3A﹣2A﹣3B
＝A﹣3B
∵A＝2x2+5xy﹣7y﹣3，B＝x2﹣xy+2
∴A﹣3B
＝（2x2+5xy﹣7y﹣3）﹣3（x2﹣xy+2）
＝2x2+5xy﹣7y﹣3﹣3x2+3xy﹣6
＝﹣x2+8xy﹣7y﹣9
（2）A﹣2B
＝（2x2+5xy﹣7y﹣3）﹣2（x2﹣xy+2）
＝7xy﹣7y﹣7
∵A﹣2B的值与x的取值无关
∴7y＝0，
∴y＝0
9．（2023秋•曲江区校级期中）小明在计算减多项式A减2b2﹣3b﹣5时，因一时疏忽忘了将两个多项式用
括号括起来，得到的结果是b2+3b﹣1．
（1）求这个多项式A．
（2）求这两个多项式相减的正确结果．
（3）当b＝﹣1时，求（2）中结果的值．
【分析】（1）根据题意列出算式即可求出答案．
（2）根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意 可知：A﹣2b2﹣3b﹣5＝b2+3b﹣1，
∴A＝2b2+3b+5+b2+3b﹣1＝3b2+6b+4．
（2）由（1）可知：（3b2+6b+4）﹣（2b2﹣3b﹣5）
＝3b2+6b+4﹣2b2+3b+5
＝b2+9b+9．
（3）当b＝﹣1时，
原式＝1﹣9+9
＝1．
10．（2023秋•南城县期中）在七年级活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为A，B，C三个
代数式，三张卡片如下，其中C的代数式是未知的．
A＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1 B＝﹣2（x2﹣x+2） C
（1）若A为二次二项式，则k的值为 1 ；
（2）若A﹣B的结果为常数，则这个常数是 5 ，此时k的值为 ﹣ 1 ；
（3）当k＝﹣1时，C+2A＝B，求C．
【分析】（1）根据A为二次二项式，可以得到k﹣1＝0，然后即可求得k的值；
（2）根据A﹣B的结果为常数，可以计算出这个常数和k的值；
（3）根据k＝﹣1和C+2A＝B，可以计算出C．
【解答】解：（1）∵A＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1，A为二次二项式，
∴k﹣1＝0，
解得k＝1，
故答案为：1；
（2）∵A＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1，B＝﹣2（x2﹣x+2），
∴A﹣B
＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1﹣[﹣2（x2﹣x+2）]
＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1+2x2﹣2x+4
＝﹣（k+1）x+5，
∵A﹣B的结果为常数，
∴k+1＝0，
解得k＝﹣1，
即若A﹣B的结果为常数，则这个常数是5，此时k的值为﹣1，
故答案为：5，﹣1；
（3）当k＝﹣1时，A＝﹣2x2+2x+1，B＝﹣2（x2﹣x+2），∵C+2A＝B，
∴C＝B﹣2A
＝﹣2（x2﹣x+2）﹣2（﹣2x2+2x+1）
＝﹣2x2+2x﹣4+4x2﹣4x﹣2
＝2x2﹣2x﹣6．
【类型3 实际应用篇】
【题型一 有理数的实际应用】
1．（2023秋•建湖县期中）某公司4天内货品进出库的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）：
+24，﹣48，﹣13，+37，﹣52，+57，﹣13，﹣33．
（1）经过这4天，仓库里的货品是增加了还是减少了？请计算说明．
（2）经过这4天，仓库管理员结算时发现库里还存217吨货物，那么4天前仓库里存货多少吨？
（3）如果进出库的货品装卸费都是每吨15元，那么这4天要支付多少元装卸费？
【分析】（1）先求出记录的所有数据的和，再根据结果的正负，进行判断即可；
（2）根据存货＝数余货数+出货数，列出算式，进行计算即可；
（3）先列式求出共装卸的吨数，再用吨数×装卸每吨的费用，进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：
（+24）+（﹣48）+（﹣13）+（+37）+（﹣52）+（+57）+（﹣13）+（﹣33）
＝24﹣48﹣13+37﹣52+57﹣13﹣33
＝24+37+57﹣13﹣48﹣52﹣13﹣33
＝118﹣159
＝﹣41，
∴经过这4天，仓库里的货品是减少了；
（2）217+41＝258（吨），
答：4天前仓库里存货258吨；
（3）由题意得：
（|+24|+|﹣48|+|﹣13|+|+37|+|﹣52|+|+57|+|﹣13|+|﹣33|）×15
＝（24+48+13+37+52+57+13+33）×15
＝277×15
＝4155（元），
答：这4天要支付多少元装卸费4155元．
2．（2023秋•临湘市期中）某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表：
每袋与标准质量的差值（单位：克） ﹣5 ﹣2 0 1 3 6
袋数 1 4 3 4 5 3
（1）这批样品每袋的平均质量比标准质量多还是少？相差几克？
（2）若每袋的标准质量为450克，则抽样检测的20袋食品的总质量为多少克？
（3）若该种食品每袋的合格标准为450±5克，求该食品的抽样检测的合格率．
【分析】（1）根据正数和负数的关系列出算式计算即可求解；
（2）总质量＝标准质量×抽取的袋数+超过（或不足的）质量，把相关数值代入计算即可；
（3）找到所给数值中，绝对值小于或等于5的食品的袋数占总袋数的多少即可．
【解答】解：（1）[﹣5×1+（﹣2）×4+0×3+1×4+3×5+6×3]÷20
＝（﹣5﹣8+0+4+15+18）÷20
＝24÷20
＝1.2（克），
答：这批样品的平均质量比标准质量多1.2克；
（2）20×450+24＝9024（克），
答：抽样检测的20袋食品的总质量为9024克；
（3）∵合格的有17袋，
17
∴食品的合格率为 ×100%＝85%．
20
3．（2023秋•黔东南州期中）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人
不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没
电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣 20万件包裹，但实际每天的分拣量与
计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到
计划量的部分记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
分拣情况 +6 0 ﹣4 +5 ﹣1 +7 ﹣6
（单位：
万件）
（1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期 六 ；最少的一天是星期 日 ；最多的一天
比最少的一天多分拣 1 3 万件包裹；
（2）该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？
【分析】（1）依据超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负，可知周六最多，周日最少，用最多减去最少可得差值；
（2）求出本周内的分拣总量，然后再求平均值即可．
【解答】解：（1）由表可知：
本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，
最少的一天是星期日，
最多的一天比最少的一天多分拣：7﹣（﹣6）＝13（万件），
故答案为：六，日，13；
1 1 1
（2） ×[(6+0−4+5−1+7−6)+20×7]= ×[7+20×7]= ×147=21（万件）．
7 7 7
答：该仓库本周实际平均每天分拣21万件包裹．
4．（2023秋•青羊区校级期中）随着网络直播的兴起，凉山州“建档立卡户”刘师傅在帮扶队员的指导下
做起了“主播”，把自家的石榴放到网上销售．他原计划每天卖100千克石榴，但由于种种原因，实际
每天的销售量与计划量相比有出入．如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：千
克）：
星期 一 三 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +5 ﹣2 ﹣5 +14 ﹣8 +22 ﹣6
（1）根据记录的数据可知前三天共卖出 29 8 千克．
（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？
（3）若石榴每千克按10元出售，每千克石榴的运费平均3元，那么刘师傅本周出售石榴的纯收入一共
多少元？
【分析】（1）根据前三天销售量相加计算即可；
（2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（3）将总数量乘以价格差解答即可．
【解答】解：（1）5﹣2﹣5+300＝298（千克），
根据记录的数据可知前三天共卖出298千克．
故答案为：298；
（2）22﹣（﹣8）
＝22+8
＝30（千克）．
答：根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售30千克；
（3）（+5﹣2﹣5+14﹣8+22﹣6+100×7）×（10﹣3）＝720×7
＝5040（元）．
答：刘师傅本周一共收入5040元．
5．（2023秋•碑林区校级期中）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100
只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减
产记为负）；
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣6 +6 ﹣3
（1）根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期 四 ；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？
（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5
元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【分析】（1）比较出记录中的数的最大数即可判断；
（2）用记录中的最大数减去最小数即可；
（3）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可．
【解答】解：（1）∵+13＞+6＞+5＞﹣2＞﹣3＞﹣4＞﹣6，
∴该厂生产风筝最多的一天是星期四．
故答案为：四；
（2）+13﹣（﹣6）＝13+6＝19（只），
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝；
（3）5﹣2﹣4+13﹣6+6﹣3＝9（只），
（7×100+9）×20+9×5＝14180+45＝14225（元），
答：该厂工人这一周的工资总额是14225元．
【题型二 列代数式及其求值】
6．（2023秋•海州区校级期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用
电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电量 单价（元/度）
不超过50度的部分 0.5
超过50度但不超过200度的部分 0.6
超过200度的部分 0.8
已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
﹣50 +30 ﹣26 ﹣45 +36 +25
根据上述数据，解答下列问题：
（1）小刚家用电量最多的是 五 月份，实际用电量为 23 6 度；
（2）小刚家一月份应交纳电费 8 5 元；
（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．
【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题；
（2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费；
（3）根据表格中的数据，可以用分类讨论的方法用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费．
【解答】解：（1）由表格可知，
五月份用电量最多，实际用电量为：200+36＝236（度），
故答案为：五，236；
（2）小刚家一月份用电：200+（﹣50）＝150（度），
小刚家一月份应交纳电费：0.5×50+（150﹣50）×0.6＝25+60＝85（元），
故答案为：85；
（3）当0＜x≤50时，电费为0.5x元；
当50＜x≤200时，电费为0.5×50+（x﹣50）×0.6＝25+0.6x﹣30＝（0.6x﹣5）元；
当x＞200时，电费为0.5×50+0.6×150+（x﹣200）×0.8
＝25+90+0.8x﹣160
＝（0.8x﹣45）元．
7．（2023秋•历下区期中）随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作
为一种时尚的生活方式．某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案：
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折．
运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动
外套100件，卫衣x件（x≥100）．
（1）方案一需付款： （ 10 0 x +2000 0 ） 元，方案二需付款： （ 8 0 x +2400 0 ） 元；
（2）当 x＝150 时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
（3）当 x＝300时，如果两种方案可以组合使用，你能帮助俱乐部设计一种最省钱的方案吗？请直接
写出你的方案、
【分析】（1）根据题意即可列出代数式；（2）将x＝150分别代入（1）中求得的代数式，比较得出的结果即可；
（3）设购买a件运动外套使用方案一，则购买（100﹣a）件运动外套使用方案二，再列出总费用的代
数式，结合a的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）方案一：购买运动外套100件，送100件卫衣，则还需购买（x﹣100）件卫衣，
∴方案一需付款100×300+（x﹣100）×100＝（100x+20000）元；
方案二：购买运动外套100件，卫衣x件，均打8折，
方案一需付款（100×300+100x）×0.8＝（80x+24000）元．
故答案为：（100x+20000）；（80x+24000）．
（2）当x＝150 时，
方案一：100x+20000＝100×150+20000＝35000（元），
方案二：80x+24000＝80×150+24000＝36000（元），
∵35000＜36000，
∴方案一更划算．
（3）设购买a件运动外套使用方案一，则购买（100﹣a）件运动外套使用方案二，
∴购买a件卫衣使用方案一，购买（300﹣a）件卫衣使用方案二，
设总费用为w元，
则w＝300a+0.8[300（100﹣a）+100（300﹣a）]＝﹣20a+480000（0≤a≤100），
∴当a＝100时，w取的最小值，即总费用最小，
∴最省钱的方案：按照方案一购买100件运动外套，再按照方案二购买200件卫衣．
8．（2023秋•武汉期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆
窗框构成，下面是由两个大小相等的长x，宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中 取
3，长度单位为米） π
（1）一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含x，y的式子表示）
（2）一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含x，y的式子表示）
（3）某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价：
铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米）
甲厂商 180 不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方
米的部分，70元/平方米
乙厂商 200 80元/平方米，每购一平方米玻璃送0.1米铝合金
当x＝4，y＝2时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？【分析】（1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可；
（2）求出窗框的面积即可；
（3）分别求出甲、乙的费用比较大小即可判断．
1
【解答】解：（1）根据题意得：4x+4y+ × ×x，
2
π
∵ 取3，
π 3
∴原式＝4x+4y+ x
2
＝4x+4y+1.5x
＝5.5x+4y，
答：一扇这样窗户一共需要铝合金5.5x+4y米；
1 x
（2）根据题意的：2y•x+ × ×（ ）2
2 2
π
π x2
＝2xy+ •
2 4
∵ 取3，
π 3 x2
∴原式＝2xy+ •
2 4
3
=2xy+ x2 ，
8
3
答：一扇这样窗户一共需要玻璃2xy+ x2 平方米；
8
（3）当x＝4，y＝2时，
代入原式可得：铝合金长：（5.5×4+4×2）×10＝300（米），
3
玻璃面积：（2×4×2+ ×42）×10＝220（平方米），
8
甲：180×300+90×100+70×120＝71400元，
乙：200×（300﹣220×0.1）+80×220＝73200元，∴甲合适，
答：该公司在甲厂商购买窗户合算．
9．（2023秋•兴宾区期中）自我国实施“限塑令”起，开始有偿使用环保购物袋，为了满足市场需求，某
厂家生产A，B两种款式的环保购物袋，每天生产6000个，两种购物袋的成本和售价如下表，若设每天
生产A种购物袋x个．
成本（元/个） 售价（元/个）
A 2 2.5
B 3 3.6
（1）用含x的整式表示每天生产的环保购物袋的总成本，并进行化简；
（2）用含x的整式表示每天获得的总利润，并进行化简（利润＝售价﹣成本）；
（3）当x＝2000时，求每天生产的总成本与每天获得的总利润．
【分析】（1）表示A、B两款购物袋的成本和即可；
（2）根据利润的计算方法，求出A、B两款购物袋的利润之和；
（3）把x＝2000代入计算即可．
【解答】解：（1）每天生产A种购物袋x个，则每天生产B种购物袋（6000﹣x）个．
因此每天生产的环保购物袋的总成本为2x+3（6000﹣x）＝（﹣x+18000）元，
答：每天生产的环保购物袋的总成本为（﹣x+18000）元；
（2）A、B两款购物袋的利润之和为（2.5﹣2）x+（3.6﹣3）（6000﹣x）＝（﹣0.1x+3600）元，
答：每天获得的总利润为（﹣0.1x+3600）元；
（3）当x＝2000时，
﹣x+18000＝﹣2000+18000＝16000（元），
﹣0.1x+3600＝﹣0.1×2000+3600＝3400（元），
答：当x＝2000时，每天生产的总成本为16000元，每天获得的总利润为3400元．
10．（2023秋•尧都区校级期中）综合与探究
课上，老师让同学们探究图形的周长、面积问题．
【基础巩固】（1）图1是某校园的游泳池的平面示意图，尺寸如图所示，需在游泳池的四周铺设草坪，宽均为2，已知外围长方形场地的宽为a，长为b．用含a，b的代数式表示图中游泳池的周长．
【深入探究】（2）根据需要，该长方形场地的长、宽不变，学校对游泳池的位置和长、宽做了调整，
且长方形场地内又多种植了一个长方形花草地，其余部分（阴影部分）为小路，如图2，用含a，b的代
数式表示小路的面积．
【拓展探究】（3）聪明的小康在图1的基础上，设计出了更加美丽的游泳池图案，已知两个小游泳池
的直径相等，如图3所示，根据图中尺寸，用含a，b的代数式分别表示游泳池的周长和、面积和（面
积和不要求化简，保留 ）．
【分析】（1）先计算得π出这个游泳池的宽为a﹣4，长为b﹣4，再计算周长即可；
（2）由题意可得将阴影部分分成一个长为b﹣2，宽为1的小长方形和一个长为a，宽为2的小长方
形，再求出其面积即可；
b−a
（3）由题意可得可得大游泳池的直径为a，每个小游泳池的直径为 ，再求出游泳池的周长和、面
2
积和．
【解答】解：（1）这个游泳池的宽为a﹣4，长为b﹣4，
所以周长＝2（a﹣4+b﹣4）＝2（a+b﹣8）＝2a+2b﹣16．
答：游泳池的周长为2a+2b﹣16．
（2）将阴影部分分成一个长为b﹣2，宽为1的小长方形和一个长为a，宽为2的小长方形，
所以小路的面积＝（b﹣2）×1+2a＝2a+b﹣2．
b−a
（3）由题图3可得大游泳池的直径为a，每个小游泳池的直径为 ，
2
a b−a
所以游泳池的周长和=2π× +2×2π× =aπ+(b−a)π=bπ．
2 4
a 2 b−a 2
游泳池的面积和=π×( ) +2×π×( ) ．
2 4
【类型4 规律及新定义篇】
【题型一 数式规律问题】
−3 −27 81
1．（2023秋•利川市校级期中）已知一组数：1， ，1， ， ，…，用代数式表示第n个数为
4 16 25
(−3) n−1
．（n是正整数，用含n的代数式表示）
n2(−3) 0 −3 (−3) 1
【分析】根据前几个数的运算情况推导一般性规律是解题的关键．根据1= ， = ，
12 4 22
(−3) 2 −27 (−3) 3 81 (−1) 4
1= ， = ， = ，…，推导一般性规律即可．
32 16 42 25 52
(−3) 0 −3 (−3) 1 (−3) 2 −27 (−3) 3 81 (−1) 4
【解答】解：∵1= ， = ，1= ， = ， = ，
12 4 22 32 16 42 25 52
…，
(−3) n−1
∴用代数式表示第n个数为 ，
n2
(−3) n−1
故答案为： ．
n2
1
2．（2023秋•高州市校级期中）定义：a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数．例如：2的差
1−a
1 1 1
倒数是 =−1，﹣1的差倒数是 = ．已知a ＝﹣3，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，
1−2 1−(−1) 2 1 2 1 1 2
1
a 是a 的差倒数，……，以此类推，a ＝ ．
4 3 2024 4
【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2024
除以3，根据余数的情况确定出与a 相同的数即可得解．
2024
【解答】解：∵a ＝﹣3，
1
1 1
∴a = = ，
2 1−(−3) 4
1 4
= =
a 1 3，
3 1−
4
1
= =−
a 4 3，
4 1−
3
…
2024÷3＝674……2．1
∴a 与a 相同，为 ．
2024 2 4
1
故答案为： ．
4
3．（2023秋•开州区期中）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，
6，10，15，…，我们把第一个数记为a ，第二个数记为a ，第三个数记为a ，…，第n个数记为a ，
1 2 3 n
则a ﹣a ＝ 404 5 ．
2023 2021
n(n+1)
【分析】通过归纳出第n个数a 的表达式为 进行求解．
n 2
【解答】解：由题意得，
a ＝1，
1
2(2+1)
a ＝3＝1+2= ，
2 2
3(3+1)
a ＝6＝1+2+3= ，
3 2
4(4+1)
a ＝10＝1+2+3+4= ，
4 2
……，
n(n+1)
∴第n个数记为a = ，
n 2
∴a ﹣a
2023 2021
2023(2023+1) 2021(2021+1)
= −
2 2
20232+2023−20212−2021
=
2
＝4045，
故答案为：4045．4．（2023秋•万秀区校级期中）在我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三
角”我们把第2行从左到右第1个定为a（2，1），我们把第4行从左到右第3个定为a（4，3），由图
我们可以知道：a（2，1）＝1，a（4，3）＝3，按照图中数据规律，a（8，4）+a（9，5）的值为
105 ．
【分析】根据图得到规律：a（m，n）＝a（m﹣1，n﹣1）+a（m﹣1，n），从而求得a（8，4）＝35，
a（9，5）＝70，即可得到答案．
【解答】解：按照图中数据规律，下一行首尾两数为1，中间各数等于上一行两相邻陃人数之和，即下
一行第二个数等于上一行第一个数与第二个数之和，下一行第三个数等于上一行第二个数与第三个数之
和，下一行第四个数等于上一行第三个数与第四个数之和，…，第 m 行第n个数等于第（m﹣1）行第
（n﹣1）个数与第n个数之和，
∴a（m，n）＝a（m﹣1，n﹣1）+a（m﹣1，n），
∴a（8，4）＝a（7，3）+a（7，4）＝15+20＝35，a（9，5）＝a（8，4）+a（8，5）＝35+a（7，
4）+a（7，5）＝35+20+15＝70，
∴a（8，4）+a（9，5）＝35+70＝105，
故答案为：105．
5．（2023秋•鲤城区校级期中）观察算式：
1 1 1
=1− = ，
1×2 2 2
1 1 1 1 1 2
+ =1− + − = ，
1×2 2×3 2 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =1− + − + − = ；…
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4
（1）按规律填空：
1 1 1 1 4
① + + + = ；
1×2 2×3 3×4 4×5 5
1 1 1 1 1 n
②如果n为正整数，那么 + + + +⋯+ = ；
1×2 2×3 3×4 4×5 n×(n+1) n+1
（2）计算（由此拓展写出具体过程）：1 1 1 1
① + + +⋯+ ；
1×3 3×5 5×7 99×101
1 1 1 1
②1− − − −⋯− ．
2 6 12 9900
【分析】（1）根据题意找出规律，根据此规律即可得出结论；
（2）把所给的式子进行化简，找出规律即可．
【解答】解：（1）∵观察算式：
1 1 1
=1− = ，
1×2 2 2
1 1 1 1 1 2
+ =1− + − = ，
1×2 2×3 2 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =1− + − + − = ；
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4
……，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4
∴① + + + =1− + − + − + − =1− = ；
1×2 2×3 3×4 4×5 2 2 3 3 4 4 5 5 5
1 1 1 1 1 1 n
②如果n为正整数，那么 + + + +⋯+ =1− = ；
1×2 2×3 3×4 4×5 n×(n+1) n+1 n+1
4 n
故答案为：① ；② ；
5 n+1
1 1 1 1 2
（2）①∵ + = + = ；
1×3 3×5 3 15 5
1 1 1 1 1 1 3
+ + = + + = ；
1×3 3×5 5×7 3 15 35 7
……；
1 4 2
1− = =2× ；
5 5 5
1 6 3
1− = =2× ；
7 7 7
……；
1 1 1 1 1 1 50
∴ + + +⋯+ = (1− )= ；
1×3 3×5 5×7 99×101 2 101 101
1 1 1 1 1 1 1
②∵1− − = ，1− − − = ，
2 6 3 2 6 12 4
……，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1− − =1−(1− )−( − )= ，1− − − =1− − − = ，
1×2 2×3 2 2 3 3 2 6 12 1×2 2×3 3×4 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴1− − − −⋯− =1− − − −⋯− = ．
2 6 12 9900 1×2 2×3 3×4 99×100 100
6．（2023秋•金溪县校级期中）仔细观察下列规律：
22﹣2＝2（2﹣1）＝2；
23﹣22＝22（2﹣1）＝22；
24﹣23＝23（2﹣1）＝23；
…
（1）28﹣27＝ 2 7 ；
（2）2n﹣1﹣2n＝ ﹣ 2 n ﹣ 1 ；
（3）2100+299+298+…+23+22+2＝ 2 10 1 ﹣ 2 ．
【分析】（1）根据所给式子对照可得答案；
（2）根据所列出的式子的变化规律，类推出第n个式子的情况，从而得出结果；
（3）利用（2）中所得规律变形，再消项计算．
【解答】解：（1）由题意得，28﹣27＝27（2﹣1）＝27，
故答案为：27；
（2）22﹣2＝2（2﹣1）＝2；
23﹣22＝22（2﹣1）＝22；
24﹣23＝23（2﹣1）＝23；
…，
以此类推，2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，
∴2n﹣1﹣2n＝﹣2n﹣1，
故答案为：﹣2n﹣1；
（3）2100+299+298+…+23+22+2
＝（2101﹣2100）+（2100﹣299）+⋯+（23﹣22）+（22﹣2）
＝2101﹣2100+2100﹣299+⋯+23﹣22+22﹣2
＝2101﹣2．
故答案为：2101﹣2．
7．（2023秋•威远县校级期中）请阅读以下材料完成以下题目．
【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式：1
第①式：1×2= (1×2×3−0×1×2)；
3
1
第②式：2×3= (2×3×4−1×2×3)；
3
1
第③式：3×4= (3×4×5−2×3×4)；
3
1
将这三个等式的两边相加，可以得到：1×2+2×3+3×4= ×3×4×5=20；
3
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+⋯+20×21＝ 308 0 ；
1
（2）1×2+2×3+3×4+⋯+n（n+1）＝ n （ n +1 ）（ n +2 ） （用含n的式子表示）；
3
【阅读材料二】观察下列几个等式：
1
第①式：12= ×1×2×3=1；
6
1
第②式：12+22= ×2×3×5=5；
6
1
第③式：12+22+32= ×3×4×7=14；
6
1
第④式：12+22+32+42= ×4×5×9=30；
6
请你思考后解答下列问题：
（1）12+22+32+…+202＝ 287 0 ；
（2）12+22+32+…+n2＝ 1927 0 （用含n的式子表示）；
（3）计算：212+222+232+…+392+402；
【拓展应用】：
2 1
直 接 写 出 下 式 的 结 果 ： [(12+22+32+⋯+1002 )− (1×2+2×3+3×4+⋯+100×101)]=
33 2
10100 ．
【分析】【阅读材料一】（1）利用题干中的规律解答列式即可；
（2）利用题干中的规律解答列式即可；
【阅读材料二】（1）利用题干中的规律解答列式即可；
（2）利用题干中的规律解答列式即可；
（3）利用题干中的规律解答列式求得 12+22+32+…+202+212+222+232+…+392+402和12+22+32+…+202＝2870，两式相减即可得出结论；
1
【拓展应用】先计算得到12+22+32+…+1002= ×100×101×201，1×2+2×3+3×4+⋯+100×101的值，再代
6
入运算即可．
【解答】解：【阅读材料一】（1）1×2+2×3+3×4+⋯+20×21
1
= ×20×21×22
3
＝3080．
故答案为：3080；
1
（2）1×2+2×3+3×4+⋯+n（n+1）= n（n+1）（n+2）．
3
1
故答案为： n（n+1）（n+2）．
3
【阅读材料二】（1）12+22+32+…+202
1
= ×20×21×41
6
＝2870；
故答案为：2870；
1
（2）12+22+32+…+n2= n（n+1）（2n+1）．
6
1
故答案为： n（n+1）（2n+1）；
6
（3）∵12+22+32+…+202+212+222+232+…+392+402
1
= ×40×41×81
6
＝22140，
∵12+22+32+…+202＝2870，
∴212+222+232+…+392+402＝22140﹣2870＝19270；
1
【拓展应用】∵12+22+32+…+1002= ×100×101×201＝338350，
6
1
1×2+2×3+3×4+⋯+100×101= ×100×101×102＝343400，
3
2 1
∴ [(12+22+32+⋯+1002 )− (1×2+2×3+3×4+⋯+100×101)]
33 22 1
= ×（338350− ×343400）
33 2
＝10100．
故答案为：10100．
【题型二 图形规律问题】
1．（2023秋•临颍县期中）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共
有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑨个图形
中五角星的个数为（ ）
A．162 B．180 C．200 D．128
【分析】根据图形的变化规律归纳出第n个图形有2n2个五角星即可．
【解答】解：由题知，
第①个图形一共有2＝2×12个五角星，
第②个图形一共有8＝2×22个五角星，
第③个图形一共有18＝2×32个五角星，
第④个图形一共有32＝2×42个五角星，
…，
第n个图形一共有2n2个五角星，
∴第⑨个图形中五角星的个数为2×92＝162，
故选：A．
2．（2023秋•鹤城区校级期中）中国文化博大精深，汉字文化是中国古代文化流传下来的一份珍贵遗产．
下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图1中共
有12个圆点，图2中共有18个圆点，图3中共有25个圆点，图4中共有33个圆点，…，依此规律，
则图9中共有圆点的个数是（ ）A．63 B．75 C．88 D．102
【分析】观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处，得出每两个相邻的“汉字”中后一个
“汉字”前半部分与前一个“汉字”的前半部分圆点数量相等，后一个“汉字”的后半部分的圆点数总
是前一个“汉字”后半部分顶部加上图案序号多2个的圆点与底部添加两个圆点，进而解决该题．
【解答】解：在图1中，圆点个数为y ＝12个．
1
在图2中，圆点个数为y ＝y +2+4＝18个．
2 1
在图3中，圆点个数为y ＝y +2+5＝25个．
3 2
在图4中，圆点个数为y ＝y +2+6＝33个．
4 3
..．
以此类推，在图9中，圆点个数为y ＝y +（2+11）＝y +（2+10）+13
9 8 7
＝y +（2+9）+12+13
6
＝y +（2+8）+11+12+13
5
＝y +（2+7）+10+11+12+13
4
＝33+9+10+11+12+13
＝88．
故选：C．
3．（2023秋•深圳期中）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角
垛”，图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若
1 1 1 1
用a 表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则
+ + +⋯+ =
（ ）
n a a a a
1 2 3 2023
4044 4042 2021 2023
A． B． C． D．
2023 2023 1011 1012【分析】先分别计算a ，a ，a ，a ，再代入代数式进行裂项计算即可．
1 2 3 2023
1×2
【解答】解：当n＝1时，a =1= ，
1 2
2(1+2) 2×3
当n＝2时，a =1+2= = ，
2 2 2
3(1+3) 3×4
当n＝3时，a =1+2+3= = ，
3 2 2
4(1+4) 4×5
当n＝4时，a =1+2+3+4= = ，
4 2 2
…
2023(1+2023) 2023×2024
当n＝2023时：a =1+2+3+4+⋯+2023= = ；
2023 2 2
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+
a a a a
1 2 3 2023
2 2 2 2 2
= + + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 4×5 2023×2024
1 1 1 1 1
=2( + + + +⋯+ )
1×2 2×3 3×4 4×5 2023×2024
1 1 1 1 1 1 1 1 1
=2(1− + − + − + − +⋯+ − )
2 2 3 3 4 4 5 2023 2024
1
=2(1− )
2024
2023
= ；
1012
故选：D．
4．（2023秋•福州期中）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有 n
（n＞1）个点，记第1个图形中总的点数为S ＝3，第2个图形中总的点数为S ＝6，依次为S ＝9，S
2 3 4 5
＝12，则S 的值是（ ）
2023
A．6063 B．6066 C．6069 D．6072
【分析】首先根据S ＝3＝3×（2﹣1），S ＝6＝3×（3﹣1），S ＝9＝3×（4﹣1），S ＝12＝3x（5﹣
2 3 4 51），以此类推可得出S ＝3x（n+1﹣1）＝3n，据此可求出S 的值．
n+1 2023
【解答】解：第1个图形中总的点数为S ＝3＝3×（2﹣1），
2
第2个图形中总的点数为S ＝6＝3×（3﹣1），
3
第3个图形中总的点数为S ＝9＝3×（4﹣1），
4
第4个图形中总的点数为S ＝12＝3×（5﹣1），
5
…，以此类推，第n个图形中总的点数为S ＝3×（n+1﹣1）＝3n，
n+1
∴S ＝3×（2023﹣1）＝6066．
2023
故选：B．
5．（2023秋•即墨区期中）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图
形，第1幅图形中“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为
15..以此类推，则第10幅图形中“●”的个数为（ ）
A．100 B．120 C．220 D．240
【分析】根据前几幅图中“●”的个数，可以发现它们的变化规律．
【解答】解：由题意可得，
第1幅图形中“●”的个数为3＝22﹣1，
第2幅图形中“●”的个数为8＝32﹣1，
第3幅图形中“●”的个数为15＝42﹣1，
……
∴第n幅图中“●”的个数为（n+1）2﹣1，
∴第10幅图形中“●”的个数为（10+1）2﹣1＝120，
故选：B．
6．（2023秋•市中区期中）学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式：（1）当有5张桌子时，第一种方式能坐 2 2 人，第二种方式能坐 1 4 人．
（2）当有n张桌子时，第一种方式能坐 （ 4 n + 2 ） 人，第二种方式能坐 （ 2 n + 4 ） 人．
（3）新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择
以下哪种方式来摆放餐桌？为什么？
【分析】（1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2
人，由此即可解决问题；
（2）根据（1）中所得规律列式可得．
（3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断．
【解答】解：（1）有5张桌子，用第一种摆设方式，可以坐5×4+2＝22（人）；
用第二种摆设方式，可以坐5×2+4＝14（人）；
故答案为：22；14；
（2）有n张桌子，用第一种摆设方式可以坐（4n+2）人；
用第二种摆设方式，可以坐（2n+4）人；
故答案为：（4n+2），（2n+4）；
（3）选择第一种方式．理由如下；
第一种方式：60张桌子一共可以坐60×4+2＝242（人）．
第二种方式：60张桌子一共可以坐60×2+4＝124（人）．
又242＞200＞124，
所以选择第一种方式．
7．（2023秋•方城县期中）【观察思考】（1）【规律发现】
第5个图案中“◎”的个数是 1 5 ；第n个图案中“◎”的个数是 3 n ．
1×2 2×3
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为 ，第2个图案中“★”的个数可表示为 ，第3个图
2 2
3×4 4×5
案中“★”的个数可表示为 ，第4个图案中“★”的个数可表示为 ，……，第n个图案中
2 2
n(n+1)
“★”的个数可表示为 ．
2
（3）【猜想说理】
有人猜想：第2023个图案中“★”的个数与第2022个图案中“★”的个数之差为2023．你同意他的说
法吗？请通过计算说明理由．
【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据规律分别求得第2023个图案中“★”的个数与第2022个图案中“★”的个数，进行计算可
求解．
【解答】解：（1）解：第1个图案中有3个◎，
第2个图案中有3+3＝6个◎，
第3个图案中有3+2×3＝9个◎，
第4个图案中有3+3×3＝12个◎，
……
∴第n个图案中有3n个◎，
∴第5个图案中“◎”的个数是15
故答案为：3n．
故答案为：15，3n1×2
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
2×3
第2个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
3×4
第3个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
4×5
第4个图案中“★”的个数可表示为 ，……，
2
n×(n+1)
第n个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
n(n+1)
故答案为： ；
2
（3）同意，
2023×2024
理由：因为：第2023个图案中“★”的个数为： ，
2
2022×2023
第2022个图案中“★”的个数： ，
2
所以第2023个图案中“★”的个数与第2022个图案中“★”的个数之差为：
2023×2024 2022×2023
−
2 2
＝2023×1012﹣1011×2023
＝2023×（1012﹣1011）
＝2023，
所以第2023个图案中“★”的个数与第2022个图案中“★”的个数之差为2023．
【题型三 新定义问题】
1．（2023秋•鼓楼区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②
n n
当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝
2k 2k
26，则：
若n＝49，则第2023次“F运算”的结果是（ ）
A．152 B．19 C．62 D．49【分析】根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可．
【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为
奇数应先进行F①运算，
即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，
即152÷23＝19（奇数），
再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），
再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），
再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），
再进行F②运算，即98÷21＝49，
再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，
即第1次运算结果为152，…，
第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，
可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，
则6次一循环，
2023÷6＝337……1，
则第2023次“F运算”的结果是152．
故选：A．
{4ab−b2 (a＞b))
2．（2023秋•西乡塘区校级期中）定义一种新运算：a&b= ，则（1&4）&（﹣1）的
ab+a−b(a＜b)
值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．
{4ab−b2 (a＞b))
【解答】解：∵a&b= ，
ab+a−b(a＜b)
∴（1&4）&（﹣1）
＝（1×4+1﹣4）&（﹣1）
＝1&（﹣1）
＝4×1×（﹣1）﹣（﹣1）2
＝﹣4﹣1
＝﹣5．故选：D．
3．（2023秋•兴城市期中）定义：若a+b＝n，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与﹣4是关于
﹣1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有a＝6x2﹣8kx+12与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k
为常数）始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 的“平衡数”．
【分析】利用“平衡数”的定义判断即可．
【解答】解：∵a＝6x2﹣8kx+12与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数）始终是数n的“平衡数”，
∴a+b＝6x2﹣8kx+12﹣2（3x2﹣2x+k）＝6x2﹣8kx+12﹣6x2+4x﹣2k＝（4﹣8k）x+12﹣2k＝n，即4﹣8k＝
0，
1
解得：k= ，
2
1
即n＝12﹣2× =11．
2
故答案为：11．
4．（2023秋•卧龙区期中）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的商的运算
叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写
作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的
圈4次方”．一般地，把 a÷a÷a⋯÷a 记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．
¿
【初步探究】（1）直接写出计算结果：2023②＝ 1 ；
（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ABD ；（横线上填写序号）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么
有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
1
（3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝ （ ） n ﹣ 2 ；
a
1
（4）计算：﹣1⑧﹣142÷（− ）④×（﹣7）⑥．
2
【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可解答；
（2）利用a的圈n次方的意义，逐一判断即可解答；（3）根据的圈n次方的意义计算即可；
（4）利用（3）的结论，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2023②＝2023÷2023＝1，
故答案为：1；
（2）A．因为a2＝a÷a＝1（a≠0），所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确；
1
B．因为a3＝a÷a÷a= （a≠0），所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确；
a
C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1，说法错误，（﹣1）②＝1；
D．根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果
是正数，正确；
故答案为：ABD；
1 1 1 1 1
（3）aⓝ＝a÷a÷a÷…÷a＝a• • • •…• =（ ）n﹣2，
a a a a a
1
故答案为：（ ）n﹣2；
a
1
（4）原式＝﹣1﹣196÷4×
74
1
＝﹣1﹣49×
2401
1
＝﹣1−
49
1
＝﹣1 ．
49
5．（2023秋•南昌期中）我们定义：对于数对（a，b），若a+b＝ab，则（a，b）称为“和积等数对”．
3 3 3
如：因为2+2＝2×2，﹣3+ =−3× ，所以（2，2），（﹣3， ）都是“和积等数对”．
4 4 4
（1）下列数对中，是“和积等数对”的是 ①③ ；（填序号）
①（3，1.5）；
3
②（ ，1）；
4
1 1
③（− ， ）．
2 3
（2）若（﹣5，x）是“和积等数对”，求x的值；（3）若（m，n）是“和积等数对”，求代数式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值．
【分析】（1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论；
（2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论；
（3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）∵3+1.5＝3×1.5＝4.5，
∴数对（3，1.5）是“和积等数对”，
3 3
∵ +1≠ ×1，
4 4
3
∴（ ，1）不是“和积等数对”，
4
1 1 1 1 1
∵− + =− × =− ，
2 3 2 3 6
1 1
∴数对（− ， ）是“和积等数对”，
2 3
故答案为：①③；
（2）∵（﹣5，x）是“和积等数对”，
∴﹣5+x＝﹣5x，
5
解得：x= ；
6
（3）4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2
＝4mn+4m﹣8（mn﹣3）﹣6m2+4n+6m2
＝4mn+4m﹣8mn+24﹣6m2+4n+6m2
＝﹣4mn+4m+4n+24，
∵（m，n）是“和积等数对”
∴m+n＝mn，
∴原式＝﹣4mn+4（m+n）+24
＝﹣4mn+4mn+24
＝24．
6．（2023秋•思明区校级期中）定义：若a+b＝m，则称a与b是关于m的关联数．
例如：若a+b＝3，则称a与b是关于3的关联数．
（1）①6与 ﹣ 4 是关于2的关联数．
②4+2x与 ﹣ 2 x ﹣ 2 是关于2的关联数．（用含x的代数式表示）．
（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x﹣x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的关联数，并说明理由．
【分析】（1）①根据题意，进行计算即可；②根据题意，计算即可；
（2）先计算出a+b＝﹣2x2﹣2，然后根据题目中的式子说明理由即可．
【解答】解：（1）①∵6+（﹣4）＝2，
∴6与﹣4是关于2的关联数；
②∵2﹣（4+2x）＝﹣2x﹣2，
∴4+2x+（﹣2x﹣2）＝2，
∴4+2x与﹣2x﹣2是关于2的关联数，
故答案为：①﹣4；②﹣2x﹣2；
（2）∵a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x﹣x2）﹣2]，
∴a+b
＝2x2﹣3（x2+x）﹣4+2x﹣[3x﹣（4x﹣x2）﹣2]
＝2x2﹣3x2﹣3x﹣4+2x﹣（3x﹣4x+x2﹣2）
＝﹣x2﹣x﹣4+x﹣x2+2
＝﹣2x2﹣2，
∵﹣2x2≤0，
∴﹣2x2﹣2＜0．
∴a与b不是关于1的关联数．
7．（2023秋•雨湖区校级期中）定义：对于一个数 x，我们把[x]称作x的相伴数；如果x≥0，那么就有[x]
＝x﹣1；如果x＜0，那么[x]＝x+1．例：[0.5]＝0.5﹣1＝﹣0.5．
3
（1）求[ ]、[﹣1]的值；
2
（2）若[x]＝﹣1，[y]＝2，求xy的值；
（3）若a≠b，当[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值．
【分析】（1）依据题意，根据所给新定义进行列式计算可以得解；
（2）依据题意，根据所给新定义进行分类讨论，求出x，y后代入计算可以得解；
（3）依据题意，由a≠b，且[a]＝[b]，从而可分两种情形：①a≥0，b＜0②a＜0，b≥0，进而求出a
﹣b后即可判断得解．
3 3 1
【解答】解：（1）[ ]= −1= ；[﹣1]＝﹣1+1＝0；
2 2 2
（2）当x≥0时，[x]＝﹣1，∴x﹣1＝﹣1，
∴x＝0；
当x＜0时，[x]＝﹣1，
∴x+1＝﹣1，
∴x＝﹣2；
∵[y]＝2，
∴y＝3．
∴xy＝（﹣2）3＝﹣8或xy＝03＝0．
∴xy＝﹣8或0．
（3）由题意，∵a≠b，且[a]＝[b]，
∴可分两种情形：
①当a≥0，b＜0时；[a]＝a﹣1．[b]＝b+1
∴a﹣1＝b+1，
∴a﹣b＝2，b﹣a＝﹣2；
∴原式＝（b﹣a）2﹣3（a﹣b）＝（﹣2）3﹣3×2＝﹣14；
②当a＜0，b≥0时；[a]＝a+1．[b]＝b﹣1
∴a+1＝b﹣1，
∴a﹣b＝﹣2，b﹣a＝2；
∴原式＝（b﹣a）2﹣3（a﹣b）＝23﹣3×（﹣2）＝14．
综上所述：代数式的值为±14．
【类型5 压轴篇】
【题型一 与数轴有关的综合】
1．（2023秋•海门市期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A，B，
C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、那
么数轴上的﹣2025所对应的点与圆周上重合的字母是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【分析】数字﹣2025所对应的点将与第506个周期中的第3个字母对应的点重合．
【解答】解：结合数轴，分析题意可知，圆在向左滚动过程中每四个点一周期，依次是A、B、C、D，∵A点最初对应数轴上的1，1到﹣2025有2026个单位长度，
而2026÷4＝506……2，
∴数字﹣2025所对应的点将与圆周上字母C所对应的点重合．
故选：C．
2．（2023秋•澧县期中）已知：如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为﹣5，动点P以每
秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速
1
度的 ，当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，则当点P运动到点A时，
3
动点Q所表示的数为 2 2 ．
【分析】根据运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，可知相遇前相距6个单
位和相遇后相距6个单位，可利用方程求出点M、Q的运动速度，进而求出AB的距离，再计算出当点
P运动到点A所用的时间，再计算出点Q运动的距离，进而求出所表示的数．
1
【解答】解：设点Q运动的速度为每秒a个单位长度，则点M运动的速度为每秒 a个单位长度，
3
由运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，可列方程，
1 1
2× a+6+4×2＝4× a+4×4﹣6，
3 3
解得，a＝6，
1
a＝2，
3
即：点Q运动的速度为每秒6个单位长度，点M运动的速度为每秒2个单位长度，
此时，AB＝2×2+6+4×2＝18，
18
∴点Q所表示的数为﹣5+ ×6＝22，
4
故答案为：22．
3．（2023秋•南山区校级期中）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点
A向左移动3个单位长度到达点A ，第2次将点A 向右平移6个单位长度到达点A ，第3次将点A 向
1 1 2 2
左移动9个单位长度到达点A …则第6次移动到点A ；按照这种规律移动下去，至少移动次 2 7 后
3 6
该点到原点的距离不小于41．【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，
各点所表示的数依次增加3，即可解答．
【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A ，则A 表示的数，1﹣3＝﹣2；
1 1
第2次从点A 向右移动6个单位长度至点A ，则A 表示的数为﹣2+6＝4；
1 2 2
第3次从点A 向左移动9个单位长度至点A ，则A 表示的数为4﹣9＝﹣5；
2 3 3
第4次从点A 向右移动12个单位长度至点A ，则A 表示的数为﹣5+12＝7；
3 4 4
第5次从点A 向左移动15个单位长度至点A ，则A 表示的数为7﹣15＝﹣8；
4 5 5
第6次从点A 向左移动18个单位长度至点A ，则A 表示的数为﹣8+18＝10；
5 6 6
⋯；
则A 表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A 表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A 表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A 表示
7 9 11 13
的数为﹣17﹣3＝﹣20，A 表示的数为﹣20﹣3＝﹣23，A 表示的数为﹣23﹣3＝﹣26，A 表示的数为
15 17 19
﹣26﹣3＝﹣29，A 表示的数为﹣29﹣3＝﹣32，A 表示的数为﹣32﹣3＝﹣35，A 表示的数为﹣35﹣
21 23 25
3＝﹣38，A 表示的数为﹣38﹣3＝﹣41，
27
所以至少移动27次后该点到原点的距离不小于41．
故答案为：27．
4．（2023秋•江夏区期中）已知：在数轴上有A，B，C三点，其中A，B两点对应的数a，b满足：
（a+2）2+|b﹣8|＝0，点C在点B的右边，其对应的数为c．
（1）求式子：3ab﹣4ab﹣（﹣2ab）的值；
（2）若点M对应的数为m，动点M在点B的左边（注：点M不与点B重合），请化简式子：|m+3|﹣|
m﹣8|+12；
（3）点P是数轴上B，C两点之间的一个动点（注：点P不与点B，C重合），设点P表示的数为x，
当点 P在运动的过程中，无论怎么运动，式子：bx﹣cx+2|x﹣a|﹣9|x﹣c|的值始终保持不变，求：
c2+2c+1的值．
【分析】（1）根据非负数的性质即可求得a＝﹣2，b＝8，再将所求式子合并同类项，最后代入a，b的
值即可求解；
（2）有题意可得m＜8，再分m＜﹣3和﹣3≤m＜8两种情况，分别去绝对值符号即可求解；
（3）根据题意，将bx﹣cx+2|x﹣a|﹣9|x﹣c|化简得19x﹣cx+4，由P在运动的过程中，无论怎么运动，
该式的值始终保持不变可得c＝19，则c2+2c+1＝（c+1）2＝400．【解答】解：（1）∵（a+2）2+|b﹣8|＝0，（a+2）2≥0，|b﹣8|≥0，
∴a+2＝0，b﹣8＝0，
解得：a＝﹣2，b＝8，
∴3ab﹣4ab﹣（﹣2ab）
＝﹣ab+2ab
＝ab
＝﹣2×8
＝﹣16；
（2）∵点M对应的数为m，动点M在点B的左边，且点M不与点B重合，
∴m＜8，
当m＜﹣3时，|m+3|﹣|m﹣8|+12＝﹣m﹣3+m﹣8+12＝1，
当﹣3≤m＜8时，|m+3|﹣|m﹣8|+12＝m+3+m﹣8+12＝2m+7；
（3）∵点C在点B的右边，
∴c＞8，
∵点P是数轴上B，C两点之间的一个动点，且点P不与点B，C重合，
∴8＜x＜c，
∴bx﹣cx+2|x﹣a|﹣9|x﹣c|
＝8x﹣cx+2|x+2|﹣9|x﹣c|
＝8x﹣cx+2x+4+9x﹣9c
＝19x﹣cx+4﹣9c，
∵当点P在运动的过程中，无论怎么运动，式子：bx﹣cx+2|x﹣a|﹣9|x﹣c|的值始终保持不变，
∴19x﹣cx＝0，解得：c＝19，
∴c2+2c+1＝（c+1）2＝（19+1）2＝400．
5．（2023秋•江岸区期中）自主学习数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，即：点
A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
例：如图，点A、B在数轴上分别对应的数为﹣1、2，则AB＝|2﹣（﹣1）|＝3．
尝试应用数轴上A、B两点对应的数分别为a、b且a、b满足|b+2a|+（a﹣2）2＝0．
（1）直接写出：a＝ 2 ，b＝ ﹣ 4 ；
（2）在数轴上有一点P对应的数为x．①点P到点A的距离可表示为 | x ﹣ 2 | ；点P到A、B两点的距离和可表示为 | x ﹣ 2|+ | x +4 | .（用
含x的代数式表示）
②当点P到A、B两点的距离和为8时，求x的值．
拓展探究已知A、B、C三点都在数轴上原点O右边（前后顺序不定），所对应的数分别为 x，y，z（y
＞2），P、Q也在数轴上，其中，P为A、C的中点（即PA＝PC），Q为O、B中点（即OQ＝BQ），
若2PQ＝OA+OB+OC﹣4，求|x+y+z﹣6|+2|y﹣3|的最小值．
【分析】（1）由|b+2a|+（a﹣2）2＝0，根据有理数的非负性即可求得；
（2）①根据距离公式即可求解；
②分两种情况：当x＜﹣4时，|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x﹣x﹣4＝﹣2x﹣2＝8，当x＞2时，|x﹣2|+|x+4|＝x﹣
2+x+4＝8，化简后解方程即可；
1
拓展探究：当P为A、C的中点时，P表示的数为： （x+z），当Q为O、B中点时，Q表示的数为：
2
1
y，则2QP=¿，由已知：2PQ＝OA+OB+OC﹣4可得¿x+z﹣y﹣4，化简可得x+z＝2，进而可得|x+y+z﹣
2
6|+2|y﹣3|＝|y﹣4|+2|y﹣3|分类讨论化简即可．
【解答】解：（1）∵|b+2a|+（a﹣2）2＝0，
∴b+2a＝0，a﹣2＝0，
∴a＝2，b＝﹣4；
故答案为：2，﹣4；
（2）①点P到点A的距离可表示为|x﹣2|，点P到A、B两点的距离和可表示为|x﹣2|+|x+4|；
故答案为：|x﹣2|，|x﹣2|+|x+4|；
②根据题意得：|x﹣2|+|x+4|＝8，
当x＜﹣4时，|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x﹣x﹣4＝﹣2x﹣2＝8，
解得：x＝﹣5；
当x＞2时，|x﹣2|+|x+4|＝x﹣2+x+4＝8，
解得x＝3，
∴x的值为3或﹣5；
拓展探究：∵A、B、C三点都在数轴上原点O右边（前后顺序不定），所对应的数分别为x，y，z（y＞
2），1
当P为A、C的中点时，P表示的数为： （x+z），
2
1
当Q为O、B中点时，Q表示的数为： y，
2
∴2QP=¿，
OA＝x，BO＝y，OC＝z，
∵2PQ＝OA+OB+OC﹣4，
∴¿x+z﹣y﹣4，
∴x+z﹣y＝﹣x﹣z+y+4或x+z﹣y＝x+z﹣y﹣4，
解得：x+z＝2或y＝2（舍去），
故x+z＝2，
∴|x+y+z﹣6|+2|y﹣3|＝|y﹣4|+2|y﹣3|，
当y＜3时，|y﹣4|+2|y﹣3|＝4﹣y+6﹣2y＝10﹣3y＞1；
当3≤y≤4时，|y﹣4|+2|y﹣3|＝4﹣y+2y﹣6＝y﹣2，
则1≤y﹣2≤2；
当y＞4时，|y﹣4|+2|y﹣3|＝|y﹣|+2y﹣6＝3y﹣10，
则3y﹣10＞2，
综上所述：当3≤y≤4时，1≤|x+y+z﹣6|+2|y﹣3|≤2，
∴|x+y+z﹣6|+2|y﹣3|的最小值为1，此时y＝3，
∴|x+y+z﹣6|+2|y﹣3|的最小值为1，
6．（2023秋•荆门期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，
8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点
C对齐刻度6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB．
（1）在图1的数轴上，AC＝ 10 个长度单位；在图2中刻度尺上，AC＝ 6 cm；数轴上的1个长
5
度单位对应刻度尺上的 0. 6 cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的 个长度单位；
3
（2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值
及点Q所表示的数；
（3）点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速
度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若AM﹣k•MN的值不会随
t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值．【分析】（1）AC等于A、C两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得AC，用AC在刻度尺上的数值
除以数轴上AC的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 多少厘米，1厘米除以数轴上
的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的1cm对应数轴上的多少长度单位；
（2）A到B在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得 b的值，由于CQ＝2AB，可
以列式求得点Q所表示的数；
（3）根据AM﹣k•MN列出式子，AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，所以t的系数为0，可求得k
的值．
【解答】解：（1）AC＝|8﹣（﹣2）|＝10，
刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.0cm，
∴在图2中刻度尺上，AC＝6cm，
6÷10＝0.6cm，
数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的0.6cm，
5
1÷0.6= ，
3
5
刻度尺上的1cm对应数轴上的 个单位长度，
3
5
故答案为：10，6，0.6， ；
3
（2）∵点B对齐刻度1.2cm，
∴数轴上点B所对应的数为b，b＝﹣2+1.2÷0.6＝0，
∵CQ＝2AB，AB＝|﹣2﹣0|＝2，
设点Q在数轴上对应的点为x，则CQ＝|8﹣x|，
∴|8﹣x|＝4，解得：x＝4或x＝12，
点Q所表示的数为4或12，
∴b的值是0，点Q所表示的数为4或12；（3）由题意得，点M追上点N前，即t＜4，
AM＝AB+BM＝2+5t，k•MN＝k（BC+CN﹣BM）＝k（8+3t﹣5t）＝k（8﹣2t），
AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（8﹣2t）＝2﹣8k+（5+2k）t，
∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，
∴5+2k＝0，
5
解得：k=− ，
2
点M追上点N后，即t＞4，
AM＝AB+BM＝2+5t，，k•MN＝k（BM﹣CN﹣BC）＝k（5t﹣3t﹣8）＝k（2t﹣8），
AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（2t﹣8）＝2+8k+（5﹣2k）t，
∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，
∴5﹣2k＝0，
5
解得：k= ，
2
7．（2023秋•黄陂区校级期中）A、B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为﹣2，点B
对应的有理数为﹣18，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动时间
为t秒（t＞0）．
（1）直接写答案：点A与点B间的距离为示为 16 ，此时点P与点B间的距离表示为 |16 ﹣ 4 t |
；当P点运动t秒时，点P表示的数可表示为 ﹣ 2 ﹣ 4 t ；
（2）当点P与点B间的距离为4个单位长度时，求t的值；
（3）若有理数m、n、q满足：m在数轴上对应的点位于点A与点B之间，n在数轴上对应的点位于原
点O与点A之间，q为0与1间的正数，且有等式d＝|m+q|﹣|m﹣n|﹣|n﹣q|﹣3成立，试求：7（d+2q）
2+2（d+2q）﹣5（d+2q）2﹣3（d+2q）的值．
【分析】（1）由两点间的距离公式可得A，B间的距离，再利用A，B间距离减去P的运动路程的绝对
值即可得到P，B间的距离，再利用起点对应的数减去P的运动路程可得P运动后对应的数；
（2）由点P与点B间的距离为4个单位长度时，可得|16﹣4t|＝4，再解绝对值方程即可；
（3）由题意可得﹣18＜m＜﹣2，﹣2＜n＜0，0＜q＜1，可得m+q＜0，m﹣n＜0，n﹣q＜0，可得d＝﹣
2q﹣3，再把7（d+2q）2+2（d+2q）﹣5（d+2q）2﹣3（d+2q）合并，再代入d＝﹣2q﹣3进行求值即
可．【解答】解：（1）﹣2﹣（﹣18）＝﹣2+18＝16，
点P与点B间的距离表示为|16﹣4t|，
当P点运动t秒时，点P表示的数可表示为：﹣2﹣4t．
故答案为：16，|16﹣4t|，﹣2﹣4t；
（2）∵点P与点B间的距离为4个单位长度时，
∴|16﹣4t|＝4，
∴16﹣4t＝4或16﹣4t＝﹣4，
解得：t＝3或t＝5．
（3）∵m在数轴上对应的点位于点A与点B之间，n在数轴上对应的点位于原点O与点A之间，q为0
与1间的正数，
∴﹣18＜m＜﹣2，﹣2＜n＜0，0＜q＜1，
∴m+q＜0，m﹣n＜0，n﹣q＜0，
∴d＝|m+q|﹣|m﹣n|﹣|n﹣q|﹣3＝﹣m﹣q+m﹣n+n﹣q﹣3＝﹣2q﹣3，
∴7（d+2q）2+2（d+2q）﹣5（d+2q）2﹣3（d+2q）＝2（d+2q）2﹣（d+2q）＝2（﹣2q﹣3+2q）2﹣
（﹣2q﹣3+2q）＝2×9﹣（﹣3）＝18+3＝21．
【题型二 与绝对值有关的综合】
1．（2023秋•白云区校级期中）在数轴上有四个互不相等的有理数a，b，c，d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，
且d在a，c之间，则化简|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|的结果是（ ）
A．3c﹣b B．2c﹣d C．c﹣d D．c﹣b
【分析】根据题中所给条件得出a，b，c，d的大小关系，再根据绝对值的性质进行化简即可．
【解答】解：因为|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，
所以|a﹣b|＝b﹣a，|b﹣c|＝c﹣b，
则a＜b＜c．
又因为d在a，c之间，
所以a＜d，d＜c，
则a﹣d＜0，d﹣c＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0，
所以原式＝﹣a+d+（﹣d+c）+（c﹣b）﹣（﹣a+c）
＝﹣a+d﹣d+c+c﹣b+a﹣c
＝c﹣b．
故选：D．
2．（2023秋•浠水县期中）若（a+b）2+|b﹣1|＝b﹣1，且|a+3b﹣3|＝5，则a﹣b的值是（ ）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
{a+b=0) {a=−b)
【分析】先化简得到 ，解得 ，即可求解．
b−1≥0 b≥1
【解答】解：∵（a+b）2+|b﹣1|＝b﹣1，
∴（a+b）2+|b﹣1|﹣（b﹣1）＝0，
∵|b﹣1|≥（b﹣1），
∴|b﹣1|﹣（b﹣1）≥0，（a+b）2≥0，
∴a+b＝0且|b﹣1|＝b﹣1，
{a+b=0)
∴ ，
b−1≥0
{a=−b)
解得 ，
b≥1
∵|a+3b﹣3|＝5，
∴a+3b﹣3＝5或a+3b﹣3＝﹣5，
∴a+3b＝8或a+3b＝﹣2，
把a＝﹣b代入上式得：b＝4或﹣1 （舍去），
∴a﹣b＝﹣4﹣4＝﹣8．
故选：A．
|a| |b| |c|
3．（2023秋•东坡区校级期中）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， + + =−1，那么
a b c
|ab| |bc| |ac| |abc|
+ + + 的值为（ ）
ab bc ac abc
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
|a| |b| |c|
【分析】利用绝对值的意义先确定a的大小，再利用 + + =−1，确定b，c的符号，最后
a b c
利用绝对值的意义进行化简即可．
【解答】解：∵当4≤x≤6时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是8，
|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴a＝8．
|a|
∴ =1．
a
|a| |b| |c|
∵ + + =−1，
a b c∴b＜0，c＜0．
∴ab＜0，bc＞0，ac＜0，abc＞0．
|ab| |bc| |ac| |abc|
∴ + + + =−1+1﹣1+1＝0．
ab bc ac abc
故选：C．
|a+b| 2|b+c| 3|c+a|
4．（2023秋•市中区期中）已知：m= + + ，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有
c a b
x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据绝对值的意义分情况说明即可求解．
【解答】解：∵abc＞0，a+b+c＝0，
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
|−c| 2|−a| 3|−b|
m= + +
c a b
∴分三种情况说明：
当a＜0，b＜0，c＞0时，m＝1﹣2﹣3＝﹣4，
当a＜0，c＜0，b＞0时，m＝﹣1﹣2+3＝0，
当a＞0，b＜0，c＜0时，m＝﹣1+2﹣3＝﹣2，
∴m共有3个不同的值，﹣4，0，﹣2，最大的值为0．
∴x＝3，y＝0，
∴x+y＝3．
故选：B．
5．（2023秋•思明区校级期中）已知x，y，z均为有理数，且满足|z﹣x|＝6，|y﹣z|＝2，那么|x﹣y|的值为
8 或 4 ．
【分析】根据绝对值的性质可得z﹣x＝±6，y﹣z＝±2，从而得出x＝z±6，y＝z±2，然后分类讨论，分别
代入|x﹣y|中即可得出结论．
【解答】解：∵|z﹣x|＝6，|y﹣z|＝2，
∴z﹣x＝±6，y﹣z＝±2，
∴x＝z±6，y＝z±2，
当x＝z+6，y＝z+2时，
|x﹣y|＝|z+6﹣z﹣2|＝4；当x＝z﹣6，y＝z+2时，
|x﹣y|＝|z﹣6﹣z﹣2|＝8；
当x＝z+6，y＝z﹣2时，
|x﹣y|＝|z+6﹣z+2|＝8；
当x＝z﹣6，y＝z﹣2时，
|x﹣y|＝|z﹣6﹣z+2|＝4；
综上：|x﹣y|的值为8或4；
故答案为：8或4．
6．（2023秋•丰泽区校级期中）当x＝ 1 时，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+4|+…+|x+100|+|x﹣101|的值最小，
最小值为 505 0 ．
【分析】化简绝对值，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+4|+⋯+|x+100|+|x﹣101|表示x到1，﹣2，3，﹣4⋯﹣100，
101各个点的距离之和，最中间的点为x＝1，进而得到当x＝1，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+4|+⋯+|x+100|+|x
﹣101|的值最小，进行求解即可．
【解答】解：|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+4|+⋯+|x+100|+|x﹣101|表示x到1，﹣2，3，﹣4⋯﹣100，101的距
离之和，最中间的点为x＝1，
∴当x＝1时，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+4|+⋯+|x+100|+|x﹣101|的值最小为：
|1﹣1|+|1+2|+|1﹣3|+|1+4|+⋯+|1+100|+|1﹣101|
＝0+3+2+5+⋯+101+100
(1+101)
= ×101−1
2
＝5150；
故答案为：1，5050．
7．（2023秋•海安市期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道|a|的几何意义是指数轴上表示数a的点
与原点的距离，那么|a﹣b|的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑|5
﹣（﹣6）|的几何意义，在数轴上分别标出表示﹣6和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而|
5﹣（﹣6）|＝11，因此不难看出|5﹣（﹣6）|就是数轴上表示﹣6和5两点间的距离，|a﹣b|的几何意义
是数轴上a，b两数对应点之间的距离．
2
（1）当|x− |＝2时，求出x的值；
3
（2）设Q＝|x+6|﹣|x﹣5|，请问Q是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值；（3）设Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|，当Q的值最小时，求整数x所有可能的值的和．
2 2
【分析】（1）当|x− |＝2时，则x− =±2解方程，求出x的值即可；
3 3
（2）由Q＝|x+6|﹣|x﹣5|，分三种情况讨论，求得最大值即可；
（3）Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|，分三种情况讨论，求取得最小值时x的范围即可．
2
【解答】解：（1）当|x− |＝2时，
3
2
则x− =±2，
3
8 4
解得：x= 或− ；
3 3
（2）Q＝|x+6|﹣|x﹣5|存在最大值为11；
理由：分三种情况：
当x≤﹣6时，Q＝|x+6|﹣|x﹣5|＝﹣x﹣6+x﹣5＝﹣11；
当﹣6＜x≤5时，Q＝|x+6|﹣|x﹣5|＝x+6+x﹣5＝2x+1，
则﹣11＜2x+1≤11；
当x＞5时，Q＝|x+6|﹣|x﹣5|＝x+6﹣（x﹣5）＝11；
∴Q的最大值为11；
（3）Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|，
当x＜﹣2024时，
Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|
＝﹣x﹣2023﹣2024﹣x+2（2026﹣x）
＝﹣4x+5＞8091
当﹣2024≤x＜﹣2023时，
Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|
＝﹣x﹣2023+2024+x+2（2026﹣x）
＝4053﹣2x，
而8099≤4053﹣2x＜8101，
当﹣2023≤x≤2026时，
Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|
＝x+2023+2024+x+2（2026﹣x）
＝8099，当＞2026时，
Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|
＝x+2023+2024+x+2（x﹣2026）
＝4x﹣5＞8099，
∴Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|的值最小时为8099，
此时﹣2023≤x≤2026，
∴整数x所有可能的值的和为：
﹣2023﹣2022﹣2021﹣2020﹣...﹣2﹣1+0+1+2+...+2023+2024+2025+2026
＝0+2024+2025+2026
＝6075．
【题型三 整式的加减的应用】
1．（2023秋•江夏区期中）如图所示，在数轴上有理数a，b，c，﹣2的位置如图所示，若m＝|2a+b|﹣|﹣
2﹣b|﹣|2a﹣2c|﹣4，则6（m+2c﹣1）2+3（m+2c+4）3的值是（ ）
A．77 B．78 C．﹣77 D．﹣78
【分析】根据实数与数轴的关系可得b＜a＜﹣2＜0＜c，则2a+b＜0，﹣2﹣b＞0，2a﹣2c＜0，然后将
m化简后代入6（m+2c﹣1）2+3（m+2c+4）3中计算即可．
【解答】解：由数轴可得b＜a＜﹣2＜0＜c，
则2a+b＜0，﹣2﹣b＞0，2a﹣2c＜0，
m＝|2a+b|﹣|﹣2﹣b|﹣|2a﹣2c|﹣4
＝﹣2a﹣b﹣（﹣2﹣b）﹣（2c﹣2a）﹣4
＝﹣2a﹣b+2+b﹣2c+2a﹣4
＝﹣2c﹣2，
则m+2c＝﹣2，
6（m+2c﹣1）2+3（m+2c+4）3
＝6×（﹣2﹣1）2+3×（﹣2+4）3
＝6×9+3×8
＝54+24
＝78，
故选：B．2．（2023秋•黄石港区期中）如图，把五个长为b，宽为a的小长方形，按图①和图②两种方式放在同
一个大长方形内（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙），设图①中两块阴影部分的周长和为C ，
1
图②中阴影部分的周长为C ，若大长方形的长比宽多（b﹣2a），图①中两块阴影部分的面积分别为
2
S 和S ，则以下结论正确的是（ ）
1 2
7
A．大长方形的宽为 a
2
B．周长C ＝12a
1
C．C ﹣C ＝2a﹣2b
2 1
S 5
D．若3b＝10a，则
1=
S 2
2
【分析】根据图①可得大长方形的长为b+2a，大长方形的长比宽多（b﹣2a），则大长方形的宽为
S
1
4a；根据图①算出C 即可；根据图②算出C ，再减去C 即可；算出 ，将3b＝10a代入即可求解．
1 2 1 S
2
【解答】解：根据图①可得，
大长方形的长为b+2a，
∵大长方形的长比宽多（b﹣2a），
∴大长方形的宽为：b+2a﹣（b﹣2a）＝4a，
故A选项不符合题意；
根据图①可得，
C ＝2（a+b）+2×（2a+4a﹣b）
1
＝2a+2b+12a﹣2b
＝14a，故B选项不符合题意；
根据图②可得，
阴影部分的周长＝大长方形的周长，
C ＝2（b+2a+4a）＝12a+2b，
2
C ﹣C ＝12a+2b﹣14a＝2b﹣2a，
2 1
故C选项不符合题意；
根据图①得，
S ＝ab，
1
S ＝2a•（4a﹣b）＝8a2﹣2ab，
2
S ab b
1= = ，
S 8a2−2ab 8a−2b
2
10
若3b＝10a，即b= a时，
3
S 5
1=
，
S 2
2
故D选项符合题意；
故选：D．
3．（2023秋•广州期中）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E
在AB上，点M、N在BC上，若AE＝m，MN＝n，CN＝q，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴
影部分的周长的差为（ ）
A．m+n B．n+q C．2m D．2n
【分析】设AB＝DC＝a，AD＝BC＝b，用含a、b的代数式分别表示BE，BM，DG，PD．再表示出图
中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可．
【解答】解：矩形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC．
正方形AEFG中，AE＝EF＝FG＝AG＝m．正方形MNRH中，MN＝NR＝RH＝HM＝n．
正方形CPQN中，CP＝PQ＝QN＝CN＝q．
设AB＝DC＝a，AD＝BC＝b，
则BE＝AB﹣AE＝a﹣m，BM＝BC﹣MN﹣CN＝b﹣n﹣q，DG＝AD﹣AG＝b﹣m，PD＝CD﹣CP＝a﹣
q．
∴图中右上角阴影部分的周长为2（DG+DP）＝2（b﹣m+a﹣q）＝2a+2b﹣2m﹣2q．
左下角阴影部分的周长为2（BM+BE）＝2（b﹣n﹣q+a﹣m）＝2a+2b﹣2n﹣2q﹣2m，
∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（2a+2b﹣2m﹣2q）﹣（2a+2b﹣2n﹣2q
﹣2m）＝2n．
故选：D．
4．（2023秋•益阳期中）已知M＝2a2﹣ab+b﹣1，M﹣3N＝a2+3ab+2b+1．若计算M﹣[2N﹣（M﹣N）]的
3
结果与字母b无关，则a的值是 − ．
2
【分析】利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，将 M，M﹣3N的值代入，再利用去括号的法则
去掉括号后，合并同类项，令b的系数为0，得到关于a的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：原式＝M﹣（2N﹣M+N）
＝M﹣2N+M﹣N
＝2M﹣3N，
∵M＝2a2﹣ab+b﹣1，M﹣3N＝a2+3ab+2b+1，
∴原式＝M+M﹣3N
＝2a2﹣ab+b﹣1+a2+3ab+2b+1
＝3a2+2ab+3b，
＝3a2+（2a+3）b，
∵计算M﹣[2N﹣（M﹣N）]的结果与字母b无关，
∴2a+3＝0，
3
∴a=− ．
2
3
故答案为：− ．
2
5．（2023秋•婺源县校级期中）阅读材料：在合并同类项中，5a﹣3a+a＝（5﹣3+1）a＝3a．类似地，我
们把（x+y）看成一个整体，则5（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（5﹣3+1）（x+y）＝3（x+y）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
（1）把（x﹣y）2看成一个整体，合并3（x﹣y）2﹣（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 4 （ x ﹣ y ） 2 ．
（2）已知a2﹣2b＝1，求3﹣2a2+4b的值．
（3）已知a﹣2b＝1，2b﹣c＝﹣1，c﹣d＝2，求a﹣6b+5c﹣3d的值．
【分析】（1）根据合并同类项法则：系数相加减，字母和字母的指数不变，进行计算即可；
（2）把所求代数式的后两项提取公因数﹣2，再把已知条件整体代入求值即可；
（3）把所求代数式中的﹣6b拆成﹣2b﹣4b，5c拆成2c+3c，然后分组提取公因数，让所求代数式出现
已知条件中的式子，再整体代入求值即可．
【解答】解：（1）原式＝（3﹣1+2）（x﹣y）2
＝4（x﹣y）2，
故答案为：4（x﹣y）2；
（2）a2﹣2b＝1，
∴3﹣2a2+4b
＝3﹣2（a2﹣2b）
＝3﹣2×1
＝1；
（3）∵a﹣6b+5c﹣3d
＝a﹣2b﹣4b+2c+3c﹣3d
＝a﹣2b﹣2（2b﹣c）+3（c﹣d），
∵a﹣2b＝1，2b﹣c＝﹣1，c﹣d＝2，
∴原式＝1﹣2×（﹣1）+3×2
＝1+2+6
＝9．
6．（2023秋•临邑县校级期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在
多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把（a+b）看成一个整体，则 4（a+b）﹣2（a+b）+
（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．
（1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+7（a﹣b）2的结果是 5
（ a ﹣ b ） 2 ．
（2）尝试应用：已知x2﹣2y＝1，求3x2﹣6y﹣2022的值．
（3）拓广探索：已知xy+x＝﹣1，y﹣xy＝﹣2．求代数式2[x+（xy﹣y）2]﹣3[（xy+x）2﹣xy]﹣xy的
值．【分析】（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并同类项即可；
（2）将x2﹣2y＝1作为整体代入，即可求解；
（3）根据y﹣xy＝﹣2得xy﹣y＝2，再将xy﹣y＝2，xy+x＝﹣1作为整体代入求值．
【解答】解：（1）3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+7（a﹣b）2
＝（3﹣5+7）（a﹣b）2
＝5（a﹣b）2，
故答案为：5（a﹣b）2；
（2）∵x2﹣2y＝1，
∴3x2﹣6y﹣2022＝3（x2﹣2y）﹣2022＝3×1﹣2022＝﹣2019；
（3）∵xy+x＝﹣1，y﹣xy＝﹣2，
∴xy﹣y＝2，
∴2[x+（xy﹣y）2]﹣3[（xy+x）2﹣xy]﹣xy
＝2（x+22）﹣3[（﹣1）2﹣xy]﹣xy
＝2x+8﹣3（1﹣xy）﹣xy
＝2x+8﹣3+3xy﹣xy
＝2（x+xy）+5
＝2×（﹣1）+5
＝3．
7．（2023秋•南关区校级期中）【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容．
代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为 1 9 ．
【阅读理解】小明在做这道题时采用的方法如下：
解：由题意得x2+x+3＝7，则有x2+x＝4，
所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5．
所以代数式2x2+2x﹣3的值为5．
【方法运用】
（1）若代数式x2+x+1的值为6，求代数式3x2+4+3x的值．
（2）当x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为5，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx﹣3的值．
【拓展应用】
（3）若a2﹣ab＝19，ab﹣b2＝﹣7，则代数式a2﹣2ab+b2的值为 2 6 ．
【分析】（1）利用题干给定的方法，利用整体思想代入求值即可；
（2）利用题干给定的方法，利用整体思想代入求值即可；（3）根据整体思想代入求值即可．
【解答】解：（1）∵x2+x+1＝6，
∴x2+x＝5，
∴3x2+4+3x＝3（x2+x）+4＝19；
故答案为：19；
（2）当x＝2时，ax3+bx+1＝8a+2b+1＝5，
∴8a+2b＝4，
∴当x＝﹣2时：ax3+bx﹣3＝﹣8a﹣2b﹣3＝﹣（8a+2b）﹣3＝﹣7；
（3）∵a2﹣ab＝19，ab﹣b2＝﹣7，
∴a2﹣2ab+b2＝（a2﹣ab）﹣（ab﹣b2）＝19﹣（﹣7）＝26．
故答案为：26．
