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【冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题26 函数新定义综合问题（单选+多选+填空）
（新高考通用）
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设 ，用 表示不超过 的最大整数，
则 称取整函数，例如： ， 已知 则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知数列 满足：
，数列 满足： ，若 表示不超过 的
最大整数（例如 ），则 （ ）
A．26 B．25 C．23 D．21
3．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）中国传统文化中很多内容体现了数学的
“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互
转化､对称统一的形式美､和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某
个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列关于
“优美函数”的说法中正确的有（ ）
①函数 可以是某个圆的“优美函数”② （ ）可以同时是无数个圆的“优美函数”
③函数 可以是无数个圆的“优美函数”
④若函数 是“优美函数”，则函数 的图象一定是中心对称图形
A．①② B．①④ C．①②③ D．②③
4．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若存在常数 ，使得函数 对定义域内
的任意 值均有 ，则 关于点 对称，函数 称为“准
奇函数”.现有“准奇函数” ，对于 ， ，则函数
在区间 上的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知不等式 的解集
为 ，若 中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”，若关于 的不等式
在区间 上存在“和谐解集”，则实数 的可能取
值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东江门·统考一模）我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那
么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列 （ ）的通项公
式为 ， ，记 为 的值域， 为所有 的
并集，则E为（ ）
A． B． C． D．7．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）若存在实数 和 ，使得函数 和 对
其公共定义域上的任意实数 都满足： 恒成立，则称直线
为 和 的一条“划分直线”．列命题正确的是（ ）
A．函数 和 之间没有“划分直线”
B． 是函 和 之间存在的唯一的一条“划分直线”
C． 是函数 和 之间的一条“划分直线”
D．函数 和 之间存在“划分直线”，且 的取值范围为
8．（2023·湖南邵阳·统考一模）设 ，若函数
有且只有三个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集 上的函数 ，如果 ，使
得 ，则称 为函数 的不动点.给定函数 ， ，已知
函数 ， ， 在 上均存在唯一不动点，分别记为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题10．（2022·江苏徐州·徐州市第七中学校考模拟预测）一般地，若函数 的定义域
为 ，值域为 ，则称 为 的“ 倍跟随区间”；若函数 的定
义域为 ，值域也为 ，则称 为 的“跟随区间”.下列结论正确的是
（ ）
A．若 为 的跟随区间，则
B．函数 存在跟随区间
C．若函数 存在跟随区间，则
D．二次函数 存在“3倍跟随区间”
11．（2022秋·江苏盐城·高三统考期中）对于函数 ，若在区间I上存在 ，使得
，则称 是区间I上的“ 函数”．下列函数中，是区间I上的“ 函
数”的有（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022秋·江苏盐城·高三统考阶段练习）给出定义：若函数 在 上可导，即
存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记
若 在 上恒成立，则函数 在 上为凸函数．以下四个函
数在 上是凸函数的是（ ）
A． B．C． D．
13．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）定义：设 是 的导函数， 是
函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的
“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数
图像的对称中心．已知函数 的对称中心为 ，则下列说
法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点 D．过 可以作三条直线与
图像相切
14．（2023·广东梅州·统考一模）对于定义在区间 上的函数 ，若满足： ，
且 ，都有 ，则称函数 为区间 上的“非减函数”，若
为区间 上的“非减函数”，且 ， ，又当
时， 恒成立，下列命题中正确的有（ ）
A． B． ，
C． D． ，
15．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者
之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用
表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ， .则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在区间 （ ）上单调递增
B．若函数 ，则 的值域为
C．若函数 ，则 的值域为
D． ，
16．（2022·江苏南通·统考模拟预测）对于定义域为 的函数 ，若同时
满足下列条件：① ， ；② ， ， ，
则称函数 为“ 函数”.下列结论正确的是（ ）
A．若 为“ 函数”，则其图象恒过定点
B．函数 在 上是“ 函数”
C．函数 在 上是“ 函数”（ 表示不大于 的最大整数）
D．若 为“ 函数”，则 一定是 上的增函数
17．（2022秋·广东揭阳·高三揭东二中校考阶段练习）函数 的定义域为I，若存
在 ，使得 ，则称 是函数 的二阶不动点，也叫稳定点.下列函
数中存在唯一稳定点的函数是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）19世纪，德国数学家狄利克雷（
，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R上的函数称为狄利克雷函数，则（ ）
A．
B．
C．若 为有理数， ，则
D．存在三个点 ， ， ，使得 为正三角形
19．（2022秋·江苏苏州·高三统考阶段练习）对于三次函数
,给出定义:设 是函数 的导数, 是
的导数,若方程 有实数解 ,则称点 为函数的“拐点”.经过探
究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”
就是对称中心.设函数 ,则以下说法正确的是（ ）
A．
B．当 时, 有三个零点
C．
D．当 有两个极值点 时,过 的直线必过点
20．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）函数 在 上有定义，若对任意 ，
，有 ，则称 在 上具有性质 ，设
在 上具有性质 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上的图像是连续不断的B． 在 上具有性质
C．对任意 ， ， ， ，有
D．若 在 处取得最小值1011，则 ，
21．（2023春·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）若存在m，使得
对任意 恒成立，则函数 在D上有下界，其中m为函数 的一个下界；
若存在M，使得 对任意 恒成立，则函数 在D上有上界，其中M
为函数 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.则下列
说法正确的是（ ）
A．1是函数 的一个下界
B．函数 有下界，无上界
C．函数 有上界，无下界
D．函数 有下界，无上界
22．（2022·广东深圳·深圳市光明区高级中学校考模拟预测）若 图像上存在两点
， 关于原点对称，则点对 称为函数 的“友情点对”（点对 与
视为同一个“友情点对”）.若 ，且 ， ，
，则（ ）
A． 有无数个“友情点对” B． 恰有 个“友情点对”
C． D．23．（2023·云南昆明·统考一模）对于函数 ，若存在两个常数 ， ，使得
，则称函数 是“ 函数”，则下列函数能被称为“ 函数”
的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）设函数 的定义域为I，区间 ，如果
对于任意的常数 ，都存在实数 ，满足 ，且
，那么称 是区间 上的“绝对差发散函数”．则下列函
数是区间 上的“绝对差发散函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
25．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知函数 ， ， 在区间I上均
有定义，若对任意 ， ， ， 成等差数列，则称函数 ， ，
在区间I上成“等差函数列”．若 ， ， 在区间
上成等差函数列，且 恒成立，则实数b的取值范围是____________．
26．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，
用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ，
若函数 ，则函数 的值域为___________.
27．（2023春·安徽·高三统考开学考试）已知数列 满足 ，记
（其中 表示不大于 的最大整数，比如 ），则
__________.（参考数据： ）
28．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）拓扑空间中满足一定条件的图象连续的
函数 ，如果存在点 ，使得 ，那么我们称函数 为“不动点”函数，
而称 为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点 满足 ，则称 为
的双重不动点．则下列函数中，① ；② ；③
具有双重不动点的函数为_______________．（将你认为正确的函数
的代号填在横线上）
四、双空题
29．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）记 为函数 的
阶导数且 ， 若 存在，则
称 阶可导．英国数学家泰勒发现：若 在 附近 阶可导，则可构造（称为 次泰勒
多项式）来逼近 在 附近的函数值．据此计算 在 处的3次泰勒多项
式为 =_________； 在 处的10次泰勒多项式中 的系数为
_________
30．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数 ，记
为函数 的2次迭代函数，
为函数 的3次迭代函数，…，依次类
推， 为函数 的n次迭代函数，则 ______；
除以17的余数是______．
