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【冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题26 函数新定义综合问题（单选+多选+填空）
（新高考通用）
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设 ，用 表示不超过 的最大整数，
则 称取整函数，例如： ， 已知 则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分离常数得 ，进而求得 ，从而可得答案.
【详解】
， ， ， ，
当
当 .
故选:D
2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知数列 满足：
，数列 满足： ，若 表示不超过 的
最大整数（例如 ），则 （ ）
A．26 B．25 C．23 D．21
【答案】D【分析】根据已知递推关系可得 ，结合等差数列通项公式得
，进而确定 的通项公式，根据新定义求目标式的值.
【详解】由题设， ，整理得 ，而 ，
所以 是首项为2，公差为1的等差数列，故 ，则 ，
又 ，故 ，
所以 .
故选：D
3．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）中国传统文化中很多内容体现了数学的
“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互
转化､对称统一的形式美､和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某
个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列关于
“优美函数”的说法中正确的有（ ）
①函数 可以是某个圆的“优美函数”
② （ ）可以同时是无数个圆的“优美函数”
③函数 可以是无数个圆的“优美函数”
④若函数 是“优美函数”，则函数 的图象一定是中心对称图形
A．①② B．①④ C．①②③ D．②③
【答案】C【分析】对于①，通过判断函数的奇偶性结合“优美函数”的定义判断，对于②，利
用正弦函数的性质求出其对称中心，再结合“优美函数”的定义判断，对于③，分离
常数求出函数的对称中心，再结合“优美函数”的定义判断，对于D，举例判断.
【详解】解 ：对于①，函数的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为奇函数，
所以函数 可以是单位圆的“优美函数”，故①正确，
对于②，函数 ，
令 ，则 ，
所以函数 的对称中心为 ，
所以以 为圆心， 为半径的圆都能被函数
的图象平分，
即 （ ）可以同时是无数个圆的“优美函数”，故②正确；
对于③， ，
令 ，因为 ，
所以函数 为奇函数，
又因函数 是由函数 向上平移一个单位得到的，
所以函数 的对称中心为 ，所以以 为圆心， 为半径的圆都能被函数 平分，
即函数 可以是无数个圆的“优美函数”，故③正确；
对于④，若 的图象是中心对称图形，则此函数一定是“优美函数”，但“优
美函数”不一定是中心对称图形，如图所示，故④错误.
故选：C.
4．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若存在常数 ，使得函数 对定义域内
的任意 值均有 ，则 关于点 对称，函数 称为“准
奇函数”.现有“准奇函数” ，对于 ， ，则函数
在区间 上的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ， ，根据“准奇函数”的定义可确定
， 都关于 对称，则由对称性可得 的最值之和，进而得到 的
最值之和.
【详解】令 ，则 ，
关于点 中心对称；
令 ，则 ，关于点 中心对称；
， ，
设 在 处取得最大值，则在 处取得最小值
，
，即 的最大值与最小值的和为 .
故选：B.
5．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知不等式 的解集
为 ，若 中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”，若关于 的不等式
在区间 上存在“和谐解集”，则实数 的可能取
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知可得 .令 ， .根
据函数的单调性，可得 .结合“和谐解集”的定义可知，唯一整数解
只能是 .进而得到实数 的取值范围，即可得出答案.
【详解】当 时，原不等式可化为 ，整理可得
；
当 时，原不等式可化为 ，整理可得
.
所以不等式 可化为 .
令 ， ，
则 .所以 在 上单调递增，在 上单调递，所以 .
因为 ，所以 .
又 .
所以要使 只有一个整数解，则唯一整数解只能是 .
又因为点 ， 是 图象上的点，
所以 .
因为 ， ， ，
，所以实数 的可能取值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：去绝对值后，根据 的单调性，即可得到 ，
进而得到 ，即可得到唯一整数解为 .
6．（2023·广东江门·统考一模）我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那
么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列 （ ）的通项公
式为 ， ，记 为 的值域， 为所有 的
并集，则E为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】利用导数可得函数 在 上单调递增，进而
，然后构造函数，利用导数求函数的最值，进而即得.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
故 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 ，
设 ， ，令 ，
则 ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
所以 ， ，
设 ，则 在 上单调递减，
所以 ， ，综上， ， .
故选：C.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新
定义，对对应知识进行再迁移.
7．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）若存在实数 和 ，使得函数 和 对
其公共定义域上的任意实数 都满足： 恒成立，则称直线
为 和 的一条“划分直线”．列命题正确的是（ ）
A．函数 和 之间没有“划分直线”
B． 是函 和 之间存在的唯一的一条“划分直线”
C． 是函数 和 之间的一条“划分直线”
D．函数 和 之间存在“划分直线”，且 的取值范围为
【答案】B
【分析】根据函数 和 有公共点 得满足题意得“划分直
线”必过点 ，进而设其方程为 ，再结合 ，
恒成立得 ，再证明 即可判断AB；根据当
时 不满足判断C；根据 判断D.
【详解】解：因为 ，
所以，函数 和 有公共点 ，所以，当 和 之间存在“划分直线”，则该直线必过点 ，
设过点 的直线方程为 ，即 ，
因为对于 ， 恒成立，即 ，
所以，当 时， 恒成立，即 ，
当 时， 恒成立，即 ，
所以，对于 ， 恒成立，则 ，
所以，过点 ，且满足 的直线方程有且只有 ，
下证 ，令 ，
，
所以，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以， ，即 ，故 ，
所以，函数 和 之间存在的唯一的一条“划分直线” ，
故A选项错误，B选项正确；
对于C选项，当 时， ； ，显然不满足 恒成
立，故错误；
对于D选项，当 时，显然满足 ，此时 ，故D错
误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：对于AB选项的判断关键在于结合“划分直线”的定义，利用
“划分直线”过 和 有公共点 讨论求解；CD选项的判断通过特殊值判断.
8．（2023·湖南邵阳·统考一模）设 ，若函数
有且只有三个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 与 ，先利用导数研究得 的性
质，再利用二次函数的性质研究得 的性质，从而作出 的图像，由此得到
，分类讨论 与 时 的零点情况，据此得解.
【详解】令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
又因为对于任意 ，在 总存在 ，使得 ，
在 上由于 的增长速率比 的增长速率要快得多，所以总存在 ，
使得 ，
所以 在 与 上都趋于无穷大；
令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，故 ，.
因为函数 有且只有三个零点，
而 已经有唯一零点 ，所以 必须有两个零点，则 ，即
，解得 或 ，
当 时， ，则 ，
即 在 处取不到零点，故 至多只有两个零点，不满足题意，
当 时， ，则 ，
所以 在 处取得零点，
结合图像又知 与 必有两个交点，故 在 与 必有两个零点，
所以 有且只有三个零点，满足题意；
综上： ，即 .
故选：C.
9．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集 上的函数 ，如果 ，使
得 ，则称 为函数 的不动点.给定函数 ， ，已知
函数 ， ， 在 上均存在唯一不动点，分别记为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由已知可得 ，则 ， .然后证明
在 上恒成立.令 ，根据复合函数的单调性可知
在 上单调递减，即可得出 .令 ，根据导函数可得
在 上单调递减，即可推得 .
【详解】由已知可得， ，则 ，
且 ，所以 .
又 ， .
令 ， ，则 恒成立，
所以， 在 上单调递增，所以 ，所以 .
所以， ，即 .
令 ， ，
因为函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，且 ，
根据复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减.
又 ， ，所以 .
因为 在 上单调递减， ，所以 .
又 ，所以 ，即 .
令 ， ，则 恒成立，
所以， 在 上单调递减.又 ， ，
所以 .
综上可得， .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：证明 在 上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，
进而根据函数的单调性得出大小关系.
二、多选题
10．（2022·江苏徐州·徐州市第七中学校考模拟预测）一般地，若函数 的定义域
为 ，值域为 ，则称 为 的“ 倍跟随区间”；若函数 的定
义域为 ，值域也为 ，则称 为 的“跟随区间”.下列结论正确的是
（ ）
A．若 为 的跟随区间，则
B．函数 存在跟随区间
C．若函数 存在跟随区间，则
D．二次函数 存在“3倍跟随区间”
【答案】ACD
【分析】A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解 的值；
B，假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解 ， 的值，结合函数图象进行判
断；
C，先设跟随区间为 ，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出 ， 的关系，
然后统一变量表示出 ，列出关于 的关系式，利用方程思想求解 的取值范围，D，若存在3倍跟随区间，则设定义域为 ，值域为 ，由此建立方程组，再
等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．
【详解】选项 ：由已知可得函数 在区间 , 上单调递增，则有
，
解得 或1（舍 ，所以 ， 正确；
选项 ：若 存在跟随区间 ，
又因为函数在单调区间 上递减，图象如图示，
则区间 一定是函数的单调区间，即 或 ,
则有 ，解得 ，此时 异号，
故函数 不存在跟随区间， 不正确；
选项 ：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，
若存在跟随区间 ，
则有 ，即 ，
两式作差得： ，
即 ，
又 ，所以 ，得 ，所以 ，设 ，则 ，
即 在区间 上有两个不相等的实数根，
只需： ，解得 ， 正确；
选项 ：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为 ，值域为 ，
当 时，函数在定义域上单调递增，
则 ， 是方程 的两个不相等的实数根，解得 或 ，
故存在定义域为 使得值域为 ， 正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查
学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较
强.
11．（2022秋·江苏盐城·高三统考期中）对于函数 ，若在区间I上存在 ，使得
，则称 是区间I上的“ 函数”．下列函数中，是区间I上的“ 函
数”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据“ 函数”的定义，对于ABC，举例判断，对于D，转化为两个函数图
像有交点，作出图像判断.
【详解】对于A， 时， ，A对．
对于B， 时， ，B对．
对于C， 有且仅有一个零点0， ，C错．
对于D， ，分别作出 与 在 的图像有交点，即 有解，D对，
故选：ABD．
12．（2022秋·江苏盐城·高三统考阶段练习）给出定义：若函数 在 上可导，即
存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记
若 在 上恒成立，则函数 在 上为凸函数．以下四个函
数在 上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据凸函数的定义，求出函数的二阶导函数，分别判断即可．
【详解】对于 对于 ， ， ，
当 时， 恒成立，故A为凸函数；
对于B.对于 ， ， ，
当 时， 恒成立，故B为凸函数；
对于C.对于 ， ，，
当 时， ， ， 恒成立，故C为凸函数；
对于D.对于 ， ， ，
当 时， 恒成立，故D不是凸函数．
故选： ．
13．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）定义：设 是 的导函数， 是
函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的
“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数
图像的对称中心．已知函数 的对称中心为 ，则下列说
法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点 D．过 可以作三条直线与
图像相切
【答案】AB
【分析】根据“拐点”的定义与 的对称中心，建立方程求出 可判断A，再由
导数与函数单调性的关系即可判断 的极值，从而判断B，根据 的单调性及
的极值可判断C，根据导数的几何意义求出 的切线方程，从而转化为切点
个数问题即可判断D.
【详解】 ， ，，即 ，解得 ，故A正确；
， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 既有极大值又有极小值，故B正确；
由选项B可知 在 与 处取得极大值与极小值，
又 ， ，即 的极大值与极小值大于0，所以函数不会有3
个零点，故C错误；
设切点为 ，则切线方程为 ，
又切线过 ，则 ，
化简得 ，即 ，解得 或 ，
即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故D错误.
故选：AB.
14．（2023·广东梅州·统考一模）对于定义在区间 上的函数 ，若满足： ，
且 ，都有 ，则称函数 为区间 上的“非减函数”，若
为区间 上的“非减函数”，且 ， ，又当
时， 恒成立，下列命题中正确的有（ ）A． B． ，
C． D． ，
【答案】ACD
【分析】利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案.
【详解】A.因为 ，所以令 得 ，所以 ，
故A正确；
B.由当 ， 恒成立，令 ，则 ，由 为区间
上的“非减函数”，则 ，所以 ，则 ，
，故B错误；
C. ， ，而 ，
所以 ， ，
由 ， ， ，则 ，则
，故C正确；
当 时， ， ，
令 ，则 ， ，则 ，即 ，故D正确.
故选：ACD
15．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者
之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用
表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ， .则下列
说法正确的是（ ）
A．函数 在区间 （ ）上单调递增
B．若函数 ，则 的值域为
C．若函数 ，则 的值域为
D． ，
【答案】AC
【分析】求出函数式确定单调性判断A；举特例说明判断B，D；变形函数式，分析计
算判断C作答.
【详解】对于A， ， ，有 ，则函数 在
上单调递增，A正确；
对于B， ，则 ，B不正确；
对于C， ，
当 时， ， ，有 ，
当 时， ， ，有 ， 的值域
为 ，C正确；
对于D，当 时， ，有 ，D不正确.
故选：AC16．（2022·江苏南通·统考模拟预测）对于定义域为 的函数 ，若同时
满足下列条件：① ， ；② ， ， ，
则称函数 为“ 函数”.下列结论正确的是（ ）
A．若 为“ 函数”，则其图象恒过定点
B．函数 在 上是“ 函数”
C．函数 在 上是“ 函数”（ 表示不大于 的最大整数）
D．若 为“ 函数”，则 一定是 上的增函数
【答案】AC
【分析】结合函数新定义的概念利用赋值法即可求解.
【详解】对于A：不妨令 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，
故 ，故A正确；
对于B：不妨令 ， ，
则 ， ， ，即 ，
这与 ， ， 矛盾，故B错误；
对于C：由题意可知， ， ，
不妨令 ，其中 为整数部分， 为小数部分，则 ；
再令 ，其中 为整数部分， 为小数部分，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 ，
从而 ， ， 成立，故C正确；
对于D：由题意可知，常函数 为“H函数”，但 不是增函数，故D错误.故选：AC.
17．（2022秋·广东揭阳·高三揭东二中校考阶段练习）函数 的定义域为I，若存
在 ，使得 ，则称 是函数 的二阶不动点，也叫稳定点.下列函
数中存在唯一稳定点的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据定义依次计算每个选项得到A选项有一个解，B选项有无数个解，根据
函数 和 函数图像无交点得到C不满足，再判断D选项有唯一解得到答
案.
【详解】 ，定义域为 ， ，解得 ，A满
足；
，定义域为 ， ，恒成立，B不满足；
，定义域为 ， ，即 ，根
据函数 和 函数图像无交点，知方程无解，C不满足；
，定义域为 ， ，易知 ，且 是方
程的解，当 时， ，方程无解；当 时，
，方程无解，D满足.
故选：AD
18．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）19世纪，德国数学家狄利克雷（
，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R上的函数称为狄利克雷函数，则（ ）
A．
B．
C．若 为有理数， ，则
D．存在三个点 ， ， ，使得 为正三角形
【答案】BCD
【分析】根据狄利克雷函数的定义结合分段函数的性质，分别讨论 为有理数和无理
数，依次判断各个选项，即可得解.
【详解】对于A， 是无理数，若 为有理数， 是无理数，则 ；
若 为无理数， 有可能为有理数，如 ，此时 ，故A
错误；
对于B，当 为有理数， 为有理数，则 ；当 为无理数， 为无
理数，则 ，故B正确；
对于C， 为有理数，若 为有理数，则 是有理数，则 ；若
为无理数， 是无理数，则 ，故C正确；
对于D，存在三个点且 为有理数，则 ， ， 是边长为
的等边三角形，故D正确；
故选：BCD
19．（2022秋·江苏苏州·高三统考阶段练习）对于三次函数,给出定义:设 是函数 的导数, 是
的导数,若方程 有实数解 ,则称点 为函数的“拐点”.经过探
究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”
就是对称中心.设函数 ,则以下说法正确的是（ ）
A．
B．当 时, 有三个零点
C．
D．当 有两个极值点 时,过 的直线必过点
【答案】AB
【分析】根据题意令 二次导数为零即可求出拐点,即对称中心,即可得选项A的正
误,先讨论 时是否为零点,然后进行全分离,设新函数求导求单调性,求特殊值,画函数
图象即可判断选项B的正误,根据选项A,将 代入再相加即可得选项C
的正误,两点在一条直线上,则中点也在直线上,根据 为极值点,令 导函数为0,用
韦达定理即可得 ,根据选项A,可得 ,即可求出 中点坐标,
即可判断选项D的正误.
【详解】解:由题知 ,
关于选项A:
,
令 可得 ,
的拐点为 ,,
对称中心为 ,
即 成立,-
故选项A正确;
关于选项B:
当 时, ,
不是 的零点,
令 ,
即 有三个根,
令 ,
,
时, 单调递增,
时, 单调递减,
时, 单调递减,
, , , ,
画 图象如下:由图可知:
时, 与 有三个交点,
即 有三个零点,
故选项B正确;
关于选项C:
由选项A可知: ,
,
两式相加可得 ,
故选项C错误;
关于选项D:
由于 有两个极值点
有两根 ,
,
由于直线过 ,
则直线一定过 中点,由选项A知 ,
且有 ,
中点坐标为 ,
则直线一定过 ,
故选项D错误.
故选:AB
【点睛】结论点睛:该题是函数与导数综合应用题,考查函数的对称性极值点等,关于对
称周期有以下结论:
(1)若 关于 对称，则 ,
(2)若 关于 对称，则 ,
(3)若 周期为 ，则 .
20．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）函数 在 上有定义，若对任意 ，
，有 ，则称 在 上具有性质 ，设
在 上具有性质 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上的图像是连续不断的
B． 在 上具有性质
C．对任意 ， ， ， ，有
D．若 在 处取得最小值1011，则 ，【答案】CD
【分析】AB选项可以举出反例，CD选项可以利用函数具有性质 ，进行变形推出出
结果.
【详解】对于A，设 ，在 上具有性质 ，但 不连
续，故A错误；
对于B，设 ，在 上具有性质 ，但 在 上不具备性
质 ，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，由性质 得，当 时， ，
又因为 ， ，故 ， ，D正确.
故选： .
21．（2023春·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）若存在m，使得
对任意 恒成立，则函数 在D上有下界，其中m为函数 的一个下界；
若存在M，使得 对任意 恒成立，则函数 在D上有上界，其中M
为函数 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.则下列
说法正确的是（ ）
A．1是函数 的一个下界
B．函数 有下界，无上界
C．函数 有上界，无下界D．函数 有下界，无上界
【答案】AB
【分析】根据函数上下界的定义，可利用函数的性质以及导数求解值域，即可求解.
【详解】A正确，当 时， （当且仅当 时取等号）， 恒成
立， 是 的一个下界.
B正确， ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
， 有下界.
又当 越来越大时， 趋向﹢∞， 无上界.
综上所述， 有下界，无上界.
C错误， ， ， ， 有下界.
D错误， ， .又 ， ，
， 既有上界又有下界.
故选：AB
22．（2022·广东深圳·深圳市光明区高级中学校考模拟预测）若 图像上存在两点
， 关于原点对称，则点对 称为函数 的“友情点对”（点对 与
视为同一个“友情点对”）.若 ，且 ， ，
，则（ ）A． 有无数个“友情点对” B． 恰有 个“友情点对”
C． D．
【答案】AD
【分析】判断函数的奇偶性，结合新定义判断A，B，利用导数判断函数的单调性，并
由条件结合指数函数性质和余弦函数性质确定 ， ， 的大小关系，由此比较 ，
， 的大小.
【详解】因为 ， ，所以 是奇函数，
所以 图像上存在无数对 ， 关于原点对称，即 有无数个“友情点对”；
又因为 ，令 ，
则 ，令 ，则 ，
当 时， ，所以 是增函数， ，即 ，
所以当 时 是增函数， ，所以 ，
在 上是增函数，因为 是奇函数，所以 在 上是增函数，
因为 ，指数函数 为增函数，所以 ，
因为 ，指数函数 为增函数，所以 ，
由 可得 ，故
所以 .
故选：AD.
23．（2023·云南昆明·统考一模）对于函数 ，若存在两个常数 ， ，使得
，则称函数 是“ 函数”，则下列函数能被称为“ 函数”
的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】ABD
【分析】对A：根据题意结合指数幂运算分析判断；对B：根据题意整理得
，分析判断；对C：根据题意整理得
，分析判断，对D：根据题意结合两角和差的正切
公式运算分析.
【详解】对A：若 ，则 ，
即存在两个常数 ， ，使得使得 成立，
故 为“ 函数”，A正确；
对B：若 ，则
，
若 为定值，则 ，解得 ，且 ，
故存在两个常数 ， ，
则 为“ 函数”，B正确；
对C：若 ，则
∵ 不为定值，
即不存在两个常数 ， ，使得 ，
不为为“ 函数”，C错误；对D：若 ，则
，
若 ，即 ，
可得 ，解得 ，
即存在两个常数 ，使得使得 成立，
故 为“ 函数”，D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题要充分理解定义，严格按照定义的要求推理、运
算，注意区别我们已学的相近知识.该题型重点考查学生的思维逻辑能力.
24．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）设函数 的定义域为I，区间 ，如果
对于任意的常数 ，都存在实数 ，满足 ，且
，那么称 是区间 上的“绝对差发散函数”．则下列函
数是区间 上的“绝对差发散函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于AB，可利用导数或基本初等函数的性质研究选项中函数的单调性，从而
可判断和的范围，进而判断正误，对于CD，可取特殊序列，结合放缩法可判断选项的
正误.
【详解】对A， ，当 时， ，当 时， ，
故 在 递减，在 递增，
对任意的 ，存在 ，使得 ，
所以 ，
而当 ， ，
故 ，A错误；
对B，因为 ，故 在 是递增的，
对给定的任意的常数 ，取 ，
考虑 ，
因为 ，而当 时， ，
则 在 上有解，设该解为 ，
故此时 ，
则 ，故B正确；
对C，对给定的任意的常数 ，
设递增数列 满足： ，
且 为有理数， 为无理数，故
则 ， ，
所以 ，当 时，必有 ，
故C正确；
对D，对给定的任意的常数 ，
设 ，
则
，
下证： ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 成立.
在上述不等式中令 ，则 ，
故 ，
当 时，有 ，
故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
25．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知函数 ， ， 在区间I上均
有定义，若对任意 ， ， ， 成等差数列，则称函数 ， ，
在区间I上成“等差函数列”．若 ， ， 在区间
上成等差函数列，且 恒成立，则实数b的取值范围是____________．【答案】
【详解】首先根据已知条件得到 ， 恒成立，从而得到直线
恒在半圆 的上方，再利用直线与圆的位置关系求解即可.
【分析】根据“等差函数列”的定义知： ，则 ，
由 ，可得 ， 恒成立，
则直线 恒在半圆 的上方，
所以 ，因为 ，所以 ．
故答案为：
26．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）高斯是德国著名的数学家，是近代数学
奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，
用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ，
若函数 ，则函数 的值域为___________.
【答案】
【分析】分离常数，求出函数 的值域，再根据高斯函数的定义即可得出
答案.
【详解】解： ，
则 ，即 ，
当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，
综上，函数 的值域为 .
故答案为： .
27．（2023春·安徽·高三统考开学考试）已知数列 满足 ，记
（其中 表示不大于 的最大整数，比如 ），则
__________.（参考数据： ）
【答案】6064
【分析】设 ，由导数确定函数的单调性，然后确定 的值，
再求和．
【详解】设 ，则 ， 时, , 时,
,
所以 在 单调递增，在 单调递减，
又 ，所以存在 使得 ，即 ，
且当 时， ，
所以当 时， ，
，
又 ，所以 ，
综上， ，
所以 .
故答案为：6064.28．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）拓扑空间中满足一定条件的图象连续的
函数 ，如果存在点 ，使得 ，那么我们称函数 为“不动点”函数，
而称 为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点 满足 ，则称 为
的双重不动点．则下列函数中，① ；② ；③
具有双重不动点的函数为_______________．（将你认为正确的函数
的代号填在横线上）
【答案】①③
【分析】根据函数不动点与双重不动点的定义逐项判断即可得答案.
【详解】对于①， ， ，所以 ，
又 ， ，则 是 的双
重不动点；
对于②， ， ， ，令 ，
当 时，由基本初等函数图象易知 ，所以 ，当 时，
显然成立，
所以不存在 ，使得 ，故函数 不是具有双重不动点的函数；
对于③， ， ，则 ，又 ，
，所以 是函数 的双重不动点；
综上，具有双重不动点的函数是①③.
故答案为：①③.
四、双空题29．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）记 为函数 的
阶导数且 ， 若 存在，则
称 阶可导．英国数学家泰勒发现：若 在 附近 阶可导，则可构造
（称为 次泰勒
多项式）来逼近 在 附近的函数值．据此计算 在 处的3次泰勒多项
式为 =_________； 在 处的10次泰勒多项式中 的系数为
_________
【答案】 330
【分析】求函数 的 阶导数，根据泰勒多项式求 ，求 的1阶
至10阶导数，求出其10次泰勒多项式，再根据二项式定理求 的系数化简求其值.
【详解】∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ；
∵ ，∴ ， ， ，…， ，
，
∴ ， ， ，…， ， ，
∴ ．
故 的系数为．
故答案为： ；330.
30．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数 ，记
为函数 的2次迭代函数，
为函数 的3次迭代函数，…，依次类
推， 为函数 的n次迭代函数，则 ______；
除以17的余数是______．
【答案】 0
【分析】第一空，根据题意结合等比数列的前n项和公式即可推出 的表达式；
第二空，将 化为 ，利用二项式定理展开，化简即可求得答案.
【详解】由题意， ，
所以
又 为正整数，
所以 除以17的余数为0，
故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题中函数迭代问题，要结合题设找到迭代规律，即可求出
函数表达式，解决余数问题的关键在于将 利用二项式定理展开化简转化为17
的倍数的形式，即可求得答案.
