文档内容
七上数学期中复习必考五大类型（16 个题型）
【人教版2024】
【类型1 概念辨析篇】..............................................................................................................................................1
【题型一 有理数相关概念】.....................................................................................................................................1
【题型二 科学记数法】.............................................................................................................................................2
【题型三 近似数】.....................................................................................................................................................3
【题型四 代数式概念及书写要求】........................................................................................................................3
【题型五 单项式】.....................................................................................................................................................3
【题型六 多项式】.....................................................................................................................................................4
【类型2 计算篇】......................................................................................................................................................4
【题型一 有理数混合运算】.....................................................................................................................................4
【题型二 整式的化简求值】.....................................................................................................................................5
【类型3 实际应用篇】..............................................................................................................................................6
【题型一 有理数的实际应用】................................................................................................................................6
【题型二 列代数式及其求值】................................................................................................................................8
【类型4 规律及新定义篇】....................................................................................................................................10
【题型一 数式规律问题】.......................................................................................................................................10
【题型二 图形规律问题】.......................................................................................................................................12
【题型三 新定义问题】...........................................................................................................................................15
【类型5 压轴篇】....................................................................................................................................................17
【题型一 与数轴有关的综合】..............................................................................................................................17
【题型二 与绝对值有关的综合】..........................................................................................................................19
【题型三 整式的加减的应用】..............................................................................................................................20
【类型1 概念辨析篇】
【题型一 有理数相关概念】
1．（2023秋•江安县期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数
B．两个数相加，和一定大于其中一个加数
C．有理数分为正有理数和负有理数
D．若a表示一个有理数，则﹣a不一定是负数
2．（2024秋•闵行区期中）下列说法中，错误的是（ ）A．0既不是正数也不是负数
b
B．只要能够写成分数 形式（a、b是整数，a≠0）的数都是有理数
a
C．0是自然数，也是整数，还是有理数
D．有理数可分为正有理数和负有理数
3．（2023秋•环翠区校级期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A．平方等于本身的数只有0和1
B．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数
C．两个数的差为正数，至少其中有一个正数
D．两个负数，绝对值大的负数反而小
4．（2023秋•慈溪市校级期中）下列说法中正确的个数有（ ）
①最大的负整数是﹣1；
②相反数是本身的数是正数；
③有理数分为正有理数和负有理数；
④数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边；
⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型二 科学记数法】
5．（2023秋•惠城区校级期中）“一带一路”的“朋友圈”究竟有多大？“一带一路”涉及沿线65个国
家，总涉及人口约4500000000，将4500000000用科学记数法表示为（ ）
A．4.5×107 B．45×108 C．4.5×109 D．0.45×1010
6．（2023秋•高新区校级期中）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费
一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记
数法表示为（ ）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108
7．（2023秋•汝州市期中）中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模
将超过 8 万亿元，直接带动经济总产出达 10.6 万亿元．其中数据 10.6 万亿用科学记数法表示为
（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
【题型三 近似数】
8．（2023秋•池州期中）下列说法正确的是（ ）A．0.750精确到百分位
B．3.079×104精确到千分位
C．38万精确到个位
D．2.80×105精确到千位
9．（2023秋•科尔沁区期中）对于由四舍五入法得到的近似数8.8×104，下列说法正确的是（ ）
A．精确到十分位 B．精确到个位
C．精确到千位 D．精确到万位
10．（2024秋•朝阳区期中）用四舍五入法得到 的近似数是2.170，则 的取值范围是（ ）
A．2.169≤ ＜2.174 αB．2.1694＜ ＜2.1704 α
C．2.1695≤α ＜2.1705 D．2.1695＜α≤2.1705
【题型四 代数α式概念及书写要求】 α
11．（2023秋•冷水滩区校级期中）在下列各式中（1）3a，（2）4+8＝12，（3）2a﹣5b＞0，（4）0，
（5）s＝ r2，（6）a2﹣b2，（7）1+2，（8）x+2y，其中代数式的个数是（ ）
A．3个 π B．4个 C．5个 D．6个
12．（2023秋•济南期中）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（ ）
7a 1
﹣2x2y，2×（a+b），a÷b，ab﹣2， ，2 bc2 ．
4 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1 m2+n2
13．（2023秋•花山区校级期中）下列各式：①1 x；②2•3；③20%x；④a﹣b﹣c；⑤ ；
3 6
③x﹣5千克，其中，不符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【题型五 单项式】
3 2x2y x+ y 3 1
14．（2023秋•惠城区校级期中）在式子：− ab， ， ，﹣a2bc，1，x2﹣2x+3， ， +1中，
5 5 2 a x
单项式个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2023秋•自流井区校级期中）下列说法错误的是（ ）
A．数字1是单项式
πx y2 1
B． 的系数是 ，次数是3
3 31
C． ab是二次单项式
4
2mn 2
D．− 的系数是− ，次数是2
3 3
16．（2023 秋•岳阳县校级期中）已知（m+4）xy2z|m|﹣1是关于 x，y，z 的六次单项式，则 m 的值为
（ ）
A．3 B．﹣4 C．±4 D．4
【题型六 多项式】
17 ． （ 2023 秋 • 砀 山 县 期 中 ） 下 列 式 子 ：
a+b x y2 3 2 x
①a2b+ab−b2；② ；③− ；④−x+ ；⑤0；⑥ ；⑦ ， 多 项 式 的 个 数 是
2 3 y x 2
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2023秋•曲江区校级期中）关于多项式0.3x2y﹣2x3y2﹣7xy3+1，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式
B．四次项的系数是7
C．常数项是1
D．三次项的系数是0.3
19．（2023秋•横县校级期中）已知关于y的多项式2y﹣3yn+7与my3+4y2﹣5的次数相同，那么﹣5n2的值
是（ ）
A．80 B．﹣80 C．﹣80或﹣54 D．﹣45或﹣20
【类型2 计算篇】
【题型一 有理数混合运算】
1．（2023秋•荣昌区期末）计算：
1 5 3
（1）(−24)×( − + )；
3 6 8
1
（2）−14−(1−0.5)× ×[2−(−3) 2 ]．
3
2．（2023秋•滕州市期中）计算：
1 3 7 1
（1）（ + − ）÷ ；
4 8 12 24
1 1
（2）﹣14﹣（1− ）2× ×[2+（﹣3）3]．
2 53．（2023秋•沙坪坝区校级期中）计算
1
（1）|−23|÷(−2) 3−(−1) 2023×(−
)；
6
3 2 3
（2）−16+(1 +2 −3 )×24．
8 3 4
4．（2023秋•秦都区校级期中）阅读下列材料：
1 1 1 1
计算： ÷（ − + ）．
24 3 4 12
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
解法一：原式= ÷ − ÷ + ÷ = ×3− ×4 + ×12 = ．
24 3 24 4 24 12 24 24 24 24
1 4 3 1 1 2 1 1
解法二：原式= ÷（ − + ）= ÷ = ×6 = ．
24 12 12 12 24 12 24 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解法三：原式的倒数＝（ − + ）÷ =（ − + ）×24= ×24− ×24+ ×24＝4．
3 4 12 24 3 4 12 3 4 12
1
所以，原式= ．
4
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
1 1 3 2 2
（2）请你选择合适的解法计算：（− ）÷（ − + − ）．
42 6 14 3 7
5．（2023秋•右玉县期中）阅读下题中的计算方法，解决问题．
5 2 3 1
（1）−5 +(−9 )+17 +(−3 )
6 3 4 2
5 2 3 1
解：原式=[(−5)+(− )]+[(−9)+(− )]+[(+17)+(+ )]+[(−3)+(− )]
6 3 4 2
5 2 3 1
=[(−5)+(−9)+(+17)+(−3)]+[(− )+(− )+(+ )+(− )]
6 3 4 2
1
=0+(−1 )
4
1
=−1 ．
4
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的拆项法可将6.25拆为 ，﹣2.236拆为 ．
（2）类比上述计算方法计算：
1 2 2 1
−2023 −2024 +4045 −1 ．
4 5 5 2【题型二 整式的化简求值】
3 5
6．（2023秋•江阳区校级期中）已知M＝2x2+ax﹣5y+b，N＝bx2− x− y﹣3，其中a，b为常数．
2 2
（1）求整式M﹣2N；
（2）若整式M﹣2N的值与x的取值无关，求（a+2M）﹣（2b+4N）的值．
7．（2023秋•横峰县期中）已知代数式A＝2x2﹣2x﹣1，B＝﹣x2+xy+1，M＝4A﹣（3A﹣2B）．
（1）当（x+1）2+|y﹣2|＝0时，求代数式M的值．
（2）若代数式M的值与x的取值无关，求y的值．
8．（2023秋•罗平县校级期中）已知代数式A＝2x2+5xy﹣7y﹣3，B＝x2﹣xy+2．
（1）求3A﹣（2A+3B）的值；
（2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
9．（2023秋•曲江区校级期中）小明在计算减多项式A减2b2﹣3b﹣5时，因一时疏忽忘了将两个多项式用
括号括起来，得到的结果是b2+3b﹣1．
（1）求这个多项式A．
（2）求这两个多项式相减的正确结果．
（3）当b＝﹣1时，求（2）中结果的值．
10．（2023秋•南城县期中）在七年级活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为A，B，C三个
代数式，三张卡片如下，其中C的代数式是未知的．
A＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1 B＝﹣2（x2﹣x+2） C
（1）若A为二次二项式，则k的值为 ；
（2）若A﹣B的结果为常数，则这个常数是 ，此时k的值为 ；
（3）当k＝﹣1时，C+2A＝B，求C．
【类型3 实际应用篇】
【题型一 有理数的实际应用】
1．（2023秋•建湖县期中）某公司4天内货品进出库的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）：
+24，﹣48，﹣13，+37，﹣52，+57，﹣13，﹣33．
（1）经过这4天，仓库里的货品是增加了还是减少了？请计算说明．
（2）经过这4天，仓库管理员结算时发现库里还存217吨货物，那么4天前仓库里存货多少吨？
（3）如果进出库的货品装卸费都是每吨15元，那么这4天要支付多少元装卸费？
2．（2023秋•临湘市期中）某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标
准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表：每袋与标准质量的差值（单位：克） ﹣5 ﹣2 0 1 3 6
袋数 1 4 3 4 5 3
（1）这批样品每袋的平均质量比标准质量多还是少？相差几克？
（2）若每袋的标准质量为450克，则抽样检测的20袋食品的总质量为多少克？
（3）若该种食品每袋的合格标准为450±5克，求该食品的抽样检测的合格率．
3．（2023秋•黔东南州期中）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人
不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没
电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣 20万件包裹，但实际每天的分拣量与
计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到
计划量的部分记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
分拣情况（单 +6 0 ﹣4 +5 ﹣1 +7 ﹣6
位：万件）
（1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期 ；最少的一天是星期 ；最多的一天比
最少的一天多分拣 万件包裹；
（2）该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？
4．（2023秋•青羊区校级期中）随着网络直播的兴起，凉山州“建档立卡户”刘师傅在帮扶队员的指导下
做起了“主播”，把自家的石榴放到网上销售．他原计划每天卖100千克石榴，但由于种种原因，实际
每天的销售量与计划量相比有出入．如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：千
克）：
星期 一 三 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +5 ﹣2 ﹣5 +14 ﹣8 +22 ﹣6
（1）根据记录的数据可知前三天共卖出 千克．
（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？
（3）若石榴每千克按10元出售，每千克石榴的运费平均3元，那么刘师傅本周出售石榴的纯收入一共
多少元？
5．（2023秋•碑林区校级期中）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100
只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减
产记为负）；
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣6 +6 ﹣3（1）根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期 ；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？
（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5
元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【题型二 列代数式及其求值】
6．（2023秋•海州区校级期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用
电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电量 单价（元/度）
不超过50度的部分 0.5
超过50度但不超过200度的部分 0.6
超过200度的部分 0.8
已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：
一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
﹣50 +30 ﹣26 ﹣45 +36 +25
根据上述数据，解答下列问题：
（1）小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度；
（2）小刚家一月份应交纳电费 元；
（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．
7．（2023秋•历下区期中）随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作
为一种时尚的生活方式．某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案：
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折．
运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动
外套100件，卫衣x件（x≥100）．
（1）方案一需付款： 元，方案二需付款： 元；
（2）当 x＝150 时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
（3）当 x＝300时，如果两种方案可以组合使用，你能帮助俱乐部设计一种最省钱的方案吗？请直接
写出你的方案、
8．（2023秋•武汉期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆
窗框构成，下面是由两个大小相等的长x，宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中 取
3，长度单位为米） π（1）一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含x，y的式子表示）
（2）一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含x，y的式子表示）
（3）某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价：
铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米）
甲厂商 180 不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方
米的部分，70元/平方米
乙厂商 200 80元/平方米，每购一平方米玻璃送0.1米铝合金
当x＝4，y＝2时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？
9．（2023秋•兴宾区期中）自我国实施“限塑令”起，开始有偿使用环保购物袋，为了满足市场需求，某
厂家生产A，B两种款式的环保购物袋，每天生产6000个，两种购物袋的成本和售价如下表，若设每天
生产A种购物袋x个．
成本（元/个） 售价（元/个）
A 2 2.5
B 3 3.6
（1）用含x的整式表示每天生产的环保购物袋的总成本，并进行化简；
（2）用含x的整式表示每天获得的总利润，并进行化简（利润＝售价﹣成本）；
（3）当x＝2000时，求每天生产的总成本与每天获得的总利润．
10．（2023秋•尧都区校级期中）综合与探究
课上，老师让同学们探究图形的周长、面积问题．
【基础巩固】（1）图1是某校园的游泳池的平面示意图，尺寸如图所示，需在游泳池的四周铺设草
坪，宽均为2，已知外围长方形场地的宽为a，长为b．用含a，b的代数式表示图中游泳池的周长．【深入探究】（2）根据需要，该长方形场地的长、宽不变，学校对游泳池的位置和长、宽做了调整，
且长方形场地内又多种植了一个长方形花草地，其余部分（阴影部分）为小路，如图2，用含a，b的代
数式表示小路的面积．
【拓展探究】（3）聪明的小康在图1的基础上，设计出了更加美丽的游泳池图案，已知两个小游泳池
的直径相等，如图3所示，根据图中尺寸，用含a，b的代数式分别表示游泳池的周长和、面积和（面
积和不要求化简，保留 ）．
【类型4 规律及新定义篇π】
【题型一 数式规律问题】
−3 −27 81
1．（2023秋•利川市校级期中）已知一组数：1， ，1， ， ，…，用代数式表示第n个数为
4 16 25
．（n是正整数，用含n的代数式表示）
1
2．（2023秋•高州市校级期中）定义：a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数．例如：2的差
1−a
1 1 1
倒数是 =−1，﹣1的差倒数是 = ．已知a ＝﹣3，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，
1−2 1−(−1) 2 1 2 1 1 2
a 是a 的差倒数，……，以此类推，a ＝ ．
4 3 2024
3．（2023秋•开州区期中）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，
6，10，15，…，我们把第一个数记为a ，第二个数记为a ，第三个数记为a ，…，第n个数记为a ，
1 2 3 n
则a ﹣a ＝ ．
2023 2021
4．（2023秋•万秀区校级期中）在我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三
角”我们把第2行从左到右第1个定为a（2，1），我们把第4行从左到右第3个定为a（4，3），由图
我们可以知道：a（2，1）＝1，a（4，3）＝3，按照图中数据规律，a（8，4）+a（9，5）的值为
．5．（2023秋•鲤城区校级期中）观察算式：
1 1 1
=1− = ，
1×2 2 2
1 1 1 1 1 2
+ =1− + − = ，
1×2 2×3 2 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =1− + − + − = ；…
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4
（1）按规律填空：
1 1 1 1
① + + + = ；
1×2 2×3 3×4 4×5
1 1 1 1 1 n
②如果n为正整数，那么 + + + +⋯+ = ；
1×2 2×3 3×4 4×5 n×(n+1) n+1
（2）计算（由此拓展写出具体过程）：
1 1 1 1
① + + +⋯+ ；
1×3 3×5 5×7 99×101
1 1 1 1
②1− − − −⋯− ．
2 6 12 9900
6．（2023秋•金溪县校级期中）仔细观察下列规律：
22﹣2＝2（2﹣1）＝2；
23﹣22＝22（2﹣1）＝22；
24﹣23＝23（2﹣1）＝23；
…
（1）28﹣27＝ ；
（2）2n﹣1﹣2n＝ ；
（3）2100+299+298+…+23+22+2＝ ．
7．（2023秋•威远县校级期中）请阅读以下材料完成以下题目．
【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式：
1
第①式：1×2= (1×2×3−0×1×2)；
31
第②式：2×3= (2×3×4−1×2×3)；
3
1
第③式：3×4= (3×4×5−2×3×4)；
3
1
将这三个等式的两边相加，可以得到：1×2+2×3+3×4= ×3×4×5=20；
3
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+⋯+20×21＝ ；
（2）1×2+2×3+3×4+⋯+n（n+1）＝ （用含n的式子表示）；
【阅读材料二】观察下列几个等式：
1
第①式：12= ×1×2×3=1；
6
1
第②式：12+22= ×2×3×5=5；
6
1
第③式：12+22+32= ×3×4×7=14；
6
1
第④式：12+22+32+42= ×4×5×9=30；
6
请你思考后解答下列问题：
（1）12+22+32+…+202＝ ；
（2）12+22+32+…+n2＝ （用含n的式子表示）；
（3）计算：212+222+232+…+392+402；
【拓展应用】：
2 1
直接写出下式的结果： [(12+22+32+⋯+1002 )− (1×2+2×3+3×4+⋯+100×101)]=
33 2
．
【题型二 图形规律问题】
1．（2023秋•临颍县期中）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共
有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑨个图形
中五角星的个数为（ ）A．162 B．180 C．200 D．128
2．（2023秋•鹤城区校级期中）中国文化博大精深，汉字文化是中国古代文化流传下来的一份珍贵遗产．
下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图1中共
有12个圆点，图2中共有18个圆点，图3中共有25个圆点，图4中共有33个圆点，…，依此规律，
则图9中共有圆点的个数是（ ）
A．63 B．75 C．88 D．102
3．（2023秋•深圳期中）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角
垛”，图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若
1 1 1 1
用a 表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则
+ + +⋯+ =
（ ）
n a a a a
1 2 3 2023
4044 4042 2021 2023
A． B． C． D．
2023 2023 1011 1012
4．（2023秋•福州期中）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有 n
（n＞1）个点，记第1个图形中总的点数为S ＝3，第2个图形中总的点数为S ＝6，依次为S ＝9，S
2 3 4 5
＝12，则S 的值是（ ）
2023A．6063 B．6066 C．6069 D．6072
5．（2023秋•即墨区期中）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图
形，第1幅图形中“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为
15..以此类推，则第10幅图形中“●”的个数为（ ）
A．100 B．120 C．220 D．240
6．（2023秋•市中区期中）学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式：
（1）当有5张桌子时，第一种方式能坐 人，第二种方式能坐 人．
（2）当有n张桌子时，第一种方式能坐 人，第二种方式能坐 人．
（3）新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择
以下哪种方式来摆放餐桌？为什么？
7．（2023秋•方城县期中）【观察思考】
（1）【规律发现】
第5个图案中“◎”的个数是 ；第n个图案中“◎”的个数是 ．
1×2 2×3
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为 ，第2个图案中“★”的个数可表示为 ，第3个图
2 23×4 4×5
案中“★”的个数可表示为 ，第4个图案中“★”的个数可表示为 ，……，第n个图案中
2 2
“★”的个数可表示为 ．
（3）【猜想说理】
有人猜想：第2023个图案中“★”的个数与第2022个图案中“★”的个数之差为2023．你同意他的说
法吗？请通过计算说明理由．
【题型三 新定义问题】
1．（2023秋•鼓楼区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②
n n
当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝
2k 2k
26，则：
若n＝49，则第2023次“F运算”的结果是（ ）
A．152 B．19 C．62 D．49
{4ab−b2 (a＞b))
2．（2023秋•西乡塘区校级期中）定义一种新运算：a&b= ，则（1&4）&（﹣1）的
ab+a−b(a＜b)
值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
3．（2023秋•兴城市期中）定义：若a+b＝n，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与﹣4是关于
﹣1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有a＝6x2﹣8kx+12与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k
为常数）始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 的“平衡数”．
4．（2023秋•卧龙区期中）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的商的运算
叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写
作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的
圈4次方”．一般地，把 a÷a÷a⋯÷a 记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．
¿
【初步探究】（1）直接写出计算结果：2023②＝ ；
（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号）
A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么
有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝ ；
1
（4）计算：﹣1⑧﹣142÷（− ）④×（﹣7）⑥．
2
5．（2023秋•南昌期中）我们定义：对于数对（a，b），若a+b＝ab，则（a，b）称为“和积等数对”．
3 3 3
如：因为2+2＝2×2，﹣3+ =−3× ，所以（2，2），（﹣3， ）都是“和积等数对”．
4 4 4
（1）下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号）
①（3，1.5）；
3
②（ ，1）；
4
1 1
③（− ， ）．
2 3
（2）若（﹣5，x）是“和积等数对”，求x的值；
（3）若（m，n）是“和积等数对”，求代数式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值．
6．（2023秋•思明区校级期中）定义：若a+b＝m，则称a与b是关于m的关联数．
例如：若a+b＝3，则称a与b是关于3的关联数．
（1）①6与 是关于2的关联数．
②4+2x与 是关于2的关联数．（用含x的代数式表示）．
（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x﹣x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的关联数，并
说明理由．
7．（2023秋•雨湖区校级期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；如果x≥0，那么就有[x]
＝x﹣1；如果x＜0，那么[x]＝x+1．例：[0.5]＝0.5﹣1＝﹣0.5．
3
（1）求[ ]、[﹣1]的值；
2
（2）若[x]＝﹣1，[y]＝2，求xy的值；
（3）若a≠b，当[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值．【类型5 压轴篇】
【题型一 与数轴有关的综合】
1．（2023秋•海门市期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A，B，
C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、那
么数轴上的﹣2025所对应的点与圆周上重合的字母是（ ）
A．A B．B C．C D．D
2．（2023秋•澧县期中）已知：如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为﹣5，动点P以每
秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速
1
度的 ，当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，则当点P运动到点A时，
3
动点Q所表示的数为 ．
3．（2023秋•南山区校级期中）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点
A向左移动3个单位长度到达点A ，第2次将点A 向右平移6个单位长度到达点A ，第3次将点A 向
1 1 2 2
左移动9个单位长度到达点A …则第6次移动到点A ；按照这种规律移动下去，至少移动次 后该
3 6
点到原点的距离不小于41．
4．（2023秋•江夏区期中）已知：在数轴上有A，B，C三点，其中A，B两点对应的数a，b满足：
（a+2）2+|b﹣8|＝0，点C在点B的右边，其对应的数为c．
（1）求式子：3ab﹣4ab﹣（﹣2ab）的值；
（2）若点M对应的数为m，动点M在点B的左边（注：点M不与点B重合），请化简式子：|m+3|﹣|
m﹣8|+12；
（3）点P是数轴上B，C两点之间的一个动点（注：点P不与点B，C重合），设点P表示的数为x，
当点P在运动的过程中，无论怎么运动，式子：bx﹣cx+2|x﹣a|﹣9|x﹣c|的值始终保持不变，求：
c2+2c+1的值．5．（2023秋•江岸区期中）自主学习数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，即：点
A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
例：如图，点A、B在数轴上分别对应的数为﹣1、2，则AB＝|2﹣（﹣1）|＝3．
尝试应用数轴上A、B两点对应的数分别为a、b且a、b满足|b+2a|+（a﹣2）2＝0．
（1）直接写出：a＝ ，b＝ ；
（2）在数轴上有一点P对应的数为x．
①点P到点A的距离可表示为 ；点P到A、B两点的距离和可表示为 .（用含x的代数式表
示）
②当点P到A、B两点的距离和为8时，求x的值．
拓展探究已知A、B、C三点都在数轴上原点O右边（前后顺序不定），所对应的数分别为x，y，z（y
＞2），P、Q也在数轴上，其中，P为A、C的中点（即PA＝PC），Q为O、B中点（即OQ＝BQ），
若2PQ＝OA+OB+OC﹣4，求|x+y+z﹣6|+2|y﹣3|的最小值．
6．（2023秋•荆门期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，
8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点
C对齐刻度6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB．
（1）在图1的数轴上，AC＝ 个长度单位；在图2中刻度尺上，AC＝ cm；数轴上的1个长度
单位对应刻度尺上的 cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的 个长度单位；
（2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值
及点Q所表示的数；
（3）点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速
度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若AM﹣k•MN的值不会随
t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值．7．（2023秋•黄陂区校级期中）A、B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为﹣2，点B
对应的有理数为﹣18，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动时间
为t秒（t＞0）．
（1）直接写答案：点A与点B间的距离为示为 ，此时点P与点B间的距离表示为 ；当P
点运动t秒时，点P表示的数可表示为 ；
（2）当点P与点B间的距离为4个单位长度时，求t的值；
（3）若有理数m、n、q满足：m在数轴上对应的点位于点A与点B之间，n在数轴上对应的点位于原
点O与点A之间，q为0与1间的正数，且有等式d＝|m+q|﹣|m﹣n|﹣|n﹣q|﹣3成立，试求：7（d+2q）
2+2（d+2q）﹣5（d+2q）2﹣3（d+2q）的值．
【题型二 与绝对值有关的综合】
1．（2023秋•白云区校级期中）在数轴上有四个互不相等的有理数a，b，c，d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，
且d在a，c之间，则化简|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|的结果是（ ）
A．3c﹣b B．2c﹣d C．c﹣d D．c﹣b
2．（2023秋•浠水县期中）若（a+b）2+|b﹣1|＝b﹣1，且|a+3b﹣3|＝5，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
|a| |b| |c|
3．（2023秋•东坡区校级期中）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， + + =−1，那么
a b c
|ab| |bc| |ac| |abc|
+ + + 的值为（ ）
ab bc ac abc
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
|a+b| 2|b+c| 3|c+a|
4．（2023秋•市中区期中）已知：m= + + ，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有
c a b
x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023秋•思明区校级期中）已知x，y，z均为有理数，且满足|z﹣x|＝6，|y﹣z|＝2，那么|x﹣y|的值为
．
6．（2023秋•丰泽区校级期中）当x＝ 时，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|+|x+4|+…+|x+100|+|x﹣101|的值最小，
最小值为 ．
7．（2023秋•海安市期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道|a|的几何意义是指数轴上表示数a的点
与原点的距离，那么|a﹣b|的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑|5
﹣（﹣6）|的几何意义，在数轴上分别标出表示﹣6和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而|
5﹣（﹣6）|＝11，因此不难看出|5﹣（﹣6）|就是数轴上表示﹣6和5两点间的距离，|a﹣b|的几何意义
是数轴上a，b两数对应点之间的距离．
2
（1）当|x− |＝2时，求出x的值；
3
（2）设Q＝|x+6|﹣|x﹣5|，请问Q是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值；
（3）设Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|，当Q的值最小时，求整数x所有可能的值的和．
【题型三 整式的加减的应用】
1．（2023秋•江夏区期中）如图所示，在数轴上有理数a，b，c，﹣2的位置如图所示，若m＝|2a+b|﹣|﹣
2﹣b|﹣|2a﹣2c|﹣4，则6（m+2c﹣1）2+3（m+2c+4）3的值是（ ）
A．77 B．78 C．﹣77 D．﹣78
2．（2023秋•黄石港区期中）如图，把五个长为b，宽为a的小长方形，按图①和图②两种方式放在同
一个大长方形内（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙），设图①中两块阴影部分的周长和为C ，
1
图②中阴影部分的周长为C ，若大长方形的长比宽多（b﹣2a），图①中两块阴影部分的面积分别为
2
S 和S ，则以下结论正确的是（ ）
1 27
A．大长方形的宽为 a
2
B．周长C ＝12a
1
C．C ﹣C ＝2a﹣2b
2 1
S 5
D．若3b＝10a，则
1=
S 2
2
3．（2023秋•广州期中）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E
在AB上，点M、N在BC上，若AE＝m，MN＝n，CN＝q，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴
影部分的周长的差为（ ）
A．m+n B．n+q C．2m D．2n
4．（2023秋•益阳期中）已知M＝2a2﹣ab+b﹣1，M﹣3N＝a2+3ab+2b+1．若计算M﹣[2N﹣（M﹣N）]的
结果与字母b无关，则a的值是 ．
5．（2023秋•婺源县校级期中）阅读材料：在合并同类项中，5a﹣3a+a＝（5﹣3+1）a＝3a．类似地，我
们把（x+y）看成一个整体，则5（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（5﹣3+1）（x+y）＝3（x+y）．“整体
思想”是中学数学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
（1）把（x﹣y）2看成一个整体，合并3（x﹣y）2﹣（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 ．
（2）已知a2﹣2b＝1，求3﹣2a2+4b的值．
（3）已知a﹣2b＝1，2b﹣c＝﹣1，c﹣d＝2，求a﹣6b+5c﹣3d的值．6．（2023秋•临邑县校级期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在
多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把（a+b）看成一个整体，则 4（a+b）﹣2（a+b）+
（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．
（1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+7（a﹣b）2的结果是
．
（2）尝试应用：已知x2﹣2y＝1，求3x2﹣6y﹣2022的值．
（3）拓广探索：已知xy+x＝﹣1，y﹣xy＝﹣2．求代数式2[x+（xy﹣y）2]﹣3[（xy+x）2﹣xy]﹣xy的
值．
7．（2023秋•南关区校级期中）【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容．
代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为 ．
【阅读理解】小明在做这道题时采用的方法如下：
解：由题意得x2+x+3＝7，则有x2+x＝4，
所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5．
所以代数式2x2+2x﹣3的值为5．
【方法运用】
（1）若代数式x2+x+1的值为6，求代数式3x2+4+3x的值．
（2）当x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为5，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx﹣3的值．
【拓展应用】
（3）若a2﹣ab＝19，ab﹣b2＝﹣7，则代数式a2﹣2ab+b2的值为 ．
