文档内容
七下数学第一次月考复习五大类型 25 个必考点
【人教版2024】
【类型1 基础题篇·30题】........................................................................................................................................2
【必考点1 对顶角与邻补角】..................................................................................................................................2
【必考点2 点到直线的距离】..................................................................................................................................3
【必考点3 平行线的判定与性质】..........................................................................................................................4
【必考点4 三角板问题】..........................................................................................................................................6
【必考点5 命题与定理】..........................................................................................................................................8
【必考点6 平移的性质运用】..................................................................................................................................9
【必考点7 平方根与立方根】................................................................................................................................11
【必考点8 无理数的定义】....................................................................................................................................12
【必考点9 无理数的估算】....................................................................................................................................13
【必考点10 实数与数轴】......................................................................................................................................14
【类型2 计算题篇·22题】......................................................................................................................................15
【必考点11 实数的混合运算】..............................................................................................................................15
【必考点12 利用开平方或开立方解方程】.........................................................................................................18
【必考点13 利用平方根与立方根性质求值】.....................................................................................................22
【类型3 作图题篇·9题】........................................................................................................................................25
【必考点14 格点平移作图】..................................................................................................................................25
【必考点15 利用算术平方根解图形裁剪问题】.................................................................................................33
【类型4 中档题篇·30题】......................................................................................................................................35
【必考点16 探究两个角的两边的关系】..............................................................................................................35
【必考点17 平行线中折叠问题】..........................................................................................................................38
【必考点18 平行线中拐点问题】..........................................................................................................................40
【必考点19 相交线中求角度问题】......................................................................................................................45
【必考点20 完善平行线证明中推理根据】.........................................................................................................50
【必考点21 平行线的性质与判定证明】..............................................................................................................53
【必考点22 无理数的整数和小数部分判断】.....................................................................................................58
【类型5 压轴题篇·16题】......................................................................................................................................60
【必考点23 平行线中多结论问题】......................................................................................................................60
【必考点24 平行线判定与性质综合问题】.........................................................................................................68
【必考点25 平行线中动态旋转问题】..................................................................................................................83
【类型1 基础题篇·30题】
【必考点1 对顶角与邻补角】
1．下列关于对顶角的说法中，正确的是（ ）A．相等的角是对顶角
B．有公共点并且相等的角是对顶角
C．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2
D．两条直线相交所成的角是对顶角
【分析】根据对顶角的定义以及对顶角相等的性质进行判断即可．
【解答】解：A．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，因此选项A不符合题意；
B．一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，而有公共点并且相等的
角不一定是对顶角，因此选项B不符合题意；
C．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，因此选项C符合题意；
D．两条直线相交所成的角中有的是邻补角，有的是对顶角，因此选项D不符合题意．
故选：C．
2．如图，直线AB和CD相交于点O，OE、OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是（ ）
A．∠AOF和∠DOE B．∠EOF和∠BOE
C．∠COF和∠BOD D．∠BOC和∠AOD
【分析】根据对顶角的定义求解即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，只有∠BOC和∠AOD是对顶角，
故选：D．
3．下列各选项，∠1和∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．
【解答】解：∵只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补
角，
∴只有选项B中的∠1与∠2互为邻补角．
故选：B．
【必考点2 点到直线的距离】
4．如图，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【分析】利用点到直线的距离定义可得答案．
【解答】解：AC长表示A到BC的距离，
BC长表示B到AC的距离，
CD长表示C到AB的距离，
AD长表示A到CD的距离，
BD长表示B到DC的距离，
则能表示点到直线（线段）的距离的线段有5条，
故选：C．
5．若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，PA＝10cm，PB＝8cm，PC＝6cm，则点P到直线l
的距离（ ）
A．等于6cm B．大于6cm而小于8cm
C．6cm D．不大于6cm
【分析】根据“垂线段最短”可得点P到直线l的距离不超过线段PC的长即可得出答案．
【解答】解：根据“垂线段最短”得：点P到直线l的距离≤PC，
故选：D．
6．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），开始挖渠才能使水渠的长度最短，这
样做的依据是（ ）A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），开始挖渠才能使水渠的长度最
短，这样做的依据是：垂线段最短，
故选：C．
【必考点3 平行线的判定与性质】
7．如图，下列说法正确的是（ ）
A．因为∠2＝∠4，所以AD∥BC
B．因为AD∥BC，所以∠B+∠BCD＝180°
C．因为AD∥BC，所以∠1＝∠3
D．因为∠D+∠BCD＝180°，所以AB∥CD
【分析】根据平行线的判定与性质逐项进行分析判断即可．
【解答】解：A、因为∠2＝∠4，所以AB∥CD，原说法错误，不符合题意；
B、因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD＝180°，原说法错误，不符合题意；
C、因为AD∥BC，所以∠1＝∠3，正确，符合题意；
D、因为∠D+∠BCD＝180°，所以AD∥BC，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
8．如图，小明用两块同样的三角板，按下面的方法作出了平行线，则AB∥CD的理由是（ ）A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠6 D．∠2+∠3+∠6＝180°
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、根据∠2＝∠4不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、根据∠3＝∠4能推出AB∥CD，故本选项符合题意；
C、根据∠5＝∠6不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、根据∠2+∠3+∠6＝180°不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．如图，点E在AC的延长线上，∠A＝∠DCE，以下结论：①BD∥AC；②AB∥CD；③∠D+∠ABD
＝180°；④∠ACB＝∠CBD．一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的判定和性质判断出正确语句即可．
【解答】解：∵∠A＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠ABD＝180°，故②③正确；
无法判定BD∥AC，故无法判定∠ACB＝∠CBD，故①④错误．
故正确的有②③．
故选：B．
【必考点4 三角板问题】
10．一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线
上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°【分析】利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝15°；
故选：B．
11．如图，已知AB∥CD，一副三角板按如图放置，∠AEG＝45°，则∠HFD为（ ）
A．45° B．30° C．40° D．60°
【分析】由∠AEG＝45°，得∠AEG＝∠EGH，故AB∥GH，那么GH∥CD，进而可推断出∠GHF＝
∠HFD＝30°．
【解答】解：由题意知：∠EGH＝45°，∠GHF＝30°．
∵∠AEG＝45°，
∴∠AEG＝∠EGH．
∴AB∥GH．
又∵AB∥CD，
∴GH∥CD．
∴∠GHF＝∠HFD＝30°．
故选：B．
12．如图，l ∥l ，将一副直角三角板作如下摆成，图中点 A、B、C在同一直线上，则∠1的度数为
1 2
（ ）A．80° B．85° C．75° D．70°
【分析】过点C作CM∥l ，则l ∥l ∥CM，根据平行线的性质可得∠1+∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，
1 1 2
再根据三角板的特点求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CM∥l ，
1
∵l ∥l ，
1 2
∴l ∥l ∥CM，
1 2
∴∠1+∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，
∵∠2＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ACM＝135°，
∴∠ECM＝135°﹣30°＝105°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°，
故选：C．
【必考点5 命题与定理】
13．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，则下列命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中是真命题个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】正确的命题是真命题，根据定义判断即可．【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，该命题是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，该命题是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，该命题不是真命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，该命题是真命题．
真命题有3个，
故选：C．
14．下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平
行；③相等的角是对顶角；④平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中是真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行公理、平行线的判定定理、对顶角的概念判断即可．
【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本小题说法是假命题；
③相等的角不一定是对顶角，故本小题说法是假命题；
④平行于同一条直线的两条直线互相平行，本小题说法是真命题；
故选：A．
15．关于命题：若|a|＞|b|，则a＞b．下列说法正确的是（ ）
A．它是真命题
B．它是假命题，反例a＝3，b＝﹣4
C．它是假命题，反例a＝4，b＝3
D．它是假命题，反例a＝﹣4，b＝3
【分析】根据绝对值的性质判断即可．
【解答】解：若|a|＞|b|，当a＞b＞0时，则a＞b；当a＜b＜0时，则a＜b，当b＝0时，a＞b或a＜b．
故选：D．
【必考点6 平移的性质运用】
16．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，
则阴影部分的面积为（ ）A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【分析】由平移的性质可知BC＝EF，BE＝AD＝2cm，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH的长，根据S阴
影
＝S直角梯形BEFH ，即可得出答案．
【解答】解：由平移的性质可知BC＝EF＝5cm，BE＝AD＝2cm，∠DEC＝∠B＝90°，S阴影 ＝S直角梯形
，
BEFH
∴BH＝BC﹣CH＝3cm，
∴S阴影 ＝S直角梯形BEFH
1
＝（3+5）×2×
2
＝8（cm2）．
故选：B．
17．如图，将周长为12cm的△ABC沿边BC向右移动5cm，得到△A′B′C′，则四边形AA′C′B的周
长是（ ）cm．
A．17 B．19 C．22 D．24
【分析】根据平移的性质得到AA′＝CC＝5cm，A′C＝AC，再由三角形周长公式得到AB+BC+AC＝
12cm，则四边形AA′C′B的周长是AB+BC+CC′+A′C+AA′＝AB+BC+AC+CC′+AA′＝22cm．
【解答】解：由平移的性质可得AA′＝CC＝5cm，A′C＝AC，
∵△ABC的周长为12cm，
∴AB+BC+AC＝12cm，
∴四边形AA′C′B的周长是：
AB+BC+CC′+A′C+AA′＝AB+BC+AC+CC′+AA′＝12+5+5＝22cm，故选：C．
18．如图，直角三角形ABC从点B出发沿着BC方向匀速平移得到三角形DEF，当点E平移至点C时停止
运动．若AB＝6cm，当点G恰好是线段DE三等分点时，四边形DGCF的面积为25cm2，那么平移的距
离是（ ）
25
A．4cm B．5cm或 cm
4
C．6cm D．8cm
【分析】根据平移的性质，证明四边形ABEG是梯形，且梯形ABEG的面积等于四边形DGCF的面积；
由三等分点的定义求出GE，根据梯形面积公式求出BE即可．
【解答】解：∵直角三角形ABC从点B出发沿着BC方向匀速平移得到三角形DEF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴S
Rt△ABC
＝S
Rt△DEF
，AB＝DE，AB∥DE，
∴四边形ABEG是梯形，
∵S梯形ABEG +S Rt△GEC ＝S Rt△GEC +S四边形DGCF ，
∴S梯形ABEG ＝S四边形DGCF ＝25cm2．
∵点G是线段DE三等分点，
2 1
∴GE= DE＝4cm或GE= DE＝2cm．
3 3
1
S梯形ABEG =
2
（GE+AB）•BE，
1
当GE＝4cm时，得 ×（4+6）BE＝25，解得BE＝5；
2
1 25
当GE＝2cm时，得 ×（2+6）BE＝25，解得BE= ，
2 4
25
∴平移的距离是5cm或 cm．
4
故选：B．
【必考点7 平方根与立方根】
19．下列语句：①81的立方根是3，
②❑√16=±4，
③立方根等于平方根的数是1，
④4的算术平方根是2．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐个判断即可．
【解答】解：①27的立方根是3，①不正确；
②❑√16=4≠±4，②不正确；
③立方根等于平方根的数是0，③不正确；
④4的算术平方根是2，④正确．
综上，只有④正确．
故选：D．
20．下列说法不正确的是（ ）
1 1
A． 的平方根是±
25 5
B．﹣9是81的一个平方根
C．0.2的算术平方根是0.04
D．﹣27的立方根是﹣3
【分析】根据平方根的意义，可判断A、B，根据算术平方根的意义．可判断C，根据立方根的意义，
可判断D．
√ 1 1
【解答】解：A、±❑ =± ，故A选项正确；
25 5
B、−❑√81=−9，故B选项正确；
C、❑√0.04=0.2，故C选项错误；
D、√3−27=−3，故D选项正确；
故选：C．
21．下列说法错误的是（ ）
A．4是16的算术平方根
B．2是4的一个平方根
C．0的平方根与算术平方根都是0
D．（﹣3）2的平方根是﹣3【分析】根据算术平方根、平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、4是16的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、2是4的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、（﹣3）2的平方根是±3，原说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
【必考点8 无理数的定义】
1 π
22．有下列各数：0.5，3.1415，√38，❑√5， ， ，2.3030030003（相邻两个3之间0的个数逐次
3 2
增加1），其中无理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据无理数的定义判断即可．
π
【解答】解：∵❑√5， ，2.3030030003（相邻两个3之间0的个数逐次增加1），是无理数，共有3
2
个，
故选：A．
1
23．以下各数﹣3，❑√5， ， ，1.9191191119…（每两个9之间依次多一个1），√3 9，❑√4中，其中无理
7
π
数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据无理数的定义：不能表示成两个整数之商的数即不循环的无限小数即可求解．
【解答】解：❑√4=2，
1
在﹣3，❑√5， ， ，1.9191191119…（每两个9之间依次多一个1），√3 9，❑√4中，无理数有❑√5， ，
7
π π
1.9191191119…（每两个9之间依次多一个1），√3 9，共4个，
故选：B．
22 1 π 1
24．下列一组数﹣8， ，3 ， ， ，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其
7 2 2 3
中无理数的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整
数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．22 1 π 1
【解答】解：在实数﹣8， ，3 ， ， ，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个
7 2 2 3
π
0），中，无理数有 ，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），共2个．
2
故选：C．
【必考点9 无理数的估算】
25．a，b是两个连续整数，若a＜❑√17＜b，则ab是（ ）
A．12 B．13 C．20 D．21
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数❑√17的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵❑√16＜❑√17＜❑√25，即4＜❑√17＜5，
∴a＝4，b＝5，
∴ab＝20．
故选：C．
26．估计❑√23的值应在（ ）
A．3.5和4之间 B．4和4.5之间
C．4.5和5之间 D．5和5.5之间
【分析】运用算术平方根的知识进行估算、求解．
【解答】解：∵4.52＝20.25，52＝25，
且20.25＜23＜25，
∴4.5＜❑√23＜5，
故选：C．
27．正整数a、b分别满足√355＜a＜√3 97、❑√7＜b＜❑√15，则ba＝（ ）
A．16 B．27 C．64 D．81
【分析】根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求值．
【 解 答 】 解 ： ∵ 正 整 数 a 、 b 分 别 满 足 √355＜a＜√3 97、 ❑√7＜b＜❑√15， 且
√355＜√364＜√3 97＜√3125、❑√7＜❑√9＜❑√15，
∴a＝4、b＝3，
∴ba＝34＝81，
故选：D．【必考点10 实数与数轴】
28．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简❑√c2−(❑√a) 2+(√3 a+b) 3得（ ）
A．b﹣c B．﹣2a﹣b﹣c C．b+c D．﹣b﹣c
【分析】根据图示，可得：b＜c＜0＜a，据此化简❑√c2−(❑√a) 2+(√3 a+b) 3即可．
【解答】解：根据图示，可得：b＜c＜0＜a，
∴❑√c2−(❑√a) 2+(√3 a+b) 3
＝﹣c﹣a+（a+b）
＝﹣c﹣a+a+b
＝b﹣c．
故选：A．
29．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点C在数轴上，且表示的数为﹣1．若将正方形ABCD绕点C逆
时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（ ）
A．❑√2−1 B．❑√2+1 C．−❑√2+1 D．−❑√2−1
【分析】根据正方形的面积求出正方形的边长，即可得出 CP的长，从而求得点P在数轴上所对应的
数．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为2，
∴正方形ABCD的边长为❑√2，
即CD＝CP=❑√2，
∵点C表示的数为﹣1，点P在点C的左边，
∴点P表示的数为−❑√2−1，
故选：D．
30．一个正数 x 的两个不同的平方根分别是 2a+3 和 a﹣9．如图，在数轴上表示实数√3 x+3a的点是
（ ）A．点N B．点M C．点Q D．点P
【分析】根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得 2a+3+a﹣9＝0，x＝
（2a+3）2，得出a＝3，x＝16表示出√3 x+3a的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可．
【解答】解：∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a+3和a﹣9，
∴2a+3+a﹣9＝0，x＝（2a+3）2，
解得a＝2，x＝49，
∴√3 x+3a=√3 49+3×2=√355，
∵33＝27，43＝64，
∴√327＜√355＜√364，即3＜√355＜4，
故选：B．
【类型2 计算题篇·22题】
【必考点11 实数的混合运算】
1．计算：
（1）|❑√2−❑√7|+❑√2；
10
（2）❑√13×(❑√13− )−√327．
❑√13
【分析】（1）直接利用绝对值的性质化简，进而利用二次根式的加减运算法则必考点得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则化简，再利用立方根的性质化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式=❑√7−❑√2+❑√2
=❑√7；
（2）原式＝13﹣10﹣3
＝0．
2
√3 √ 27 √ 61
2．计算：❑√(−7) 2+(❑ ) −3− −31+ ．
2 8 64
【分析】先根据算术平方根和立方根的意义化简，再算加减即可．
2
√3 √ 27 √ 61
【解答】解：❑√(−7) 2+(❑ ) −3− −31+
2 8 64
3 3 √125
=7+ −(− )−3
2 2 645
=10−
4
35
= ．
4
3．计算：
（1）|❑√5−3|+|❑√5−2|；
√ 1
（2）❑√16+√3−27−❑7 ．
9
【分析】（1）先化简绝对值，然后利用二次根式的加减运算法则求解即可；
（2）首先必考点算术平方根，立方根，然后必考点加减即可．
【解答】解：（1）|❑√5−3|+|❑√5−2|
=3−❑√5+❑√5−2
＝1；
√ 1
（2）❑√16+√3−27−❑7
9
8
=4+(−3)−
3
5
=− ．
3
4．计算：
（1）❑√9−❑√(−6) 2−√3−27；
√7 √ 1
（2）−3 −1−❑2 +❑√(−2) 2．
8 4
【分析】（1）原式根据算术平方根、立方根的意义化简后即可必考点出答案即可；
（2）原式根据算术平方根、立方根的意义化简后即可必考点出答案即可．
【解答】解：（1）❑√9−❑√(−6) 2−√3−27
＝3﹣6+3
＝0；
√7 √ 1
（2）−3 −1−❑2 +❑√(−2) 2
8 4
√ 1 √9
=−3− −❑ +|﹣2|
8 41 3
= − +2
2 2
＝1．
5．计算：
（1）−12+√327−(−2)×❑√9；
（2）❑√25−√38+(−1) 2022+|3.14−π|．
【分析】（1）先必考点立方根、算术平方根，再进行加减运算；
（2）先必考点立方根、算术平方根，有理数的乘方，去绝对值，再进行加减运算．
【解答】解：（1）−12+√327−(−2)×❑√9
＝﹣12+3+2×3
＝﹣12+3+6
＝﹣3；
（2）❑√25−√38+(−1) 2022+|3.14−π|
＝5﹣2+1+ ﹣3.14
＝0.86+ ．π
π √9 √ 1
6．计算：❑√16+9−❑ +2×❑ −❑√25×❑√4．
4 16
【分析】先算乘法，再算加减即可．
√9 √ 1
【解答】解：❑√16+9−❑ +2×❑ −❑√25×❑√4
4 16
3 1
=❑√25− +2× −❑√25×4
2 4
3 1
＝5− + −10
2 2
3 1
＝5﹣10﹣（ − ）
2 2
＝5﹣10﹣1
＝﹣6．
7．计算．
（1）3(❑√2+❑√3)+|❑√2−❑√3|+2❑√2；√ 1 √ 19
（2）❑2 −31− ．
4 27
【分析】（1）直接利用去括号，再利用二次根式的加减运算法则必考点得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、有理数乘方的性质等知识分别化简得出答案．
【解答】解：（1）3(❑√2+❑√3)+|❑√2−❑√3|+2❑√2
=3❑√2+3❑√3−❑√2+❑√3+2❑√2
=4❑√2+4❑√3；
√ 1 √ 19
（2）❑2 −31−
4 27
√9 √ 8
=❑ −3
4 27
3 2
= −
2 3
5
= ．
6
8．计算：
√ 8 √1
（1）3− ×❑ −❑√(−2) 2．
27 4
（2）√3 (−1)+√3−8+❑√3+3❑√2−|❑√3−❑√2|．
【分析】（1）根据实数的混合运算法则即可求解；
（2）根据实数的混合运算法则即可求解
2 1
【解答】解：（1）原式=− × −2
3 2
1
=−2 ；
3
（2）原式=−1−2+❑√3+3❑√2−❑√3+❑√2
=−3+4❑√2
【必考点12 利用开平方或开立方解方程】
9．求下列各式中x的值．
（1）9x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2＝36．
【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行必考点即可．
【解答】解：（1）移项得，9x2＝25，25
两边都除以9得，x2= ，
9
5
由平方根的定义得，x＝± ；
3
（2）（x﹣1）2＝36，
由平方根的定义得，x﹣1＝±6，
即x＝7或x＝﹣5．
10．求下列各式中x的值：
（1）3x3﹣1＝17；
（2）（x﹣1）2﹣2＝7．
【分析】（1）先移项，再通过求立方根的方法解出x的值；
（2）先移项，再通过求平方根的方法解出x的值．
【解答】解：（1）3x3﹣1＝17，
3x3＝18，
x3＝6，
∴x=√36；
（2）（x﹣1）2﹣2＝7，
（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
∴x＝4或﹣2．
11．求下列各式中x的值：
（1）x2﹣81＝0；
（2）（x﹣2）3＝﹣27．
【分析】（1）根据等式的性质，平方根的定义进行必考点即可；
（2）根据立方根的定义进行必考点即可．
【解答】解：（1）移项，得
x2＝81，
根据平方根的定义可得，
x＝±9；
（2）由立方根的定义可得，
x﹣2＝﹣3，
解得x＝﹣1．12．解方程：
121
（1）x2− =0；
49
1
（2） (x−1) 3=−4．
2
【分析】（1）先移项，再利用平方根的定义开方即可求解；
（2）方程两边同时乘以2，利用立方根定义开立方即可求解．
121
【解答】解：（1）x2− =0，
49
121
x2=
，
49
√121 11
x＝±❑ =± ，
49 7
11 11
故x= 或x=− ；
7 7
1
（2） (x−1) 3=−4，
2
（x﹣1）3＝﹣8，
x﹣1=√3−8=−2，
故x＝﹣1．
13．解方程：
（1）2x2＝18
（2）3（x+1）3+81＝0
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）2x2＝18，
x2＝9，
x＝±3，
（2）3（x+1）3+81＝0，
3（x+1）3＝﹣81，
（x+1）3＝﹣27，
x+1＝﹣3，
x＝﹣4．14．求下列各式中x的值．
（1）4x2﹣9＝0；
（2）64（x﹣2）3﹣1＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，则x为a的平方根，据此解
答即可；
（2）根据立方根的定义：如果一个数的立方等于a，则这个数为a的立方根，据此解答即可．
【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，
移项得：4x2＝9，
9
系数化为1得：x2=
，
4
√9 3
∴x=±❑ =± ；
4 2
（2）64（x﹣2）3﹣1＝0，
移项得：64（x﹣2）3＝1，
1
系数化为1得：(x−2) 3= ，
64
√ 1 1
∴x−2=3 = ，
64 4
1
∴x=2 ．
4
15．求下列各式中x的值．
（1）9x2＝4；
（2）2（x+3）3+54＝0．
【分析】（1）先系数化为1，再根据平方根定义进行解答；
（2）先移项，再利用立方根的定义开立方求出答案．
【解答】解：（1）9x2＝4
4
∴x2=
9
2 2
解得：x = ，x =−
1 3 2 3
（2）2（x+3）3+54＝0
2（x+3）3＝﹣54
（x+3）3＝﹣27∴x+3＝﹣3，解得：x＝﹣6
16．求下列各式中x的值．
（1）16（x﹣4）2＝4；
（2）（x+1）3﹣3＝﹣67．
【分析】（1）先整体求得（x﹣4）2，然后再根据平方根求得x﹣4，进而完成解答；
（2）先整体求得（x+1）3，然后再根据平方根求得x+1，进而完成解答．
【解答】解：（1）16（x﹣4）2＝4
1
(x−4) 2=
4
1
x−4=±
2
1 1
所以x=3 或x=4 ．
2 2
（2）（x+1）3﹣3＝﹣67
（x+1）3＝﹣64
x+1＝﹣4
x＝﹣5．
【必考点13 利用平方根与立方根性质求值】
17．解答题．
（1）一个正数a的平方根是2x﹣4与3﹣x，则a是多少？
（2）已知a、b满足❑√2a+8+|b−❑√3|=0，求a+2b2的平方根．
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出x的值，进而求出a的值；
（2）根据非负性，求出a，b的值，再进行必考点即可．
【解答】解：（1）由题意，得：2x﹣4+3﹣x＝0，
解得：x＝1，
∴a＝（3﹣x）2＝22＝4；
（2）∵❑√2a+8+|b−❑√3|=0，
∴2a+8=0，b−❑√3=0，
∴a=−4，b=❑√3，
∴±❑√a+2b2=±❑√−4+2×3=±❑√2．
18．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是❑√13的整数部分，求2a+b﹣c2的平方根．【分析】根据平方根、立方根、算术平方根，即可解答．
【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是3，
∴2a﹣1＝9，
∴a＝5，
∵3a+b﹣9的立方根是2，
∴3a+b﹣9＝8，
∴b＝2，
∵c是❑√13的整数部分，3＜❑√13＜4，
∴c＝3，
∴2a+b﹣c2＝2×5+2﹣32＝3，
∴2a+b﹣c2的平方根是±❑√3．
19．（1）一个正数的两个不同的平方根是2a﹣4与﹣3﹣a，b的立方根是﹣2，求﹣2b﹣a的平方根．
（2）已知a、b满足❑√2a+24+|b−❑√2|=0，求a+2b2的立方根．
【分析】（1）根据平方根和立方根的概念确定a和b的值，然后代入求解；
（2）根据算术平方根和绝对值的非负性确定a和b的值，然后代入求解．
【解答】解：（1）∵一个正数的两个不同的平方根是2a﹣4与﹣3﹣a，b的立方根是﹣2，
∴2a﹣4+（﹣3﹣a）＝0，b＝（﹣2）3，
解得a＝7，b＝﹣8，
∴﹣2b﹣a＝﹣2×（﹣8）﹣7＝9，
∴﹣2b﹣a的平方根为±3；
（2）∵❑√2a+24+|b−❑√2|=0，且❑√2a+24≥0，|b−❑√2|≥0，
∴2a+24＝0，b−❑√2=0，
解得a＝﹣12，b=❑√2，
∴a+2b2=−12+2×(❑√2) 2=−8，
∴a+2b2的立方根为﹣2．
20．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义即可求出a，b的值；
（2）把a＝5，b＝2代入a﹣2b求出代数式的值，再求它的算术平方根即可．【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
∴a＝5，
∵3a+b+10的立方根是3，
∴3a+b+10＝27，
∴15+b+10＝27，
∴b＝2；
（2）把a＝5，b＝2代入a+b得：a+b＝5+2＝7，
a+b的算术平方根是❑√7．
21．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是❑√13的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值；
（2）利用（1）中所求，代入求出答案．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是❑√13的整数部分，
∴c＝3；
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
22．已知a，b，c满足以下条件：
①一个正数a的两个平方根分别是2b+4和﹣b﹣8；
②√3 b+6+√3 c−11=0．
（1）求a，b，c；
（2）求：a2+b2+c2的算术平方根的小数部分．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到 2b+4﹣b﹣8＝0，则b＝4，进而可得a＝
（2b+4）2＝144，再由√3 b+6+√3 c−11=0可得b+6＝﹣c+11，即可求出c＝1；
（2）根据（1）所求得到a2+b2+c2＝20753，再推出144＜❑√20753＜145，据此可得答案．
【解答】解：（1）∵一个正数a的两个平方根分别是2b+4和﹣b﹣8，
∴2b+4﹣b﹣8＝0，∴b＝4，
∴2b+4＝12，
∴a＝（2b+4）2＝144；
∵√3 b+6+√3 c−11=0，
∴√3 b+6=−√3 c−11
∴b+6＝﹣c+11，即4+6＝﹣c+11，
∴c＝1；
（2）由（1）得a2+b2+c2＝1442+42+12＝20753，
∵1442＜20753＜1452＝21025，
∴144＜❑√20753＜145，
∴a2+b2+c2的算术平方根的整数部分为144，
∴a2+b2+c2的算术平方根的小数部分为❑√20753−144．
【类型3 作图题篇·9题】
【必考点14 格点平移作图】
1．画图并填空：如图，三角形ABC的顶点都在方格纸的格点上，每个格子的边长为1个单位长度，将三
角形ABC向上平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′．
（1）在图中作出三角形ABC边AB上的高CD；
（2）在图中画出平移后的三角形A′B′C′；
（3）三角形ABC的面积为 ；
（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是 ．
【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（3）根据三角形的面积公式必考点即可．
（4）利用平移的性质判断即可．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
1 1
（3）S△ABC =
2
AB•CD =
2
×4×4＝8，
故答案为：8；
（4）AA′＝CC′，AA′∥CC′，
故答案为：AA′＝CC′，AA′∥CC′．
2．如图，每个小正方形的边长为1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）：
（1）在方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'，画出
三角形A'B'C'；
（2）过点A画线段AD使AD∥BC且AD＝BC；
（3）图中AD与C′B'的关系是 ；
（4）点E在线段AD上，CE＝4，点H是直线CE上一动点，线段BH的最小值为 ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用数形结合的思想作出图形即可；
（3）根据平移变换的性质判断即可；
（4）根据垂线段最短，面积法求解．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）如图，线段AD即为所求；
（3）由平移变换的性质可知AD∥B′C′，AD＝B′C′．
故答案为：AD∥B′C′，AD＝B′C′．
（4）当BH⊥CE时，BH的值最小．
1 1 1 1
∵S△CBE ＝S△ACB =
2
×5×5−
2
×1×4﹣1×1−
2
×1×4 =
2
•CE•BH，
15
∴BH= ，
4
15
∴BH的最小值为 ．
4
15
故答案为： ．
4
3．如图，将四边形ABCD进行平移后，使点A的对应点为点A′，
（1）请你画出平移后所得的四边形A′B′C′D′；
（2）若每个小正方形的面积为1，线段AB在平移中扫过的面积是 ；
（3）直线CD上有一点P，三角形BCP与四边形ABCD面积恰好相等．在图中标出点P的位置．
【分析】（1）根据点A与点A′的位置判断出平移方式，进而找到B、C、D对应点B′、C′、D′的
位置，然后顺次连接A′、B′、C′、D′即可；
（2）线段AB在平移中扫过的面积即为四边形A′B′BA的面积，据此利用割补法求解即可；
（3）先求出四边形ABCD的面积，再根据三角形BCP中CP边上的高为3进行求解即可．【解答】解：（1）如图1所示，四边形A′B′C′D′即为所求；
（2）如图2所示，线段AB在平移中扫过的面积即为四边形A′B′BA的面积，
1 1 1 1
∴线段AB在平移中扫过的面积=6×4− ×2×5−1×2− ×1×2− ×2×5−1×2− ×1×2=8
2 2 2 2
，
故答案为：8；
1 1 15
（3）S = ×3×2+ ×3×3= ，
四 边 形ABC2D 2 2
15
∴S = ，
△BCP 2
如图所示，点P ，P 即为所求．
1 24．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示．
现将三角形ABC平移，使点A移动到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形DEF；
（2）直接写出三角形ABC的面积为 ；
（3）连接AD、BE，直接写出AD与BE的位置关系： ；
（4）线段AB扫过的图形的面积为 ．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）根据平移的性质可得答案．
（4）利用割补法求出四边形ABED的面积，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，三角形DEF即为所求．1 1 1
（2）三角形ABC的面积为 ×(2+4)×4− ×4×1− ×2×3=12﹣2﹣3＝7．
2 2 2
故答案为：7．
（3）由平移得，AD与BE的位置关系是平行．
故答案为：平行．
1 1 1 1
（4）线段AB扫过的图形的面积为S四边形ABED ＝8×6−
2
×6×2−
2
×2×4−
2
×6×2−
2
×2×4= 48﹣
6﹣4﹣6﹣4＝28．
故答案为：28．
5．如图，在一个6×6的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角
形称为格点三角形，图中△ABC就是一个格点三角形．
（1）△ABC的面积为 平方单位；
（2）请用无刻度直尺按要求在网格中画图（保留画图痕迹）．
①如图1，在格点上找一点D，连AD，使AD∥BC；
②如图2，在AB边上找一点E，连CE，使△ACE和△BCE的面积相等；
③如图3，画格点△PBC，使△PBC和△ABC的面积相等（画出一个即可）．
【分析】（1）利用分割法求解即可．
（2）①取格点D，连接AD，线段AD即为所求．
②取AB的中点E，作线段CE即可．
③取格点P，连接CP，BP即可．
1 1 1
【解答】解：（1）S△ABC ＝4×5−
2
×4×3−
2
×1×4−
2
×5×1＝9.5．
故答案为：9.5；
（2）①如图，线段AD即为所求．
②如图，线段CE即为所求．③如图，△PBC即为所求．
6．如图，下列网格是边长为1个单位长度的小正方形组成，按照要求完成作图，结果用实线表示．
（1）如图1，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC平移得到△DEF，B点的对应点是点 E，画出
△DEF，并直接写出△ABC的面积；
（2）如图2，直线L 经过格点A、B，过点A作直线L ⊥L ，作直线L ∥L ，画出直线L ，L ，若继续
1 2 1 3 2 2 3
作L ，L ，L ，L …，按此规律，则L 与L ，L 与L 的位置关系分别是L L ，L
4 5 6 7 9 12 100 2023 9 12 100
L ．
2023
【分析】（1）利用点B的平移规律作图即可；
（2）利用网格特点作图作出直线 L ⊥L ，L ∥L ，利用平行线的判定和性质得到 L ，L ，L ，
2 1 3 2 4 5 6
L ，……，所以可得到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，据此进行求解即可得到答案．
7
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求，1 1 1
△ABC的面积＝3×6− ×2×3− ×2×4− ×1×6＝8；
2 2 2
（2）如图所示，直线L ∥L 即为所求，
3 2
∵L ∥L ，L ⊥L ，
3 2 2 1
∴L ⊥L ，
3 1
∵L ⊥L ，
3 4
∴L ∥L ，
1 4
∵L ∥L ，
4 5
∴L ∥L ，
5 1
∵L ⊥L ，
5 6
∴L ⊥L ，
6 1
∵L ∥L ，
7 6
∴L ⊥L ，
7 1
所以可得到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，
∵（9﹣1）÷4＝2，
∴根据规律得到L ∥L ，
1 9∵（12﹣1）÷4＝2…3，
∴根据规律得到L ∥L ，
1 12
∴L ⊥L ，
9 12
∵（100﹣1）÷4＝24…3，
∴L ∥L ，
1 100
∵（2023﹣1）÷4＝505…2，
∴L ⊥L ，
1 2023
∴L ⊥L ，
100 2023
故答案为：∥，⊥．
【必考点15 利用算术平方根解图形裁剪问题】
7．如图，小丽想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它
的长宽之比为5：4，她不知能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“一定能用一块面积大的纸片裁
出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【分析】设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm．依题意得出方程5x•4x＝800，求出长方形的边长，求
出正方形边长，再比较即可．
【解答】解：不同意，
设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm．依题意，
5x•4x＝800，
x=❑√40，
即长方形的长为5❑√40cm，
∵40＞36，
∴❑√40＞6，
∴5❑√40＞30，
∵❑√900=30，
∴正方形的边长只有30cm，
∴长方形纸片的长超过了正方形纸片的长，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
8．如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形．（1）则大正方形的边长是 ；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积
为360cm2？
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【解答】解：（1）大正方形的边长是❑√200×2=❑√400=20（cm）；
故答案为：20cm；
（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x•3x＝360，
解得：x=❑√30，
4x＝4❑√30=❑√480＞20，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为 4：3，且面积为
360cm2．
9．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1（dm2）的小正方形纸片剪拼成一个面积
为n（dm2）的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
（1）如图1，当n＝2时，拼成的大正方形ABCD的边长为 ；
如图2，当n＝5时，拼成的大正方形A B C D 的边长为 ；
1 1 1 1
如图3，当n＝10时，拼成的大正方形A B C D 的边长为 ；
2 2 2 2
（2）小李想沿着正方形纸片A B C D 边的方向能否裁出一块面积为2.42（dm2）的长方形纸片，使它
1 1 1 1
的长宽之比为2：1？他能裁出吗？请说明理由．
（3）小周想沿着正方形纸片A B C D 边的方向能否裁出一块面积为4.86（dm2）的长方形纸片，使它
2 2 2 2
的长宽之比为3：2，且要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）①先得出n＝2时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；②先得出n＝5时图
形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；③先得出n＝10时图形的面积，然后根据正方形的性
质，求得边长；
（2）假设可行，设长方形的长宽分别为2x和x，则根据面积可求得x的值，发现2x的值比正方形的边
长小，故可能；
（3）假设可行，设长方形的长宽分别为3x和2x，则根据面积可求得x的值，3x＝2.7，发现加边框后的
长至少要2.7+2×0.3＝3.3（dm），3.3dm比正方形的边长大，故不可能．
【解答】解：（1）当n＝2时，则正方形的面积为2dm2，边长为❑√2dm；
当n＝5时，则正方形的面积为5dm2，边长为❑√5dm；
当n＝10时，则正方形的面积为10dm2，边长为❑√10dm．
（2）能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为2x dm，则宽为x dm，
∴2x•x＝2.42，
解得：x＝1.1，
∴2x=2.2=❑√4.84＜❑√5，
∴能裁出这样的长方形．
（3）不能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为3x dm，则宽为2x dm，
∴3x•2x＝4.86，
解得：x＝0.9，
∴3x＝2.7，
又∵要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框，
因此加边框后的长至少要2.7+2×0.3＝3.3（dm），
∵3.3=❑√3．32=❑√10.89＞❑√10，
∴不能裁出这样的长方形．
【类型4 中档题篇·30题】
【必考点16 探究两个角的两边的关系】
1．若∠ 与∠ 的两边分别平行，且∠ ＝（2x+10）°，∠ ＝（3x﹣20）°，则∠ 的度数为（ ）
A．7α0° β B．30° α C．70°或8β6° D．30°或38α°【分析】根据已知得出（2x+10）+（3x﹣20）＝180或2x+10＝3x﹣20，求出x，代入求出即可．
【解答】解：∵∠ 与∠ 的两边分别平行，且∠ ＝（2x+10）°，∠ ＝（3x﹣20）°，
∴（2x+10）°+（3xα﹣20）β°＝180°或2x°+10°＝3x°α﹣20°， β
x＝38°或x＝30°，
当x＝38°时，∠ ＝86°，
当x＝30°时，∠α＝70°．
故选：C． α
2．如果角 和角 的两边分别平行，且满足2 ＝ +40°，则角 的度数是 ．
【分析】α根据题β意分情况讨论，利用平行线α的性β质和邻补角的α 概念求解．
【解答】解：∵ 与 的两边分别平行，
∴ + ＝180°或者α ＝β ，
∵α2 ＝β +40°， α β
∴ α＝2β﹣40°，
当β+ ＝α180°时，
+2α ﹣β 40°＝180°，
α α 220
∴α=( )°，
3
当 ＝ 时，
＝α2 ﹣β 40°，
α∴ ＝α40°，
α 220
∴α=( )°或40°．
3
220
故答案为：( )°或40°．
3
3．∠A的两边与∠B的两边分别平行，且3∠A﹣∠B＝60°，则∠B的度数为 ．
【分析】根据已知得出∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，和已知组成方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：∵∠A的两边与∠B的两边分别平行，
∴∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，
∵3∠A﹣∠B＝60°，
∴∠A＝30°，∠B＝30°或∠A＝60°，∠B＝120°
故答案为：30°或120°
4．已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍多30°，则∠COD的度数为．
【分析】有两种情况：①如图1，根据∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，列方程可得结论；②如图2，根据
∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，列方程可得结论．
【解答】解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝（2x+30）°，
分两种情况：①如图1，
∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，
∴∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，
即2x+30＝90+90﹣x，
解得x＝50，
∴∠COD＝2×50°+30°＝130°；
②如图2，
∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，
∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，
∴x+90＝2x+30+90，
x＝﹣30，不合题意，
综上所述，∠COD的度数为130°，故答案为：130°．
【必考点17 平行线中折叠问题】
5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G
点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝ ．
【分析】先根据平行线的性质求得∠DEF的度数，再根据折叠求得∠DEG的度数，最后计算∠AEG的
大小．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠GFE＝56°，
由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝56°，
∴∠DEG＝112°，
∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°．
故答案为：68°
6．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别落在D'，C'的位置，与BC的交点为G．若
∠EFG＝x°，则∠3﹣∠2为 ．（用含x的式子表示）
【分析】由折叠的性质可得∠3＝2x°，根据平行线的性质可求得∠2，即可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝x°
由题意可知∠1＝∠DEF＝x°，
∴∠2＝180°﹣2x°，
∵AD∥BC，∴∠3＝180°﹣∠2
＝2x°，
∴∠3﹣∠2＝2x°﹣（180°﹣2x°）＝（4x﹣180）°，
故答案为：（4x﹣180）°．
7．如图①是长方形纸带，∠DEF＝ ，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的
∠CFE的度数是 ． α
【分析】由AD∥BC，利用平行线的性质可得出∠BFE和∠CFE的度数，再结合∠CFG＝∠CFE﹣
∠BFE及∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE，即可找出∠CFE的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝ ，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣ ，
∴∠CFG＝∠CFE﹣α∠BFE＝180°﹣ ﹣ ＝180°﹣2 ，α
∴∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE＝180°﹣α2 ﹣α ＝180°﹣α3 ．
故答案为：180°﹣3 ． α α α
8．如图，在四边形ABαCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，EF为
1
折痕，FH交CD于点K．若∠CKF＝40°，则180°− (∠A+∠GED)= °．
2
【分析】首先判定四边形ABCD是平行四边形，得到∠A＝∠C，AD∥BC，再根据折叠变换的性质和平
行线的性质将角度转化求解．
【解答】解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°，
∴∠A＝∠C，根据翻转折叠的性质可知，∠AEF＝∠GEF，∠EFB＝∠EFK，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，∠AEF＝∠EFC，
∴∠GEF＝∠AEF＝∠EFC，∠DEF＝∠EFB＝∠EFK，
∴∠GEF﹣∠DEF＝∠EFC﹣∠EFK，
∴∠GED＝∠CFK，
∵∠C+∠CFK+∠CKF＝180°，
∴∠C+∠CFK＝140°，
∴∠A+∠GED＝140°，
1 1
则180°− (∠A+∠GED)=180°− ×140°=110°，
2 2
故答案为：110．
【必考点18 平行线中拐点问题】
1 1
9．如图，AB∥ED，∠ABF= ∠ABC，∠EDF= ∠CDE，若∠BCD＝90°，则∠F的度数为（ ）
3 3
A．90° B．60° C．70° D．80°
【分析】过C作CK∥AB，延长BF交DE于L，得到CK∥ED，推出∠ABC+∠CDE+∠BCD＝360°，得
1
到∠ABC+∠CDE＝270°，因此∠ABF+∠EDF= （∠ABC+∠CDE）＝90°，由三角形外角的性质即可求
3
解．
【解答】解：过C作CK∥AB，延长BF交DE于L，
∵AB∥DE，
∴CK∥ED，
∴∠ABC+∠BCK＝180°，∠DCK+∠CDE＝180°，
∴∠ABC+∠BCK+∠DCK+∠CDE＝360°，
∴∠ABC+∠CDE+∠BCD＝360°，
∵∠BCD＝90°，∴∠ABC+∠CDE＝270°，
1 1
∵∠ABF= ∠ABC，∠EDF= ∠CDE，
3 3
1
∴∠ABF+∠EDF= （∠ABC+∠CDE）＝90°，
3
∵AB∥ED，
∴∠FLD＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠FLD+∠EDF＝90°．
故选：A．
10．如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE、∠DCE，若∠AEC＝
，则∠AFC的度数用含 的式子表示为（ ）
α α
1 1
A． α B．90°− α C．120°﹣2 D．180°﹣3
2 2
α α
【分析】过E作EG∥AB，进而利用两直线平行，内错角相等和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD∥AB，
∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝ ，
同理可得，∠AFC＝∠BAF+α∠DCF，
∵AF、CF分别平分∠BAE、∠DCE，
1 1
∴∠BAF= ∠BAE，∠DCF= ∠DCE，
2 21
∴∠AFC= α，
2
故选：A．
11．已知直线AB∥DE，∠CBM＝m∠ABM，∠CDN＝m∠NDE，射线BM，DN的反向延长线交于点F，若
4∠F+∠C＝540°，则m的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【分析】设∠ABM＝ ，∠NDE＝ ，推出∠F＝180°﹣（ + ），∠C＝﹣∠F+m（ + ），据此列式计
算即可求解． α β α β α β
【解答】解：延长ED，如图，
设∠ABM＝ ，∠NDE＝ ，则∠CBM＝m ，∠CDN＝m ，
∵AB∥DE，α β α β
∴∠HGB＝ ，
∴∠F＝180α°﹣（ + ），∠FBC＝180°﹣m ，∠FDC＝180°﹣m ，
∴∠C＝360°﹣∠αF﹣β（180°﹣m ）﹣（180α°﹣m ） β
＝﹣∠F+m（ + ）， α β
∵4∠F+∠C＝α54β0°，即3∠F+m（ + ）＝540°，
∴3×[180°﹣（ + ）]+m（ + ）＝α54β0°，
∴（m﹣3）（α+β）＝0，α β
∵ + ≠0， α β
∴αm﹣β3＝0，解得m＝3，
故选：B．
12．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝
42°，则∠E的度数为（ ）度
A．46 B．72 C．88 D．96
【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝ ＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝
＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝42°，即可得到∠E的度数α． β
【解答】解：如图，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF＝∠EBF＝ ＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝ ＝∠CFH，
∴∠ECF＝180°﹣ ，∠BαFC＝∠BFH﹣∠CFH＝ ﹣ ，β
∴四边形BFCE中β，∠E+∠BFC＝360°﹣ ﹣（18α0°﹣β ）＝180°﹣（ ﹣ ）＝180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC＝180°，① α β α β
又∵∠E﹣∠BFC＝42°，
∴∠BFC＝∠E﹣42°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣42°）＝180°，
解得∠E＝88°，
故选：C．13．已知AB∥CD．
（1）如图1所示，判断∠APC，∠A，∠C之间的数量关系并说明理由；
（2）如图2所示，判断∠APC，∠A，∠C之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，设∠ABM＝ ，∠DNM＝ ，∠CDN＝ ．请直接写出∠BMN的大小（用含 ， ， 的式
子表示）． α β γ α β γ
【分析】（1））作PQ∥AB，如图，利用平行线的判定和性质解答即可得出结论；
（2）如图，过点P作PE∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可得出结论；
（3）过点M作MG∥AB，过点N作NH∥AB，根据平行线的判定和性质可求得∠1＝180°﹣ ，∠3＝
，∠2＝ ﹣∠3＝ ﹣ 然后根据∠BMN＝∠1+∠2可得答案； α
γ【解答】解β ：（1）β∠AγPC+∠A+∠C＝360°，理由如下：
如图，作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ+∠C＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠CPQ+∠C＝360°，
即∠APC+∠A+∠C＝360°；
（2）∠APC＝∠A+∠C理由如下：
如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，
∴∠A＝∠EPA，∠EPC＝∠C，
∴∠APC＝∠EPA+∠EPC，
∴∠APC＝∠A+∠C；
（3）如图，过点M作MG∥AB，过点N作NH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MG∥NH∥CD，
∴∠ABM+∠1＝180°，∠2＝∠4，∠3＝∠D，
∵∠ABM＝ ，∠DNM＝ ，∠CDN＝ ，
∴∠1＝180°α﹣ ，∠3＝ β，∠2＝ ﹣∠γ3＝ ﹣ ，
∴∠BMN＝∠1α+∠2＝18γ0°﹣ + ﹣β ． β γ
【必考点19 相交线中求角度问α题β】 γ
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF＝66°，则∠BOC＝
°．
【分析】设∠AOE＝ ，∠BOF＝ ，根据∠AOE+∠BOF＝66°，得 + ＝66°，则 ＝66°﹣ ，再根据角
平分线的定义得∠DOαB＝2 ，再由β OE⊥CD得∠EOD＝90°，由平角α的β定义得∠AOβE+∠EOαD+∠DOB＝
180°，即 +2 ＝90°，将 ＝β 66°﹣ 代入可得 ＝42°，进而可求出∠AOD＝132°，然后再根据对顶角相
等可得∠BαOCβ的度数． β α α
【解答】解：设∠AOE＝ ，∠BOF＝ ，
∵∠AOE+∠BOF＝66°，α β
∴ + ＝66°，
α β∴ ＝66°﹣ ，
∵βOF平分∠αBOD，
∴∠DOF＝∠BOF＝ ，
∴∠DOB＝∠DOF+∠βBOF＝2 ，
∵OE⊥CD， β
∴∠EOD＝90°，
∵∠AOE+∠EOD+∠DOB＝180°，
∴ +90°+2 ＝180°，
∴α+2 ＝9β0°，
∴α+2β（66°﹣ ）＝90°，
解α得： ＝42°，α
即∠AOαE＝42°，
∴∠AOD＝∠AOE+∠EOD＝42°+90°＝132°，
∴∠BOC＝∠AOD＝132°．
故答案为：132．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°．
求：（1）∠BOD的度数；
（2）∠COE的度数．
【分析】（1）根据角平分的定义和对顶角相等可得答案；
（2）根据垂直的定义得∠AOE＝90°，然后由角的和差关系可得答案．
【解答】解：（1）∵射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°，
∴∠AOC＝2∠AOF＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°；
（2）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠COE＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°．16．如图，直线AB、CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝44°．
（1）求∠COE的度数；
（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．
【分析】（1）根据邻补角的定义得出∠AOD＝136°，然后根据角平分线的定义即可求解；
（2）由（1）可得∠AOE＝68°，根据垂直的定义得出∠AOF＝90°，结合图形分类讨论，根据∠EOF＝
∠AOF﹣∠AOE与∠EOF＝∠AOF+∠AOE，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝44°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝136°，
∵OE平分∠AOD，
1
∴∠DOE=∠AOE= ∠AOD=68°；
2
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣68°＝112°；
（2）如图所示，
①当射线OF在∠DOE内部时，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝90°﹣68°＝22°．
②当射线OF在∠BOC内部时，∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝90°+68°＝158°，
综上所述，∠EOF＝22°或158°．
17．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数；
（2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠AOF＝∠DOF，利用∠COF＝∠COA+∠AOF计算即可得
解；
（2）根据∠AOC：∠COE＝2：3 与∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，求出∠AOC，再利用
∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°解答即可．
【解答】解：（1）∵OF平分∠AOD，∠BOD＝40°，
∴∠AOF＝∠DOF＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵∠COA＝40°，
∴∠COF＝∠COA+∠AOF＝40°+70°＝110°；
（2）∵∠AOC：∠COE＝2：3，
3
设∠AOC＝x，则∠COE= x，
2
∵∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，
3
∴x+ x+90°＝180°，
2
解得：x＝36°，
∵∠BOD＝∠AOC＝36°，∠AOF＝∠DOF，
∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°，∴2∠DOF+36°＝180°，
解得：∠DOF＝72°．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数．
【分析】（1）利用角平分线的性质结合已知得出∠DOE的度数，进而得出答案；
（2）利用角平分线的性质结合已知表示出∠DOE、∠COF的度数，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠EOF＝55°，OD⊥OF，
∴∠DOE＝35°，
∴∠BOE＝35°，
∴∠AOC＝70°；
（2）∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠EOF，
∵∠BOF＝15°，
∴设∠DOE＝∠BOE＝x，
则∠COF＝x+15°，
∴x+15°+x+15°+x＝180°，
解得：x＝50°，
故∠DOE的度数为：50°．【必考点20 完善平行线证明中推理根据】
19．如图，已知∠3＝∠C，∠ADF+∠EFD＝180°，证明∠1＝∠2的过程如下，请填上推理的根据．
证明：∵∠3＝∠C（已知），
∴AC∥DG（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠2＝∠4（ 两直线平行，内错角相等 ），
∵∠ADF+∠EFD＝180°（已知），
∴AD∥EF（ 同旁内角互补，两直线平行 ），
∴∠1＝∠4（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
【分析】证明AC∥DG得∠2＝∠4，证明AD∥EF得∠1＝∠4，等量代换可证结论成立．
【解答】证明：∵∠3＝∠C（已知），
∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∵∠ADF+∠EFD＝180°（已知），
∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线
平行，同位角相等．
20．如图，已知CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D，F，∠B+∠BDG＝180°，试说明∠BEF＝∠CDG．将
下面的解答过程补充完整．证明：CD⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴EF∥CD （ 垂直同一条直线的两条直线平行 ）
∴∠BEF＝ ∠ BCD （ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥DG （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠CDG＝ ∠ BCD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠CDG＝∠BEF （ 等量代换 ）
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
【解答】证明：CD⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴EF∥CD（垂直同一条直线的两条直线平行），
∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B+∠BDG＝180°（已知），
∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠CDG＝∠BEF（等量代换），
故答案为：垂直同一条直线的两条直线平行；∠BCD；两直线平行，同位角相等；同旁内角互补，两直
线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；等量代换．
21．请把下面证明过程补充完整．
如图，已知AD⊥BC于点D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于点C，交AC于点F，∠E＝∠1．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 垂直的定义 ）．
∴AD∥EG（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠1＝ ∠ 2 （ 两直线平行，内错角相等 ），
∠E＝ ∠ 3 （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3（ 等量代换 ）．∴AD平分∠BAC（ 角平分线定义 ）．
【分析】结合图形利用平行线的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义）．
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线定义）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠2，两直线平行，内错角相等；∠3，两直线平
行，同位角相等；等量代换；角平分线定义．
22．如图，点G，D，F共线，且∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，求证：∠AED＝∠4．
证明：∵∠1+∠BDF＝180°，∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠BDF（ 同角的补角相等 ），
∴EF∥AB（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠3＝∠ADE（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE（ 等量代换 ）．
∴DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠AED＝∠ACB（ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠ACB＝∠4（ 对顶角相等 ）．
∴∠AED＝∠4（ 等量代换 ）．【分析】证明EF∥AB，得∠3＝∠ADE，再证明∠B＝∠ADE，则DE∥BC，得∠AED＝∠ACB，然后
由∠ACB＝∠4，即可得出结论．
【解答】解：∵∠1+∠BDF＝180°，∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠BDF（同角的补角相等），
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE（等量代换）．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
∵∠ACB＝∠4（对顶角相等）．
∴∠AED＝∠4（等量代换）．
故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角
相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换．
【必考点21 平行线的性质与判定证明】
23．已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝
180°．求证：∠EFC＝∠A．
【分析】由AB∥DC可得到∠A与∠D的关系，再由∠CEF+∠BOD＝180°可得到∠CEF＝∠COD，根据
平行线的判定定理可得EF∥AD，可得∠D与∠EFC的关系，等量代换可得结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，
∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°，
∴∠CEF＝∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠EFC＝∠A．
24．如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2，试说明：DM∥BC．
【分析】证出 BD∥EF，由平行线的性质得出∠2＝∠CBD，∠1＝∠CBD，证出GF∥BC，再证出
MD∥GF，即可得出DM∥BC．
【解答】解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，
∴∠2＝∠CBD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CBD，
∴GF∥BC，
∵∠AMD＝∠AGF，
∴MD∥GF，
∴DM∥BC．
25．如图，已知∠1，∠2互为补角，且∠3＝∠B，
（1）求证：∠AFE＝∠ACB；
（2）若CE平分∠ACB，且∠1＝80°，∠3＝45°，求∠AFE的度数．【分析】（1）求出DF∥AB，推出∠3＝∠AEF，求出∠B＝∠AEF，得出FE∥BC，根据平行线性质求
出即可；
（2）求出∠FED＝80°﹣45°＝35°，根据平行线性质求出∠BCE＝∠FED＝35°，求出∠ACB＝2∠BCE＝
70°，根据平行线性质求出即可．
【解答】（1）证明：∵∠1+∠FDE＝180°，∠1，∠2互为补角，
∴∠2＝∠FDE，
∴DF∥AB，
∴∠3＝∠AEF，
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠AEF，
∴FE∥BC，
∴∠AFE＝∠ACB；
（2）解：∵∠1＝80°，∠3＝45°，
∴∠FED＝80°﹣45°＝35°，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FED＝35°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCE＝70°，
∴∠AFE＝∠ACB＝70°．
26．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）AD与EC平行吗？请说明理由；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝75°，求∠FAB的度数．【分析】（1）由∠1＝∠BDC可得AB∥CD，进一步可推得∠ADC+∠3＝180°，即可证明AD∥CE；
（2）由角平分线的定义可得∠ADC＝37.5°，结合（1）的结论可推得∠2＝∠ADC＝37.5°，根据两直线
垂直的定义可得∠DAF＝90°，由此即得答案．
【解答】解：（1）AD∥CE，理由如下：
∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°，
∴AD∥CE；
（2）∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC＝75°，
1
∴∠ADC= ∠BDC=37.5°，
2
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC＝37.5°，
∵DA⊥FA，
∴∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAF﹣∠2＝52.5°．
27．如图，已知D是AE上一点，C是BF上一点，∠ABC＝∠ADC，∠F＝∠EDF．
（1）如图（1），求证：AB∥CD；
（2）如图（2），连接BD，BD⊥DF，∠EDF＝n∠CDF．
①当n＝1时，求证：BD平分∠ABC；
②若∠ADB+∠BCD＝150°．直接用含n的式子表示∠A的大小．【分析】（1）利用内错角相等，两直线平行可得AE∥BF，从而可得∠ADC＝∠DCF，然后根据等量代
换可得∠ABC＝∠DCF，从而利用同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答；
（2）①根据已知可得∠CDF＝∠F，再根据垂直定义可得∠BDF＝90°，从而可得∠BDC+∠CDF＝
90°，∠DBF+∠F＝90°，进而利用等角的余角相等可得∠BDC＝∠DBF，然后利用平行线的性质可得
∠ABD＝∠BDC，从而可得∠ABD＝∠DBF，即可解答；
②先利用平行线的性质可得∠ADC+∠BCD＝180°，从而可得∠BDC＝30°，进而可得∠CDF＝60°，然
后根据已知可得∠EDF＝n∠CDF，从而可得∠CDE＝60°（1+n），最后利用平行线的性质可得∠A＝
∠CDE＝60°（1+n），即可解答．
【解答】（1）证明：∵∠F＝∠EDF，
∴AE∥BF，
∴∠ADC＝∠DCF，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠DCF，
∴AB∥CD；
（2）①证明：∵∠EDF＝∠CDF，∠F＝∠EDF，
∴∠CDF＝∠F，
∵BD⊥DF，
∴∠BDF＝90°，
∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠DBF+∠F＝90°，
∴∠BDC＝∠DBF，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴BD平分∠ABC；
②解：∠A＝60°（1+n），
理由：∵AE∥BF，∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ADB+∠BDC+∠BCD＝180°，
∵∠ADB+∠BCD＝150°，
∴∠BDC＝30°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠CDF＝∠BDF﹣∠BDC＝60°，
∵∠EDF＝n∠CDF，
∴∠CDE＝∠CDF+∠EDF＝60°+60°n＝60°（1+n），
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDE＝60°（1+n）．
【必考点22 无理数的整数和小数部分判断】
28．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，但
是由于1＜❑√2＜2，所以❑√2的整数部分为1．将❑√2减去其整数部分1，差就是小数部分❑√2−1．根据
以上的内容，解答下面的问题：
（1）❑√5的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若设2+❑√3整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的值．
【分析】（1）仿照例子找出❑√5在哪两个整数之间即可得解；
（2）仿照例子，找出整数部分和小数部分后即可得出x﹣y的值．
【解答】解：（1）∵2＜❑√5＜3，
∴❑√5整数部分为2，小数部分为❑√5−2，
故答案为：2，❑√5−2．
（2）∵1＜❑√3＜2，
∴3＜2+❑√3＜4，
由题意x＝3，y=2+❑√3−3=❑√3−1．
∴x﹣y＝3﹣（❑√3−1）＝4−❑√3．
29．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部写出来．将这
个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为❑√2的整数部分是1，于是用❑√2−1来表示❑√2的小数部
分．又例如：∵❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3，∴❑√7的整数部分是2，小数部分为❑√7−2．
（1）❑√17的整数部分是 ，小数部分是 ；（2）若m，n分别是6−❑√5的整数部分和小数部分，求3m2﹣n的值．
【分析】（1）先估算❑√17的大小，求出整数部分和小数部分即可；
（2）先估算❑√5的大小，然后根据不等式的性质求出6−❑√5的大小，求出整数部分m和小数部分n，然
后代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵❑√16＜❑√17＜❑√25，即4＜❑√17＜5，
∴❑√17的整数部分是4，小数部分是❑√17−4，
故答案为：4，❑√17−4；
（2）∵❑√4＜❑√5＜❑√9，即2＜❑√5＜3，
∴−3＜−❑√5＜−2，
−3+6＜6−❑√5＜6−2，
3＜6−❑√5＜4，
∴6−❑√5的整数部分是3，小数部分是6−❑√5−3=3−❑√5，
∴m＝3，n=3−❑√5，
∴3m2﹣n
＝3×32﹣（3−❑√5）
=27−3+❑√5
=24+❑√5．
30．阅读理解：“∵1＜2＜4，∴1＜❑√2＜2，∴❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是
小数部分．即：❑√2的小数部分为(❑√2−1)，类似的：∵2＜❑√5＜3，∴❑√5的小数部分就是(❑√5−2)
．
解决问题：
（1）初步运用：❑√33的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）综合拓展：如果❑√143的小数部分为a，❑√43的整数部分为b，求a+2b−❑√143的值．
【分析】（1）根据题中给出的方法估算❑√33的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分；
（2）先根据题中给出的方法求出a、b的值，然后根据二次根式的加减运算法则计算即可．
【解答】解：（1）∵25＜33＜36，
∴5＜❑√33＜6，
∴❑√33的整数部分是5，小数部分是❑√33−5，
故答案为：5，❑√33−5；
（2）∵121＜143＜169，
∴11＜❑√143＜13，∴❑√143的整数部分是11，小数部分为❑√143−11，
即a=❑√143−11，
∵36＜43＜49，
∴6＜❑√43＜7，
∴❑√43的整数部分是6，
即b＝6，
∴a+2b−❑√143=❑√143−11+2×6−❑√143=1．
【类型5 压轴题篇·16题】
【必考点23 平行线中多结论问题】
1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，∠DCE的平分线交BE于
点F，下列结论：①∠1＝∠2；②∠F＝∠1+∠3；③CE⊥BF；④若CE⊥BF，则∠4＝2∠3．其中
正确的结论有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】先证明∠2＝∠FBC，∠1＝∠FBC，可判断①，由∠ABC+∠BCD＝180°，∠FBC+∠F+∠FCB
1
＝180°可判断②，由CE⊥BF可得∠ECB= ∠DCB，可判断③，再结合平行线的性质证明∠4＝
2
∠ECB可判断④，从而可得答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠FBC，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠1＝∠FBC，
∴∠1＝∠2，故①符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠1+∠FBC+∠FCB+∠3＝180°，
∵∠FBC+∠F+∠FCB＝180°，∴∠F＝∠1+∠3，故②符合题意；
∵∠ABC+∠BCD＝180°，
1 1
∴ ∠ABC+ ∠BCD=90°，
2 2
若CE⊥BF，
1
∴∠EBC+∠ECB＝90°，而∠EBC= ∠ABC，
2
1
∴∠ECB= ∠DCB，与题干条件不符，故③不符合题意；
2
由③可得：当CE⊥BF，
1
∴∠ECB= ∠DCB=∠ECD，
2
∵CF平分∠DCE，
1
∴∠3=∠ECF= ∠DCE，
2
∴∠ECB＝2∠3，
∵AD∥BC，
∴∠4＝∠ECB，
∴∠4＝2∠3，故④符合题意；
故选：C．
2．如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝
∠BEP−∠DFP
180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则 =2，
∠GPH
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，
故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠HPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠FDG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FDG
＝∠A+∠FPG+∠PHG﹣∠EPG
＝∠A+∠PHG，
∵AB∥PH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°，
故④正确；
∵∠BEP﹣∠DFP＝∠EPH﹣∠FPH＝（EPG+∠GPH）﹣∠FPH＝∠FPG+∠GPH﹣∠FPH＝
∠GPH+∠GPH＝2∠GPH，
∠BEP−∠DFP
∴则 = 2为定值，故⑤正确．
∠GPH
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
3．如图，AB∥CD，E是线段AB上一点，F是线段DE的延长线上一点，∠ABF的平分线BG交EF于点
G，交线段DA的延长线于点I，过点D作DH⊥BG于点H．且∠ADC＝2∠ADE．下列结论：①2∠BED＝3∠BAD；
②∠CDH﹣∠ABG＝90°；
③∠F+∠ADF＝2∠I；
④若∠FDH＝55°，则∠F+∠ADF＝35°．
正确结论的序号是 ．
【分析】根据平行线的性质和”三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得：2∠BED＝
3∠BAD，即①结论正确；延长AB、DH交于点M，由对顶角相等、平行线的性质，垂直的定义和三角
形内角和定理可得：∠GDH﹣∠ABG＝90°，则②结论正确；根据“三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和”及角平分线的定义可得：∠F+∠ADF＝2∠I，即③结论正确；根据直角三角形两锐
角互余、“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和“可得：∠F+∠FBG＝35°，而∠ADF 与
∠FBG 不一定相等，故∠F+∠ADF＝35° 不一定成立，即④结论不正确，从而得出结论．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∵∠ADC＝2∠ADE，
1 1
∴∠ADE= ∠ADC= ∠BAD，
2 2
∵∠BED是△ADE的外角，
3
∴∠BED=∠BAD+∠ADE= ∠BAD，
2
∴2∠BED＝3∠BAD，即①结论正确；
如图，延长AB、DH交于点M，
则∠ABG＝∠HBM，∵AB∥CD，
∴∠CDH+∠M＝180°，
∴∠M＝180°﹣∠CDH，
∵DH⊥BG，
∴∠BHM＝∠GHD＝90°，
∴∠HBM+∠M＝90°，
∴∠ABG+180°﹣∠CDH＝90°，
∴∠CDH﹣∠ABG＝90° 即②结论正确；
∵∠BAD是△ABI的外角，
1
∴∠ADF= ∠BAD，
2
1
∴∠ADF= (∠ABI+∠I)，
2
∵∠BED＝∠BAD+∠ADF＝3∠ADF，∠BED是△BEF 的外角，
∴3∠ADF＝∠F+∠ABF，
∴∠F＝3∠ADF﹣∠ABF，
∴∠F+∠ADF
＝4∠ADF﹣∠ABF
1
=4× (∠I+∠ABI)−∠ABF
2
＝2∠I+2∠ABI﹣∠ABF，
∵BI平分∠ABF，
∴∠ABF＝2∠ABI，
∴∠F+∠ADF＝2∠I，即③结论正确；
若∠FDH＝55°，则∠DGH＝90°﹣∠FDH＝35°，
∵∠DGH是△BGF的外角，
∴∠F+∠FBG＝∠DGH＝35°，
而∠ADF与∠FBG 不一定相等，
∴∠F+∠ADF＝35° 不一定成立，即④结论不正确，
综上所述，正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
4．如图，AB∥CD，点E，F在直线AB上（F在E的左侧），点G在直线CD上，EH⊥HG，垂足为H，P为线段EH上的一动点，连接GP，GF，∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，且点Q在直线AB，CD
之间的区域，下列结论：
①∠BEH+∠DGH＝90°；
②∠CGH+2∠FQG＝270°；
③若∠PGH＝3∠DGH，则3∠BEH+∠EPG＝360°；
1
④若∠PGH＝n∠DGH，则∠BEH+ ∠PGD=90°，其中n为正整数．
n+1
上述说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
【分析】过点H作HL∥AB，利用平行线的性质可得∠BEH+∠DGH＝∠EHL+∠GHL＝∠EHG＝90°，
1 1
即可判断①；根据角平分的定义可得∠QFG= ∠BFG，∠QGF= ∠FGH，再根据三角形内角和
2 2
定理∠FQG＝180°﹣∠QFG﹣∠QGF，根据∠CGH＝180°﹣∠DGH，利用平行线的性质即可判断②；
设∠DGH＝x°，则∠PGH＝3∠DGH＝3x°，利用①的结论即可判断③，同上可判断④．
【解答】解：如图，过点H作HL∥AB，
∵AB∥CD，AB∥HL，
∴CD∥HL，
∴∠EHL＝∠HEB，∠GHL＝∠HGD，
∵EH⊥HG，
∴∠EHG＝90°，
∴∠BEH+∠DGH＝∠EHL+∠GHL＝∠EHG＝90°，故①正确；
∵∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，
1 1
∴∠QFG= ∠BFG，∠QGF= ∠FGH，
2 2∴∠FQG＝180°﹣∠QFG﹣∠QGF，
根据①中的结论，可得∠FQG＝∠BFQ+∠QGD，
∴∠CGH+2∠FQG＝180°﹣∠HGD+2（180°﹣∠QFG﹣∠QGF）
＝180°﹣∠HGD+360°﹣2QFG﹣2QGF
＝540°﹣（∠HGD+∠BFG+∠FGD），
∵AB∥CD，
∴∠BFG＝∠FGC，
∴∠HGD+∠BFG+∠FGD＝∠HGD+∠FGC+∠FGD＝180°，
∴∠CGH+2∠FQG＝540°﹣180°＝360°，故②错误；
设∠DGH＝x°，则∠PGH＝3∠DGH＝3x°，
∴∠PGD＝4x°，
根据①中结论可得∠BEH＝90°﹣∠DGH＝90°﹣x°，∴∠EPG＝∠BEH+∠PGD＝90°﹣x°+4x°＝90°
+3x°，
∴3∠BEH+∠EPG＝270°﹣3x°+90°+3x°＝360°，故③正确；
设∠DGH＝x°，则∠PGH＝n∠DGH＝nx°，
∴∠PGD＝（n+1）x°，
1
∴x°= ∠PGD=∠DGH，
n+1
1
根据①中结论可得∠BEH+∠DGH=∠BEH+ ∠PGD=90°，故④正确．
n+1
故答案为：①③④．
5．如图，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB，CD之间，∠AEP和∠CFP的角平分
线相交于点M，∠DFP的角平分线交EM的反向延长线于点N，下列四个结论：
①∠EPF＝∠AEP+∠CFP；
②∠EPF＝2∠M；
③若EP∥FN，则∠AEM＝∠CFM；
④∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM．
其中正确的结论是 （填写序号）．【分析】作PQ∥AB，证出PQ∥CD，由内错角相等可得①正确；同理可证∠M＝∠AEM+∠CFM，再
根据角平分线的定义，可得②正确；若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF，再由平行线的性质和角平分线的
定义可得∠AEP＝∠PFH，因为∠CFP与∠PFH不一定相等，所以∠AEM与∠CFM不一定相等，判断
③不正确；由FN平分∠PFD，FM平分∠CFP，得到∠MFN＝90°，即∠N+∠M＝90°，即可判断④正
确．
【解答】解：①：作PQ∥AB，
∴∠AEP＝∠EPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CFP＝∠FPQ，
∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ，
∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP，故①正确；
同理可得：∠M＝∠AEM+∠CFM，
∵EM平分∠AEP，FM平分∠CFP，
∴∠AEP＝2∠AEM，∠CFP＝2∠CFM，
∴∠AEP+∠CFP＝2（∠AEM+∠CFM），
即∠EPF＝2∠M，故②正确；
设AB交NF于点H，
若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF，
∵AB∥CD，
∴∠AHF＝∠HFD，
∵FN平分∠PFD，∴∠HFD＝∠PFH，
∴∠AEP＝∠PFH，
若∠AEM＝∠CFM，则∠AEP＝∠CFP，
∵∠CFP与∠PFH不一定相等，
∴∠AEM与∠CFM不一定相等，故③不正确；
∵FN平分∠PFD，FM平分∠CFP，
∴∠MFN＝90°，
∴∠N+∠M＝90°，
∵∠M＝∠AEM+∠CFM，且∠AEM＝∠PEM，∠CFM＝∠PFM，
∴∠M＝∠PEM+∠PFM，
∴∠N+∠PEM+∠PFM＝90°，
∴∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM，故④正确．
故答案为：①②④．
【必考点24 平行线判定与性质综合问题】
6．已知AB∥CD，点P为直线AB上方一点．
（1）如图1，求证：∠A＝∠P+∠C；
（2）如图2，CE平分∠PCD，过点P作CE的平行线交∠PAB的角平分线于点Q，探索∠Q与∠APC
之间的关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，若CE经过点A，∠APC+∠PCE＝110°，点M是直线PC上一点，请
直接写出∠BAM和∠AMC、∠APC三个角之间的数量关系．
【分析】（1）作PF∥AB，利用平行线的判定和性质即可证明；
（2）过点 P 作 PF∥AB，过点 Q 作 QH∥AB，利用平行线的判定和性质得到∠1+∠4＝180°①，
∠1+∠APQ+∠2＝180°②，∠3+2∠4＝180°③，∠APC+∠3+2∠2＝180°④，计算即可得到∠APC＝
2∠AQP；
（3）求得2 ＝220°﹣2∠APC，延长BA交CP于点G，则∠PGA＝∠PCD＝2 ，分三种情况讨论：当
α α点M在CG的延长线上时，当点M在线段CG上时，当点M在线段GC的延长线上时，利用三角形的外
角性质计算，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，过点P作PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴PF∥AB∥CD，
∴∠A＝180°﹣∠FPA，∠C＝180°﹣∠FPC＝180°﹣∠FPA﹣∠APC，
即∠C+∠APC＝180°﹣∠FPA，
∴∠A＝∠C+∠APC，
即∠A＝∠P+∠C；
（2）解：∠APC＝2∠AQP，理由如下：
如图，过点P作PF∥AB，过点Q作QH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PF∥CD，
∴∠GPF＝∠PCD，
∵CE∥PQ，
∴∠GPQ＝∠PCE，
∵CE平分∠PCD，
∴∠PCD＝2∠PCE，
∴∠GPF＝2∠GPQ，
∴PQ平分∠GPF，
∵AQ平分∠PAB，
∴∠PAB＝2∠4，∠GPF＝2∠2＝∠PCD，
∵AB∥CD，∴QH∥PF∥AB∥CD，
∴∠1+∠4＝180°①，∠1+∠AQP+∠2＝180°②，∠3+2∠4＝180°③，∠APC+∠3+2∠2＝180°④，
由①②得∠4＝∠2+∠AQP，
代入③得∠3+2∠2+2∠AQP＝180°⑤，
由④⑤得∠APC＝2∠AQP；
（3）解：∵∠APC+∠PCE＝110°，CE平分∠PCD，
设∠PCE＝∠DCE＝ ，∠APC+ ＝110°，
即2 ＝220°﹣2∠APαC， α
延长αBA交CP于点G，则∠PGA＝∠PCD＝2 ，
①当点M在CG的延长线上时， α
由（1）得∠BAM＝∠AMC+∠MGA＝∠AMC+∠PCD＝∠AMC+2 ，∠BAM＝∠AMC+220°﹣2∠APC，
即∠BAM﹣∠AMC+2∠APC＝220°； α
②当点M在线段CG上时，
∠AMC＝∠MGA+∠GAM＝180°﹣∠PGA+180°﹣∠BAM＝360°﹣2 ﹣∠BAM＝360°﹣（220°﹣
2∠APC）﹣∠BAM， α
∴∠BAM+∠AMC﹣2∠APC＝140°；
③当点M在线段GC的延长线上时，∠PGA＝∠AMC+∠GAM＝∠AMC+180°﹣∠BAM，
∴2 ＝∠AMC+180°﹣∠BAM，
即2α20°﹣2∠APC＝∠AMC+180°﹣∠BAM，
∴∠AMC﹣∠BAM+2∠APC＝40°．
综上，∠BAM﹣∠AMC+2∠APC＝220°或∠BAM+∠AMC﹣2∠APC＝140°或∠AMC﹣∠BAM+2∠APC＝
40°．
7．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD与GE之间的一点，HD∥GE．
（1）求证：∠HAB+∠BCG＝∠ABC；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若∠B+∠F＝138°，求 + 的度
数； α β
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠NBM＝24°，直接写出∠BAH的度
数．
【分析】（1）作 BM∥DH，根据平行线的性质得到∠CBM＝∠BCG，∠HAB＝∠ABM，再由
∠ABM+∠CBM＝∠ABC，即可证明∠HAB+∠BCG＝∠ABC；
（2）先根据角平分线的定义得到∠HAF＝ ，∠HAB＝2 ，再求出∠FCG＝2 ，根据（1）的结论推出
∠B+∠F＝3 +3 ，结合∠B+∠F＝138°即可β得到答案； β α
（3）利用角α平分β线的定义可得∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，再利用平行线的性质可得∠BCR＝
∠MBC，从而可得∠BCG＝2∠MBC，然后根据∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图，作BM∥DH，∵DH∥GE，
∴BM∥GE∥DH，
∴∠CBM＝∠BCG，∠HAB＝∠ABM，
∵∠ABM+∠CBM＝∠ABC，
∴∠HAB+∠BCG＝∠ABC；
（2）∵AF平分∠HAB，
∴∠HAF＝∠BAF＝ ，∠HAB＝2∠BAF＝2 ．
∵∠BCF＝∠BCG＝β， β
∴∠FCG＝2∠BCF＝α2 ．
由（1）可得∠F＝∠HAαF+∠FCG＝ +2 ，∠B＝∠HAB+∠BCG＝2 + ，
∴∠B+∠F＝3 +3 ， β α β α
∵∠B+∠F＝1α38°，β
∵3 +3 ＝138°，
∴ α+ ＝β46°；
（α3）β∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，
∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，
∵BM∥CR，
∴∠BCR＝∠MBC，
∴∠BCG＝2∠MBC，
由（1）知，∠HAB+∠BCG＝∠ABC，
∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG
＝2∠NBC﹣2∠MBC
＝2（∠NBC﹣∠MBC）
＝2∠NBM
＝48°．
8．已知△ABC，点M在CB的延长线上．（1）【问题情景】如图1，求证：∠BAC＝∠ABM﹣∠ACB．
证明：过A点作AH∥BC，请按照上述思路继续完成证明过程；
（2）【尝试运用】如图2，延长AB至D，过点D作DN∥BC，再作∠ACB的平分线，交∠NDA的邻补
角的平分线于点E，请探究∠A与∠CED的数关系并证明你的结论；
（3）【拓广探索】如图3，P是平面内一点，且不在直线MB、ND、AB上，∠MBP＝m，∠NDP＝n，
∠BPD的度数为多少？请直接写出答案 （用含m、n的式子表示）．
【分析】（1）过A点作AH∥BC，由平行线的性质可得∠HAC＝∠C，∠HAB＝∠ABM，再根据三角形
外角的性质可得∠BAC＝∠HAB﹣∠HAC，然后通过等量代换即可解答；
（2）过点A作AQ∥BC，过点E作EP∥DN，则AQ∥BC∥EP∥DN；再根据角平分线的性质可得∠1＝
∠2，∠3＝∠4，设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y，则∠ACB＝2x，∠ADE＝2y；然后根据平行线的性质、
等量代换表示出∠BAC与∠CED的关系即可解答；
（3）根据点P的位置分为六种情况，分别画出图形，再根据平行线的性质、角平分线的定义弄清楚
∠BPD、∠QPD、∠OPB的关系即可解答．
【解答】（1）证明：如图所示，过A点作AH∥BC，
∴∠HAC＝∠C，∠HAB＝∠ABM，
∴∠BAC＝∠HAB﹣∠HAC，
∴∠BAC＝∠ABM﹣∠ACB．
（2）解：∠A+2∠CED＝180°，证明如下：
如图所示，过点A作AQ∥BC，过点E作EP∥DN，∵BC∥DN，
∴AQ∥BC∥EP∥DN，
∵CF平分∠ACB，DE平分∠KDA，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y，则∠ACB＝2x，∠ADE＝2y，
∵AQ∥BC，
∴∠QAC＝∠ACB＝2x，
∵AQ∥NK，
∴∠QAD+∠ADK＝180°，
∴∠QAD＝180°﹣2y，
∴∠BAC＝∠QAD﹣∠QAC＝180°﹣2y﹣2x，
∵BC∥EP，
∴∠2＝∠5＝x，
∵PE∥DN，
∴∠6＝∠4＝y，
∴∠CED＝∠5+∠6＝x+y，
∴∠BAC＝180°﹣2（x+y）＝180°﹣2∠CED．
（3）∠BPD的度数为n﹣m或m﹣n或m+n或360°﹣m﹣n．
解：①如图1所示，过点P作PQ∥ND，∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠QPD＝∠NDP＝n，
∵PQ∥MB，
∴∠QPB＝∠MBP＝m，
∴∠BPD＝∠QPD﹣∠OPB＝n﹣m．
②如图2所示，过点P作PQ∥MB，
∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠1＝∠NDP＝n，
∵PQ∥MB，
∴∠2＝∠MBP＝m，
∴∠BPD＝∠1+∠2＝n+m．
③如图3所示，过点P作PQ∥ND，∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠DPQ＝∠NDP＝n，
∵PQ∥MB，
∴∠BPQ＝∠MBP＝m，
∴∠BPD＝∠BPQ﹣∠DPQ＝m﹣n．
④如图4所示，过点P作PQ∥MB，
∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠DPQ+∠NDP＝180°，即∠DPQ＝180°﹣n，
∵PQ∥MB，
∴∠BPQ+∠MBP＝180°，即∠BPQ＝180°﹣m，
∴∠BPD＝∠DPQ﹣∠BPQ＝180°﹣n﹣180°+m＝m﹣n．
⑤如图5所示，过点P作PQ∥ND，∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠DPQ+∠NDP＝180°，即∠DPQ＝180°﹣n，
∵PQ∥MB，
∴∠BPQ+∠MBP＝180°，即∠BPQ＝180°﹣m，
∴∠BPD＝∠DPQ+∠BPQ＝180°﹣n+180°﹣m＝360°﹣m﹣n．
⑥如图6所示，过点P作PQ∥ND，
∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠DPQ+∠NDP＝180°，即∠DPQ＝180°﹣n，
∵PQ∥MB，
∴∠BPQ+∠MBP＝180°，即∠BPQ＝180°﹣m，
∴∠BPD＝∠DPQ+∠BPQ＝180°﹣m﹣180°+n＝n﹣m．
综上所述，∠BPD的度数为n﹣m或m﹣n或m+n或360°﹣m﹣n，
故答案为：n﹣m或m﹣n或m+n或360°﹣m﹣n．
9．如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，若∠A＝50°，求∠CME的度数；
（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；
（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为
1
H．若∠ACH= ∠ECH，求∠MNB与∠A之间的数量关系．
2
【分析】（1）根据垂直性质推出∠ECD+∠CME＝90°，得到∴2∠ECD+2∠CME＝180°，根据角平分线
定义得到∴ACD＝2∠ECD，推出∴∠ACD+2∠CME＝180°，根据平行线性质得到∠ACD+∠A＝180°，
推出∠A＝2∠CME，进而求解即可；
（2）过点 F作FM∥AB，根据平行线性质推出∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF，得到∠AFC＝
∠BAF+∠DCF，根据角平分线性质得到∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，推出∠CAB+∠DCE＝
2∠AFC，根据∠AFC＝70°，得到∴∠CAB+∠DCE＝140°，根据∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°，得到
∠ACE＝40°；
（3）延长CM交AN的延长线于点F，根据垂直性质得到∴∠MNB＝90°﹣∠F，∠HCF＝90°﹣∠F，得
到∴∠MNB＝∠HCF，设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x，根据角平分线定义设∠ECM＝∠DCM＝y，得到
∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y，根据垂直性质得到∴∠ECH+∠ECD＝90°，推出x+y＝45°，根据∠A＝90°﹣
x，推出∠A+∠MNB＝135°，得到∠MNB＝135°﹣∠A．
【解答】解：（1）∵EM⊥CE，
∴∠CEM＝90°，
∴∠ECD+∠CME＝90°，
∴2∠ECD+2∠CME＝180°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ECD，
∴∠ACD+2∠CME＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠A＝180°，
∴∠A＝2∠CME，∵∠A＝50°，
1
∴∠CME= ∠A=25°；
2
（2）如图，过点F作FM∥AB，
∵AB∥CD，
∴FM∥AB∥CD，
∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF，
∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF，
即∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，
∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC，
∵∠AFC＝70°，
∴∠CAB+∠DCE＝140°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°，
∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE）＝180°﹣140°＝40°；
（3）∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB＝135°﹣∠A，理由：
如图，延长CM交AN的延长线于点F，
∵MN⊥CM，
∴∠NMF＝90°，
∴∠MNB＝90°﹣∠F，
同理：∠HCF＝90°﹣∠F，
∴∠MNB＝∠HCF，
1
∵∠ACH= ∠ECH，
2∴设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x，
∵CM平分∠DCE，
∴设∠ECM＝∠DCM＝y，
∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y，
∵AB∥CD，CH⊥AB，
∴CH⊥CD，
∴∠HCD＝90°，
∴∠ECH+∠ECD＝90°，
∴2x+2y＝90°，
∴x+y＝45°，
∵CH⊥AB，
∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x，
∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°，
∴∠MNB＝135°﹣∠A．
10．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝ （0°＜ ＜90°）．小安将一
个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线ABα、CD上α，且在点G、H的右
侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当ON∥EF，PM∥EF时，求 的度数；
②当PM∥EF时，求∠MON的度α数（用含 的式子表示）．
【分析】（1）过P点作PQ∥AB，根据平行α线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而可
求解；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算
可求解．
【解答】解：（1）过P点作PQ∥AB，
∴∠PNB＝∠NPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMD＝∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，
故答案为：＝；
（2）①∵ON∥EF，PM∥EF，
∴PO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴ ＝∠NOM＝60°；
②α点N在G的右侧时，如图②，∵PM∥EF，∠EHD＝ ，
∴∠PMD＝ ， α
∴∠NMD＝α60°+ ，
∵AB∥CD， α
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+ ，
∵NO平分∠ANM， α
1 1
∴∠ANO= ∠ANM＝30°+ ，
2 2
α
∵AB∥CD，
1
∴∠MON＝∠ANO＝30°+ ；
2
α
点N在G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD＝ ，
∴∠PMD＝ ， α
∴∠NMD＝α60°+ ，
∵AB∥CD， α
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，1 1
∴∠BNO= [180°﹣（60°+ ）]＝60°− ，
2 2
α α
1
∴∠MON＝60°− ，
2
α
1 1
综上所述，∠MON的度数为30°+ 或60°− ．
2 2
α α
【必考点25 平行线中动态旋转问题】
11．如图，已知直线AB∥CD．
（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB，CD之间，若∠1＝28°，∠3＝
73°，则∠2＝ ；
（2）如图 2，若 FN 平分∠CFG，延长 GE 交 FN 于点 M，且∠AEM：∠MEN＝1：2，当
1
∠N+∠MGF=50°时，求∠CFG的度数；
3
（3）在（2）的条件下，若AE绕E点以每秒转动4°的速度逆时针旋转一周，同时GF绕F点以每秒转
动1°的速度逆时针旋转，当AE转动结束时GF也随即停止转动，在整个转动过程中，当 t＝ 秒
时，AE∥GF．
【分析】（1）过G作GH∥AB，可得GH∥AB∥CD，即可得到∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，进而得出
∠2的度数；
（2）过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠AEN的度
数；
（3）根据旋转的速度，用t表示出角的度数，再根据平行线的性质列出方程即可．
【解答】解：（1）如图1所示，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，
∴∠1+∠2＝∠EGF，即28°+∠2＝73°，
∴∠2＝45°，
故答案为：45°；
（2）∵FN平分∠CFG，∠AEM：∠MEN＝1：2，
∴可设∠AEM＝ ，∠NEM＝2 ，∠CFN＝∠GFN＝ ，
如图2所示，过αG作GP∥CD，α过N作NQ∥AB， β
∵AB∥CD，
∴NQ∥AB∥CD∥PG，
∴∠QNF＝∠CFN＝ ，∠QNE＝∠AEN＝3 ，∠PGE＝∠AEM＝ ，∠PGF＝∠DFG＝180°﹣2 ，
∴∠FNE＝∠QNF﹣∠β QNE＝ ﹣3 ，∠FGEα＝∠PGE+∠PGF＝ α+180°﹣2 ， β
1 β α α β
∵ ∠FNE+∠MGF=50°，
3
1
∴ (β−3α)+α+180°−2β=50°，
3
∴ ＝78°，
β∴∠CFG＝2 ＝156°；
（3）如图，β根据题意，∠AET＝4t°，∠GFH＝t°，
∵AB∥CD，TE∥HF，
∴∠AET＝∠ETC＝∠HFD＝4t°，
∴4t＝t+180﹣156，
解得：t＝8，
如图，根据题意，∠AEA′＝（360﹣4t）°，∠GFW＝t°，
∵AB∥CD，KE∥WF，
∴∠AEA′＝∠FKE＝（360﹣4t）°，∠WFK+∠FKE＝180°，
∴360﹣4t+t+180﹣156＝180，
解得，t＝68，
综上，t＝8或t＝68，
故答案为：8或68．12．如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠AEP＝30°．
（1）求∠FPE的度数；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立
刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒10°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB
后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
【分析】（1）延长FP与AB相交于点G，根据平行线的性质，得到∠PGE＝90°，再根据外角的性质可
计算得到结果；
（2）①当∠MEP＝20°时，分两种情况，Ⅰ当ME在AE和EP之间，Ⅱ当ME在EP和EB之间，由
∠MEP＝20°，计算出ME的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知（1）的∠FPE＝120°可
计算出∠EPN的度数；
②根据题意可知，当EM∥PN时，分三种情况，
Ⅰ射线PN由PF逆时针转动，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝10t°，∠FPN＝30t°，再平行线的性
质可得∠AEM＝∠AHP，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；
Ⅱ射线PN垂直AB后，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝10t°，EM∥PN，
∠GHP＝10t°，可计算射线PN的转动度数30t°，再根据PN转动可列等量关系，即可求出答案；
Ⅲ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝10t°，∠GPN＝40
（t﹣6）°，根据（1）中结论，∠AEP＝30°，可计算出∠PEM与∠EPN代数式，再根据平行线的性
质，可列等量关系，求解可得出结论．
【解答】解：（1）延长FP与AB相交于点G，如图1，∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝∠PGE＝90°，
∵∠EPF＝∠PGE+∠AEP，
∴∠EPF＝∠PGE+∠AEP＝90°+30°＝120°；
（2）①Ⅰ如图2，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，
∴∠AEM＝10°，
10
∴射线ME的运动时间t= =1，
10
∴射线PN旋转的角度∠FPN＝1×30°＝30°，
又∵∠FPE＝120°，
∴∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN＝120°﹣30°＝90°；
Ⅱ如图3所示，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，∴∠AEM＝50°，
50
∴射线EM运动的时间t= =5，
10
∴射线PN旋转的角度：5×30°＝150°，
又∵∠EPF＝120°，
∴∠FPN＝150°﹣120°＝30°；
∴∠EPN的度数为90°或30°；
②Ⅰ当PN从PF出发，运动如图4时，EM∥PN，PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝10t°，∠FPN＝30t°，
∵EM∥PN，
∴∠AEM＝∠AHP＝10t°，
又∵∠FPN＝∠EGP+∠AHP，
∴30t°＝90°+10t°，
解得t＝4.5；
Ⅱ射线PN垂直AB后，再顺时针向PF运动时，运动如图5时，EM∥PN，
根据题意可知，∠AEM＝10t°，EM∥PN，∠GHP＝10t°，射线PN的转动度数为30t°，
则∠GPN＝30t°﹣180°，
又∵∠PGE＝90°，∴∠GHP+∠GPN＝90°，
∴10t°+30t°﹣180°＝90°，
解得t＝6.75；
Ⅲ当PN从PF出发，运动如图6时，此时PN垂直AB后立刻按原速返回PF的过程中，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝10t°，∠GPN＝30（t﹣6）°，
∵∠AEP＝30°，∠EPG＝60°，
∴∠PEM＝10t°﹣30°，∠EPN＝30（t﹣6）°﹣60°＝30t°﹣240°，
又∵EM∥PN，
∴∠PEM+∠EPN＝180°，
∴10t°﹣30°+30t°﹣240°＝180°，
解得t＝11.25，
综上所述：满足条件的t的值为4.5秒或6.75秒或11.25秒．
13．宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图 1，灯A射线
从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停
交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即
PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ °；
（2）若灯B射线先转动30s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的
光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，假设射出的光束交于点C，过点C作∠ACD
交PQ于点D，且∠ACD＝120°，请探究：在转动过程中，∠BAC与∠BCD之间的数量关系是否发生变
化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当 0＜t＜90时，根据2t＝1•
（30+t），可得 t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出
∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
1
∴∠BAN＝180°× =60°，
3
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
14．如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝
∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，
G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤45）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D
的对应点为H，K）．请求出当边BG∥HK时t的值．
【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．（2）①首先证明∠GBC＝∠DCN＝30°，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．根据∠GBN＝∠KRN构建方程即可
解决问题．如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．根据∠GBN+∠KRM＝180°构建方程
即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
1
∴∠ECN= ∠ACN＝75°，
2
∵PQ∥MN，
∴∠QEC+∠ECN＝180°，
∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°；
（2）①如图②中，
∵BG∥CD，
∴∠GBC＝∠DCN，
∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GBC＝30°，
∴4t＝30，
∴t＝7.5s，∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为7.5s；
②如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R，
∵BG∥KR，
∴∠GBN＝∠KRN，
∵∠QEK＝60°+3t，∠K＝∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN＝90°﹣（60°+3t）＝30°﹣3t，
∴4t＝30°﹣3t，
30
∴t= s；
7
如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R，
∵BG∥KR，
∴∠GBN+∠HRB＝180°，
∵∠QEK＝60°+3t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣3t）＝3t﹣30°，
∴4t+3t﹣30°＝180°，
∴t＝30s．
30
综上所述，满足条件的t的值为 s或30s．
715．如图①，点A、点B分别在直线EF和直线MN上，EF∥MN，∠ABN＝45°，射线AC从射线AF的位
置开始，绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线BD从射线BM的位置开始，绕点B以每秒6°的
速度顺时针旋转，射线BD旋转到BN的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）∠BAF＝ °；
（2）在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线BD所在直线的夹角为80°，若存在，求
出t的值；若不存在，请说明理由；
∠AHK
（3）在转动过程中，若射线AC与射线BD交于点H，过点H作HK⊥BD交直线AF于点K，
∠ABH
的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．
【分析】（1）利用平行线的性质即可求得；
（2）两射线转过的角度均是时间t的函数，分别用代数式表达出来，再利用几何关系写出两射线所在
直线夹角的表达式，当夹角为80°时，求出t值；
（3）分别将∠AHK与∠ABH利用含有时间t的代数式表示出来，根据其比值结果是否含有t即可得到
答案．
【解答】解：（1）连接AB，如图①所示，
∵EF∥MN，∠ABN＝45°，
∴∠BAF＝180°﹣∠ABN＝135°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：135；
（2）设当t时刻时，点C、D分别转到了C'、D'，如图②所示，
将BD'延长，交EF于点H；将AC'反向延长，交BD'延长线于点G，
∠AGH或其补角为射线AC与射线BD所在直线的夹角，
由题意可知：∠CAC'＝2t，∠DBD'＝6t，
∵BD转到BN时同时停止转动，
180°
∴t的最大值为 =30秒，
6°
∴0≤t≤30，∵EF∥MN，∠GAH＝∠CAC'＝2t（对顶角相等），
∴∠EHG＝∠DBD'＝6t（两直线平行，同位角相等），
∴∠AGH＝∠EHG﹣∠GAH＝6t﹣2t＝4t，其补角为180°﹣4t，
当4t＝80时，t＝20（秒）；
当180°﹣4t＝80时，t＝25（秒）．
答：存在这样的时刻，当t＝20秒或t＝25秒时，射线AC与射线BD所在直线的夹角为80°；
（3）不会发生改变；
理由：如图③，由题意可知：∠CAC''＝2t，∠DBD''＝6t，∠BHP＝90°，
∴∠HBP＝180°﹣6t，
∵EF∥MN，
∴∠PGH＝∠CAC''＝2t，
∴∠GHP＝180°﹣90°﹣2t﹣（180°﹣6t）＝4t﹣90°，
∴∠AHK＝∠GHP＝4t﹣90°，
∵∠ABH＝6t﹣135°，
∠AHK 4t−90° 2(2t−45°) 2
∴ = = = ．
∠ABH 6t−135° 3(2t−45°) 316．如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．
（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；
∠Q
（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问 是否为定值，
∠DPB
若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；
（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，
∠Q
∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问 的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过
∠DPB
程，说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DMP＝135°，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解
答；
（2）过点 P 作 PG∥CD，利用猪脚模型可得∠DPB＝∠CDP+∠ABP，同理可得：∠Q＝
1 1
∠CDQ+∠ABQ，然后根据角平分线的定义可得∠CDQ= ∠CDP，∠ABQ= ∠ABP，从而可得∠Q＝
2 2
1
∠CDQ+∠ABQ= ∠DPB，最后进行计算即可解答；
2
（3）过点P作PG∥CD，利用平行线的性质可得∠CDP＝∠DPG，再利用平行于同一条直线的两条直
线平行可得 PG∥AB，从而可得∠ABP＝∠BPG，然后利用角的和差关系可得∠DPB＝∠BPG﹣
∠DPG，从而可得∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，同理可得：∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ，最后利用角平分线的1 1 1
定义可得∠CDQ= ∠CDP，∠ABQ= ∠ABP，从而可得∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ= ∠DPB，进行计算
2 2 2
即可解答．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠MNB＝45°，
∴∠DMP＝180°﹣∠MNB＝135°，
∵∠MDP＝20°，
∴∠MPD＝180°﹣∠DMP﹣∠MDP＝25°，
∴∠MPD的度数为25°；
∠Q
（2） 是定值，
∠DPB
理由：过点P作PG∥CD，
∴∠CDP＝∠DPG，
∵CD∥AB，
∴PG∥AB，
∴∠ABP＝∠BPG，
∵∠DPB＝∠DPG+∠BPG，
∴∠DPB＝∠CDP+∠ABP，
同理可得：∠Q＝∠CDQ+∠ABQ，
∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，
1 1
∴∠CDQ= ∠CDP，∠ABQ= ∠ABP，
2 2
∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ
1 1
= ∠CDP+ ∠ABP
2 2
1
= （∠CDP+∠ABP）
2
1
= ∠DPB，
2∠Q 1
∴ = ；
∠DPB 2
∠Q
（3） 是定值，
∠DPB
理由：过点P作PG∥CD，
∴∠CDP＝∠DPG，
∵CD∥AB，
∴PG∥AB，
∴∠ABP＝∠BPG，
∵∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG，
∴∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，
同理可得：∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ，
∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，
1 1
∴∠CDQ= ∠CDP，∠ABQ= ∠ABP，
2 2
∴∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ
1 1
= ∠ABP− ∠CDP
2 2
1
= （∠ABP﹣∠CDP）
2
1
= ∠DPB，
2
∴．
