文档内容
专题 2.5 分式全章三大类型十八个必考点 70 题
【人教版】
【类型1 概念篇30题】............................................................................................................................................2
【考点1 分式的概念】..............................................................................................................................................2
【考点2 分式有意义条件】......................................................................................................................................3
【考点3 分式的值为零】..........................................................................................................................................4
【考点4 分式的基本性质】......................................................................................................................................5
【考点5 最简分式的概念】......................................................................................................................................6
【考点6 最简公分母的判断】..................................................................................................................................7
【考点7 科学记数法表示较小数】..........................................................................................................................8
【考点8 负整数指数幂】..........................................................................................................................................9
【考点9 分式方程的概念】....................................................................................................................................10
【考点10 分式方程的增根】..................................................................................................................................11
【类型2 计算篇20题】..........................................................................................................................................13
【考点11 分式的混合运算】..................................................................................................................................13
【考点12 分式的化简求值】..................................................................................................................................16
【考点13 分式运算步骤的判断】..........................................................................................................................18
【考点14 解分式方程】..........................................................................................................................................23
【类型3 压轴篇20题】..........................................................................................................................................26
【考点15 与分式方程解有关的含参问题】.........................................................................................................26
【考点16 利用分式的基本性质求值】..................................................................................................................30
【考点17 分式中的新定义问题】..........................................................................................................................32
【考点18 分式方程的应用题】..............................................................................................................................40
【类型1 概念篇30题】
【考点1 分式的概念】
a−b 5+x a+b 1
1．（2024秋•南岗区校级月考）在 ， ， ，a+ 中，是分式的有（ ）
2 π a−b m
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
【分析】根据分式的定义：形如 ，其中A，B都为整式，且B中含有字母，逐一判断即可．
B
a+b 1 a−b 5+x
【解答】解：根据定义得： ，a+ 是分式， ， 是多项式，是整式．
a−b m 2 π
故选：B．
2 1 3 2 1 m+1
2．（2024秋•福山区期中）代数式 x， ， ，b2− ， ， 中，属于分式的有（ ）
5 π a2+2 3 x m+3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分
式．2 1 3 2 1 m+1 3 1 m+1
【解答】解：代数式 x， ， ，b2− ， ， 中，属于分式的有： ， ，
5 π a2+2 3 x m+3 a2+2 x m+3
共有3个．
故选：B．
1 x 4 2a−5 x m−n x2+2x+1
3．（2023秋•甘井子区校级期末）下列各式 ， ， ， ， ， ， ，
x 3 3b3+5 3 x2−y2 m+n x2+2x+1
c
中，分式共有（ ）个．
3(a−b)
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据分式的定义进行分析判断即可．
1 x 4 2a−5 x m−n x2+2x+1 c
【解答】解：代数式 ， ， ， ， ， ， ， 中，是分式的
x 3 3b3+5 3 x2−y2 m+n x2+2x+1 3(a−b)
1 4 x m−n x2+2x+1 c
有 ， ， ， ， ， ，
x 3b3+5 x2−y2 m+n x2−2x+1 3(a−b)
一共有6个分式，
故选：B．
【考点2 分式有意义条件】
x+1
4．（2024春•滨江区期末）要使分式 有意义，x的取值应满足（ ）
(x+1)(x−2)
A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
【分析】根据分式有意义的条件可得（x+1）（x﹣2）≠0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：（x+1）（x﹣2）≠0，
解得：x≠﹣1且x≠2，
故选：D．
5．（2024春•花山区校级期末）对于x取任何实数都有意义的分式为（ ）
3 3 3 3
A． B． C． D．
x2+1 x2−1 (x+1) 2 (x−1) 2
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【解答】解：A、∵x2+1≥1，
3
∴分式 对于x取任何实数都有意义，符合题意；
x2+1
3
B、当x＝±1时，x2﹣1＝0，则分式 此时无意义，不符合题意；
x2−1
3
C、当x＝﹣1时，（x+1）2＝0，则分式 此时无意义，不符合题意；
(x+1) 2
3
D、当x＝1时，（x﹣1）2＝0，则分式 此时无意义，不符合题意；
(x−1) 2
故选：A．
a a+1
6．（2023秋•阳新县期末）下列结论：①不论a为何值时 都有意义；②a＝﹣1时，分式 的
a2+1 a2−1x2+1 x+1 x+1
值为0；③若 的值为负，则x的取值范围是x＜1；④若 ÷ 有意义，则x的取值范围是
x−1 x+2 x
x≠﹣1，x≠﹣2且x≠0．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【分析】利用分式有无意义，值为0的条件逐个判断得结论．
【解答】解：∵a2+1≠0，
a
∴不论a为何值， 都有意义，故①正确；
a2+1
当a＝﹣1时，a2﹣1＝0，
a+1
∴分式 没有意义，故②错误；
a2−1
∵x2+1＞0，
x2+1
∴当x＜1时，x﹣1＜0，此时 的值为负，故③正确；
x−1
x+1 x+1 x+1 x
∵ ÷ = × ，
x+2 x x+2 x+1
∴x的取值范围是x≠﹣1，x≠﹣2且x≠0，故④正确．
故选：B．
【考点3 分式的值为零】
|x|−1
7．（2023秋•茌平区期末）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x2−3x+2
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【分析】根据分式值为零的条件可得|x|﹣1＝0且x2﹣3x+2≠0，再解即可．
【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x2﹣3x+2≠0，
所以|x|＝1且（x﹣1）（x﹣2）≠0．
解得x＝﹣1．
故选：A．
x2−9
8．（2024春•长安区期末）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x+3
A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．0
【分析】分式的值为0：分子为0，分母不为0．
【解答】解：根据题意，得
{x2−9=0) {(x+3)(x−3)=0)
，即 ，
x+3≠0 x+3≠0
解得x＝3．
故选：A．
x+2b
9．（2024•潮南区二模）已知x＝1时，分式− 无意义；x＝4时，分式的值为0，则a+b的值为（
x−a
）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】根据分式无意义的条件得出 x﹣a＝x﹣1＝0，求出a＝1，根据分式的值为0得出2b＝﹣4，求
出b＝﹣2，再求出答案即可．x+2b
【解答】解：∵当x＝1时，分式− 无意义，
x−a
∴x﹣a＝x﹣1＝0，
即a＝1，
x+2b
∵当x＝4时，分式− 的值为0，
x−a
∴x+2b＝x﹣4＝0，
∴2b＝﹣4，
∴b＝﹣2，
∴a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．
故选：D．
【考点4 分式的基本性质】
m+n
10．（2024秋•长春月考）将分式 中m与n的值同时扩大为原来的2倍，分式的值（ ）
m2+n2
1
A．扩大2倍 B．缩小为原来的
2
C．不变 D．无法确定
【分析】利用分式的性质计算即可．
m+n
【解答】解：将分式 中m与n的值同时扩大为原来的2倍可得
m2+n2
2m+2n 2(m+n) m+n
= =
，
(2m) 2+(2n) 2 4(m2+n2 ) 2(m2+n2 )
1
即分式的值缩小为原来的 ，
2
故选：B．
11．（2024秋•新邵县期中）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
2+x 2+x 2x x2
A． B． C． D．
x−y xy x−y x−y
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式
的即是答案．
2+3x 2+x
【解答】解：A． ≠ ，两个分式不相等，不符合题意；
3x−3 y x−y
2+3x 2+x
B． ≠ ，两个分式不相等，不符合题意；
3x×3 y xy
2×3x 2x
C． = ，两个分式相等，符合题意；
3x−3 y x−y
(3x) 2 x2
D． ≠ ，两个分式不相等，不符合题意；
3x−3 y x−y
故选：C．
4xy
12．（2024秋•南岗区校级月考）如果把分式 中的x、y都扩大3倍，则分式的值（ ）
x+3 y
A．扩大9倍 B．扩大3倍1
C．不变 D．缩小到原来的
3
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
4×(3x)×(3 y) 36xy 12xy 4xy
= = =3× ，
3x+3×(3 y) 3x+9 y x+3 y x+3 y
4xy
∴把分式 中的x和y都扩大3倍，则分式的值扩大3倍，
x+3 y
故选：B．
【考点5 最简分式的概念】
13．（2024春•凤城市期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
xy 3x+3 x+ y x+1
A． B． C． D．
x2 3x−3 x−y x2−1
【分析】根据最简分式的定义对各选项进行逐一分析即可．
xy y
【解答】解：A、 = ，原分式不是最简分式，不符合题意；
x2 x
3x+3 x+1
B、 = ，原分式不是最简分式，不符合题意；
3x−3 x−1
x+ y
C、 是最简分式，符合题意；
x−y
x+1 x+1 1
D、 = = ，原分式不是最简分式，不符合题意．
x2−1 (x+1)(x−1) x−1
故选：C．
14．（2024秋•中山市期中）下列各式中，是最简分式的是（ ）
2a a+1
A． B．
3a2b a2+1
a a2+ab
C． D．
a2+3a a2−b2
【分析】根据分式的分子分母不含有公因式的分式叫最简分式判断即可．
2a 2
【解答】解：A． = ，不是最简分式，故该选项不符合题意；
3a2b 3ab
a+1
B． 是最简分式，故该选项符合题意；
a2+1
a a 1
C． = = ，不是最简分式，故该选项不符合题意；
a2+3a a(a+3) a+3
a2+ab a(a+b) a
D． = = ，不是最简分式，故该选项不符合题意，
a2−b2 (a−b)(a+b) a−b
故选：B．
x2−2x x+1 −2 12xy
15．（2023 秋•合江县校级期末）下列分式 ， ， ， 中，最简分式有
2y−xy x2−1 a2−2a 9z3
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简分式的定义判断即可．
x2−2x x(x−2) x
【解答】解： = =− ，不是最简分式；
2y−xy y(2−x) y
x+1 x+1 1
= =
，不是最简分式；
x2−1 (x−1)(x+1) x−1
−2
是最简分式；
a2−2a
12xy 4xy
=
，不是最简分式；
9z3 3z3
故选：A．
【考点6 最简公分母的判断】
2c 3a 5b
16．（2024春•仁寿县期中）分式 ， ， 的最简公分母是（ ）
3a2b2 −4b4c 2a2c
A．12a2b4c2 B．24a2b4c2 C．24a4b6c D．12a2b4c
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
2c 3a 5b
【解答】解：分式 ， ， 的最简公分母是12a2b4c；
3a2b2 −4b4c 2a2c
故选：D．
17．（2023秋•琼中县期末）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ）
1 1
A． 与 的最简公分母是6x
3x 6x
1 1
B． 与 最简公分母是3a2b3c
3a2b3 3a2b3c
1 1
C． 与 的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x）
a(x−y) b(y−x)
1 1
D． 与 的最简公分母是m2﹣n2
m+n m−n
【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同
它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分
母．据此可得．
1 1
【解答】解：A、 与 的最简公分母是6x，此选项正确；
3x 6x
1 1
B、 与 最简公分母是3a2b3c，此选项正确；
3a2b3 3a2b3c
1 1
C、 与 的最简公分母是ab（x﹣y）或ab（y﹣x），此选项错误；
a(x−y) b(y−x)
1 1
D、 与 的最简公分母是m2﹣n2，此选项正确；
m+n m−n
故选：C．x+1 2 x
18．（2024秋•宁阳县期中）分式 ， ，− 的最简公分母是（ ）
x2−x x2−1 x2+2x+1
A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2
C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2
【分析】先把分式的分母分解因式，再找出最简公分母即可．
【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝（x+1）2，
x+1 2 x
∴分式 ， ，− 的最简公分母是x（x﹣1）（x+1）2．
x2−x x2−1 x2+2x+1
故选：C．
【考点7 科学记数法表示较小数】
19．（2024秋•青秀区校级月考）今年9月1日华为Mate60手机的发布，宣告美国对我国高端芯片技术封
锁的失败．据测速网监测，用Mate60手机下载一个2.4M的文件大约只需要0.000048秒，数据0.000048
用科学记数法表示为（ ）
A．0.48×10﹣4 B．0.48×10﹣5 C．4.8×10﹣5 D．48×10﹣5
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000048＝4.8×10﹣5．
故选：C．
20．（2023秋•应县期末）冠状病毒是一个大型病毒家族，借助电子显微镜，我们可以看到这些病毒直径
约为125纳米（1纳米＝1×10﹣9米），125纳米用科学记数法表示等于（ ）
A．1.25×10﹣7米 B．1.25×10﹣8米
C．1.25×10﹣10米 D．1.25×10﹣11米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：125纳米＝125×10﹣9米＝1.25×10﹣7米，
故选：A．
21．（2024•郑州校级四模）《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发
展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学记数法表示这个数为（ ）
A．1.6×10﹣12米 B．1.6×10﹣13米
C．16×10﹣12厘米 D．1.6×10﹣13厘米
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据
此即可求得答案．
【解答】解：0.00000000000016厘米＝1.6×10﹣13厘米，
故选：D．
【考点8 负整数指数幂】
1 −2 2 0
22．（2024•鹤城区校级开学）若a＝﹣32，b＝﹣3﹣2，c=(− ) ，d=(− ) ，则a、b、c、d的大小关
3 3
系为（ ）
A．a＜b＜c＜d B．b＞d＞a＞c C．a＜d＜c＜b D．a＜b＜d＜c
【分析】根据相关运算法则计算后，进行比较大小即可．
1 1 −2 2 0
【解答】解：a＝﹣32＝﹣9，b=−3−2=− ，c=(− ) =9，d=(− ) =1，
9 3 31
∵−9＜− ＜1＜9，
9
∴a＜b＜d＜c．
故选：D．
1
23．（2024•定州市三模）若
=3p
，则p的值为（ ）
32
1 1
A．﹣3 B． C．﹣2 D．
3 2
1
【分析】依据负整数指数幂公式a−m=
求解即可．
am
1
【解答】解：∵
=3−2
，∴p＝﹣2．
32
故选：C．
24．（2023秋•怀化期末）若（x﹣3）0﹣2（3x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜2 C．x≠3或x≠2 D．x≠3且x≠2
【分析】根据零指数幂及负整数指数幂的意义，列出关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的范
围．
【解答】解：∵（x﹣3）0﹣2（3x﹣6）﹣2有意义，
{ x−3≠0 )
∴ ，
3x−6≠0
解得：x≠3且x≠2．
故选：D．
【考点9 分式方程的概念】
x x−1 x 400 x 5
25．（2024春•泗县月考）下列关于x的方程：① − =10；② = ；③ +1= x；④
2 5 600 x−30 4 2
a 1
= ，其中是分式方程的有（ ）
2x x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可．
x 400 a 1
【解答】解：② = ，④ = 是分式方程；
600 x−30 2x x
x x−1 x 5
① − =10，③ +1= x是一元一次方程；
2 5 4 2
所以是分式方程的是②④，
故选：B．
1 1 x 2x
26．（2023春•苏家屯区期中）在①x2﹣x+ ，② −3＝a+4，③ +5x＝6，④ =1中，其中关于x
x a 2 x−3
的分式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
1
【解答】解：①x2﹣x+ 是分式，不是分式方程；
x
1
② −3＝a+4是关于a的分式方程；
ax
③
+5x＝6是一元一次方程；
2
2x
④
=1是关于x的分式方程，
x−3
故关于x的分式方程只有一个．
故选：A．
27．（2022秋•新市区校级期中）下列各式中分式方程有（ ）个．
1 1 1 20 10
（1）x2﹣x + ；（2） −3＝a+4；（3） −x=3；（4） − = 1．
x a ❑√x x+ y x−y
A．1 B．2
C．3 D．以上都不对
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．
1
【解答】解：（1）x2﹣x+ 不是等式，故不是分式方程；
x
1
（2） −3＝a+4是分式方程；
a
1
（3） −x=3是无理方程，不是分式方程；
❑√x
20 10
（4） − =1是分式方程．
x+ y x−y
故选：B．
【考点10 分式方程的增根】
x a
28．（2024春•阳山县期末）已知关于x的方程 =3− 有增根，则a的值为（ ）
x−5 x−5
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
【分析】首先最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关
字母的值．
【解答】解：∵方程有增根，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
x a
=3− ，
x−5 x−5
x＝3（x﹣5）﹣a，
x＝3x﹣15﹣a，
把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，
故选：D．
ax 6
29．（2024春•嵊州市期末）若分式方程 + =1有增根，则a的值为（ ）
x−3 3−x
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分式方程增根的定义进行选择即可．
ax 6
【解答】解：∵分式方程 + =1有增根，
x−3 3−x
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，∴ax﹣6＝x﹣3，
∴3a﹣6＝0，
a＝2．
故选：B．
x ？
30．（2024春•市南区期末）小明在解关于x的分式方程 = −2时，发现墨水不小心把其中一个
x+1 x+1
数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】根据分式方程的解法以及分式方程增根的定义进行计算即可．
x m
【解答】解：将关于x的分式方程 = −2两边都乘以x+1，得
x+1 x+1
x＝m﹣2x﹣2，
m−2
解得x= ，
3
由于分式方程的增根是x＝﹣1，
当x＝﹣1时，即﹣1＝m+2﹣2，
解得m＝﹣1，
由于方程有增根无解，
所以m＝﹣1．
故选：A．
【类型2 计算篇20题】
【考点11 分式的混合运算】
1．（2024秋•武冈市期中）计算：
2x 4
（1）(x+2)⋅ − ；
x2−4 x−2
1 x2−4x+4
（2）(1− )÷
x−1 x2−1
【分析】（1）先进行乘法运算，再进行加减运算即可；
（2）先通分计算括号内，再把除法变乘法，进行计算即可．
2x 4
【解答】解：（1）(x+2)⋅ −
x2−4 x−2
2x 4
=(x+2)⋅ −
(x+2)(x−2) x−2
2x 4
= −
x−2 x−2
2x−4
=
x−2
2(x−2)
=
x−2
＝2；
1 x2−4x+4
（2）(1− )÷
x−1 x2−1x−1−1 (x+1)(x−1)
= ⋅
x−1 (x−2) 2
x−2 (x+1)(x−1)
= ⋅
x−1 (x−2) 2
x+1
= ．
x−2
2．（2024秋•福山区期中）计算：
3 x2−4x+4
（1）( −x+1)÷
x+1 x+1
2c3 2 5a 3c 3
（2）(− ) ÷ ⋅(− )
3ab2 2b3 2a
【分析】（1）先计算括号里的，通分后根据同分母分式的减法法则计算，再将除法化成乘法，约分即
可求出值；
（2）原式先计算乘方，再进行乘除运算，注意符号．
3 x2−4x+4
【解答】解：（1）( −x+1)÷ ，
x+1 x+1
3 x−1 x2−4x+4
=( − )÷ ，
x+1 1 x+1
3−(x+1)(x−1) x+1
= ⋅ ，
x+1 (x−2) 2
(2+x)(2−x) x+1
= ⋅ ，
x+1 (x−2) 2
x+2
= ；
2−x
2c3 2 5a 3c 3
（2）(− ) ÷ ⋅(− ) ，
3ab2 2b3 2a
4c6 2b3 27c3
= ⋅ ⋅(− )，
9a2b4 5a 8a3
8×27b3c9
=− ，
9×40a6b4
3c9
=− ．
5a6b
3．（2024秋•泰山区期中）计算：25−a2 a−5 a−3
（1） ÷ ⋅ ；
a2−6a+9 2a−6 a+5
6 m2−14m+49
（2）(1− )÷ ．
m−1 m2−m
【分析】（1）先把除法化为乘法，再运用分式乘法法则进行计算化简，即可作答．
（2）先通分括号内，再先把除法化为乘法，运用分式乘法法则进行计算化简，即可作答．
(5−a)(5+a) 2(a−3) a−3
【解答】解：（1）原式= ⋅ ⋅
(a−3) 2 a−5 a+5
＝﹣2；
m−1−6 (m−7) 2
（2）原式= ÷
m−1 m(m−1)
m−7 m(m−1)
= ⋅
m−1 (m−7) 2
m
= ．
m−7
4．（2024春•沙坪坝区校级期中）计算：
a+b a2−b2
（1） ÷ ；
ab 3a2b
x2+4x+4 4+x2
（2） ÷(2x− )．
x2+2x x
【分析】（1）先将除法变成乘法，再进行约分计算即可；
（2）先通分对括号里的进行计算，再将除法变成乘法，计算出结果即可．
a+b a2−b2
【解答】解：（1） ÷
ab 3a2b
a+b 3a2b
= ×
ab (a+b)(a−b)
3a
= ；
a−b
x2+4x+4 4+x2
（2） ÷(2x− )
x2+2x x
x2+4x+4 2x2−4−x2
= ÷( )
x2+2x x(x+2) 2 x
= ×
x(x+2) (x+2)(x−2)
1
= ．
x−2
5．（2024春•靖江市校级月考）计算：
a2 b2
（1） − ；
a−b a−b
4a−5 1 2
（2）(a+1− )÷( − )．
a−1 a−1 a2−a
【分析】（1）根据同分母分式相减，然后对分子分解因式，再约分即可；
（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
a2 b2
【解答】解：（1） −
a−b a−b
a2−b2
=
a−b
(a+b)(a−b)
=
a−b
＝a+b；
4a−5 1 2
（2）(a+1− )÷( − )
a−1 a−1 a2−a
(a+1)(a−1)−(4a−5) a−2
= ÷
a−1 a(a−1)
a2−1−4a+5 a(a−1)
= •
a−1 a−2
(a−2) 2 a(a−1)
= •
a−1 a−2
＝a（a﹣2）
＝a2﹣2a．
【考点12 分式的化简求值】
3 x2−4x+4
6．（2024•天河区校级一模）先化简( −x+1)÷ ，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的
x+1 x+1
数作为x的值代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的代入进行计算即可．
3 x2−1 (x−2) 2
【解答】解：原式＝（ − ）÷
x+1 x+1 x+1
3−x2+1 x+1
= •
x+1 (x−2) 2
4−x2 x+1
= •
x+1 (x−2) 2
−(x+2)(x−2) x+1
= •
x+1 (x−2) 2
x+2
=− ，
x−2∵x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，x≠2，
0+2
∴当x＝0时，原式=− =1．
0−2
a2−6a+9 5
7．（2024秋•岳阳县期中）先化简，再求值： ÷(a+2+ )，其中a为不大于3的正整数．
a−2 2−a
【分析】先用分式的加减法的法则计算括号里面的，再利用分式乘除法的法则计算括号外面的，最后把
a＝1代入化简的结果中计算即可．
a2−6a+9 5
【解答】解： ÷(a+2+ )
a−2 2−a
a2−6a+9 a2−4 5
= ÷( − )
a−2 a−2 a−2
a2−6a+9 a2−9
= ÷
a−2 a−2
(a−3) 2 a−2
= ⋅
a−2 (a+3)(a−3)
a−3
= ，
a+3
不妨令a＝1时，
1−3 1
原式= =− （答案不唯一）．
1+3 2
−6x x2+9 3x
8．（2024秋•渝北区校级期中）先化简，再求值：( −x+3)÷ ÷ ，请从﹣3、﹣2、0、3
x−3 x x2−9
中选取合适的x的值代入．
【分析】先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再结合原式中各个分式有意义的条件找出 x的
值，代入化简以后的式子中求值即可．
−6x−(x−3) 2 x x2−9
【解答】解：原式= ⋅ ⋅
x−3 x2+9 3x
−6x−x2+6x−9 x x2−9
= ⋅ ⋅
x−3 x2+9 3x
−(x2+9) x (x+3)(x−3)
= ⋅ ⋅
x−3 x2+9 3x
x+3
=− ，
3
∵x﹣3≠0，x≠0，x2﹣9≠0，
∴x≠3且x≠0且x≠﹣3，
−2+3 1
∴当x＝﹣2时，原式=− =− ．
3 32x−y x2−2xy+ y2 x−y 1 −1
9．（2024秋•两江新区校级月考）先化简，再求值( − )÷ ，其中x=( ) ，y＝
x+ y x2−y2 x+ y 2
（﹣2024）0．
【分析】先把括号内的式子化简，然后计算括号内的式子，再算括号外的除法，最后将x、y的值代入
化简后的式子计算即可．
2x−y x2−2xy+ y2 x−y
【解答】解：( − )÷
x+ y x2−y2 x+ y
2x−y (x−y) 2 x+ y
＝[ − ]•
x+ y (x+ y)(x−y) x−y
2x−y x−y x+ y
＝（ − ）•
x+ y x+ y x−y
2x−y−x+ y x+ y
= •
x+ y x−y
x
= ，
x−y
1 −1 2
当x=( ) =2，y＝（﹣2024）0＝1时，原式= =2．
2 2−1
x2−8x+16 12 1
10．（2024秋•秀英区校级期中）先化简，再求值 ÷( −x+2)+ ，其中x与1、3构
x2+2x x+2 x+4
成△ABC的三边长，且x为整数．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由三角形三边关系得出x的值，代入计算
即可．
(x−4) 2 12 x2−4 1
【解答】解：原式= ÷（ − ）+
x(x+2) x+2 x+2 x+4
(x−4) 2 16−x2 1
= ÷ +
x(x+2) x+2 x+4
(x−4) 2 x+2 1
= • +
x(x+2) −(x+4)(x−4) x+4
x−4 x
=− +
x(x+4) x(x+4)
4
= ，
x(x+4)
∵x与1、3构成△ABC的三边长，且x为整数，
∴2＜x＜4，
又x为整数，
∴x＝3，4 4
当x＝3时，原式= = ．
3×7 21
【考点13 分式运算步骤的判断】
3x x 2x
11．（2024春•曲沃县期末）先化简，再求值：( − )÷ ，其中x＝﹣3
x−1 x+1 x2−1
请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成相应任务：
3x x (x+1)(x−1)
原式=( − )⋅ ..............................第一步
x−1 x+1 2x
3(x+1) x−1
= − .................................................第二步
2 2
3x+3−x−1
= .......................................................第三步
2
2x+2
= ...............................................................第四步
2
＝x+1......................................................................第五步
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+1＝﹣2................................第六步
任务一：小明的解题过程中，第二步变形运用的运算律是 乘法的分配律 ；第五步变形的依据是
分式的基本性质：分子与分母同时乘以或除以同一个不为 0 的整式，分式的值不变 ；
任务二：小明的解题过程中，第 三 步开始出错的，正确的结果是 ﹣ 1 ．
【分析】任务一：根据分式的相应的运算法则进行分析即可；
任务二：利用分式的相应的运算法则进行运算即可．
【解答】解：任务一：小明的解题过程中，第二步变形运用的运算律是乘法的分配律；第五步变形的依
据是分式的基本性质：分子与分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
故答案为：乘法的分配律；分式的基本性质：分子与分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的
值不变；
任务二：小明的解题过程中，第三步开始出错的，正确的解答如下：
3x x 2x
( − )÷
x−1 x+1 x2−1
3x x (x+1)(x−1)
=( − )⋅
x−1 x+1 2x
3(x+1) x−1
= −
2 2
3x+3−x+1
=
2
2x+4
=
2
＝x+2，
当x＝﹣3时，
原式＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：三，﹣1．
12．（2024春•盐湖区期末）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并回答问题．
2a 1
−
a2−4 a−22a 1
= − 第一步
(a+2)(a−2) a−2
2a a+2
= − 第二步
(a+2)(a−2) (a−2)(a+2)
2a−a+2
= 第三步
(a+2)(a−2)
a+2
= 第四步
(a+2)(a−2)
1
= 第五步
a−2
任务一：填空
①在以上化简过程中，第 二 步对分式进行了通分，通分的依据是 分式的基本性质 ．
②第 三 步开始出现错误，这一步错误的原因是 减去整体要带括号或者去掉括号括号里各项要
变号 ．
1
任务二：请直接写出该分式化简后的正确答案 ．
a+2
任务三：除纠正以上错误外，请你根据平时学习经验，就分式化简时还需要注意什么事项，给其他同学
一条建议 最后要化为最简分式 ．
【分析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可．
【解答】解：下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并回答问题．
2a 1
−
a2−4 a−2
2a 1
= − 第一步
(a+2)(a−2) a−2
2a a+2
= − 第二步
(a+2)(a−2) (a−2)(a+2)
2a−a−2
= 第三步
(a+2)(a−2)
a−2
= 第四步
(a+2)(a−2)
1
= 第五步，
a+2
故答案为：
任务一：
①二，分式的基本性质；
③三，减去整体要带括号或者去掉括号括号里各项要变号；
1
任务二： ；
a+2
任务三：最后要化为最简分式．
x2−1 x−1
13．（2024春•镇平县期末）先化简，再求值：( −x+1)÷ ，其中x＝﹣4．下面是小明
x+2 x2+4x+4
同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务．x2−1 (x+1)(x+2) x2+4x+4
解：原式=[ − ]⋅ 第一步
x+2 x+2 x−1
−3x−3 (x+2) 2
= ⋅ 第二步
x+2 x−1
(−3x−3)(x+2)
= 第三步
x−1
3(x+1)(x+2)
=− 第四步
x−1
（1）填空：
①以上化简步骤中，第 三 步是约分得到的，约分的依据是 分式的基本性质 ；
②第 一 步开始出现错误，这一步错误的原因是 添括号时括号里面的第二项没有变号 ．
（2）请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值；
（3）请根据平时数学学习中积累的经验就分式的化简过程写出一条注意事项；
【分析】（1）①根据约分法则判断；
②根据添括号法则解答；
（2）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案；
（3）根据添括号法则解答．
【解答】解：（1）①以上化简步骤中，第三步是约分得到的，约分的依据是分式的基本性质，
故答案为：三，分式的基本性质；
②第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时括号里面的第二项没有变号，
故答案为：一，添括号时括号里面的第二项没有变号；
x2−1 (x−1)(x+2) x2+4x+4
（2）原式＝[ − ]•
x+2 x+2 x−1
x2−1 x2+x−2 x2+4x+4
＝（ − ）•
x+2 x+2 x−1
1−x (x+2) 2
= •
x+2 x−1
＝﹣x﹣2，
当x＝﹣4时，原式＝﹣（﹣4）﹣2＝4﹣2＝2；
（3）注意：添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号（答案不唯一）．
14．（2024春•肥乡区期末）老师布置了教材中的习题作为今天的作业：
3x x x2−4
用两种方法计算( − )⋅ ．
x−2 x+2 x
下面是小李同学作业中的部分运算过程：
3x(x+2) x(x−2) x2−4
解：原式＝[ − ]⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步
(x−2)(x+2) (x−2)(x+2) x
3x2+6x x2−2x (x+2)(x−2)
=[ − ]⋅ ⋯⋯⋯第二
(x−2)(x+2) (x−2)(x+2) x
3x2+6x(x2−2x) (x+2)(x−2)
= ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步
(x−2)(x+2) x
3x2+6x−x2−2x (x+2)(x−2)
= ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步
(x−2)(x+2) x
＝……（1）以上化简步骤中，第 一 步是通分；
（2）第 三 步开始出现错误，错误的原因是 把减法算成了乘法 ；
（3）用第二种方法化简分式．
【分析】（1）根据通分的定义进行解答即可；
（2）根据同分母分式的加减法则解答即可；
（3）根据分式混合运算的法则进行解答即可．
【解答】解：（1）由解题过程可知，第一步是通分．
故答案为：一；
（2）由解题过程可知，第三步出现错误，把分子相减计算成了相乘．
故答案为：三，把减法算成了乘法；
3x (x+2)(x−2) x (x+2)(x−2)
（3）原式= • − •
x−2 x x+2 x
＝3（x+2）﹣（x﹣2）
＝3x+6﹣x+2
＝2x+8．
15．（2023秋•弋江区期末）下面是小华同学进行分式化简的过程，请你认真阅读并完成相应任务．
x2−9 2x+1
− ⋯⋯第一步
x2+6x+9 2x+6
(x+3)(x−3) 2x+1
= − ⋯⋯第二步
(x+3) 2 2(x+3)
2(x−3) 2x+1
= − ⋯⋯第三步
2(x+3) 2(x+3)
2(x−3)−(2x+1)
= ⋯⋯第四步
2(x+3)
2x−6−2x+1
= ⋯⋯第五步
2(x+3)
5
=− ⋯⋯第六步
2x+6
任务一：填空：①以上化简步骤中，第 三 步是进行分式的通分，通分的依据是 分式的基本性
质 ；
②第 五 步开始出现错误，这一步错误的原因是 去括号时，括号前面是“﹣”号，去括号后，
括号里的第二项没有变号 ．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提
一条建议．
【分析】任务一：①根据通分的概念及分式的基本性质进行填空；
②根据去括号法则进行分析判断；
任务二：先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，再计算；
任务三：结合分式的化简求值要求，异分母分式加减法运算法则进行分析解答．
【解答】解：任务一：①化简步骤中，第三步进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，
故答案为：四，分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；
②第五步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是“﹣”号，去括号后，括号里的第二项没
有变号，
故答案为：五；去括号时，括号前面是“﹣”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：
(x+3)(x−3) 2x+1
原式 = −
(x+3) 2 2(x+3)
x−3 2x+1
= −
x+3 2(x+3)
2(x−3) 2x+1
= −
2(x+3) 2(x+3)
2x−6−(2x+1)
=
2(x+3)
2x−6−2x−1
=
2(x+3)
7
=− ；
2x+6
任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进
行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．
【考点14 解分式方程】
16．（2023秋•东阿县期末）解分式方程：
4+x 2x
（1） + =1；
x−2 2−x
16 2+x
（2） +1= ．
x2−4 x−2
【分析】（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可；
（2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可．
4+x 2x
【解答】解：（1） + =1，
x−2 2−x
4+x﹣2x＝x﹣2，
解得x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解；
16 2+x
（2） +1= ，
x2−4 x−2
16+x2﹣4＝x2+4x+4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
∴原方程无解．
17．（2023秋•大武口区期末）解分式方程
3 1
（1） − =0；
x2+2x x2−2x
x 2x
（2） = +1．
x+1 3x+3【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式
方程的解．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
3 1
【解答】解：（1） − =0，
x2+2x x2−2x
去分母得：3（x﹣2）﹣（x+2）＝0，
解得：x＝4，
经检验x＝4是原方程的解．
x 2x
（2） = +1，
x+1 3x+3
去分母得：3x＝2x+3x+3，
3
解得：x=− ，
2
3
经检验x=− 是原方程的解．
2
18．（2023秋•商南县期末）解下列分式方程：
x 2x
（1） −1= ；
x−1 3x−3
2+x 16
（2） + =−1．
2−x x2−4
【分析】（1）首先去分母，方程两边同时乘以3（x﹣1），然后再移项、合并同类项得2x﹣3＝0，再
系数化1，最后验根，即可得到答案；
（2）首先去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），然后再移项、合并同类项得4x＝8，再系数化
1，最后验根，即可得到答案．
x 2x
【解答】解：（1） −1= ，
x−1 3x−3
两边同时乘以3（x﹣1）得：3x﹣3（x﹣1）＝2x，
移项、合并同类项得：2x＝3，
系数化1得：x＝1.5，
检验：当x＝1.5时，3（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝1.5；
2+x 16
（2） + =−1，
2−x x2−4
两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得：﹣（x+2）2+16＝4﹣x2，
移项、合并同类项得：4x＝8，
系数化1得：x＝2，
检验，当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
19．（2023秋•盐山县期末）解下列分式方程：
2 1+x
（1） = +1；
x−2 x−2
2x+9 4x−7
（2） − =2．
3x−9 x−3【分析】（1）方程两边同时乘以（x﹣2），化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验；
（2）方程两边同时乘以3（x﹣3），化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
2 1+x
【解答】解：（1） = +1
x−2 x−2
方程两边同时乘以（x﹣2），得
2＝1+x+x﹣2，
3
解得：x= ；
2
3 3 1
当x= 时，x−2= −2=− ≠0，
2 2 2
3
∴x= 是原方程的解；
2
2x+9 4x−7
（2） − =2，
3x−9 x−3
方程两边同时乘以3（x﹣3），得
2x+9﹣3（4x﹣7）＝6（x﹣3），
即2x+9﹣12x+21＝6x﹣18，
解得：x＝3，
当x＝3时，3（x﹣3）＝0，
∴原方程无解．
20．（2024春•广水市期末）解分式方程
x x−1
（1） = ；
x−1 x+2
2 x 1
（2） + = ．
3 3x−1 9x−3
【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原方程去分母得：x（x+2）＝（x﹣1）2，
整理得：2x＝﹣2x+1，
1
解得：x= ，
4
1
检验：当x= 时，（x﹣1）（x+2）≠0，
4
1
故原方程的解为x= ；
4
（2）原方程去分母得：6x﹣2+3x＝1，
1
解得：x= ，
3
1
检验：当x= 时，3（3x﹣1）＝0，
3
1
则x= 是分式方程的增根，
3
故原方程无解．【类型3 压轴篇20题】
【考点15 与分式方程解有关的含参问题】
2−x
{ ≤2+x)
3
1．（2024•衡南县模拟）若实数m使关于x的不等式组 有解且至多有3个整数解，且使关于
m
x＜
3
mx−2 3
x的分式方程 + =2有整数解，则满足条件的整数m有（ ）个
x−1 1−x
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多3个整数解，求得m的取值范围；解分式方
程，检验，根据方程有整数解求得m的值
2−x
{ ≤2+x①)
3
【解答】解： ，
m
x＜ ②
3
解不等式①得：x≥﹣1，
m
∴﹣1≤x＜ ，
3
∵不等式组有解且至多3个整数解，
m
∴﹣1＜ ≤2，
3
∴﹣3＜m≤6，
分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1），
3
∴x= ，
m−2
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
3
∴ ≠1，
m−2
∴m≠5，
∵方程有整数解，
∴m﹣2＝±1，±3，
解得：m＝3，1，5，﹣1，
∵m≠5，﹣3＜m≤6，
∴m＝3，1，﹣1，
故选：C．
{ 2x−1＜5x−4 )
2．（2023秋•竹溪县校级期末）若关于x的不等式组 13 8 3 的解集为x≥a，且关于x的分
x− a≥ x−2a
6 3 2
x+3 a
式方程 + =2的解为非负数，则所有满足条件的整数a的个数是（ ）
x−1 1−x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】解不等式组并根据不等式组的解集为x≥a，求出a＞1，根据分式方程的解为非负数求出a≤5且
a≠4，最终得到1＜a≤5且a≠4，即可得到答案．
{ 2x−1＜5x−4 ① )
【解答】解： 13 8 3 ；
x− a≥ x−2a ②
6 3 2
解不等式①得，x＞1，
解不等式②得，x≥a，
∵不等式组的解集为x≥a，
x+3 a
∴a＞1， + =2，
x−1 1−x
去分母得，x+3﹣a＝2（x﹣1），
解得x＝5﹣a，
∵分式方程的解为非负数，且5﹣a≠1，
∴5﹣a≥0且a≠4，
∴a≤5且a≠4，
综上可知，a的取值范围为1＜a≤5且a≠4，
∴所有满足条件的整数为2，3，5，共有3个，
故选：B．
{2x−7≥x−8
)
3．（2024•张家界模拟）若整数a使关于x的不等式组 a−6x 有且只有4个整数解，且使关于y
＞−2
4
a 3
的分式方程 − =−1的解满足y＞﹣6，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
y−4 4−y
A．15 B．11 C．10 D．18
【分析】先解一元一次不等式，求出a的取值范围，再解分式方程，求出y，然后根据y＞﹣6，求出a
的取值范围，根据两个解集找出公共部分，从而求出答案即可．
{2x−7≥x−8
)
【解答】解：解不等式组 a−6x ，
＞−2
4
a+8
解得：−1≤x＜ ，
6
∵不等式组有且只有4个整数解，
a+8
∴2＜ ≤3，
6
解得：4＜a≤10，
a 3
解方程 − =−1，
y−4 4−y
a 3
+ =−1，
y−4 y−4
a+3＝4﹣y，
y＝1﹣a，
a 3
∵关于y的分式方程 − =−1 的解满足y＞﹣6，
y−4 4−y
∴1﹣a＞﹣6，解得：a＜7，
综上可知：4＜a＜7，
∴所有满足条件的整数a的值为：5，6
∴所有满足条件的整数a的值之和为：5+6＝11，
故选：B．
x mx−2
4．（2024•铁锋区三模）若关于x的分式方程 =1+ 无解，则m的值为（ ）
x−3 9−x2
16 16 2
A．﹣3或− B．− 或−
3 3 3
16 2 2
C．﹣3或− 或− D．﹣3或−
3 3 3
【分析】首先最简公分母为0，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系
数为0，满足这两个条件求出m的值．
【解答】解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x ＝3或x ＝﹣3，
1 2
x mx−2
原分式方程可化为： =1− ，
x−3 (x+3)(x−3)
去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2），
整理得（3+m）x＝﹣7，
∵分式方程无解，
∴3+m＝0，
∴m＝﹣3，
把x ＝3或x ＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7，
1 2
16 2
得m=− 或m=− ，
3 3
16 2
综上所述：m的值为m=− 或m=− 或m＝﹣3，
3 3
故选：C．
x−1 x−2 2x+a
5．（2024•会东县二模）若关于x的分式方程 − = 的解为负数，a的取值范围（
x−2 x+1 (x−2)(x+1)
）
A．a＜﹣5且a≠﹣7 B．a＞﹣5且a≠﹣1
C．a＞﹣5 D．a＜﹣5
【分析】根据分式方程解法以及方程解的情况确定a的取值范围，再根据分式方程的增根，进一步确定
a的取值范围即可．
x−1 x−2 2x+a
【解答】解：将关于x的分式方程 − = 的两边都乘以（x﹣2）（x+1）得，
x−2 x+1 (x−2)(x+1)
（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣2）2＝2x+a，
a+5
解得x= ，
2
x−1 x−2 2x+a
∵关于x的分式方程 − = 的解为负数，
x−2 x+1 (x−2)(x+1)
∴a+5＜0，
由于分式方程有增根x＝2或x＝﹣1，a+5
当x＝2时，即 =2，解得a＝﹣1，
2
a+5
当x＝﹣1时，即 =−1，解得a＝﹣7，
2
∴a≠﹣1且a≠﹣7，
综上所述，a＜﹣5且a≠﹣7．
故选：A．
【考点16 利用分式的基本性质求值】
3(a−2b)+3b
6．（2024•北京）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式 的值．
a2−2ab+b2
【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可．
【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
3(a−2b)+3b
a2−2ab+b2
3a−6b+3b
=
(a−b) 2
3a−3b
=
(a−b) 2
3(a−b)
=
(a−b) 2
3
=
a−b
3
=
1
＝3．
a2−3ab+b2
7．（2024春•金华期末）已知a﹣3b＝0，求分式 的值．
a2+b2
3ab
【分析】由已知得到a＝3b，再将原分式化简为1− ，然后代入求值即可．
a2+b2
【解答】解：∵a﹣3b＝0，
∴a＝3b，
a2−3ab+b2
∴
a2+b2
a2+b2−3ab
=
a2+b2
3ab
＝1−
a2+b2
3×3b⋅b
＝1 −
(3b) 2+b29b2
＝1−
10b2
9
＝1−
10
1
= ．
10
6x−3 y
8．（2024•东城区一模）已知2x﹣y﹣9＝0，求代数式 的值．
4x2−4xy+ y2
【分析】根据2x﹣y﹣9＝0，得2x﹣y＝9，化简约分即可求出答案．
【解答】解：∵2x﹣y﹣9＝0，
∴2x﹣y＝9，
6x−3 y
∴
4x2−4xy+ y2
3(2x−y)
=
(2x−y) 2
3
= ，
2x−y
当2x﹣y＝9时，
3 1
原式= = ．
9 3
1 1 a−3ab+b
9．（2023秋•道县期中）已知 + =6，求 的值．
a b a+12ab+b
1 1 a−3ab+b
【分析】先把 + = 6，变形为a+b＝6ab，再代入 ，求解即可．
a b a+12ab+b
【解答】解：由题意得，ab≠0，
1 1
∵ + =6，
a b
∴a+b＝6ab，
a−3ab+b
∴
a+12ab+b
a+b−3ab
=
a+b+12ab
6ab−3ab
=
6ab+12ab
3ab
=
18ab
1
= ．
6
a+b−c a−b+c −a+b+c
10．（2023秋•宣州区校级期中）已知a，b，c均为非零实数，且满足 = = ，
c b a
(a+b)(b+c)(c+a)
求： 的值．
abc【分析】首先利用已知，结合当a+b+c≠0时以及当a+b+c＝0时分别分析求出答案．
a+b−c a−b+c −a+b+c
【解答】解：当a+b+c≠0时，∵ = = ，
c b a
(a+b−c)+(a−b+c)+(−a+b+c) a+b+c
∴ = =1，
a+b+c a+b+c
a+b−c a−b+c −a+b+c
∴ = = =1，
c b a
∴a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
即a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，
(a+b)(b+c)(c+a) 2c×2b×2a
∴ = =8；
abc abc
当a+b+c＝0时，可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，
则原式＝﹣1．
(a+b)(b+c)(c+a)
综上所述： 的值为﹣1或8．
abc
【考点17 分式中的新定义问题】
11．（2024秋•福山区期中）请阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，（我们称之为“假分
x+1 x2 1
式”，例如： ， ；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ，
x−1 x−1 x+1
2x+1 12 10+2 2
．我们知道，假分数可以化为带分数，例如： = =2+ ．类似的，假分式也可以化为
x2−1 5 5 5
x+1 x−1+1+1 2
“带分式”（整式与真分式和的形式），例如： = =1+ ．
x−1 x−1 x−1
5x−1
（1）将分式 化为带分式；
x−2
5x−1
（2）在（1）问中，当x取哪些数值时，分式 的值也是整数；
x−2
3x2+17 17
（3）当x的值变化时，分式 的最大值为 ．
x2+3 3
5(x−2)+9 9
【分析】（1）将原式化为 ，进而得到5+ 即可；
x−2 x−2
9
（2）使 是整数，即x﹣2＝±1或x﹣2＝±3或x﹣2＝±9即可；
x−2
3(x2+3)+8 8 8
（3）将 化为3 + ，再根据x2+3≥3得出当x2+3＝3时， 的值最大，再进行计算即
x2+3 x2+3 x2+3
可．
5x−1
【解答】解：（1）
x−2
5x−10+9
=
x−25(x−2)+9
=
x−2
9
＝5+ ；
x−2
9 5x−1
（2）当x﹣2＝±1或x﹣2＝±3或x﹣2＝±9时， 是整数，即 是整数，
x−2 x−2
即x的值为3，1，5，﹣1，11，﹣7，
5x−1
所以当x的值为3，1，5，﹣1，11，﹣7时，分式 的值是整数；
x−2
3x2+17 3(x2+3)+8 8
（3） = =3 + ，
x2+3 x2+3 x2+3
∵x2≥0，
∴x2+3≥3，
8 8
∴当x2+3＝3时， 的值最大，即最大值为 ，
x2+3 3
3x2+17 8 17
∴当x2+3＝3，即x＝0时，分式 的最大，最大值为3+ = ，
x2+3 3 3
17
故答案为： ．
3
k
12．（2023秋•赤坎区校级期末）阅读下列材料：求分式方程x+ =m的解，不妨设k＝ab，m＝a+b，可
x
6
得x ＝a，x ＝b是该分式方程的解．例如：求分式方程x+ =−5的解，可发现k＝6＝（﹣2）×（﹣
1 2 x
3），m＝﹣5＝（﹣2）+（﹣3），容易检验x ＝﹣2，x ＝﹣3是该方程的解．根据以上材料回答下列
1 2
问题：
12
（1）求分式方程x+ =7的解为 x ＝ 3 ， x ＝ 4 ；
x 1 2
3 1 1
（2）若x ＝m，x ＝n是分式方程x− =4的两个解，求 + 的值；
1 2 x m n
2n2+3n
（3）设n为自然数，若关于x的分式方程x+ =3n+5的两个解分别为x ，x （x ＜x ），求2x
1 2 1 2 1
x−2
﹣x 的值．
2
【分析】（1）类比题目中“阅读材料”的答题方法即可求解；
（2）结合运用“阅读材料”即可求出m和n的值，并代数运算即可求解；
（3）善于观察并分析方程，即可求出x 和x 的值，代入运算即可求解．
1 2
12 3×4
【解答】解：（1）x+ =7可化为x+ =3+4，
x x
∴x ＝3，x ＝4．
1 2
经检x ＝3，x ＝4是该方程的解．
1 2
故答案为：x ＝3，x ＝4；
1 2
（2）由已知得mn＝﹣3，m+n＝4，1 1
∴ +
m n
m+n
=
mn
4
=
−3
4
=− ．
3
n(2n+3)
（3）原方程变为(x−2)+ =n+(2n+3)，
x−2
∴x ﹣2＝n，x ﹣2＝2n+3，
1 2
∴x ＝n+2，x ＝2n+5，
1 2
∴2x ﹣x ＝2（n+2）﹣（2n+5）＝﹣1．
1 2
13．（2024秋•台江区校级期中）【阅读理解】
x 1 x2
=
阅读下面的解题过程：已知： ，求 的值；
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = 知x≠0，∴ =3，即x+ =3①，
x2+1 3 x x
x4+1 1 1 x2 1
∴ =x2+ =(x+ ) 2−2=32−2=7②，故 的值为 ．
x2 x2 x x4+1 7
1 1
（1）第②步x2+ =(x+ ) 2−2运用了公式： a 2 + b 2 ＝（ a + b ） 2 ﹣ 2 a b ；（要求：用含a、b的式子
x2 x
表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
x x2
已知：
=−2，求
的值．
x2−3x+1 x4+5x2+1
【拓展延伸】
ab 1 bc 1 ac 1 abc
（3）已知： = ， = ， = ，求 的值．
a+b 15 b+c 17 a+c 16 ab+bc+ac
【分析】（1）根据示例和完全平方公式，可得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
1 5
（2）利用新定义——倒数法，先得到x+ = ，再把所求式子转化为倒数形式，从而得到结果；
x 2
1 1 1
（3）对已知条件，利用倒数法，得到 ， ， 的值，再对所求式子也转化为倒数形式，得到结
a b c
果．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
x
（2）∵ =−2，
x2−3x+1x2−3x+1 1
∴ =− ，
x 2
1 1
∴x+ −3=− ，
x 2
1 5
即x+ = ，
x 2
x4+5x2+1 1
∴
=x2+5+
x2 x2
1
=(x+ ) 2−2+5
x
5
=( ) 2−2+5
2
37
= ，
4
x2 4
∴ = ；
x4+5x2+1 37
ab 1 bc 1 ac 1
（3）∵ = ， = ， = ，
a+b 15 b+c 17 a+c 16
a+b b+c a+c
∴ =15， =17， =16，
ab bc ac
1 1 1 1 1 1
∴ + =15， + =17， + =16，
a b b c a c
1 1
{ + =15
)
a b
1 1
∴ + =17 ，
b c
1 1
+ =16
a c
1 1 1
解得： =7， =8， =9，
a b c
ab+bc+ac
∴
abc
ab bc ac
= + +
abc abc abc
1 1 1
= + +
c a b
＝9+7+8
＝24，
abc 1
∴ = ．
ab+bc+ac 24
14．（2024春•淮安期末）阅读下列解题过程：x 1 x2
=
已知 ，求 的值．
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = ，知x≠0，所以 =3，即x+ =3．
x2+1 3 x x
x4+1 1 1
∴ =x2+ =(x+ ) 2−2=32−2=7
x2 x2 x
x2 1
∴ 的值为7的倒数，即 ．
x4+1 7
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
x 1 x2
（1）已知 = ，求 的值．
x2+1 2 x4+1
x 1 x2
（2）已知 = ，求 的值．
x2−x+1 7 x4−x2+1
xy yz 4 zx 4 xyz
（3）已知 =2， = ， = ，求 的值．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx
1
【分析】（1）把已知等式变形求出x+ 的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
x
1
（2）把已知等式变形求出x+ 的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
x
1 1 1
（3）把已知三个等式变形后相加可以求出 + + 的值，再把所求的式子变形后进行计算即可．
x y z
x 1
【解答】解：（1）由 = ，知x≠0，
x2+1 2
x2+1
所以 =2，
x
1
即x+ =2，
x
x4+1 1
∴
=x2+
x2 x2
1
＝（x+ ）2﹣2
x
＝22﹣2
＝2，
x2 1
∴ 的值为2的倒数，即 ；
x4+1 2x 1
（2）由 = ，知x≠0，
x2−x+1 7
x2−x+1
所以： =7，
x
1
∴x﹣1+ =7，
x
1
即x+ =8，
x
x4−x2+1 1
∴ =x2﹣1 +
x2 x2
1
＝（x+ ）2﹣3
x
＝82﹣3
＝61，
x2 1
∴ 的值为61的倒数，即 ；
x4−x2+1 61
xy
（3）由 =2，知x≠0，y≠0，
x+ y
x+ y 1
∴ = ，
xy 2
1 1 1
∴ + = ①，
y x 2
yz 4
由 = ，知y≠0，z≠0，
y+z 3
y+z 3
∴ = ，
yz 4
1 1 3
∴ + = ②，
z y 4
zx 4
由 = ，知z≠0，x≠0，
z+x 3
z+x 3
∴ = ，
zx 4
1 1 3
∴ + = ③，
x z 4
①+②+③得：
1 1 1 1 3 3
2（ + + ）= + + ，
x y z 2 4 4
1 1 1
∴ + + =1，
x y z
xy+ yz+zx 1 1 1
∴ = + + =1，
xyz z x yxyz
∴ 的值为1的倒数，即1．
xy+ yz+zx
15．（2023秋•崇川区期末）阅读：如果两个分式 A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为
x −1 x−1
“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式A= ，B= ，A+B= =1，则A与B互为
x−1 x−1 x−1
“关联分式”，“关联值”k＝1．
x−4 x−2
（1）若分式A= ，B= ，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，
x−3 x−3
请求出“关联值”k；
2x−1 M
（2）已知分式C= ，D = ，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2．
x−3 x2−9
①M＝ ﹣ 5 x ﹣1 5 （用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于 2 ；
(x−a)(x−b) (x−c)(x−5)
（3）若分式E= ，F= （a，b为整数且c＝a+b），E是F的“关联分
x−4 4−x
式”，且“关联值”k＝5，求c的值．
【分析】（1）根据已知条件中的新定义，求出A+B并进行化简即可；
2x−1 M
（2）①根据已知条件中的新定义，列出C+D= + =2，然后进行化简，求出M即可；
x−3 x2−9
②把①中求出的M代入D，然后化简，根据已知条件，求出x的值即可；
（3）根据条件中的新定义，求出E+F并化简，从而列出关于a，b的二元一次方程组，求出a，b，再
代入c＝a+b进行计算即可．
【解答】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下：
x−4 x−2
∵分式A= ，B= ，
x−3 x−3
x−4 x−2 2x−6 2(x−3)
∴A+B= + = = =2，
x−3 x−3 x−3 x−3
∴A与B是互为“关联分式”，“关联值”k为2；
2x−1 M
（2）①∵分式C= ，D = ，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2，
x−3 x2−9
2x−1 M
∴C+D= + =2，
x−3 x2−9
(2x−1)(x+3) M
+ =2，
x2−9 x2−9
2x2+6x−x−3+M
=2，
x2−9
2x2+5x+M﹣3＝2x2﹣18，
∴M＝2x2﹣18﹣2x2﹣5x+3＝﹣5x﹣15，
故答案为：﹣5x﹣15；
−5x−15 −5(x+3) −5
②D= = = ，
x2−9 (x+3)(x−3) x−3
∵分式D的值为正整数，
∴x﹣3是﹣5的约数，即x﹣3＝﹣1或﹣5，解得：x＝2或﹣2，
∵x为正整数，
∴x＝2，
故答案为：2；
（3）∵E是F的“关联分式”，
(x−a)(x−b) (x−c)(x−5)
∴E+F= + =5，
x−4 4−x
x2−bx−ax+ab x2−5x−cx+5c
− =5，
x−4 x−4
5x+cx−bx−ax+ab−5c
=5，
x−4
（5+c﹣a﹣b）x+ab﹣5c＝5x﹣20，
∵c＝a+b，
∴5x+ab﹣5（a+b）＝5x﹣20，
∴ab﹣5（a+b）＝﹣20，
ab﹣5a＝5b﹣20，
a（b﹣5）＝5b﹣20，
5b−25+5 5(b−5)+5 5
a= = =5+ ，
b−5 b−5 b−5
∵a，b为整数，
∴b﹣5一定是5的约数，
∴b﹣5＝﹣1或﹣5或1或5，
解得：b＝4或0或6或10，
∴a＝0或4或10或6，
∴c＝a+b＝4+0＝4或10+6＝16，
∴c的值为4或16．
【考点18 分式方程的应用题】
16．（2024秋•北碚区校级期中）秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量
上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母
蟹数量的1.25倍．
（1）求公蟹、母蟹的售价；
（2）赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降
13
价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的 倍还多，且总费用不
7
超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？
【分析】（1）设一只公蟹的售价为x元，一只母蟹的售价为（12+x）元，根据“用2400元分别购买两
种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍”列出方程并求解即可；
（2）设应该购买公蟹m只，则购买母蟹（100﹣m）只，根据题意列不等式组解出m范围，即可得到答
案．
【解答】解：（1）设一只公蟹的售价为x元，一只母蟹的售价为（12+x）元，则：
2400 2400
=1.25× ．
x x+12
解得x＝48．
经检验，x＝48是原方程的解．∴x+12＝60，
答：公蟹的售价为48元/只，母蟹的售价为60元/只；
（2）设应该购买公蟹m只，则购买母蟹（100﹣m）只，
{ 100−m＞ 13 m )
根据题意得： 7 ，
60×0.9(100−m)+(48−6)m≤5000
1
解得33 ≤m＜35，
3
∵m为整数，
∴m＝34，
∴100﹣m＝100﹣34＝66，
答：应该购买公蟹34只，购买母蟹66只．
17．（2024秋•九龙坡区校级期中）“开心水果店”用 3200元购进一批糖心苹果，很快售完．该店又用
3000元购进第二批这种糖心苹果，已知第二批的进货价比第一批的进货价每千克少了1元，第一批购进
数量比第二批少20%．
（1）求第一批购进的苹果每千克多少元？
（2）该水果店销售第一批苹果时，每千克的售价为6元，全部售完后购进第二批苹果，发现第二批苹
果品质不如第一批，该店主将售价下降a%销售，结果仍有5%的苹果出现了腐坏现象，不能销售．若该
水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2875元，求a的最大值．
【分析】（1）设第一批购进的苹果每千克x元，则第二批购进的苹果每千克（x﹣1）元，根据第一批
购进数量比第二批少20%，列出分式方程，解方程即可；
（2）求出第一批、第二批购进苹果的数量，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，结合该水果
店售完这两批苹果后，总获利不低于2875元，列出一元一次不等式，解之取其最大值即可．
【解答】解：（1）设第一批购进的苹果每千克x元，则第二批购进的苹果每千克（x﹣1）元，
3200 3000
根据题意得： = （1﹣20%），
x x−1
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
答：第一批购进的苹果每千克4元；
（2）第一批购进苹果数量为3200÷4＝800（千克），
第二批购进苹果数量为3000÷（4﹣1）＝1000（千克），
根据题意得：6×800﹣3200+6（1﹣a%）×1000（1﹣5%）﹣3000≥2875，
解得：a≤25，
答：a的最大值为25．
18．（2024秋•滦州市期中）甲、乙两地相距180km，一辆汽车从甲地开往乙地，出发后前 1小时按原计
划的速度匀速行驶，1小时后在原计划速度的基础上提速50%匀速行驶，并比原计划提前40min到达乙
地，设前1小时行驶的速度为x km/h．
360−2x
（1）提速后走完剩余路程的时间为 h（用含x的式子表示）；
3x
（2）求汽车出发后前1小时的行驶速度；
（3）到达乙地后，当汽车以y km/h的速度原路返回时，同时有一辆货车以ay km/h（0＜a＜1）的速度
从甲地开往乙地，求两车相遇时汽车比货车多行驶多少千米（用含a的式子表示）．
【分析】（1）根据出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的 1.5倍匀速行驶，列出代数式即可；
（2）根据出发后前1小时按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计
划提前40min到达乙地，列出分式方程，解方程即可；
（3）设两车t h相遇，根据甲、乙两地相距180km，列出一元一次方程，即可解决问题．
180−x 360−2x
【解答】解：（1）由题意，提速后走完剩余路程的时间为 = （h）．
1.5x 3x
360−2x
故答案为： ；
3x
（2）由题意可知，提速后的速度是1.5x km/h，
180−x 180−x 40
依题意得： − = ．
x 1.5x 60
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
答：汽车出发后前1小时的行驶速度是60km/h；
（3）设两车t h相遇，
由题意得：yt+ayt＝180，
180
解得：yt= ，
1+a
180a
∴ayt= ，
1+a
180 180a 180−180a
∴ − = ．
1+a 1+a 1+a
180−180a
答：两车相遇时汽车比货车多行驶 千米．
1+a
19．（2023秋•硚口区期末）一辆汽车开往距离出发地360km的目的地，出发的第一小时按原计划的速度
匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前50min到达目的地．
（1）求原计划的行驶速度；
（2）汽车按原路返回，若司机准备一半路程以 a km/h的速度行驶，另一半路程以bkm/h的速度行驶
（a≠b），共用时t 小时；若司机准备用一半时间以a km/h的速度行驶，另一半时间以b km/h的速度
1
行驶，共用时t 小时．
2
①直接写出用含a，b的式子分别表示t 和t ；
1 2
②试比较t ，t 的大小，并说明理由．
1 2
【分析】（1）设原计划的行驶速度为x km/h，则一小时后的速度为1.2x km/h，根据一小时后以原来速
度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前50min到达目的地．列出分式方程，解方程即可；
（2）①求出t ，t 的大小即可；
1 2
180(a+b) 720 180(a−b) 2
②求出t ﹣t = − = ，即可得出结论．
1 2 ab a+b ab(a+b)
【解答】解：（1）设原计划的行驶速度为x km/h，则一小时后的速度为1.2x km/h，
360−x 360−x 50
由题意得： − = ，
x 1.2x 60
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
答：原计划的行驶速度为60km/h；180 180 180(a+b)
（2）①t = + = ，
1 a b ab
1 1
∵ t a+ t b＝360，
2 2 2 2
720
∴t = ，
2 a+b
②t
1
＞t
2
，理由如下：
180(a+b) 720
∵t = ，t = ，
1 ab 2 a+b
180(a+b) 720 180(a−b) 2
∴t ﹣t = − = ，
1 2 ab a+b ab(a+b)
∵a、b均为正数，且a≠b，
∴（a﹣b）2＞0，ab（a+b）＞0，
180(a−b) 2
∴ ＞0，
ab(a+b)
即t ﹣t ＞0，
1 2
∴t ＞t ．
1 2
20．（2023秋•武昌区期末）小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘
坐公交车，同时出发到梨园公交车站汇合．
（1）已知乘坐地铁和公交车的路程都是5千米，地铁的平均速度是公交车的两倍，虽然小美进站和出
站比小聪上下公交车多花了5分钟，但还是比小聪早到两分半钟．求地铁的平均速度．
（2）游玩途径东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价a元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼．两
人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了 b元/斤（a≠b），小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥
饼．
a+b
①用a，b表示小美购买酥饼的平均价格P小美 ＝
2
（元 / 斤） ，小聪购买酥饼的平均价格P小聪 ＝
2ab
（元 / 斤） ；
a+b
②小美和小聪谁的平均价格低？说明理由．
【分析】（1）设公交车的平均速度是x千米/小时，则地铁的平均速度是2x千米/小时，利用时间＝路
程÷速度，结合小美乘坐地铁比小聪乘坐公交车少用（5+2.5）分钟，可列出关于x的分式方程，解之经
检验后可得出公交车的平均速度，再将其代入2x中，即可求出地铁的平均速度；
（2）①利用平均价格＝两次购买酥饼的费用之和÷两次购买酥饼的质量之和，即可用含a，b的代数式
表示出小美及小聪购买酥饼的平均价格；
(a−b) 2 (a−b) 2
②二者作差后，可得出P小美 ﹣P小聪 =
2(a+b)
，结合a≠b，可得出
2(a+b)
＞0，即P小美 ﹣P小聪 ＞0，
进而可得出小聪购买酥饼的平均价格低．
【解答】解：（1）设公交车的平均速度是x千米/小时，则地铁的平均速度是2x千米/小时，
5 5 5+2.5
根据题意得： − = ，
x 2x 60
解得：x＝20，经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×20＝40（千米/小时）．
答：地铁的平均速度为40千米/小时；
2a+2b a+b
（2）①根据题意得：小美购买酥饼的平均价格P小美 =
2+2
=
2
（元/斤）；
20+20 2ab
= =
小聪购买酥饼的平均价格P小聪 20
+
20 a+b（元/斤）．
a b
a+b 2ab
故答案为： （元/斤）， （元/斤）；
2 a+b
②小聪购买酥饼的平均价格低，理由如下：
a+b 2ab (a+b) 2 4ab (a+b) 2−4ab (a−b) 2
P小美 ﹣P小聪 =
2
−
a+b
=
2(a+b)
−
2(a+b)
=
2(a+b)
=
2(a+b)
，
∵a≠b，
∴a+b＞0，（a﹣b）2＞0，
(a−b) 2
∴ ＞0，即P小美 ﹣P小聪 ＞0，
2(a+b)
∴小聪购买酥饼的平均价格低．
