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专题 4.6 全等辅助线与模型必考七大类型
【人教版】
【类型1 中点模型之倍长构全等】..........................................................................................................................1
【类型2 三垂直模型（K字模型）】......................................................................................................................3
【类型3 一线三等角模型】......................................................................................................................................4
【类型4 手拉手模型】..............................................................................................................................................6
【类型5 夹半角模型】..............................................................................................................................................8
【类型6 婆罗摩笈多模型】....................................................................................................................................11
【类型7 角平分线模型】........................................................................................................................................13
【类型1 中点模型之倍长构全等】
1．（2023秋•碧江区 期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，
BE＝8，CF＝5，则EF的长度为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
2．（2023秋•栖霞区校级月考）如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝7，AE＝ED＝8，∠ABC+∠AED＝
180°，M为边CD的中点，BM＝9，EM＝10，则五边形ABCDE的面积为＝ ．
3．如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．4．（2024春•普宁市月考）如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的
延长线于点F，交AB于点G．若BG＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线．
5．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，M 为 BD 的中点，直线 AM 交 CE 于 N，求证：
MN⊥CE．
6．（2024春•雁塔区校级期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图 1，在△ABC
中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图 1，延长AD到点E，使
DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、
2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 ．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图 2，在△ABC中，D是BC边上的
一点，AE是△ABD的中线，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，试说明：AC＝2AE；
【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝
AB，AF＝AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由．【类型2 三垂直模型（K字模型）】
1．（2023秋•武汉期末）如图，AB⊥BC，AD⊥BD，AB＝BC＝10，AD＝8，BD＝6，则S△ACD 为（ ）
A．48 B．50 C．56 D．64
2．（2023秋•江夏区校级月考）如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝8，
BD＝3，则DE的长是 ．
3．（2023秋•孟津县期中）如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，EF⊥AC，BG⊥AC，
DH⊥AC垂足分别是F、G、H，请按照图中所标注的数据：EF＝6，BG＝3，DH＝4．计算图中实线所
围成的图形的面积S是 ．
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，BE⊥MN于点E，AD⊥MN于点D，若BE＝
4，AD＝7，则DE的长为 ．
5．（2023秋•新洲区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F交
BC于E．（1）求证：∠ABD＝∠CAE．
（2）求证：∠ADB＝∠CDE．
（3）直接写出BD、AE、ED之间满足的数量关系．6．（2023秋•硚口区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC上一点，连接AE，作
AF⊥AE且AF＝AE，BF交AC于D．
（1）如图1，求证：D为BF中点；
（2）如图1，求证：BE＝2CD；
【类型3 一线三等角模型】
1．（2024春•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝
2BD，点E、F在线段AD上．∠CFD＝∠BED＝∠BAC，△ABC的面积为18，则△ABE与△CDF的面
积之和 ．
2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为AB，BC上的点，且CD＝DE，∠CDE＝
45°．求证：BD＝BC．
3．（2023秋•曾都区校级期中）如图，D，A，E三点都在一条直线上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，AB＝
AC，求BD，CE，DE之间的数量关系．4．（2023秋•东西湖区期中）在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝
∠A．
（1）如图1，若BC＝BD，求证：CD＝DE；
（2）如图2，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD＝BD，EH＝3，求CE﹣BE的值．
5．（2023秋•淮南期中）CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，
且∠BEC＝∠CFA＝∠ ．
（1）若直线CD经过∠αBCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠ ＝90°，则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”、“＜”或
“＝”）； α
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠ 与∠BCA关系的条件 ，使①中的结论
仍然成立，并证明两个结论成立． α
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠ ＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的
合理猜想，并证明． α
6．（2024秋•滨湖区校级期中）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作
BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；
（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点 D，E，使∠ADB＝∠AEC＝
，补充∠BAC＝ （用 表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证
α明； α
（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝ （用 表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关
系，并予以证明． α
【类型4 手拉手模型】
1．如图：已知 AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC，BE、CD交于点 P，连接 AP．求证：AP平分
∠DPE．
2．（2023秋•增城区期中）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝ ，AD、BE交于点H，连CH．
（1）求证：△ACD≌△BCE； α
（2）求证：HC平分∠AHE；
（3）求∠CHE的度数．（用含 的式子表示）
α
3．如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC．
（1）求证：BD＝AE；
（2）若∠AEB＝50°，求∠EBD的度数．
4．如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为线段AC上除A，C外的任意一点，若点D为△ABC外一点，且∠ADB＝45°，判断BD，DC的位置关系．
5．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右
侧作等腰Rt△ADE，如果AB＝AC，∠BAC＝90°．解答下列问题：
（1）如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CE，BD之间的位置关系为 ，数
量关系为 ；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？
（3）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，当∠BCA＝45°时，请你判断线段CE，BD之间的位置关
系，并说明理由．
6．（2023秋•武昌区校级月考）在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，D为△ABC内部的一点，∠ABD＝∠ACD，求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）如图2，点D在△ABC外部，∠ADB＝∠ACB＝60°，求∠ADC的度数；
（3）如图3，点D在△ABC外部，∠ADB＝∠ACB＝60°，点E为AB的中点，连接DE，猜想DC和DE
的数量关系，并说明理由．
7．（2024春•肥城市期末）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如
果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点
相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，△ABC与△ADE都是
等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）．
【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，请直
接写出图中的一对全等三角形．
【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，BE、CD交
于点Q．求∠DQB的大小，并证明：BE＝CD．
【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝
90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．
【类型5 夹半角模型】
1．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD上的点，∠MAN＝45°．
（1）求证：MN＝BM+DN；
（2）求证：MA平分∠BMN．
2．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠C＝90°，E，F分别为BC，CD上的点，∠EAF＝45°．
探究EF，BE，DF之间的数量关系并证明．3．如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，求证：AD+DE
＝BE．
4．（2023秋•牧野区校级期中）（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC、CD上的
点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证
明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 BE + FD ＝ EF ；
（2）灵活运用：
1
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=
2
∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
（3）探索延伸：
如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在
CD的延长线上，如图3所示，且满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
5．（2023秋•西乡塘区校级月考）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F
分别是边BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+DF；
（2）如图②，将（1）中的条件，“∠B＝∠D＝90°”改为“∠B+∠D＝180°”，其他条件都不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E，F分别是边BC，CD延长线上的
点，且2∠EAF＝∠BAD，请写出EF，BE，DF三者之间的关系并证明．
6．（2023秋•黄陂区校级月考）如图1，四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝120°，E、F分别为AB、
AD上的点，∠ECF＝∠A＝60°．求证：EF＝BE+DF；
如图2，将图1中点E移至BA延长线上，点F移至AD延长线上，其余条件不变，写出EF和BE，DF
之间的数量关系并证明；
如图3，将图1中点E移至AB延长线上，点F移至DA延长线上，其余条件不变，直接写出EF和BE，
DF之间的数量关系为 ．
7．已知∠PAQ与正方形ABCD共顶点A，且∠PAQ＝45°，∠PAQ的两边所在直线分别与正方形的边CD、
CB所在直线相交于M、N．
（1）当∠PAQ在∠BAD内部时，（如图1），猜想线段DM、BN、MN之间的关系．
（2）当正方形的边AB在∠PAQ内部时，（如图2），（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请你写
出正确的结论，并说明理由．
（3）当∠PAQ绕A点顺时针旋转角α，（45°＜α＜135°） （如图3），写出线段DM、BN与MN之间
的关系．（不须证明）【类型6 婆罗摩笈多模型】
1．（2023秋•江阴市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，分别为AC、BC为一直
角边作等腰直角△ACE、△BCD，连接DE交BC的延长线于F，则△CEF的面积为 ．
2．如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°．求证：S△ACD ＝S△ABE ．
3．如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F
（1）求证：点F是ED的中点；
（2）求证：S△ABC ＝2S△BEF ．
4．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，点F为DE的中点，求证：BC＝2AF．5．（2023秋•鄱阳县校级期中）已知如图，AC＝AE，AD＝AB，∠ACB＝∠DAB＝90°，AE∥CB，AC、
DE交于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠B；
（2）猜想线段AF、BC的数量关系并证明．
6．（2023秋•哈尔滨校级月考）已知：AD为△ABC的中线，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，EF＝2AD
（1）如图1，求证：∠EAF+∠BAC＝180°；
（2）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点N，若∠ABC＝60°时，点G为EF中点，延长EB、FC交
于点M．请探究BM、BC之间的数量关系，并证明你的结论．
7．（2024秋•重庆校级月考）如图，在任意的△ABC中，分别以AB和AC为腰作等腰△ABE和等腰
△ACD，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE+∠CAD＝180°，连接DE，延长AC交DE于F．
（1）求证：∠CAB＝∠AED+∠ADE；
（2）若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°，如图2，求证：BC＝2AF；【类型7 角平分线模型】
1．（2024秋•武汉期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝2∠ADB，AB＝6，CD＝7，则BC的
长为（ ）
A．3 B．13 C．12 D．14
2．（2023秋•汉阳区期末）如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝40°，BC＝
AI+AC，则∠BAC的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
3．（2023春•虹口区期末）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，
设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）
A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定
4．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为5cm2，则△PBC的面积为（
）A．2cm2 B．2.5cm2 C．3cm2 D．不能确定
5．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为10，△ACD的面积为6，则△ABD
的面积是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
6．（2023秋•南通期中）如图，已知点 I是△ABC的角平分线的交点．若AB+BI＝AC，设∠BAC＝ ，则
∠AIB＝ （用含 的式子表示）． α
α
7．如图，△ABC中，∠BAC＝36°，AD平分∠BAC，AE⊥AD交BC的延长线于E，若CE＝BA+AC，则
∠B＝ ．
8．（2024秋•三河市校级期末）如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，
EF⊥BC交BC于F，AC＝8，BC＝12，则BF的长为 ．9．（2023秋•大足区校级期中）如图，AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上．
求证：AB＝AC+BD．
10．（2024秋•武昌区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE
相交于点P
（1）求∠CPD的度数；
（2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长．
11．（2023秋•番禺区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，
CE⊥BD于E．
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②求证：BD＝2EC；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜
想．
