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专题 4.6 二次函数综合题必考十大类型
【人教版】
【类型1 二次函数与线段问题】..............................................................................................................................1
【类型2 二次函数与面积问题】..............................................................................................................................4
【类型3 二次函数与角度问题】..............................................................................................................................6
【类型4 二次函数与等腰三角形问题】..................................................................................................................8
【类型5 二次函数与直角三角形问题】................................................................................................................11
【类型6 二次函数与平行四边形问题】................................................................................................................13
【类型7 二次函数与矩形问题】............................................................................................................................15
【类型8 二次函数与菱形问题】............................................................................................................................17
【类型9 二次函数与正方形问题】........................................................................................................................19
【类型10 二次函数中的定值问题】......................................................................................................................20
【类型1 二次函数与线段问题】
1．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上
一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为 ．
2．抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y
轴于点P．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图，当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出
所有满足条件的点D的横坐标．3．如图，二次函数y＝x2﹣4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B
（1，﹣3），与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
（2）点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点
1
D，设点P的横坐标为m．当PD= OC时，求m的值．
2
4．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线在
第四象限上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F
（1）用含m的代数式表示线段PF的长度，并求出其最大值；
（2）若EF：FP＝2：3，求点P的坐标．
3
5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=− x+3与y轴交于
4点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于
点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出线段CE的长（用含有m的代数式表示）；
（3）若PE＝5EF，求m的值；
6．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+c（a，c是常数，且a≠0）．
（1）若该二次函数的图象经过点（1，0）和（5，4），求该二次函数的表达式；
（2）若a﹣c＝1，且该二次函数图象经过第一、二、四象限，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若该二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C（点B在点C左
侧），线段MN在抛物线的对称轴上移动（点N在点M下方），且MN＝1．求MA+NB的最小值．
7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接
BC．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点
N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角
三角形，直接写出点Q的坐标．【类型2 二次函数与面积问题】
1．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0）、B（2，6）两点．
（1）求抛物线的解析式；
27
（2）已知点P在抛物线上，且在直线l上方，若△PAB的面积为 ，求点P的坐标．
4
1
2．如图，抛物线y=− x2+mx+n与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，
4
1
直线AC的函数解析式为y=− x+2．
2
（1）求点A，C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直
线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的
坐标；若不能，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C
（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，
请说明理由．
（3）若点P在直线BC的上方，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a＞0）与x轴交于A（4，0），B（﹣3，0）两
点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是第四象限抛物线上的动点，令四边形ABCD的面积为S，求S的最大值及此时点D
的坐标；
（3）如图2，点P是第三象限抛物线上一点，直线BE∥AP交y轴于点E，直线BP交y轴于点F，若四
边形AEBF的面积被坐标轴分为1：2两部分，求点P的坐标．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6交x轴于A（﹣2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C，点Q为线段BC上
的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求QA+QO的最小值；
（3）过点Q作QP∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别
为S ，S ，设S＝S +S ，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值．
1 2 1 2
【类型3 二次函数与角度问题】
1 16
1．如图，抛物线y= x2− 与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P（1，﹣3）在抛物线上，D是抛物线
5 5
上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标．2．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在第四象限的抛物线上求点P，使
∠PCB＝∠CAB，求出点P的坐标．
1 1
3．如图，抛物线y= x2− x﹣2与x轴交于点A和B两点，点C（6，4）在抛物线上，D为y轴左侧抛物
4 2
线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标．
1 1
4．如图，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=− x2+bx+c经过A，B两点，与x轴
2 2
的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶
点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C
（0，﹣3），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP．
（1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）△BCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）设直线AQ与直线BC交于点Q，若存在∠AQB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．【类型4 二次函数与等腰三角形问题】
1．综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴
1
交于点C，连接BC，直线l与抛物线交于B，D两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为− ．
2
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△BCD的面积；
（3）若抛物线的对称轴与直线l的交点为N，则在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BMN是以MN
为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，
0），与y轴交于点C，连接BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰
三角形，求新抛物线的解析式．3．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB
上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于
点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，DP的长最大？
（3）是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两
点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
（1）求m的值及点C坐标；
（2）连接AC、BC，求S△ABC ；
（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存
在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，并且与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线BC的解析式为 ；
（3）若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的
长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值；
（4）在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，
请证明；如果不存在，说明理由．
6．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点A（1，0），B（m，0），C（0，﹣3），过点C作
CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n．
（1）填空：m＝ ，a＝ ，c＝ ；
（2）在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接 OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的
值；
（3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使△PDQ为等腰直角三角
形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【类型5 二次函数与直角三角形问题】
1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点
B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC＝2OA．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线CB的距离是7时，求m的值；
（3）点P为抛物线对称轴上一点，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的
坐标．
2．在平面直角坐标系中，把与 x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线 L ：
1
1 1
y=− x2− x+2交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L 与L 是“共根抛物
2 1
4 2
线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L 经过点（1，﹣5），求抛物线L 对应的函数关系式；
2 2
（2）当△BPC的周长最小时，求抛物线L 对应的函数关系式；
2
（3）是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线 L
2
对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．3．如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线
y＝x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为
直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
4．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
（1）求A，B两点的坐标；（2）求△MBC的面积；
（3）对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 N的坐
标；若不存在，请说明理由．
【类型6 二次函数与平行四边形问题】
1．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，已知A（﹣
1，0），连接BC，抛物线对称轴与BC交于点E．
（1）求b的值及顶点D的坐标；
（2）点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在以DE为边，且以点D、E、P、Q为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣
1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出
N的坐标．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上
的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t（0＜t＜3），交BC于点D．
（1）求A，B的坐标和直线BC的解析式；
（2）连接BP，求△CPB面积的最大值；
（3）已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，
E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值．
5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线
的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【类型7 二次函数与矩形问题】
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C
的坐标为（0，3），直线l经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC
于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以
C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作
PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四
边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
1
3．如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为A（4，4），与直线y= x交于点O和点C．
4（1）直接写出点B的坐标 ；
（2）求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；
1
（3）如图2，点T（t，0）（t＞0）是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线y= x于
4
点D，交抛物线于点E，以DE为一边，在DE的右侧作矩形DEFG，且DG＝2．当矩形DEFG的面积
随着t的增大而增大时，求t的取值范围．
4．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，过点P作PE⊥AC
于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出PD+EF的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛
物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩
形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【类型8 二次函数与菱形问题】
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A
（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是线段OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于
1
点F，当DF= EF时，求点E的坐标；
3
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，
使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理
由．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C（0，
4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上位于直线AC上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线
AC于点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐
标；
（3）在（2）中PE+PF取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛
物线与平移前的抛物线交于点H，M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点 N，
使得以点H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N的坐标．
1 3
3．已知抛物线y=− x2+ x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．
2 2
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四
边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积；
（3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得以P、C、
M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明
理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两
点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线
BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线沿射线CB方向平移❑√5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面
内确定一点N，使得以点A（﹣1，0），Q（2，3），M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件
的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【类型9 二次函数与正方形问题】
1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点B，与y轴相交于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过两点B，C，与x
轴另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，点E以每秒1个单位长度的速度在线段OB上
由点O向点B运动（点E不与点O和点B重合），设运动时间为t秒，过点E作EF⊥x轴交CD于点F，作EH⊥BC于点H，交y轴右侧的抛物线于点G，连接FG，当S△EFG ＝4时，求t的值；
（3）如图2，正方形MNPQ，边MQ在x轴上，点Q与点B重合，边长MN为1个单位长度，将正方形
MNPQ沿射线BC方向，以每秒❑√2个单位长度的速度平移，时间为t秒，在平移过程中，请写出正方形
MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围．
2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点P是抛物线上的动
点，且横坐标为m，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，以PQ为边在PQ的右侧作正方形
PQMN．
（1）直接写出此抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方的抛物线上时，求PQ的长（用含m的代数式表示）；
（3）当抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）时，求m的值；
（4）当此抛物线在正方形PQMN内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标
之差为2时，直接写出m的值．
3．综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 （ 1 ， 2 ） ；
（3）点D为二次函数位于线段AB下方图象上一动点，过点 D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求
△ABD面积的最大值；
（4）在（2）的条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
2
4．如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，2），点D是抛物
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线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点D在直线BC上方时，作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，当∠D＝∠BCO时，
求点D的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形 BPDQ为正方形时，请直
接写出点Q的坐标．
【类型10 二次函数中的定值问题】
1．如图1，抛物线 与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接
C ：y=−x2+bx+c
1
AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，连接AD，DC．
（1）求抛物线C 的解析式；
1
（2）求△ADC面积的最大值；
（3）如图2，将抛物线C 沿y轴翻折得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，
1 2 2
过点H（1，2）的直线与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．试探究GM•GN是
否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．2．如图1，抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的
坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线BM的距离相等时，求直线BM的解析式；
（3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m（﹣3＜m＜﹣1），点F的横坐标为m+1．过点D作
x轴的垂线交直线AC于点M，过点F作x轴的垂线交直线AC于点N．
①如图2，连接DF，求四边形DFNM面积的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接AD和FC，试探究△ADM与△CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不
是，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，若（x ，y ），
1 1
（x ，y ）是抛物线上不同的两点，当x +x ＝0时，总有y ＝y ，且AB＝4．
2 2 1 2 1 2
（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，连接PA、PB、AC，若∠PAC＝∠PCA，求点P的坐标．
（3）点M，N的横坐标分别为m、n（m≠n，m﹣n≠4），且点M，N均在抛物线上，已知直线AM、
BN相交于点H．当直线MN经过点O时，判断△ABH的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不
是，请说明理由．4．抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4ac（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）如图1，∠ACB＝90°，求出抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，点D（x ，y ）（x ＜0）是抛物线上y＝ax2﹣3ax﹣4ac的动点，直线DO与抛
1 1 1
物线的另一个交点为E；
①若D、E关于点O对称，求D点坐标；
②若点P（0，m）是y轴上一点，直线DP的表达式为y＝k x+b ，直线EP的表达式为y＝k x+b ，当
1 1 2 2
k +k 的值是一个定值时，求m的值．
1 2
5．如图，直线l：y＝﹣x+4交x轴、y轴的正半轴分别于E、D点，有抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a＞
0）．
（1）求证：当a（a＞0）变化时，抛物线与x轴恒有两个交点；
（2）当a（a＞0）变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，说明理
由；
（3）设直线l与抛物线交于M、N两点探究：在直线l上是否存在点P．使得无论a（a＞0）怎么变
化，PM⋅PN恒为定值？若存在，求出所有满足条件的点 P的坐标，并说明点P是否在线段MN上；若
不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线 与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接
C ：y=−x2+bx+c
1
AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段DE的最大值，并求出此时点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线C 沿y轴翻折得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，
1 2 2
过点H（1，2）的直线（直线FH除外）与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．
试探究GM•GN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
7．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣
3，0），对称轴为直线x＝﹣1．点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点
N．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求点N到直线AC的距离最大值，并求出
此时点P的坐标．
（3）若点M在线段AC上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线MP上一动点，连接AD、
CD，直线AD、CD分别交抛物线于E、F，连接EF，当MN平分EF时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由．
