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专题 4.7 整式的应用必考七大类型
【人教版2024】
【类型1 整式的应用（周长与面积）】..................................................................................................................1
【题型一 周长问题】.................................................................................................................................................1
【题型二 面积问题】.................................................................................................................................................5
【类型2 整式的应用（实际问题）】......................................................................................................................9
【题型一 分段计费问题】.........................................................................................................................................9
【题型二 方案选择问题】.......................................................................................................................................13
【类型3 整式的应用（数式规律）】....................................................................................................................17
【题型一 循环类规律】...........................................................................................................................................17
【题型二 公式型规律】...........................................................................................................................................22
【类型4 整式的应用（图形规律）】....................................................................................................................26
【题型一 等差型规律】...........................................................................................................................................26
【题型二 递增型规律】...........................................................................................................................................29
【题型三 含平方型规律】.......................................................................................................................................34
【类型5 整式的应用（月历与数阵）】................................................................................................................37
【题型一 月历问题】...............................................................................................................................................37
【题型二 数阵问题】...............................................................................................................................................40
【类型6 整式的应用（整除问题）】....................................................................................................................43
【类型7 整式的应用（幻方问题）】....................................................................................................................48
【类型1 整式的应用（周长与面积）】
【题型一 周长问题】
1．（2023秋•襄城县期末）已知长为a的两个完全相同的大长方形，按照如图所示的方式各放入四个完全
一样的小长方形，则图1与图2阴影部分周长之差为 ．（用含a的代数式表示）
【分析】设图中大长方形的宽为b，小长方形的长为x，宽为y，由图可知，x+2y＝a，x＝2y，得出a＝
4y，然后分别表示出图1阴影部分周长和图2阴影部分周长，然后求其差，即可得出答案．
【解答】解：设图中大长方形的宽为b，小长方形的长为x，宽为y，由图可知，x+2y＝a，x＝2y，∴a＝4y，
图1阴影部分周长为：2b+2（a﹣x）+2x＝2a+2b，
图2阴影部分的周长为：2（a+b﹣2y）＝2a+2b﹣4y，
∴图1与图2阴影部分周长之差为：（2a+2b）﹣（2a+2b﹣4y）＝4y＝a．
故答案为：a．
2．（2023秋•嘉兴期末）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图
（1）中阴影部分的周长和为m，图（2）中阴影部分的周长和为n，且AM＝ND．若AD＝17，m﹣n＝
9，则正方形①的边长为 ．
【分析】设AB＝x，正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及
图（2）中阴影部分的周长和n，根据题意列方程即可解决．
【解答】解：设AB＝x，正方形①边长为a，正方形②边长为b，
∵AD＝17，
则图（1）中阴影部分的周长和为m＝2（17﹣a）+2（17﹣b）+2（x﹣a）+2（x﹣b）
＝4x+68﹣4a﹣4b，
∵AM＝ND，
图（2）中阴影部分的周长和为
17 a 17−a 17−a 17−a
n=x+(17−b)+(x−a)+ + −b+a+ +x−b+ +x−b+ ，
2 2 2 2 2
＝4x+51﹣a﹣4b，
∵m﹣n＝9，
（4x+68﹣4a﹣4b）﹣（4x+51﹣a﹣4b）＝9，
8
解得：a= ，
3
8
则正方形①的边长为 ，
38
故答案为： ．
3
3．（2024•玄武区校级模拟）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠的放在一个
底面为长方形（长为 7cm，宽为6cm的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表
示，则图②中两块阴影部分的周长和是 cm．
【分析】根据题意，可以先设小长方形卡片的长为a cm，宽为b cm，然后即可表示出两个阴影部分的
周长，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：设小长方形卡片的长为a cm，宽为b cm，
图②中两块阴影部分的周长和是：2a+（6﹣3b）×2+3b×2+（6﹣a）×2
＝2a+12﹣6b+6b+12﹣2a
＝24（cm），
故答案为：24．
4．（2023秋•思明区校级期末）将两边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长
方形ABCD中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖
的部分用阴影表示，设图1上中阴影部分的周长为C ，图2中阴影部分的周长为C ，则C ﹣C 的值为
1 2 1 2
．
【分析】根据周长的计算公式，列出式子计算．
【解答】解：由题意知：
C ＝AD+CD﹣b+AD﹣a+a﹣b+a+AB﹣a．
1
∵ABCD是长方形．
∴AB＝CD．∴C ＝2AD+2AB﹣2b．
1
同理：
C ＝AD﹣b+AB﹣a+a﹣b+a+BC﹣a+AB＝2AD+2AB﹣2b．
2
∴C ﹣C ＝0．
1 2
故答案为：0．
5．（2023秋•武汉期末）从如图1（边长为a）的正方形纸片上剪去两个相同的小长方形，得到如图 2的
图案（横向、纵向的宽度均为b），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3），若a﹣2b＝
3，则图3中新长方形的周长为 ．
【分析】分别用代数式表示出新长方形的长和宽，再用周长公式表示出周长，最后化简便得到答案．
【解答】解：新长方形的长：a﹣3b；
新长方形的宽：a﹣b．
（a﹣3b）×2+（a﹣b）×2
＝2a﹣6b+2a﹣2b
＝4a﹣8b
＝4（a﹣2b），
∵a﹣2b＝3，
∴新长方形的周长：4×3＝12，
故答案为：12．
6．（2023秋•郾城区期中）如图，在一个长方形中放入三个正方形，从大到小正方形的边长分别为a，b，
c，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分周长差为 ．【分析】设重叠部分的小长方形的长与宽分别为x和y，依次表示图上阴影部分的各边的长，从而利用
周长公式可得答案．
【解答】解：设重叠部分的小长方形的长与宽分别为x和y，
则阴影部分的周长为：
2（a+b﹣x﹣c）+2（b+c﹣y）﹣2（b﹣x）﹣2（a﹣y）
＝2a+2b﹣2x﹣2c+2b+2c﹣2y﹣2b+2x﹣2a+2y
＝2b．
故答案为：2b．
【题型二 面积问题】
1．（2023秋•长治期末）一条长为m，宽为n的长方形纸条（m＞3n），分成两个正方形和一个长方形
（如图1），现将长方形纸条对折，使边AB与边CD重合，得到折痕MN（如图2），则长方形MNFE
的面积是 （用含有m、n的代数式表示）．
【分析】由题意可知EF＝n，再用含有m、n的代数式表示出ME，进而求出面积．
【解答】解：∵一条长为m，宽为n的长方形纸条（m＞3n），分成两个正方形和一个长方形，
∴两个正方形的边长均为n，长方形的宽为n，长为m﹣2n，
∴EF＝AB＝CD＝n，
∵将长方形纸条对折，使边AB与边CD重合，得到折痕MN，
1
∴ME= （m﹣2n），
2
1 1
∴长方形MNFE的面积＝ME•EF= （m﹣2n）n= mn﹣n2．
2 21
故答案为： mn﹣n2．
2
2．（2023秋•北碚区校级期末）某校现要对如图所示的一块长方形空地进行种花美化，长方形的长 AB为
a，宽BC为b，以AD中点为圆心，b为直径作扇形，再以B为圆心，b为半径作扇形，在图中阴影部分
种上向日葵．用含有a，b的代数式表示种植向日葵部分（阴影部分）的面积S为 ．（结果保留
）
π
【分析】根据长方形的面积公式和圆的面积公式，分别求出长方形，以 AD中点为圆心，b为直径的扇
形的面积和以B为圆心，b为半径的扇形的面积，然后根据阴影部分的面积＝长方形的面积﹣两个扇形
的面积，列出代数式即可．
【解答】解：由题意得：长方形 ABCD的面积为ab，以AD中点为圆心，b为直径作扇形的面积为
1 b πb2 1 πb2
×π( ) 2= ，以B为圆心，b为半径作扇形的面积为 π×b2= ，
2 2 8 4 4
πb2 πb2 3πb2
∴种植向日葵部分的面积为：ab− − =ab− ．
8 4 8
3πb2
故答案为：ab− ．
8
3．（2023秋•中牟县校级期中）如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为 S ，S ，两个
1 2
小正方形，面积分别为S ，S ，若2S ﹣S 的值与AB的长度无关，则S 与S 之间的关系是 ．
3 4 1 2 3 4
【分析】把两个小正方形S 、S 的边长分别设为 a、b，分别表示出S 、S 、S 、S 的面积，根据与AB
3 4 1 2 3 4长度无关得出 a、b 的关系，进而得出S 、S 间的关系．
3 4
【解答】解：设S 的边长为a，S 的边长为b，则S =a2，S =b2，S =a(b+AB)，S =b(a+AB)
3 4 3 4 1 2
，
∴2S ﹣S ＝2a（b+AB）﹣b（a+AB）＝ab+（2a﹣b）AB，
1 2
又∵2S ﹣S 的值与AB的长度无关，
1 2
∴S =b2=(2a) 2=4a2 ，
4
∴S ＝4S ．
4 3
故答案为：S ＝4S ．
4 3
4．（2023秋•香洲区校级期中）如图，正方形ABCD内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正
方形，其中②号正方形的部分被①号和③号正方形遮盖，若②号和③号正方形未被遮盖部分的面积
为S，则图中阴影部分面积为 ．（用含S的式子表示）
S
【分析】设正方形ABCD的边长为a，结合题意可得S＝2（a﹣1），化简得出a−1= ，再根据S阴影 ＝
2
（a﹣1）×（a﹣1）即可获得答案．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，如图，
则②号和③号正方形未被遮盖部分的面积为：
S＝1×a﹣[（1×1）﹣1×（a﹣1）]＝2（a﹣1），
S
整理，可得a−1= ，
2S S S2
则阴影部分面积为S =(a−1)×(a−1)= × = ．
阴影 2 2 4
S2
故答案为： ．
4
5．（2023秋•湖州期末）将周长相等的正方形ABCD和长方形EFGH放入同一个大长方形内．按图1放
置，大长方形未被覆盖部分①和②的周长差为2，记①和②的周长和为C ；按图2放置，大长方形未
1
被覆盖部分③的周长记为C ．设AD为x，EF为y（x＜y）．
2
（1）用含x、y的代数式表示FG＝ ；
（2）若2C ＝C +8，则长方形EFGH的面积为 ．
2 1
【分析】（1）利用正方形和长方形的周长相等，列出式子即可得到答案；
（2）设大长方形的长为a，宽为b，分别求出C 、C 的值，再根据题中的关系式即可得到x、y、FG的
1 2
值，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵AD为x，EF为y，
∴正方形ABCD的周长为4x，
∵正方形ABCD和长方形EFGH的周长相等，
∴长方形EFGH为周长为4x，
∴（FG+y）×2＝4x，
∴FG＝2x﹣y；
故答案为：2x﹣y．
（2）设大长方形的长为a，宽为b，
①的周长为：2[a﹣x+b﹣（2x﹣y）]＝2a+2b﹣6x+2y，
②的周长为：2（a﹣y+b﹣x）＝2a+2b﹣2x﹣2y，∴C ＝2（a﹣2x+y+b﹣x）+2（b﹣y+a﹣x）＝4a+4b﹣8x，C ＝2（a+b﹣x）＝2a+2b﹣2x，
1 2
∵①和②的周长差为2，
∴（2a+2b﹣6x+2y）﹣（2a+2b﹣2x﹣2y）＝﹣4x+4y＝2，
1
∴y−x= ，
2
又∵2C ＝C +8，
2 1
∴4a+4b﹣4x＝4a+4b﹣8x+8，
4x＝8，
解得：x＝2，
1 5
∴y=2+ = ，
2 2
5 3
∴FG=2x−y=2×2− = ，
2 2
3 5 15
∴长方形EFGH的面积为：FG×y= × = ，
2 2 4
15
故答案为： ．
4
【类型2 整式的应用（实际问题）】
【题型一 分段计费问题】
1．（2023秋•射洪市期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节
水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表．
价目表
每月用水量 单价
不超出6m3的部分 2元/m3
超出6m3但不超出10m3的部分 4元/m3
超出10m3的部分 8元/m3
注：水费按月结算．
（1）填空：若该户居民2月份用水4m3，则应收水费 8 元；
（2）若该户居民3月份用水am3（其中6＜a＜10），则应收水费多少元？（用a的整式表示并化简）
（3）若该户居民4，5月份共用水15m3（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水x m3，求该户居
民4，5月份共交水费多少元？（用x的整式表示并化简）
【分析】（1）根据表格中的收费标准，求出水费即可；（2）根据a的范围，求出水费即可；
（3）根据5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于7.5m3，当4月份的用水量少于5m3时，5
月份用水量超过10m3；4月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，5月份用水量不少于9m3，但不超过
10m3；4月份用水量超过6m3，但少于7.5m2时，5月份用水量超过7.5m3但少于9m3三种情况分别求出
水费即可．
【解答】解：（1）根据题意得：2×4＝8（元）；
（2）根据题意得：4（a﹣6）+6×2＝4a﹣12（元）；
（3）由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于7.5m3，
当4月份用水量少于5m3时，5月份用水量超过10m3，
则4，5月份共交水费为2x+8（15﹣x﹣10）+4×4+6×2＝﹣6x+68（元）；
当4月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，5月份用水量不少于9m3，但不超过10m3，
则4，5月份交的水费为2x+4（15﹣x﹣6）+6×2＝﹣2x+48（元）；
当4月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，5月份用水量超过7.5m3但少于9m3，
则4，5月份交的水费为4（x﹣6）+6×2+4（15﹣x﹣6）+6×2＝36（元）．
2．（2023秋•黄冈期末）某超市在春节期间开展打折促销活动，方案如下：
一次性购物 优惠办法
少于300元 不予优惠
低于600元但不低于300元 九折优惠
600元或超过600元 其中600元部分给予九折优惠，超过600元部
分给予八折优惠
（1）王老师一次性购物720元，他实际付款 63 6 元．
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于600元但不小于300元时，他实际付款 0. 9 x 元，
当x大于或等于600元时，他实际付款 0. 8 x +6 0 元（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计1030元，第一次购物货款为a元（300＜a＜400），用含a的代数
式表示两次购物王老师实际付款多少元？当a＝350时，王老师两次购物一共节省了多少钱？
【分析】（1）根据600元部分打九折、剩下部分打八折计算即可；
（2）当x小于600元但不小于300元时，x元打九折；当x大于或等于600元时，600元部分打九折、
剩下部分打八折；
（3）根据题意，求出第二次购物货款及取值范围，根据两次购物货款的取值范围分别求出对应的实际
付款并将二者相加，将a＝350代入进行计算，根据“节省的钱数＝两次购物货款合计﹣实际付款”计
算即可．【解答】解：（1）∵720＞600，
∴他实际付款0.9×600+0.8×（720﹣600）＝636（元），
故答案为：636．
（2）当300≤x＜600时，他实际付款0.9x（元）；
当x≥600时，他实际付款0.9×600+0.8（x﹣600）＝0.8x+60（元）；
故答案为：0.9x，0.8x+60；
（3）根据题意，得王老师第二次购物货款为（1030﹣a）元．
∵300＜a＜400，
∴630＜1030﹣a＜730，
∴王老师第一次购物实际付款 0.9a（元），第二次购物实际付款 0.9×600+0.8（1030﹣a﹣600）＝﹣
0.8a+884（元），
∴两次购物王老师实际付款0.9a﹣0.8a+884＝0.1a+884（元）；
当a＝350时，王老师实际付款0.1×350+884＝919（元），
1030﹣919＝111（元），
∴当a＝350时，王老师两次购物一共节省了111元．
3．（2023秋•济南期末）阅读与思考
滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制
定了一套收费规则：1．起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取
起步价．2．里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按1.5元/公里的标准收取里程费用．3．
时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.25元/分钟的标准收取时长费用．
注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时
间计算．任务：
（1）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为2.8公里，行车时间为5分钟，需付车费 1 0 元．
（2）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为a（a＞3）公里，行车时间为b（b＞8）分钟，则应付车费
多少元？（列代数式、化简）
（3）若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到杭州体育馆观看亚运会，行车里程为18公里，行车时间为
20分钟，则需付车费多少元？
【分析】（1）根据行车里程没有超过3公里，行车时间没有超过8分钟，判断车费即可；
（2）先根据行车里程超过3公里得出里程费，再根据行车时间超过了8分钟得出时长费，然后根据车
费的构成解答即可；
（3）将数值代入（2）计算即可．【解答】解：（1）小爱同学需付车费为10元．
故答案为：10；
（2）里程费为（a﹣3）×1.5元，时长费为（b﹣8）×0.25元，
所以应付车费为10+1.5（a﹣3）+0.25（b﹣8）＝10+1.5a﹣4.5+0.25b﹣2＝（3.5+1.5a+0.25b）元；
（3）当a＝18，b＝20，
3.5+1.5×18+0.25×20＝35.5．
需付车费35.5元．
4．（2023秋•镇平县期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电
“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电项 单价（元/度）
不超过50度的部分 0.5
超过50度但不超过200度的部分 0.6
超过200度的部分 0.8
已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：
一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
﹣50 +35 ﹣25 ﹣30 +21 +25
根据上述数据，解答下列问题：
（1）小刚家用电量最多的是 二 月份，实际用电量为 23 5 度；
（2）若小刚家七月份用电量为 x（x＞200）度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含 x的代数式表
示）；
（3）若小刚家七月份用电量为232度，求小刚家七月份应交纳电费多少元．（结果精确到个位）
【分析】（1）观察表格即可解答；
（2）二月份应交纳的电费＝不超过 50度的部分+超过50度但不超过200度的部分+超过200度的部
分，代入求解即可；
（3）把x＝232代入（2）中代数式计算即可．
【解答】解：（1）根据表格中数据可知，用电量最多是二月份，实际用电量为200+35＝235（度），
故答案为：二，235；
（2）由题意，得50×0.5+150×0.6+0.8（x﹣200）
＝25+90+0.8x﹣160
＝（0.8x﹣45）元
答：小刚家七月份应交纳的电费为（0.8x﹣45）元；（3）由（2）知，小刚家七月份应交纳的电费为（0.8x﹣45）元，
当x＝232时，0.8×232﹣45＝140.6≈141元．
答：小刚家七月份应交纳电费约141元．
【题型二 方案选择问题】
1．（2024秋•迎泽区校级月考）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，注重
锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和x个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每
个羽毛球定价5元，经协商拟定了两种优惠方案如下（两个优惠方案不可混用）：
方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款，
（1）若x＝100，请计算哪种方案划算；
（2）若x＞100，请用含x的代数式分别把两种方案的费用表示出来．
【分析】（1）根据方案一和方案二的购买方法列式运算出价格后比较即可；
（2）根据方案一和方案二的购买方法列式即可．
【解答】解：（1）当x＝100时，
方案一：80×50＝4000（元）；
方案二：80×50×90%+5×100×90%＝3600+450＝4050（元）；
因为4000＜4050，
所以当x＝100时，方案一划算，
答：若x＝100，方案一划算；
（2）当x＞100时，
方案一：80×50+5（x﹣100）＝4000+5x﹣500＝（5x+3500）元；
方案二：80×50×90%+5x×90%＝（4.5x+3600）元；
答：方案一的费用为（5x+3500）元，方案二的费用为（4.5x+3600）元．
2．（2024秋•德惠市期中）某校高度重视学生的体育健康状况，打算在某商店采购一批篮球和跳绳，已知
篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．该商店给学校提供以下两种优惠方案：
方案①：篮球和跳绳都按定价的90%付款；
方案②：买一个篮球送一条跳绳．
现学校要购买篮球50个，跳绳x（x＞50）条．
（1）按方案①购买篮球和跳绳共需付款 （ 5400+1 8 x ） 元；按方案②购买篮球和跳绳共需付款
（ 5000+2 0 x ） 元．（均用含x的最简代数式表示）
（2）当x＝100时，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算．（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝100时，请你给出更省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）根据方案①：篮球和跳绳都按定价的90%付款；方案②：买一个篮球送一条跳绳，两
个方案分别列式计算；
（2）把x＝100分别代入（1）的两个代数式，分别计算，然后比较大小，选择合算的方案；
（3）先按方案②购买50个篮球，再按方案①购买50条跳绳，计算结果，与每一个方案的付款比较大
小，选择最合算方案．
【解答】解：（1）∵方案①：篮球和跳绳都按定价的90%付款，
∴购买篮球50个，跳绳x（x＞50）条付款：50×120×90%+20x×90%＝（5400+18x）元；
∵方案②：买一个篮球送一条跳绳，
∴购买篮球50个，跳绳x（x＞50）条付款：50×120+（x﹣50）×20＝（5000+20x）元；
故答案为：（5400+18x）（5000+20x）；
（2）当x＝100时，
按方案①购买需付款5400+18×100＝7200（元），
按方案②购买需付款5000+20×100＝7000（元）．
∵7200＞7000，
∴选择方案②购买较合算；
（3）购买方案：先按方案②购买50个篮球，再按方案①购买50条跳绳．
理由：若按上述方案购买需付款50×120+20×50×90%＝6900（元）．
∵6900＜7000＜7200，
∴按照上述方案购买更省钱．（本小题答案不唯一）
3．（2023秋•杜尔伯特县期末）某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定
价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．
现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球x桶（x＞10）．
（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的代数式表示）
（2）当x＝30时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少
元？
【分析】（1）根据方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的
90%付款，列算式；（2）把x＝30代入（1）计算；
（3）先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，求出共付款．
【解答】解：（1）该客户按方案一需付款：40×10+10（x﹣10）＝（10x+300）元；
该客户按方案二需付款：（40×10+10x）×90%＝（9x+360）元；
答：该客户按方案一、方案二购买，分别需付款（10x+300）元、（9x+360）元；
（2）当x＝30时，按方案一需付款：10×30+300＝600（元），
按方案二需付款：9×30+360＝630（元），
∵600＜630，
∴客户按方案一购买较为合算；
（3）能，
先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，
共付款：40×10+10×20×90%＝580（元），
答：能，先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，需付款580元．
4．（2023秋•铁东区期末）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价 200元，领带每条定价40元．
厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按
定价的90%付款．
现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）：
（1）若该客户按方案①购买，需付款 （ 4 0 x +3200 ） 元（用含x的代数式表示）；（答案写在下
面）
若该客户按方案②购买，需付款 （ 3 6 x +360 0 ） 元 （用含x的代数式表示）；（答案写在下面）
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【分析】（1）根据给出的方案列出代数式即可．
（2）令x＝30代入求值即可．
（3）先按方案①购买20套西装，再按方案②购买10条领带．
【解答】（1）方案①：20×200+40（x﹣20）＝（40x+3200）元
方案②：（4000+40x）×90%＝（36x+3600）元
（2）当x＝30时
方案①：40x+3200＝30×40+3200＝4400（元）
方案②：36x+3600＝36×30+3600＝4680（元）
∵4400＜4680∴选择方案①购买较为合算．
（3）方案③：先按方案①购买20套西装，再按方案②购买10条领带．
所需费用为200×20+40×10×90%＝4360（元）
∵4360＜4400＜4680
∴选择方案③购买更省钱．
故答案为：（1）（40x+3200）；（36x+3600）
5．（2024•渝中区校级开学）暑假期间，巴黎奥运会乒乓球比赛圆满落幕，中国乒乓球队表现出色，收获
5枚金牌和1枚银牌，成为本届乒乓球项目的最大赢家，这大大激发了全民对乒乓球运动的热情．据调
查，有甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价 80元，乒乓球每盒
定价20元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优
惠办法是：按定价的9折出售．若王教练需购买乒乓球拍10副，乒乓球若干盒（不少于10盒）．
（1）用代数式表示（所填式子需化简）：当购买乒乓球的盒数为 x 盒时，在甲店购买需付款
（ 2 0 x +60 0 ） 元；在乙店购买需付款 （ 1 8 x +72 0 ） 元．
（2）当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由．
（3）若王教练购买乒乓球拍10副，乒乓球盒数变为24盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？
试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少元？
【分析】（1）分别根据“在甲店购买需付款＝乒乓球拍每副定价×购买乒乓球拍的副数+乒乓球每盒定
价×（购买乒乓球的盒数﹣买乒乓球拍的副数）”和“在乙店购买需付款＝折扣×（乒乓球拍每副定价×
购买乒乓球拍的副数+乒乓球每盒定价×购买乒乓球的盒数）”作答即可；
（2）将x＝2分别代入（1）求得的两个代数式，计算并比较大小即可；
（3）先到甲商店购买10副乒乓球拍，赠送10盒乒乓球，另外14盒乒乓球再到乙商店购买更省钱，列
式并计算此时需付款即可．
【解答】解：（1）80×10+20（x﹣10）＝（20x+600）（元），0.9×（80×10+20x）＝（18x+720）
（元），
∴当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款（20x+600）元，在乙店购买需付款（18x+720）
元．
故答案为：（20x+600），（18x+720）．
（2）到甲商店购买比较合算．理由如下：
当x＝10时，20x+600＝20×10+600＝800（元），18x+720＝18×10+720＝900（元），
∵800＜900，∴到甲商店购买比较合算．
（3）先到甲商店购买10副乒乓球拍，赠送10盒乒乓球，另外14盒乒乓球再到乙商店购买．
80×10+0.9×20×（24﹣10）＝1052（元），
∴求出此时需付款1052元．
【类型3 整式的应用（数式规律）】
【题型一 循环类规律】
1．（2023秋•开州区期末）依次排列的两个整式a，b，将第1个整式乘以2再减去第2个整式，称为第一
次操作，得到第3个整式2a﹣b；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第二次操作，得到第4个
整整式 3b﹣2a；将第3个整式乘以 2再减去第 4个整式，称为第三次操作，得到第 5个整式 6a﹣
5b；……以此类推，下列4个说法：
①第6个整式为﹣10a+11b；
②第13个整式中a的系数的绝对值比b系数的绝对值大1；
③第8个整式与第9个整式所有系数的绝对值之和为255；
④若a＝b＝1，则第98次操作完成后，所有整式之和为100．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题目给出的一次操作的定义再求出第6个整式、第7个整式、第8个整式、第9个整式，
进一步发现规律，然后根据①②③④要解决的问题进行判断即可．
【解答】解：由题意可知，第6个整式为：2（3a﹣2b）﹣（6a﹣5b）＝11b﹣10a＝﹣10a+11b，故①
正确；
以此类推可以得到第7个整式为：22a﹣21b，第8个整式为：﹣42a+43b，第9个整式为：86a﹣85b，
由以上列举可知规律：序号为偶数时a的系数为负数，b的系数为正数，a系数的绝对值比b系数的绝
对值小1；序号为奇数时a的系数为正数，b的系数为负数，a系数的绝对值比b系数的绝对值大1，
13为奇数，故②正确；
第8个整式与第9个整式所有系数的绝对值之和为：42+43+86+85＝256，故③错误；
若a＝b＝1，则每次操作后都是1，第98次操作完成后，共有100个1，所以所有整式之和为100，故
④正确．
所以正确的有：①②④，3个正确，C选项符合题意．
故本题选：C．
2．（2023秋•蜀山区校级期中）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一
个数学探究活动，他对依次排列的两个整式﹣m和﹣n按如下规律进行操作：第1次操作后得到3个整式﹣m，﹣n，﹣n+m；第2次操作后得到4个整式﹣m，﹣n，﹣n+m，m…其操作规则为：每次操作所
增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回
头差”游戏．则该“回头差”游戏的第2023次操作后得到的各整式之和是（ ）
A．﹣2n B．﹣m C．﹣n+m D．﹣2n+m
【分析】先逐步分析前面7次操作，可发现规律，整式串每六个一循环，即可获得答案．
【解答】解：第1次操作后得到的整式串﹣m，﹣n，﹣n+m；
第2次操作后得到的整式串﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第3次操作后得到的整式串﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第4次操作后得到的整式串﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
第5次操作后得到的整式串﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m，﹣m；
第6次操作后得到的整式串﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；
第7次操作后得到的整式串﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
…，
第2023次操作后得到的整式串共2025个整式；归纳可得，以上整式串每六个一循环．
∵2025÷6＝337⋯3，
∴第2023次操作后得到的整式串各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为﹣m﹣n﹣n+m＝﹣2n．
故选：A．
3．（2023秋•南召县月考）有依次排列的两个整式：x，x﹣2，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式
减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：x，2，x﹣2，这称为第一
次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：x，x﹣
2，2，4﹣x，x﹣2，……以此类推．第2023次操作后，得到的整数串中所有整式的和为（ ）
A．2x+2022 B．2x+2023 C．2x+4044 D．2x+4046
【分析】根据整式的加减运算法则算出前三次操作后整式和，得出第 n次操作后整式和为2x+2（n﹣
1），将2023代入求值即可．
【解答】解：第一次操作后的整式串是：x，2，x﹣2，
第一次操作后整式和为：x+2+x﹣2＝2x，
第二次操作后的整式串是：x，x﹣2，2，4﹣x，x﹣2，
第二次操作后整式和为：x+x﹣2+2+4﹣x+x﹣2＝2x+2，
第三次操作后的整式串是：x，2，x﹣2，x﹣4，2，x﹣2，4﹣x，6﹣2x，x﹣2，
第三次操作后整式和为：x+2+x﹣2+x﹣4+2+x﹣2+4﹣x+6﹣2x+x﹣2＝2x+4，⋯⋯，
∴第n次操作后整式和为：2x+2（n﹣1），
∴第2023次操作后，得到的整数串中所有整式的和为2x+2×（2023﹣1）＝2x+4044．
故选：C．
4．（2023春•沙坪坝区校级期末）有依次排列的两个整式：x，x+3，对任意相邻的两个整式，都用右边的
整式减左边的整式，将所得之差写在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：x，3，x+3，这称为
第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以
此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后的整式串为：x，3﹣x，3，x，x+3；
②第二次操作后，当x＜﹣3或x＞3时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后的整式串共有19个整式；
④第2022次操作后，所有整式之和为2x+6069；上述结论中，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断．
【解答】解：∵第一次操作后的整式串为：x，3，x+3，
∴第二次操作后的整式串为x，3﹣x，3，x+3﹣3，x+3，
即x，3﹣x，3，x，x+3，故①的结论正确，符合题意；
第二次操作后整式的积为3x（3﹣x）•x•（x+3）＝3x2（9﹣x2），
∵x＜﹣3或x＞3，
∴x2＞9，即9﹣x2＜0，
∴3x2（9﹣x2）＜0，
即第二次操作后，当x＜﹣3或x＞3时，所有整式的积为负数，故②的说法错误，不符合题意；
第三次操作后整式串为x，3﹣2x，3﹣x，x，3，x﹣3，x，3，x+3，
第四次操作后整式串为x，3﹣3x，3﹣2x，x，3﹣x，2x﹣3，x，3﹣x，3，x﹣6，x﹣3，3，x，3﹣x，
3，x，x+3，
共17个，故③的说法错误，不符合题意；
第一次操作后所有整式的和为x+3+x+3＝2x+6，
第二次操作后所有整式的和为x+3﹣x+3+x+x+3＝2x+9，
第三次操作后所有整式的和为x+3﹣2x+3﹣x+x+3+x﹣3+x+3+x+3＝2x+12，
...，
第n次操作后所有整式的积为2x+3（n+1），∴第2022次操作后，所有的整式的和为2x+3×（2022+1）＝2x+6069，
故④的说法正确，符合题意；
正确的说法有①④，
故选：C．
【题型二 公式型规律】
1．（2024秋•白云区校级月考）观察下列等式：
1 1 1 1
第1个等式：a = = ×( − )；
1 2×4 2 2 4
1 1 1 1
第2个等式：a = = ×( − )；
2 4×6 2 4 6
1 1 1 1
第3个等式：a = = ×( − )；
3 6×8 2 6 8
…
请回答下列问题：
1 1 1 1
（1）按以上规律第4个等式：a ＝ ＝ ×( − ) ；
4 8×10 2 8 10
1 1 1 1
（2）用含n的代数式表示第n个等式：a ＝ ＝ ×( − ) （n为正整
n 2n×(2n+2) 2 2n 2n+2
数）；
（3）求a +a +a +a +…+a 的值．
1 2 3 4 20
1 1 1 1
【分析】（1）根据规律，得出第4个等式：a = = ( − )；
4 8×10 2 8 10
1 1 1 1
（2）根据规律，得出第n个等式：an = = ( − )；
2n×(2n+2) 2 2n 2n+2
1
（3）将 提出后，括号里进行加减，即可求出结果．
2
1 1 1 1
【解答】解：（1）由题意可得，第4个等式为a = = ×( − )，
4 8×10 2 8 10
1 1 1 1
故答案为： ， ×( − )；
8×10 2 8 10
（2）由（1）可得，
1 1 1 1
第n个等式为a = = ×( − )
n 2n×(2n+2) 2 2n 2n+21 1 1 1
故答案为： ， ×( − )；
2n×(2n+2) 2 2n 2n+2
（3）a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+⋯⋯+a
20
1 1 1 1 1
= + + + +⋯+
2×4 4×6 6×8 8×10 40×42
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×( − + − + − + −⋯+ − )
2 2 4 4 6 8 8 8 40 42
1 1 1
= ×( − )
2 2 42
1 10
= ×
2 21
5
= ，
21
5
所以，a +a +a +a +…+a 的值为 ．
1 2 3 4 20 21
2．（2023秋•随县期末）观察以下等式：
2 1 1
第1个等式： − = ；
3 1×2×3 2
3 1 1
第2个等式： − = ；
8 2×3×4 3
4 1 1
第3个等式： − = ；
15 3×4×5 4
5 1 1
第4个等式： − = ；
24 4×5×6 5
……
按照以上规律，解决下列问题：
n+1 1 1
（1）写出第n（n取正整数）个等式： − = （用含n的等式表示）；
n(n+2) n(n+1)(n+2) n+1
3 6 1 1
（2）利用以上规律计算( + − − )×12的值．
8 35 24 210
【分析】（1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n个等式；
（2）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可．
2 1 1
【解答】解：（1）第1个等式： − = ；
3 1×2×3 2
3 1 1
第2个等式： − = ；
8 2×3×4 34 1 1
第3个等式： − = ；
15 3×4×5 4
5 1 1
第4个等式： − = ；
24 4×5×6 5
……；
n+1 1 1
第n个等式： − = ．
n(n+2) n(n+1)(n+2) n+1
n+1 1 1
故答案为： − = ；
n(n+2) n(n+1)(n+2) n+1
（2）由（1）的规律化解原式：
3 6 1 1
( + − − )×12
8 35 24 210
1 1 1 1 1 1
=( + + + − − )×12
3 2×3×4 6 5×6×7 24 210
1 1 1 1 1 1
=( + + + − − )×12
3 24 6 210 24 210
1 1
=( + )×12
3 6
1 1
= ×12+ ×12
3 6
＝4+2
＝6．
3．（2024秋•潮南区校级月考）观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝
52，…．
（1）请根据你发现的规律填空：8×10+1＝ 9 2；
（2）用含n的等式表示上面的规律 n （ n + 2 ） + 1 ＝（ n + 1 ） 2 ；（n为正整数）
（3）利用找到的规律解决下面的问题：
1 1 1 1
计算：(1+ )×(1+ )×(1+ )×⋯×(1+ )．
1×3 2×4 3×5 2021×2023
【分析】（1）根据题干规律直接解题即可；
（2）根据题干规律总结，即可找出规律为n（n+2）+1＝（n+1）2；
22 32 42 20212 20222
（3）利用（2）中规律将原式变换为 × × ×⋯× × ，即可推
1×3 2×4 3×5 2020×2022 2021×2023
出中间项可全部约去，最后直接计算第一项和最后一项约分后剩下乘积的即可．【解答】解：（1）8×10+1＝81＝92，
故答案为：9；
（2）解：1×3+1＝1×（1+2）+1＝（1+1）2，
2×4+1＝2×（2+2）+1＝（2+1）2，
3×5+1＝3×（3+2）+1＝（3+1）2，
4×6+1＝4×（4+2）+1＝（4+1）2，
⋯⋯依次类推，
可得规律为：n（n+2）+1＝（n+1）2；
故答案为：n（n+2）+1＝（n+1）2；
1 1 1 1
（3）解：(1+ )×(1+ )×(1+ )×⋯×(1+ )
1×3 2×4 3×5 2021×2023
1×3+1 2×4+1 3×5+1 2020×2022+1 2021×2023+1
= × × ×⋯× ×
1×3 2×4 3×5 2020×2022 2021×2023
22 32 42 20212 20222
= × × ×⋯× × ，
1×3 2×4 3×5 2020×2022 2021×2023
2 2022
= ×
1 2023
4044
= ．
2023
1 1 1 1 1 1 1 1
4．（2024秋•高新区校级月考）观察下列等式 =1− ， = − ， = − ，将以上三个
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
等式两边分别相加得 + + =1− + − + − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1 1 1
（1）猜想并写出 = − ；
n(n+1) n n+1
1 1 1 1 2022
（2） + + +⋯+ = ；
1×2 2×3 3×4 2022×2023 2023
1 1 1 1
（3）探究并计算： + + +⋯+ ．
2×4 4×6 6×8 2022×2024
【分析】（1）观察等式，找到规律，即可求解；
（2）根据（1）猜想的结果，将每个加数分解后再合并，即可得到结果；
1
（3）与（2）相比，每个加数的分母中的两个数都扩大了 2倍，所以将每个加数都提出 ，再按照
4
（2）的方法分解即可得到答案．1 1 1
【解答】解：（1）观察等式，猜想 = −
n(n+1) n n+1
1 1
故答案为： − ．
n n+1
1 1 1 1
（2） + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2022×2023
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2022 2023
1
=1−
2023
2022
= ；
2023
1 1 1 1
（3） + + +⋯+
2×4 4×6 6×8 2022×2024
1 1 1 1 1
= ×( + + +⋯+ )
4 1×2 2×3 3×4 1011×1012
1 1 1 1 1 1 1 1
= ×(1− + − + − +⋯+ − )
4 2 2 3 3 4 1011 1012
1 1
= ×(1− )
4 1012
1 1011
= ×
4 1012
1011
= ．
4048
【类型4 整式的应用（图形规律）】
【题型一 等差型规律】
1．（2023秋•叙永县校级期末）如图都是由同样大小的圆按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个圆，
第②个图案有9个圆，第③个图案有14个圆，…，依此规律，第7个图案圆的个数为（ ）
A．34 B．35 C．39 D．40【分析】根据图形的变化寻找规律即可．
【解答】解：观察图形的变化可知：
第①个图案有5×1﹣1＝4个圆，
第②个图案有5×2﹣1＝9个圆，
第③个图案有5×3﹣1＝14个圆，
…
发现规律，
第n个图案的圆的个数为：5n﹣1，
第7个图案圆的个数为：5×7﹣1＝34，
故选：A．
2．（2023秋•诸暨市期末）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图 3个圆点，第二幅图
7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（
）
A．399 B．420 C．450 D．499
【分析】依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1幅图形中圆点的个数为：3＝1×4﹣1；
第2幅图形中圆点的个数为：7＝2×4﹣1；
第3幅图形中圆点的个数为：11＝3×4﹣1；
第4幅图形中圆点的个数为：15＝4×4﹣1；
…，
所以第n幅图形中圆点的个数为（4n﹣1）个，
当n＝100时，
4n﹣1＝4×100﹣1＝399（个），
即第100幅图形中圆点的个数为399个．
故答案为：A．3．（2023秋•铜梁区期末）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中
一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规
律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
【分析】根据图形的变化规律可知，每个图形都比前一个多三个小圆圈，总结出第n个图的表达式即
可．
【解答】解：由题知，第①个图形中一共有2×3＝6个小圆圈，
第②个图形中一共有3×3＝9个小圆圈，
第③个图形中一共有4×3＝12个小圆圈，
…，
∴第n个图形中一共有（n+1）×3个小圆圈，
∴第⑧个图形中小圆圈的个数为9×3＝27（个），
故选：B．
4．（2024秋•栖霞区校级月考）如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线于射线OA
交于A 、A 、A ，若从O点到A 点的回形线为第一圈（长为7），从A 点到A 点的回形线为第2圈，
1 2 3 1 1 2
依次类推，则第100圈的长为（ ）
A．800 B．799 C．700 D．699
【分析】根据题意结合图形，可从简到繁，先从第1圈开始，逐圈分析，推出通用公式，再代入计算．
【解答】解：观察图形发现：
第一圈的长是2（1+2）+1＝7；
第二圈的长是2（3+4）+1＝15；
第三圈的长是2（5+6）+1＝23；
则第n圈的长是2（2n﹣1+2n）+1＝8n﹣1．所以，当n＝100时，原式＝8×100﹣1＝799．
故选：B．
5．（2024秋•岳麓区校级月考）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正
方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正
方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个
数为（ ）
A．2024 B．2022 C．6069 D．6070
【分析】由前4个图形总结得到第n的图形的规律，即可得到第2024个图形含有的正方形数量．
【解答】解：第1个图中有正方形1个，
第2个图中有正方形4＝1+3个，
第3个图中有正方形7＝1+2×3个，
第4个图中有正方形10＝1+3×3个，
所以第n个图中有正方形1+3（n﹣1）＝（3n﹣2）个．
当n＝2024时，图中有3×2024﹣2＝6070个正方形．
故选：D．
6．（2023秋•漳州期末）图1有1个三角形，记作a ＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有5个
1
三角形，记作a ＝5；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有9个三角形，记作a ＝9；
2 3
按此方法继续下去，则a 的值为（ ）
100
A．393 B．397 C．400 D．401
【分析】仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可．
【解答】解：第一个图形中有1个三角形；
第二个图形中有1+4＝5个三角形；第三个图形中有1+4×2＝9个三角形；
第四个图形中有1+4×3＝13个三角形；
⋯；
第n个图形中有1+4（n﹣1）＝（4n﹣3）个三角形；
当n＝100时，4×100﹣3＝397，
故选：B．
【题型二 递增型规律】
1．（2023秋•黄石港区期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗
棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有l8颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为
（ ）
A．63 B．84 C．108 D．152
【分析】根据第①个图形的棋子数是3＝3×1，第②个图形的棋子数是9＝3×（1+2），第③个图形的
棋子数是18＝3×（1+2+3），…，可得第n个图形的棋子数是3×（1+2+…+n），据此求出第⑥个图形
中棋子的颗数为多少即可．
【解答】解：∵第①个图形的棋子数是3＝3×1，
第②个图形的棋子数是9＝3×（1+2），
第③个图形的棋子数是18＝3×（1+2+3），
…，
∴第n个图形的棋子数是3×（1+2+…+n），
∴第⑥个图形中棋子的颗数为：
3×（1+2+…+6）
＝3×21
＝63．
故选：A．
2．（2024•开州区模拟）下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有
1个黑色三角形，第②个图形中有4个黑色三角形，第③个图形中有8个黑色三角形，第④个图形中有13个黑色三角形，…按此规律排列下去，则第⑦个图形中黑色三角形的个数为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【分析】根据已知图形得出第（n+1）个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n+2n+1，据此可得．
【解答】解：∵第①个图形中黑色三角形的个数1＝1+2×（1﹣1），
第②个图形中黑色三角形的个数4＝1+2×1+1，
第③个图形中黑色三角形的个数8＝1+2+2×2+1，
第④个图形中黑色三角形的个数13＝1+2+3+2×3+1，
……
∴第⑦个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+6+2×6+1＝34，
故选：B．
3．（2024•潼南区二模）下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5个棋
子，图②中有10个棋子，图③中有16个棋子，…，则图⑥中棋子的个数为（ ）
A．31 B．35 C．40 D．50
【分析】根据题意得出第n个图形中棋子数为1+2+3+…+n+1+2n，据此可得．
【解答】解：∵图1中棋子有5＝1+2+1×2个，
图2中棋子有10＝1+2+3+2×2个，
图3中棋子有16＝1+2+3+4+3×2个，
…
∴图6中棋子有1+2+3+4+5+6+7+6×2＝40个，
故选：C．
4．（2024•渝中区校级开学）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第
2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，……，依此规律，第10个图形的小圆个数是（ ）A．92 B．98 C．102 D．112
【分析】根据所给图形，依次求出图形中小圆的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形中，小圆的个数为：4＝1×2+2；
第2个图形中，小圆的个数为：8＝2×3+2；
第3个图形中，小圆的个数为：14＝3×4+2；
…，
所以第n个图形中，小圆的个数为[n（n+1）+2]个，
当n＝10时，
n（n+1）+2＝112（个），
即第10个图形中，小圆的个数为112个．
故选：D．
5．（2024秋•察右前旗校级月考）观察下列一组图形按此规律，第8图中五角星的个数有（ ）
A．43个 B．45个 C．51个 D．53个
【分析】根据图形的顺序和数量，确定数量关系即可求解．
【解答】解：第1个图形中，有2个五角星，即1+1＝2，
第2个图形中，有6个五角星，即1+2+3＝6＝1+2+（1+2），
第3个图形中，有11个五角星，即1+2+3+5＝11＝1+2+3+（2+3），
第4个图形中，有17个五角星，即1+2+3+4+7＝17＝1+2+3+4+（3+4），
第5个图形中，五角星的个数为1+2+3+4+5+9＝24＝1+2+3+4+5+（4+5），
第6个图形中，五角星的个数为1+2+3+4+5+6+11＝32＝1+2+3+4+5+6+（5+6），
第7个图形中，五角星的个数为1+2+3+4+5+6+7+13＝41＝1+2+3+4+5+6+7+（6+7），(1+n)n n2+5n−2
∴第n个图形中，五角星的个数为1+2+3+4+⋯+n+(2n−1)= +(2n−1)=
2 2
82+5×8−2
∴第8个图形中，五角星的个数为 =51，
2
故选：C．
6．（2024春•沙坪坝区期中）如图，用正方形按规律依次拼成下列图案．由图知，第①个图案中有2个正
方形；第②个图案中有 4 个正方形；第③个图案中有 7 个正方形．按此规律，第 8 个图案中有
（ ）个正方形．
A．16 B．22 C．29 D．37
【分析】观察发现每一个图形中正方形个数，总结出个数规律为1+1+2+3+…+n，利用此规律求解即
可．
【解答】解：第①个图案中有1+1＝2个正方形，
第②个图案中有1+1+2＝4个正方形，
第③个图案中有1+1+2+3＝7个正方形，
第④个图案中有1+1+2+3+4＝11个正方形，
…，
n(1+n)
按此规律排列下去，则第n个图案中黑色三角形的个数为1+1+2+3+…+n＝1+ ，
2
8(1+8)
∴第⑧个图案中黑色三角形的个数为1+1+2+3+…+8＝1+ =37，
2
故选：D．
7．（2024秋•江北区校级月考）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有4个点，第②个
图形中共有12个点，第③个图形中共有24个点，按此规律，第⑧个图形有（ ）个点．A．96 B．112 C．144 D．160
【分析】根据所给图形，依次求出图形中点的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中点的个数为：4＝4×1，
第②个图形中点的个数为：12＝4×（1+2），
第③个图形中点的个数为：24＝4×（1+2+3），
…，
n(n+1)
所以第n个图形中点的个数为4×（1+2+3+…+n）＝4× =2n（n+1），
2
当n＝8时，
2n（n+1）＝2×8×9＝144（个），
即第⑧个图形中点的个数为144个．
故选：C．
【题型三 含平方型规律】
1．（2023秋•大冶市期末）卡塔尔卢赛尔体育场是由中国铁建国际集团承建，球场外立面的设计灵感源于
阿拉伯吊灯的光影交错的典型图案．该图案是由一些完全相同的小三角形依照规律排列组成，图形
（1）由2个小三角形组成，图形（2）由8个小三角形组成，图形（3）由18个小三角形组成，…．依
此规律，图形（10）由（ ）个小三角形组成．
A．100 B．160 C．200 D．300
【分析】由题意可得：图形（1）中的小三角形的个数为：2＝2×1＝2×12，图形（2）中的小三角形的个
数为：8＝2×4＝2×22，…，据此可求得第（n）个图形中小三角形的个数，从而可求解．
【解答】解：∵图形（1）中的小三角形的个数为：2＝2×1＝2×12，图形（2）中的小三角形的个数为：8＝2×4＝2×22，
图形（3）中的小三角形的个数为：18＝2×9＝2×32，
…，
∴图形（n）中的小三角形的个数为：2×n2，
∴图形（10）中的小三角形的个数为：2×102＝200（个）．
故选：C．
2．（2023秋•开封期末）如图，把同样大小的围棋子按照一定规律摆放，其中第①个图形中共有3个棋
子，第②个图形中共有7个棋子，第③个图形中共有13个棋子，…，如此规律排列，则第10个图形
中棋子的个数为（ ）
A．91 B．103 C．111 D．133
【分析】依次求出图形中棋子的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形中棋子的个数为：3＝12+2；
第2个图形中棋子的个数为：7＝22+3；
第3个图形中棋子的个数为：13＝32+4；
…，
所以第n个图形中棋子的个数为（n2+n+1）个，
当n＝10时，
n2+n+1＝102+10+1＝111（个），
即第10个图形中棋子的个数为111个．
故选：C．
3．（2024•渝中区校级模拟）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有
6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，……，按此规律排列，则第⑧
个图形中△的个数为（ ）A．97 B．95 C．87 D．85
【分析】由题中所给图形，依次求出图形中△的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第①个图形中△的个数为：6＝12+1×4+1；
第②个图形中△的个数为：13＝22+2×4+1；
第③个图形中△的个数为：22＝32+3×4+1；
…，
所以第n个图形中△的个数为（n2+4n+1）个，
当n＝8时，
n2+4n+1＝82+4×8+1＝97（个），
即第⑧个图形中△的个数为97个．
故选：A．
4．（2023秋•益阳期末）观察图形的变化规律，则第10个小房子用石子的颗数为（ ）
A．119 B．121 C．140 D．142
【分析】根据图示，可得：第1个小房子用的石子的数量是：1+22，第2个小房子用的石子的数量是：
3+32，第3个小房子用的石子的数量是：5+42，…，据此求出第10个小房子用了多少颗石子即可．
【解答】解：第1个小房子用的石子的数量是：1+22，
第2个小房子用的石子的数量是：3+32，
第3个小房子用的石子的数量是：5+42，
…，
∴第n个小房子用的石子的数量是：2n﹣1+（n+1）2，
∴第10个小房子用的石子的数量是：19+112＝19+121＝140．
故选：C．5．（2024秋•九龙坡区校级月考）如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，
图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列
下去，第图⑧的棋子颗数为（ ）
A．55 B．68 C．72 D．85
【分析】根据题意得出第n个图形中棋子数为4+n2，据此求解．
【解答】解：图①数量是4+12，
图②数量是4+22，
图③数量是4+32，
图④数量是4+42，
⋯，
图n中棋子的数量是4+n2，
当n＝8时，4+n2＝4+82＝68，
故选：B．
【类型5 整式的应用（月历与数阵）】
【题型一 月历问题】
1．（2023秋•海口期末）在图 所示的2024年2月份日历中，带阴影的十字框框出5个数，十字框可移动
位置，若设中间的数为a，则这5个数字之和为 5 a （用含a的代数式表示）．
【分析】用a表示出其他四个数，可以求得这5个数字之和．
【解答】解：中间的数为a，
则这5个数字之和为：a+（a+1）+（a﹣1）+（a+7）+（a﹣7）＝a+a+1+a﹣1+a+7+a﹣7＝5a，
故答案为：5a．
2．（2024秋•盐都区月考）如图是某月的日历．（1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？
（2）不改变方框的大小如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，
请说明为什么成立．
活学活用：
小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数
2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中
的数字的规律，并回答下列问题：
（3）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
（4）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这
五个数，如不能，说明理由．
【分析】（1）根据图示，列式求解即可；
（2）设中心数为n，根据（1）中的计算方法即可求解；
（3）根据图示，列式计算即可求解；
（4）设中间的数为n，由此列式求解可得n＝402，再根据402在第41行的第一个数字进行判定即可求
解．
【解答】解：（1）3+4+5+10+11+12+17+18+19＝99，
99÷11＝9，
∴方框中9个数之和为方框正中的数的9倍；
（2）成立，理由如下，
设中心数为n，
∴（n﹣8）+（n﹣7）+（n﹣6）+（n﹣1）+n+（n+1）+（n+6）+（n+7）+（n+8）＝9n，∴9个数之和是方框正中的数的9倍；
活学活用
（3）6+14+16+18+26＝80，80÷16＝5，
∴十字框中的五个数的和是中间数16的5倍；
（4）不能，理由如下，
设中间的数为n，
∴5n＝2010，则n＝402，
∵402在第41行的第一个数字，
∴框住的5个数的和不能为2010．
3．（2023秋•唐河县期末）如图1是某年11月的日历，用如图2的“Z”字型覆盖住日历中的五个数，这
五个数从小到大依次为A、B、C、D、E．这五个数的和能被5整除吗？为什么？
甲同学设A＝x，通过计算得出结论；
乙同学说自己设C＝x更简单，请你也来试一试；
小明受到启发，改编了一道题目，请你来解答：
代数式A﹣2B+3C+4D﹣6E的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．
【分析】先分别按照甲和乙两位同学的方法，求出A+B+C+D+E，然后判断能否被5整除即可；按照甲
乙任意一位同学的方法，求出A﹣2B+3C+4D﹣6E即可．
【解答】解：甲同学方法：设A＝x，则B＝x+1，C＝x+8，D＝x+15，E＝x+16，
∴A+B+C+D+E
＝x+x+1+x+8+x+15+x+16
＝x+x+x+x+x+1+8+15+16
＝5x+40
＝5（x+8），
∵5（x+8）是5的倍数，∴5（x+8）能被5整除，
∴这五个数的和被5整除；
乙同学方法：设C＝x，则D＝x+7，E＝x+8，B＝x﹣7，A＝x﹣8，
∴A+B+C+D+E
＝x﹣8+x﹣7+x+x+7+x+8
＝x+x+x+x+x+8﹣8+7﹣7
＝5x，
∵5x能被5整除，
∴这五个数的和能被5整除；
代数式A﹣2B+3C+4D﹣6E的值是定值，理由如下：
设C＝x，则D＝x+7，E＝x+8，B＝x﹣7，A＝x﹣8，
∴A﹣2B+3C+4D﹣6E
＝x﹣8﹣2（x﹣7）+3x+4（x+7）﹣6（x+8）
＝x﹣8﹣2x+14+3x+4x+28﹣6x﹣48
＝x+4x+3x﹣2x﹣6x+14+28﹣48﹣8
＝﹣14，
∴代数式A﹣2B+3C+4D﹣6E的值是定值，为﹣14．
【题型二 数阵问题】
1．（2024秋•博罗县校级月考）如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中
数6为第2行、从左向右第2个数；数﹣24为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第5
个数为（ ）
2
﹣46﹣8
10﹣12 14﹣16 18﹣20 22﹣24 26﹣28 30﹣32
A．210 B．230 C．﹣210 D．﹣230
【分析】首先找到前10行的数的个数，得到第11行、从左向右第5个数是第几个数，再分析出所有数
是按绝对值从小到大为2开始的偶数，找到对应符号，即可得到结果．
【解答】解：由图可知：第一行有1个数，第二行有3个数，第三行有5个数，
∴前10行共有1+3+5+...+19＝100个数，
这些数按绝对值从小到大为2开始的偶数，
∴第11行，从左向右第5个数的绝对值为2×（100+5）＝210，∵这些数按绝对值从小到大依次为正数，负数，正数，负数，…，
∴第11行，从左向右第5个数为第105个数，为正数，即为210，
故选：A．
2．（2024秋•秦淮区校级月考）将正整数从1开始按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第一个拐
弯处，3在第二个拐弯处，5在第三个拐弯处，7在第四个拐弯处，…，则第2025个拐弯处的数是
．
【分析】分别求出拐弯处的数字依次为2，3，5，7，10，13，17，21，26，…，发现每个拐弯处的数
字后一个减去前一个数的差为1，2，2，3，3，4，4，5，5，…，则可得第2025个拐弯处的数．
【解答】解：拐弯处的数字依次为2，3，5，7，10，13，17，21，26，…，
每个拐弯处的数字后一个减去前一个数的差为1，2，2，3，3，4，4，5，5，…，
∵2025÷2＝1012...1，
∴第2025个拐弯处的数是1+1×2+2×2+3×2+…+1012×2+1013×1＝1+1013×1013＝1026170，
故答案为：1026170．
3．（2024春•新华区期末）将正整数1，2，3，4，5，6，....按如图数阵排列，用数对（m，n）表示该数
阵中从上到下、从左到右第m行第n个数字，如（4，5）表示14，则2023用数对表示为 ．
【分析】先得出第n行最大的数是n2，且奇数行从大到小排列，偶数行从小到大排列，再根据2023＝
442+87可得2023在第45行，这一行的数字按照从大到小排列，这一行的最大数为452＝2025，问题随之得解．
【解答】解：由图可知，
第一行一个数字，
第二行3个数字，按照从小到大排列，
第三行5个数字，按照从大到小排列，
第四行7个数字，按照从小到大排列，
…
由上可得，第n行最大的数是n2，且奇数行从大到小排列，偶数行从小到大排列，
∵2023＝442+87，
∴2023在第45行，
∵第45行数字的个数为：2×45﹣1＝89，这一行的数字按照从大到小排列，这一行的最大数为 452＝
2025，
∴2023是从左到右数第2025﹣2023+1＝3个数字，
∴2023用数对表示为（45，3），
故答案为：（45，3）．
4．（2023秋•南昌期末）把1～100这100个自然数按如图所示的数阵排列，用形如“ ”的框架框
住数阵中的五个数，并计算框架框住的五个数之和，现给出以下四个数：①63；②100；③140；
④465其中不可能是这个框架框住的五个数之和的是 ①③④ ．（填序号）
【分析】先计算这5个数的和，找出规律，再计算求解．
【解答】解：设中间的数字为x，则这5个数字的和为：x+（x﹣8）+（x+8）+（x﹣6）+（x+6）＝5x，
所以这个框架框住的五个数之和的是5的倍数，故①不可能，
100÷5＝20，可以，
140÷5＝28，而28不能是中间数，故③不可能，
465÷5＝93，而93不能为中间数，故④不可能，
故答案为：①③④．
5．（2023秋•从江县校级月考）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移）
（1）若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为 8 5 ；
（2）十字框内五个数的和的最小值是 7 5 ；
（3）设正中间的数为a，用式子表示十字框内五个数的和；
（4）十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2035？若能，求出正中间的数a；若不能，请说明
理由．
【分析】（1）列出17周围的四个数，五个数相加，即可求解，
（2）找到中间的数能取到的最小值，列出周围的四个数，五个数相加，即可求解，
（3）用含a的代数式，表示出a周围的四个数，五个数相加，即可求解，
（4）先求出中间的数，再找到中间的数在数阵中的位置，即可求解，
【解答】解：（1）17周围的四个数分别为：5，15，19，29，
17+5+15+19+29＝85，
故答案为：85，
（2）根据图表可知，十字框中间的数，能取到的最小值是15，
十字框内五个数的和的最小值是：15+3+13+17+27＝75，
故答案为：75，
（3）设正中间的数是a，则其他四个数分别为：a﹣2，a+2，a﹣12，a+12，
五个数的和为：a+（a﹣2）+（a+2）+（a﹣12）+（a+12）＝5a，
故答案为：十字框内五个数的和为5a，
（4）由（3）可知：十字框内五个数的和为5a，
2035
当和为2035时，a= =407，
5
因为407是第204个奇数，204÷6＝34，所以407在第六列，
所以十字框不能框住和等于2035的五个数，
故答案为：不能．【类型6 整式的应用（整除问题）】
1．（2024•唐山二模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是a+1，把M十位上的数字与个位
上的数字交换位置得到新两位数N，则M+N的值总能（ ）
A．被3整除 B．被9整除 C．被10整除 D．被11整除
【分析】求出M+N的值，因式分解后，进行判断即可．
【解答】解：由题意，
M+N＝10（a+1）+a+10a+a+1
＝10a+10+a+10a+a+1
＝22a+11
＝11（2a+1），
∴M+N的值总能被11整除；
故选：D．
2．（2023秋•大祥区期末）一个正两位数的个位数字是a，十位数字比个位数字大2．
（1）列式表示这个两位数．
（2）把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数，试说明新数与原数
的和能被22整除．
【分析】（1）根据两位数的表示方法：十位数字×10+个位数字，列式计算即可；
（2）先求出新的两位数，再求出新数与原数的和，然后进行整理，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
10（a+2）+a＝11a+20，
则这个两位数11a+20；
（2）∵这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数是10a+a+2＝11a+2，
∴新数与原数的和是：11a+20+11a+2＝22a+22＝22（a+1），
∴新数与原数的和能被22整除．
3．（2023秋•台州期末）【探究】（1）设abc是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3
整除．
证明：abc=100a+10b+c
＝（ 9 9 a + 9 b ）+（a+b+c）
＝3（ 3 3 a + 3 b ）+（a+b+c）
显然 3 （ 3 3 a + 3 b ） 能被3整除，因此，如果（a+b+c）能被3整除，那么abc就能被3整除．
【应用】（2）设abcd是一个四位数，若a+b+c+d可以被9整除，试说明这个数可以被9整除．【分析】（1）根据整式加减法则，进行填空即可；
（2）仿照（1）中的证明方法，进行作答即可．
【解答】解：（1）证明：abc=100a+10b+c
＝（99a+9b）+（a+b+c）
＝3（33a+3b）+（a+b+c）；
显然3（33a+3b）能被3整除，因此，如果（a+b+c）能被3整除，那么abc就能被3整除．
故答案为：99a+9b，33a+3b，3（33a+3b）；
（2）证明：abcd=1000a+100b+10c+d
＝（999a+99b+9c）+（a+b+c+d）
＝9（111a+11b+c）+（a+b+c+d），
∵9（111a+11b+c）能被9整除，
∴若a+b+c+d可以被9整除，则abcd能被9整除．
4．（2023秋•衢江区期末）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除
方法：三位数abc割掉末位 举例：对于三位数364，割
数字c得两位数ab，再用ab 掉末位数字4得36，36﹣
减去c的2倍所得的差为 4×2＝28，因为28是7的倍
ab−2c．若ab−2c是7的 数，所以364能被7整除．
倍数，则abc能被7整除．
【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除．
【推理验证】已知三位数abc．
（1）请用含a，b，c的代数式表示abc和“割尾法”后所得的差ab−2c．
（2）现在对材料中的判断方法“若ab−2c是7的倍数，则abc能被7整除”进行验证，下面是思路分
析．
分析：要证abc被7整除，需把abc表示成7的倍数．
已知abc=100a+10b+c=10(10a+b)+c①．
因为ab−2c是7的倍数，可设ab−2c=（1）中的代数式＝7k（k为整数）②．
只需把②式变形代入①式即可．
请根据上述分析写出推理过程．
【分析】类比解决：根据题干举例进行解答即可；
（1）根据题意表示出abc=100a+10b+c，ab=10a+b，求解即可；
（2）先设ab−2c=10a+b−2c=7k，将abc表示成7（10k+3c）即可证明．
【解答】解：类比解决：能，理由如下：
对于三位数455，割掉末位数字5得45，45﹣5×2＝35，因为35是7的倍数，所以455能被7整除．（1）∵abc=100a+10b+c，ab=10a+b，
∴ab−2c=10a+b−2c；
（2）设ab−2c=10a+b−2c=7k，
∴10a+b＝7k+2c，
∴abc=100a+10b+c=10(10a+b)+c=10(7k+2c)+c=70k+21c=7(10k+3c)，
∴abc能被7整除．
5．（2023秋•江汉区期末）定义：一个正整数 x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非
负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则
3 3
称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548： ×2−5= ×
2 2
3
4﹣8．因为 不是整数，所以2548不是“m倍数”．
2
（1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值；
（2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理
由；
（3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位
y−z
数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若 为整数，求这
8
个四位数；
（4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍
数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值．
【分析】（1）根据题意列出关于m的方程，进行判断．
（2）根据三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，得出b＝2c+7，表示出三位数，进行判断．
（3）根据四位数x为“1倍数”，得出a﹣c＝b﹣d，再得出11（a﹣c）为8倍数，求出a﹣c，b﹣d的
值，得出答案．
（4）设x的四位数字分别为a，b，c，d．百位十位进行互换，得出新数，分两种情况进行讨论，得出
答案．
【解答】解：（1）3m﹣2＝7m﹣4 ﹣4m＝﹣2．
1 ⇒
解得：m= ．
2
m不是整数，所以3274不是“m倍数“．2m﹣9＝6m﹣1 ﹣4m＝8．
解得：m＝﹣2．⇒
2961是“﹣2倍数“，m为﹣2．
（2）∵x为三位数，个位为7，
∴a＝0．d＝7．
﹣2×0﹣b＝﹣2c﹣7．
整理得：b＝2c+7．
这个三位数为：100b+10c+7＝100（2c+7）+10c+7＝210c+707＝7（30c+101）．
∵30c+101是整数．
∴这三位数x能被7整除．
（3）∵这四位数为“1倍数”．
∴a﹣b＝c﹣d a﹣c＝b﹣d．
∵y＝10a+b，⇒z＝10c+d．
∴y﹣z＝10a+b﹣10c﹣d＝10（a﹣c）+10（b﹣d）＝11（a﹣c）．
y−z
∵ 为整数．
8
11(a−c)
∴ 为整数．
8
即a﹣c＝±8，b﹣d＝±8．
∵各位数的数字互不相等．
∴a，b，c，d四个数应为9，8，1，0．或1，0，9，8．
∴这四位数应为9810，1098．
（4）设x的四位数字分别为a，b，c，d．
∵x为“4倍数“．
∴4a﹣b＝4c﹣d①．
∵将百位数字与十位数字互换，新的四位数仍为“4倍数”．
∴4a﹣c＝4b﹣d②．
①﹣②得﹣b+c＝4c﹣4b ﹣3c＝﹣3b c＝b．
将b＝c代入①得：4a﹣b⇒＝4b﹣d． ⇒
整理得：d＝5b﹣4a．
∵x+6为“﹣4倍数“．
∴当d＜4时，﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6．把b＝c，d＝5b﹣4a代入﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6得：
﹣4a﹣b＝﹣4b﹣（5b﹣4a）﹣6．
整理得：8a﹣8b＝6．
∵a，b，c，d均为小于10的非负整数，
∴8a﹣8b不可能等于6，
∴d＜4不符合题意．
当4≤d≤10时，﹣4a﹣b＝﹣4（c+1）﹣（d+6﹣10），
整理得：4a+b＝4c+d，
把b＝c，d＝5b﹣4a代入4a+b＝4c+d得：
4a+b＝4b+（5b﹣4a），
整理得：a＝b，
∴d＝5b﹣4a＝5b﹣4b＝b，
即d＝b．
∴a＝b＝c＝d．
∵x+6为四位数，
∴a＝b＝c＝d＜9．
∴a，b，c，d的最大值为8，即这个四位数最大为8888．
【类型7 整式的应用（幻方问题）】
1．（2023秋•台江区校级期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、
8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方
形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则（x﹣y）m﹣n的值是 ﹣ 2 7 ．
【分析】设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q，根据题意可知：x+2+p＝y﹣1+p，n+2+q＝m
﹣1+q，变形可得：x﹣y＝﹣3，m﹣n＝3，即可求出（x﹣y）m﹣n的值．
【解答】解：设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q，∴根据题意可知：x+2+p＝y﹣1+p，n+2+q＝m﹣1+q，
∴x﹣y＝﹣3，m﹣n＝3，
∴（x﹣y）m﹣n＝（﹣3）3＝﹣27，
故答案为：﹣27．
2．（2023秋•秦都区校级月考）中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简
单的幻方模型，将﹣1，﹣2，﹣3，1，2，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶
点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经将﹣1，﹣3，1，5这四个数填入了圆
圈，则（a+b）+b﹣c﹣d＝ 7 ．
【分析】根据题意得到﹣3+1+5＝﹣3+1+d+b，﹣1+1+d＝﹣3+1+b+d，解方程得到b＝2，d＝3，进而求
出a＝4，c＝﹣2，据此代值计算即可．
【解答】解：由题意得，﹣3+1+5＝﹣3+1+d+b，﹣1+1+d＝﹣3+1+b+d，
∴b＝2，d＝3，
∴﹣3+2+3+1＝﹣3+2+a，2+3+c＝﹣3+1+3+2，
∴a＝4，c＝﹣2，
∴（a+b）+b﹣c﹣d＝（4+2）+2﹣（﹣2）﹣3＝6+2+2﹣3＝7．
故答案为：7．
3．（2024秋•大连月考）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有
“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称
为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻
方”．（1）如图1是一个“和幻方”，则a＝ 9 ，b＝ 1 ；
（2）如图2是一个“积幻方”，求mn的值；
（3）如图3是一个“和幻方”，求x的值．
【分析】（1）根据表知，每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均为15，则由第一横
行的和为15，可求得a的值；由第二竖列的和为15，可求得b的值；
（2）由表可求得第一横行三个数字的积为 8，根据两斜对角线的三个数的积为 8可分别求得n与m的
值，从而求得结果．
（3）设最中间的数为y，则3+8+x＝5+y+x，从而可求得y的值；设右下角的数为t，则3+6+t＝3+8+x，
则可得t；设第三行第二列的数为c，则5+c+x+2＝3+8+x，求得c的值，从而得到第二列的三个数，最
后可求得x的值．
【解答】解：（1）由4+a+2＝15，解得a＝9；
由于9+5+b＝15，解得b＝1；
故答案为：9，1；
4
（2）第一横行的积为2× ×（﹣3）＝﹣8，
3
则2×2n＝﹣8，n＝﹣2；
4
则﹣3×（﹣2）m＝﹣8，m=− ．
3
4 9
∴（− ）﹣2= ；
3 16
（3）如表，设最中间的数为y，则3+8+x＝5+y+x，解得y＝6，
3 8 x
y
5 c t
设右下角的数为t，则3+6+t＝3+8+x，t＝x+2．
设第三行第二列的数为c，则5+c+x+2＝3+8+x，解得c＝4．则第二列3个数的和为8+6+4＝18．
则3+8+x＝18，
解得x＝7．
4．（2023秋•天河区校级期中）如图是一个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到3×3
的方格中得到的，其每横行、每竖列、每条对角线上的三个数之和相等．
（1）请将10、8、6、4、2、0、﹣2、﹣4、﹣6这九个数填入图2的方格中，使其每一横行，每一竖列
以及每条对角线上的三个数字之和都相等．
（2）如图3所示的三阶幻方中，其每一横行，每一竖列以及每条对角线上的三个数字之和都相等，若
A＝2a，B＝7a+5，C＝6a﹣2，E＝5a+1．
①求整式F．
②试比较B﹣D与2F的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）将10、8、6、4、2、0、﹣2、﹣4、﹣6这九个数按照从大到小的顺序排列，将最中间的
数填入中心位置，其余的数大小匹配填在中心位置两侧即可；
（2）①利用A+B+C＝A+E+I可求整式I，根据A+B+C＝C+F+I即可求整式F；②利用A+B+C＝D+E+F
可求整式D，计算B﹣D﹣2F，分类讨论a＝0、a＞0、a＜0即可求解．
【解答】解：（1）解：如图所示：
（2）①∵A+B+C＝2a+7a+5+6a﹣2＝15a+3，
∴I＝15a+3﹣A﹣E＝8a+2，
∴F＝15a+3﹣C﹣I＝a+3，
②∵D＝15a+3﹣E﹣F＝9a﹣1，
∴B﹣D＝﹣2a+6，
∵2F＝2a+6，∴B﹣D﹣2F＝﹣4a，
当a＝0时，B﹣D＝2F；
当a＞0时，B﹣D＜2F；
当a＜0时，B﹣D＞2F．
5．（2023秋•台州期中）【数学背景】
幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相
等的方法．
【问题提出】
（1）如图①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及对角线上
的数字和都相等，则这个和是 1 5 ．
【问题探究】
（2）在图①中填入一种符合（1）要求的方法．
【模型迁移】
（3）图②是显示部分式子的幻方，用含b的式子表示a．
（4）图③是显示部分式子的幻方，求x的值．
2a
3b 5b
﹣2b
图②
2m2+m m2+m
x﹣2m2+6m 2m2+3m
2m+5
图③
【分析】（1）根据“每行、每列及对角线上的数字和都相等”列式计算；
（2）根据“每行、每列及对角线上的数字和都相等”进行填表；（3）根据“每行、每列及对角线上的数字和都相等”列式并化简；
（4）根据“每行、每列及对角线上的数字和都相等”列式表示．
1
【解答】解：（1） （1+2+3+4+5+6+7+8+9）＝15，
3
故答案为：15；
（2）如图表所示：
（3）由题意得：2a﹣2b＝3b+5b，
解得：a＝5b；
（4）由题意得：（2m2+m）+（m2+m）＝（2m2+3m）+（2m+5），
化简得：m2﹣3m＝5，
∵（2m2+m）+（2m+5）＝（2m2+3m）+（x﹣2m2+6m），
∴x＝2（m2﹣3m）+5＝15．
6．（2024秋•龙岩校级月考）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图 1）．“洛
书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组
合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种
将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都
相等．（1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整；
（2）如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将 0，1，3，4，7这五个数字填入表格，
补全这个新的三阶幻方；
（3）如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将﹣11，﹣9，﹣7，﹣5，﹣3，﹣
1，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的
“〇”中的数的和都相等．
则mn＝ ﹣ 1 0 或 1 1 （注：mn＝m×n）
【分析】（1）由题意求出每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即
可；
（2）由题意求出新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数
字即可；
（3）根据题意求出每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和，再求出m、n的值，进而即可求出mn
的值．
【解答】解：（1）∵每行、列和对角线上的数字之和都相等，8+5+2＝15，
∴第三行第三列上的数字为：15﹣8﹣1＝6；
第一行第二列上的数字为：15﹣5﹣1＝9；第一行第一列上的数字为：15﹣9﹣2＝4；
第二行第一列上的数字为：15﹣4﹣8＝3；
第二行第三列上的数字为：15﹣2﹣6＝7；
补充三阶幻方如图2，
（2）∵新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：（0+1+2+3+4+5+6+7+8）÷3＝12，
∴第一行第一列上的数字为：12﹣6﹣5＝1；
第二行第二列上的数字为：12﹣6﹣2＝4；
第二行第三列上的数字为：12﹣8﹣4＝0；
第三行第三列上的数字为：12﹣3﹣2＝7，
∴补充三阶幻方如图3：
（3）∵每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和为：（﹣11﹣9﹣7﹣5﹣3﹣1+2+4+6+8+10+12）÷3
＝2，
∴﹣3+2+4+m＝2，8+h﹣5﹣7＝2，p+n+12﹣9＝2，
解得：m＝﹣1，h＝6，n＝10或﹣11，
∴mn＝﹣10或11，
故答案为：﹣10或11．
