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§2.2 函数的单调性与最值
考试要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x，x∈I
1 2
当x<x 时，都有 ，那
1 2
定义 当x<x 时，都有 ，那么
1 2
么就称函数f(x)在区间I上单调递
就称函数f(x)在区间I上单调递减
增
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具
有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
(1)∀x∈D，都有 ； (1)∀x∈D，都有 ；
条件
(2)∃x∈D，使得 (2)∃x∈D，使得
0 0
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
常用结论
1．∀x，x∈I且x≠x，有>0(<0)或(x－x)[f(x)－f(x)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
1 2 1 2 1 2 1 2
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)因为f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数．( )
(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．( )
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
教材改编题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝－x＋2
2．y＝在[3,4]上的最大值为( )
A．2 B. C. D．4
3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________．
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝
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命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
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思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为( )
A. B.
C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞)
(2)函数f(x)＝ 的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 (2023·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x ，x∈(－∞，0)，均有(x －
1 2 1
x
2
)[f(x
1
)－f(x
2
)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(
)
A．c<b<a B．a<c<b
C．a<b<c D．c<a<b
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命题点2 求函数的最值
例4 函数f(x)＝－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值为________．
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命题点3 解函数不等式
例5 已知函数f(x)＝x－log (x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
2
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命题点4 求参数的取值范围
例6 已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C．(0,1) D．(0,1]
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思维升华 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性
解决．
(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义
域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))
或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
跟踪训练2 (1)(2023·兰州模拟)设函数f(x)＝则满足不等式f(2x－1)<2的解集是( )
A. B.
C. D.
(2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
