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专题 4.4 数轴动点问题必考八大类型（46 题）
【人教版2024】
【类型1 数轴上点的平移问题】..............................................................................................................................1
【类型2 数轴上的中点问题】..................................................................................................................................5
【类型3 数轴上的行程问题】................................................................................................................................10
【类型4 数轴上的和差倍分】................................................................................................................................19
【类型5 数轴上的动点与定值】............................................................................................................................25
【类型6 数轴上的动线段问题】............................................................................................................................33
【类型7 数轴上点的往返运动】............................................................................................................................40
【类型8 数轴中的新定义问题】............................................................................................................................45
【类型1 数轴上点的平移问题】
1．（2023秋•西乡塘区校级月考）数轴上的点M表示有理数﹣2，将点M向右平移1个单位长度到达点
N，点E到点N的距离为3，则点E表示的有理数为 ．
【分析】根据题意，可以得出点N表示的有理数为﹣1，再根据两点间的距离，即点E到点N的距离为
3，求出答案．
【解答】解：∵数轴上的点M表示有理数﹣2，将点M向右平移1个单位长度到达点N，
∴点N表示的有理数为﹣2+1＝﹣1，
设点E表示的有理数为 x，由题意得：
|﹣1﹣x|＝3，
解得：x＝﹣4或x＝2，
故答案为：﹣4或2．
2．（2023秋•新吴区期末）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m和n，其中m表示的数为10，n
表示的数为﹣2．有一个玩具火车AB放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点 A移动到点B
时，点B与点M重合，当点B移动到点A时，点A与点N重合．则玩具火车的长为 个单位长
度；将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当NA：BM＝3：1时，点A所表示的数为 ．
【分析】根据题意可知，MN的长度正好等于3个玩具火车的长度，从而可求出玩具火车的长度；设点A所表示的数为a，则点B表示的数为（a+4），分别将NA和BM的长度用含a的代数式的绝对值表示
出来，根据NA和BM的数量关系列绝对值方程并求解即可．
【解答】解：由题意可知，MN＝3AB．
∵MN＝m﹣n＝10﹣（﹣2）＝12，
1
∴AB= MN＝4．
3
故答案为：4．
设点A所表示的数为a，则点B表示的数为（a+4），
∴NA＝|a﹣（﹣2）|＝|a+2|，BM＝|a+4﹣10|＝|a﹣6|，
∴|a+2|：|a﹣6|＝3：1，即|a+2|＝3|a﹣6|．
当a＜﹣2时，﹣（a+2）＝﹣3（a﹣6），解得a＝10（不符合题意，舍去）；
当﹣2≤a＜6时，a+2＝﹣3（a﹣6），解得a＝4；
当a≥6时，a+2＝3（a﹣6），解得a＝10．
综上，点A所表示的数为4或10．
故答案为：4或10．
3．（2023秋•高港区校级月考）对数轴上的点P按照如下方式进行操作：先把点P表示的数乘以3，再把
表示得到的这个数的点沿数轴向右平移1个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P的“倍移”，
数轴上的点A、B经过“倍移”后，得到的点分别为A′、B′，将点A′、B′，若A′B′＝2022，则
AB＝ ．
【分析】利用数轴上两点间的距离|a﹣b|即可求解．
【解答】解：设点A表示的数为a，点B表示的数为b，
则A′表示的数为3a+1，点B′表示的数为3b+1，
∵A′B′＝2022，
∴|3a+1﹣（3b+1）|＝2022，
解得|a﹣b|＝674．
故AB＝|a﹣b|＝674，
故答案为：674．
4．（2023秋•偃师市月考）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝22，有一根木棒PQ沿数轴向左水平
移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为8，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数
为 ．【分析】设AB的中点为C，则AC＝BC＝11，求得AP＝14，当点Q移动到线段AB的中点C时，BQ＝
AQ＝11，根据两点间的距离的求法即可得到结论．
【解答】解：设AB的中点为C，
∵AB＝22，
∴AC＝BC＝11，
∵当点Q移动到点B时，点P所对应的数为8，
当点Q移动到线段AB的中点C时，即木棒向左移动了一个BC的长度，
如图：
∴点P所对应的数为8﹣11＝﹣3，
故答案为：﹣3．
5．（2023秋•广安期末）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左
移动3个单位长度到达点A ，第2次将点A 向右平移6个单位长度到达点A ，第3次将点A 向左移动9
1 1 2 2
个单位长度到达点A …则第6次移动到点A ；按照这种规律移动下去，至少移动次 2 7 后该点到原
3 6
点的距离不小于41．
【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，
各点所表示的数依次增加3，即可解答．
【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A ，则A 表示的数，1﹣3＝﹣2；
1 1
第2次从点A 向右移动6个单位长度至点A ，则A 表示的数为﹣2+6＝4；
1 2 2
第3次从点A 向左移动9个单位长度至点A ，则A 表示的数为4﹣9＝﹣5；
2 3 3
第4次从点A 向右移动12个单位长度至点A ，则A 表示的数为﹣5+12＝7；
3 4 4
第5次从点A 向左移动15个单位长度至点A ，则A 表示的数为7﹣15＝﹣8；
4 5 5
第6次从点A 向左移动18个单位长度至点A ，则A 表示的数为﹣8+18＝10；
5 6 6
⋯；
则A 表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A 表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A 表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A 表示
7 9 11 13
的数为﹣17﹣3＝﹣20，A 表示的数为﹣20﹣3＝﹣23，A 表示的数为﹣23﹣3＝﹣26，A 表示的数为
15 17 19﹣26﹣3＝﹣29，A 表示的数为﹣29﹣3＝﹣32，A 表示的数为﹣32﹣3＝﹣35，A 表示的数为﹣35﹣
21 23 25
3＝﹣38，A 表示的数为﹣38﹣3＝﹣41，
27
所以至少移动27次后该点到原点的距离不小于41．
故答案为：27．
6．（2023秋•铁东区期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上
的点A重合，右端与点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点 B时，它的右端在数轴上所对应的数为
20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到 A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为
5，由此可得到木棒长为 cm．
（2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要
35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁
了？
【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是 20﹣5＝15（cm），则此木棒长为
5cm；
（2）根据两点间的距离公式即可求解；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒 AB，类似爷爷比小红大时看作当A
点移动到B点时，此时B点所对应的数为﹣35，小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时，此时A点所
对应的数为130，所以可知爷爷比小红大[130﹣（﹣35）]÷3＝55，可知爷爷的年龄．
【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5＝15（cm），
则此木棒长为5cm．
（2）图中点A所表示的数是 10，点B所表示的数是 15．
故答案为：5，10，15．
（3）如图：
借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，
类似爷爷比小红大时看作当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为﹣35．
小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时，
此时A点所对应的数为130．
∴可知爷爷比小红大[130﹣（﹣35）]÷3＝55，
可知爷爷的年龄为130﹣55＝75．
【类型2 数轴上的中点问题】
1．（2023秋•淮阳区期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是﹣9，﹣1，1，且点C为线段AB的
中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段DE的中点．若DE＝3，则BF＝（ ）
1 1 7 7 1
A． B． C． D． 或
3 2 2 2 2
1
【分析】根据点F为线段DE的中点和DE＝3，可知DF= DE，F点可能在D的左边或右边，对此分别
2
讨论即可．
【解答】解：∵点F为线段DE的中点，DE＝3，
1 3
∴DF= DE= ，
2 2
∵D点表示1
3 1 3 5 1 5
∴1− =− ，1+ = ，即F点可能为− 或者 ，
2 2 2 2 2 2
1 1 5 7
∴BF=− −（﹣1）= 或者BF= −（﹣1）= ，
2 2 2 2
故答案为：D．
2．（2023秋•监利市期末）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣19和3．点C为线段AD的中
点，且BC＝6BD，则点C表示的数为（ ）
A．﹣9 B．﹣9.5 C．﹣10 D．﹣10.5
【分析】由已知得AB＝22，设BD＝x，则BC＝6x，CD＝5x，再根据点C为线段AD的中点，得AD＝
2CD＝10x，AB＝11x＝22，解得x＝2，所以AC＝5x＝10，即可得点C所表示的数是﹣19+10＝﹣9．
【解答】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣19和3，∴AB＝3+19＝22，
设BD＝x，
∵BC＝6BD，
∴BC＝6x，
∴CD＝5x，
∵点C为线段AD的中点，
∴AD＝2CD＝10x，
∴AB＝11x＝22，
∴x＝2，
∴AC＝5x＝10，
∴点C所表示的数是﹣19+10＝﹣9．
故选：A．
3．（2023秋•武汉期末）数轴上点A表示的数为﹣1，点B，C表示的数分别为3m﹣5，m+1，若点B为线
段AC的中点，则m的值为 ．
【分析】分两种情况：当点B在点A的右边时；当点B在点A的左边时；分别计算即可．
【解答】解：当点B在点A的右边时，
即3m﹣5＞﹣1，
4
解得m＞ ，
3
∴3m﹣5﹣（﹣1）＝m+1﹣（3m﹣5），
解得m＝2，
当点B在点A的左边时，
即3m﹣5＜﹣1，
4
解得m＜ ，
3
∴（3m﹣5）﹣（m+1）＝﹣1﹣（3m﹣5），
解得m＝2（舍去），
故m的值为2，
故答案为：2．
4．（2023秋•靖江市期末）已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为﹣5、3，点P，Q同时分别从A，B
出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程
中，取线段AQ的中点C（点C始终在线段PQ上），若线段PC的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是 ．
【分析】根据动点列出PQ长度，根据定值即与参数无关即可得到答案
【解答】解：设运动t秒时，
AQ＝3﹣（﹣5）+nt＝8+nt，AP＝mt，
∵点C是AQ的中点，
1 nt
∴AC= AQ=4+ ，
2 2
nt
∴PC=AC−AP=4+ −mt，
2
∵PC的长度总为一个固定的值，即与t无关，
n
∴ −m=0，即n＝2m，
2
故答案为：n＝2m．
5．（2023秋•广信区期末）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联
系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务：
（1）如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知AB＝8，BC＝2．
①若点B表示的数为2，则在数轴上点A表示是数为 ，点C表示是数为 ；
②若点B表示的数为n，则在数轴上点A表示是数为 ，点C表示是数为 ．
（2）从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧），那么
AB＝ ；
（3）在数轴上，若点E、F表示的数分别为3﹣2m，﹣2﹣2m，那么EF＝ ；
（4）若数轴上MN＝5，点M表示的数是﹣2，求点N和线段MN的中点P所表示的数分别是多少？
【分析】（1）结合数轴便可填出①，总结规律得出②；
（2）运用规律，数轴上两点之间的距离等于两点的差的绝对值，即可得出答案；
（3）两点之间的距离＝两点的差的绝对值，即可得到答案；
（4）分类讨论，分为N在M右侧还是左侧，即可得出答案．
【解答】解：（1）①数轴上点A表示的数为：2﹣8＝﹣6，点C表示的数为：2+2＝4；
②数轴上点A表示的数为：n﹣8，点C表示的数为：n+2；
故答案为﹣6，4，n﹣8，n+2；（2）∵AB＝|a﹣b|＝b﹣a，
又∵点A在点B的左侧，
∴a﹣b＜0，
∴AB＝|a﹣b|＝b﹣a，
故答案为b﹣a；
（3）EF＝|（3﹣2m）﹣（﹣2﹣2m）|＝|3﹣2m+2+2m|＝|5|＝5，
故答案为5；
（4）当N在M的右侧时，
5 1
点N表示的数为：﹣2+5＝3；点P表示的数为：3− = ；
2 2
当N在M的左侧时，
5 9
点N表示的数为：﹣2﹣5＝﹣7；点P表示的数为：−2− =− ．
2 2
1 9
综上分析，点N表示的数为3时，点P表示的数为 ；点N表示的数为﹣7时，点P表示的数为− ．
2 2
6．（2023秋•抚顺县期末）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的
规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可
a+b
简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为 ．
2
【感受新知】
如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为
1
t秒（t＞0），求当t为何值时，PQ= AB．
2
解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10
a+b −2+8
线段AB的中点表示的数为 = =3
2 2
当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t
∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）|
1 1
当PQ= AB时，|5t−10|= ×10
2 2
∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5
解得，t＝1或t＝3
1
∴当t为1秒或3秒时，PQ= AB．
2
【学以致用】
如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以
每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
1
（1）求当t为何值时，MN= AB；
2
【综合运用】
（2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合；
【拓展提升】
（3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若
变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长．
【分析】（1）利用含t的代数式表示出点M，N运动t秒时表示的数，利用题干中的方法列出关于t的
方程，解方程即可得出结论；
（2）利用线段中点的关系式求得点C表示的数，列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
（3）用线段中点的关系式求得点E，F表示的数，利用题干中的方法求得EF的长度，化简即可得出结
论．
【解答】解：（1）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t，
∴MN＝|﹣2+3t﹣8+4t|＝|﹣10+7t|；1
又∵AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10且MN= AB，
2
∴|﹣10+7t|＝5，
5 15
解得：t＝ 或t= ．
7 7
5 15 1
∴当t＝ 或t= 秒时，MN= AB．
7 7 2
（2）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t，
−2+3t+8−4t
∴线段MN的中点C表示的数为 ，
2
−2+3t+8−4t
由题意得： =−3，
2
∴t＝12．
∴当t为12秒时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合．
（3）点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5．理由：
∵当点M运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，
−2−2+3t 8−2+3t
∴MA的中点E表示的数为 ，MB的中点F表示的数为 ，
2 2
−2−2+3t 8−2+3t
∴EF＝| − |＝|﹣5|＝5．
2 2
∴点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5．
【类型3 数轴上的行程问题】
1．（2023秋•蓬江区校级期中）已知|b﹣5|+（c+1）2＝0，且b、c分别是点B、C在数轴上对应的数．
（1）b＝ ；c＝ ．
（2）B、C两点间的距离＝ ．
（3）若动点P、Q同时从点B、C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速
度是每秒3个单位长度．
问：①运动几秒后，点Q可以追上点P？
②运动几秒后，点P和点Q相距2？
【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性即可解答；
（2）根据数轴上两点间的距离公式可得答案；
（3）①利用路程＝速度×时间，根据追击问题列方程计算可得答案；
②分两种情况进行讨论：点P在点Q的左边和点P在点Q的右边．【解答】解：（1）∵|b﹣5|+（c+1）2＝0，|b﹣5|≥0，（c+1）2≥0，
∴b﹣5＝0，c+1＝0，
∴b＝5，c＝﹣1；
故答案为：5，﹣1；
（2）B、C两点间的距离为5﹣（﹣1）＝6，
故答案为：6；
（3）设运动时间为t秒，则点P、点Q运动的路程分别为t和3t个单位长度，
①点Q追上点P时，3t＝t+6，
解得：t＝3，
答：运动3秒后，点Q可以追上点P；
②点P在点Q的右边时，
3t+2＝6+t，
解得：t＝2；
点P在点Q的左边时，
t+6+2＝3t，
解得：t＝4，
答：运动2秒或4秒后，点P和点Q相距2．
2．（2023秋•恩施市期中）已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点
A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速
度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？
（3）在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M
对应的数，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）理解与整数、相反数、绝对值有关概念，能够正确画出数轴，正确在数轴上找到所对应
的点；
（2）根据数轴上两点间的距离的求法进行求解；
（3）注意数轴上两点间的距离公式：两点所对应的数的差的绝对值．
【解答】解：（1）a是最大的负整数，即a＝﹣1；
b是﹣5的相反数，即b＝5，c＝﹣|﹣2|＝﹣2，
所以点A、B、C在数轴上位置如图所示：
（2）设运动t秒后，点P可以追上点Q，
则点P表示数﹣1+3t，点Q表示5+t，
依题意得：﹣1+3t＝5+t，
解得：t＝3．
答：运动3秒后，点P可以追上点Q；
（3）存在点M，使M到A、B、C三点的距离之和等于12，
1
当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣3 ；
3
当M在AB之间，则M对应的数是4．
1
故使点M到A、B、C三点的距离之和等于12，点M对应的数是﹣3 或4．
3
3．（2023秋•惠州校级月考）已知：数轴上点A，C对应的数分别为a，c，且满足|a+7|+|c﹣2|＝0．点B对
应的数为﹣3．
（1）a＝ ，c＝ ．
（2）若在数轴上有两动点PQ分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/秒，点Q
的速度为1个单位长度秒，当点P在点D追上了点Q，求点D对应的数为多少？
（3）若在数轴上找一个点M，使得点M到点A和点C的距离之和为17，请求出点M所对应的数？
（要求写详细解答过程）
【分析】（1）根据非负数的性质求解；
（2）根据“点P在点D追上了点Q”列方程求解；
（3）根据a的取值范围，分类讨论求解．
【解答】解：（1）由题意得：a＝﹣7，c＝2，
故答案为：﹣7，2；
（2）设P经过x秒追上Q，
则：2x﹣x＝7﹣3，解得：x＝4，
﹣3+x＝1，
答：点D对应的数为1；
（3）设M对应的数为a，
则：|﹣7﹣a|+|2﹣a|＝17，
当a＜﹣7时，﹣7﹣a+2﹣a＝17，
解得：a＝﹣11，
当﹣7≤a≤2时，|﹣7﹣a|+|2﹣a|＝9，不合题意，
当a＞2时，a+7+a﹣2＝17，
解得：a＝6，
∴点M所对应的数为﹣11或6．
4．（2023秋•东莞市期末）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数
为80．
（1）请直接写出AB的中点M对应的数．
（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好
从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问
题：
①试求出点C在数轴上所对应的数；
②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？
a+b
【分析】（1）根据数轴上A、B两点所表示的数为a、b，则AB的中点所表示的数可以用公式 计
2
算；
（2）①设出点C所表示的数，表示出AC、BC，再根据两只蚂蚁的运动时间相等，列方程求解即可；
②分两种情况进行解答，即：Ⅰ）相遇前相距15个单位长度，Ⅱ）相遇后相距15个单位长度，分别列
方程求解即可．
−20+80
【解答】解：（1）AB的中点M所对应的数为 =30
2
（2）①如图1，设点C所表示的数为x，则AC＝x+20，BC＝80﹣x，x+20 80−x
由题意得， = ，
3 2
解得，x＝40，
答：点C在数轴上所表示的数为40；
②分两种情况进行解答，设运动的时间为t秒
Ⅰ）如图2，相遇前相距15个单位长度，
则3t+2t＝80﹣（﹣20）﹣15，
解得，t＝17（秒），
Ⅱ）如图3，相遇后相距15个单位长度
则3t+2t＝80﹣（﹣20）+15，
解得，t＝23（秒）
答：当两只蚂蚁运动17秒或23秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度．
5．（2024春•长宁区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、
B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．
（1）运动 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 ；
（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．
【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可；
（2）分别利用在相遇之前距离为10和在相遇之后距离为10，求出即可．
【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得：
2x+3x＝8﹣（﹣12），
解得：x＝4，
﹣12+2×4＝﹣4．答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4；
故答案为：4；﹣4．
（2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t，
若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10＝20，
解得：t＝2．
若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10＝20，
解得：t＝6．
综上所述：t的值为2或6．
6．（2024春•道里区校级月考）如图所示，在数轴上点A在原点的左侧，所表示的数是x；点B在原点的
1
右侧，所表示的数是y，并且满足|50+ x|与（y﹣20）2互为相反数．
2
（1）点A表示的数为 ；点B表示的数为 ．
（2）在（1）的条件下，如果点M从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点N从点B
出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度，那么M、N两点同时出发，并且在点C处相遇，求点
C所表示的数．
1
（3）在（2）的条件下，若点M运动到达B点后，按原路立即返回，速度比原来提高了 ；点N继续按
3
原速度原方向运动，从M、N在点C处相遇开始，当M、N两点的距离为15个单位长度时，求点M所
表示的数．
【分析】（1）依据两个非负数相加为零，各个数为零；
（2）点A到点C的距离加点C到点B的距离等于点A与点B之间的距离；
（3）根据题意分三种情况讨论：①M、N在C点相遇后，M向B运动路上，②M点从B点返回，且
未追上N时，③M点从B点返回，追上了N．
1
【解答】解：（1）∵|50+ x|与（y﹣20）2互为相反数，
2
1
∴|50+ x|+(y−20) 2=0，
2
1
∵|50+ x|≥0，(y−20) 2≥0，
21
∴|50+ x|=0，(y−20) 2=0，
2
∴x＝﹣100，y＝20，
故答案为：﹣100，20．
（2）由（1）得点A与点B的距离为：20﹣（﹣100）＝120，
设M，N两点相遇时间为t（s）得：
3t+2t＝120，
解得t＝24（s），
点M移动的距离为：24×3＝72，
故M点表示的数：﹣100+72＝﹣28，
∴C点所表示的数为﹣28．
（3）①M、N在C点相遇后，M向B运动路上，|MN|＝15时，假设用了t 时间，则：
1
3t +2t ＝15，
1 1
∴t ＝3（s），
1
∴此时M点所示的数：﹣28+3×3＝﹣19；
②M点从B点返回，且未追上N时，|MN|＝15，
20−(−28) 48
M点从C处运动到B处：t = = =16(s)，
2 3 3
此时N从C处出发运动的路程为16×2＝32，则N点表示的数为：﹣28﹣32＝﹣60，
1 4
M点后来的速度：3×(1+ )=3× =4，
3 3
假设M点从B处出发，未追上N，但满足|MN|＝15时，运动时间为t ，则：
3
20﹣（﹣60）+2t ＝4t +15，
3 3
65
∴t = ，
3 2
65
∴此时M从B出发运动的路程为4t =4× =130，
3 2
∴M点表示的数为：20﹣130＝﹣110；
③M点从B点返回，追上了N，且满足|MN|＝15，假设从B点到达这个位置用时t ，则：
4
2t +20﹣（﹣60）+15＝4t ，
4 4
95
∴t = ，
4 295
此时M从B出发运动的路程为4× =190，
2
∴M点表示的数为：20﹣190＝﹣170，
综上所述，M所表示的数为﹣19或﹣110或﹣170．
7．（2023秋•碑林区校级期末）将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，
图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单
位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O
与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长
度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经
过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
（1）动点P从点A运动至点C需要 秒，动点Q从点C运动至点A需要 秒；
（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；
（3）是否存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点 A和点B在“折线数
轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得，动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），动
点Q从点C运动至点A需要的时间是：8÷1+10÷2+10÷1＝23（s）；
（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上
时表示的数是10﹣2（t﹣8），则t﹣5＝10﹣2（t﹣8），求出t的值，再求M点表示的数即可；
（3）分7种情况讨论：①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，此时P点表示的数是﹣10+2t，
8
Q点表示的数是18﹣t，由题意可得，28﹣3t＝20，解得t= ；②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在
3
3
BC 上，此时 P 点表示的数是 t﹣5，Q 点表示的数是 18﹣t，由题意可得，23﹣2t＝20，解得 t=
2
（舍）；③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，此情况不符合题意；④13＜t≤15时，P
点在OB上，Q点在OA上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是13﹣t，由题意可得，2t﹣18＝
20，解得t＝19（舍）；⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，53
Q点表示的数是13﹣t，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t= ；⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q
3
点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t
53
= （舍）；⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意．
3
【解答】解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，
∴OA＝10，BO＝10，BC＝8，
∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），
动点Q从点C运动至点A需要的时间是：8÷1+10÷210÷1＝23（s），
故答案为：19，23；
（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，
P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），
∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8），
31
解得t= ，
3
31 16
∴M点表示的数是 −5= ；
3 3
（3）存在t值，使得点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”等于点 A和点B在“折线数轴”上
的“友好距离”，理由如下：
∵点A表示﹣10，点B表示10，
∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20，
①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，
此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t，
由题意可得，28﹣3t＝20，
8
解得t= ；
3
②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在BC上，
此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t，
由题意可得，23﹣2t＝20，3
解得t= （舍）；
2
③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，
∴此情况不符合题意；
④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，
此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是13﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5﹣13+t＝20；t＝19（舍）；
⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，
此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为2t﹣20﹣13+t＝3t﹣33，
由题意可得，3t﹣33＝20，
53
解得t= ；
3
⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，
此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是13﹣t，
∴点P和点Q在“折线数轴”上的“友好距离”为（2t﹣20）﹣（13﹣t）＝3t﹣33，
由题意可得，3t﹣33＝20，
53
解得t= （舍）；
3
⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意；
8 53
综上所述：t的值为 或 ．
3 3
【类型4 数轴上的和差倍分】
1．（2023秋•青秀区校级期中）已知点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a＝﹣2，b＝10，点A、B
之间的距离记作AB．
（1）线段AB的长为 ；（直接写出结果）
（2）若动点P在数轴上对应的数为x，
①当点P是线段AB上一点，PA＝2PB，则点P表示的数为 ；此时PA+PB＝ ；（直接写出
结果）
②当PA+PB＝14时，求x的值．
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可；
（2）①分别将PA和PB表示出来，根据题意列方程并求解即可；根据线段关系直接作答即可；②分两种情况进行计算：当点P位于点A的左侧时和当点P位于点B的右侧时；
【解答】解：（1）AB＝|﹣2﹣10|＝12．
故答案为：12．
（2）①∵点P是线段AB上一点，
∴PA＝x﹣（﹣2），PB＝10﹣x．
∴x﹣（﹣2）＝2（10﹣x），解得x＝6．
∴PA+PB＝AB＝12．
故答案为：6，12．
②当点P位于点A的左侧时：
∵PA+PB＝2PA+AB＝14，即2PA+12＝14，
∴PA＝1＝﹣2﹣x，解得x＝﹣3．
当点P位于点B的右侧时：
∵PA+PB＝2PB+AB＝14，即2PB+12＝14，
∴PB＝1＝x﹣10，解得x＝11．
综上，当PA+PB＝14时，x的值为﹣3或11．
2．（2023秋•江汉区期中）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，我们将A，B两点间的距离记为
AB，那么AB＝|a﹣b|，若数轴上点C表示的数为x，已知a＝﹣7，b＝2，回答下列问题：
（1）A，B两点间的距离AB＝ ；
（2）①若AC＝1，求x的值；
②若点C在点B的右边，且AC+BC＝12，求x的值；
（3）已知点C到A，B两点间所有表示整数的点（不含A，B两点）的距离之和为40，则x的值为
．
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）①根据AC＝1可得|﹣7﹣x|＝1，解方程即可求解；
②先分别表示出AC和BC，再列方程即可求解；
（3）分情况讨论列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）A，B两点间的距离AB＝|﹣7﹣2|＝9，
故答案为：9；
（2）①若AC＝1，
则|﹣7﹣x|＝1，
解得x＝﹣6或﹣8；②若点C在点B的右边，
则AC＝x+7，BC＝x﹣2，
∴x+7+x﹣2＝12，
解得x＝3.5；
（3）当C在B的右侧时，
则（x﹣1）+x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）＝40，
解得x＝2.5；
当C在A的左侧时，
则（﹣6﹣x）+（﹣5﹣x）+（﹣4﹣x）+（﹣3﹣x）+（﹣2﹣x）+（﹣1﹣x）+（﹣x）+（1﹣x）＝40，
解得x＝﹣7.5；
当C在A、B之间时，不存在和等于40的情况．
综上，x的值为2.5或﹣7.5．
3．（2023秋•青山区期末）已知a、b满足：（a+8）2+|b﹣4|＝0，c＝a+2b．且有理数a、b、c在数轴上对
应的点分别为 A、B、C．
（1）则a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位
长度的速度向左运动，当点Q到达点A时，两点停止运动．求点P、Q在运动过程中，当t为何值时AP
＝3CQ？
（3）点D是直线AB上一点，若|AD﹣BD|＝2CD，则AB：BD的值为 ．
【分析】（1）利用非负数的意义求得a，b的值，进而利用已知条件求得c值；
（2）设P表示的数是﹣t，Q表示的数是4﹣2t，利用已知条件列出关于t的方程，解方程即可得出结
论；
（3）利用分类讨论的方法分三种情况列出方程，解方程即可得出点D对应的数值，利用点对应的数字
表示出线段AB，BD的长度，则即可可求．
【解答】解：（1）∵（a+8）2+|b﹣4|＝0，（a+8）2≥0，|b﹣4|≥0，
∵a+8＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣8，b＝4，
∵c＝a+2b，∴c＝﹣8+2×4＝0，
故答案为：﹣8，4，0；
（2）设P表示的数是﹣t，Q表示的数是4﹣2t，
∵AP＝3CQ，
∴﹣t﹣（﹣8）＝3|4﹣2t|，
4 20
解得t= 或t= ，
5 7
4 20
∴当t为 或 时，AP＝3CQ；
5 7
（3）设D表示的数是x，
①当x≤﹣8时，
∵|AD﹣BD|＝2CD，
∴（4﹣x）﹣（﹣8﹣x）＝2（﹣x），
解得：x＝﹣6（不符合题意，舍去）；
②当﹣8＜x＜4时，
∵|AD﹣BD|＝2CD，
∴|x﹣（﹣8）﹣（4﹣x）|＝2|x|，
解得x＝﹣1，
∴AB＝12，BD＝5，
∴AB：BD＝12：5；
③当x＞4时，
∵|AD﹣BD|＝2CD，
∴|x+8﹣（x﹣4）|＝2x．
∴2x＝12，
∴x＝6．
∴AB＝12，BD＝2，
∴AB：BD＝6．
12
综上，AB：BD的值为 或6．
5
12
故答案为： 或6．
5
4．（2023秋•晋安区校级期末）已知，如图所示，A、B、C是数轴上的三点，点C对的数是6，BC＝4，AB＝12．
（1）写出A、B对应的数；
（2）动点P、Q同时从A、C出发，分别以每秒6个单位，3个单位速度沿数轴正方向运动，M是AP
1
的中点，N在CQ上且CN= CQ，设运动时间为t（t＞0）．
3
①求点M、N对应的数（含t的式子）；
②t为何值时OM＝2BN．
【分析】（1）根据点C所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点A、B表示的数；
（2）①根据题意画出图形，表示出AP＝6t，CQ＝3t，再根据线段的中点定义可得AM＝3t，根据线段
1
之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据CN= CQ可得CN＝t，根据线段的和差关系可得到点
3
N表示的数；
②根据OM＝2BN列出关于x的方程，再分两种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵C表示的数为6，BC＝4，
∴OB＝6﹣4＝2，
∴B点表示2．
∵AB＝12，
∴AO＝12﹣2＝10，
∴A点表示﹣10．
故点A对应的数是﹣10，点B对应的数是2；
（2）①AP＝6t，CQ＝3t，如图1所示：
1
∵M为AP的中点，N在CQ上，且CN= CQ，
3
1 1
∴AM= AP＝3t，CN= CQ＝t，
2 3
∵点A表示的数是﹣10，点C表示的数是6，∴点M表示的数是﹣10+3t，点N表示的数是6+t；
②∵OM＝|﹣10+3t|，BN＝BC+CN＝4+t，OM＝2BN，
∴|﹣10+3t|＝2（4+t）＝8+2t，
∴﹣10+3t＝±（8+2t），
当﹣10+3t＝8+2t时，t＝18；
2
当﹣10+3t＝﹣（8+2t）时，t= ．
5
2
∴当t＝18或t= 时，OM＝2BN．
5
5．（2023秋•阳新县校级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣4，20．
（1）若P点为线段AB的中点，求P点对应的数．
（2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位
长度/秒的速度向右运动．
①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数．
②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用中点坐标计算方法直接得出答案即可；
（2）①画出图形，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，分别表示出AM和BM的长度，建立方程
求得答案即可；
②利用（2）中的AM和BM的长度，分两种情况：M在AB之间，A在BM之间，结合3MA＝2MB建立
方程求得答案即可．
−4+20
【解答】解：（1）P点表示的数是 =8；
2
（2）①如图，
设t秒后点M到点A、点B的距离相等，
AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，
则2t+4＝20﹣6t，解得t＝2，
M表示2×4＝8．
A、B重合时，MA＝BM，此时t＝6，此时M表示24．
②如图①，
AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，
∵3MA＝2MB，
∴3（2t+4）＝2（20﹣6t），
14
∴t= ，
9
14 56
∴点M表示 ×4= ；
9 9
如图②，
AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝2t+4t﹣20＝6t﹣20，
∵3MA＝2MB，
∴3（2t+4）＝2（6t﹣20），
26
∴t= ，
3
26 104
∴点M表示 ×4= ．
3 3
【类型5 数轴上的动点与定值】
1．（2023秋•无锡期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开
始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位
的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变
化，则m＝ ．
【分析】先求出OA、BO的长度，再分别用含有t的代数式写出AP、OP、BP的长度，得出2AP+3OP﹣mBP，根据2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，即可求解．
【解答】解：∵AB＝15，OA＝2OB，
2 1
∴OA= AB＝10，BO= AB＝5，
3 3
∵A点对应的数为﹣10，B点对应的数是5，
设经过t秒，则AP＝|5t﹣4t﹣15|＝|15﹣t|，
OP＝5+4t，BP＝4t﹣t＝3t，
若t≤15时，
2AP+3OP﹣mBP
＝2（15﹣t）+3（5+4t）﹣m×3t
＝（10﹣3m）t+45，
10
∴当10﹣3m＝0，即m= 时，2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化；
3
若t＞15时，
2AP+3OP﹣mBP
＝2（t﹣15）+3（5+4t）﹣m×3t
＝（14﹣3m）t﹣15，
14
∴当14﹣3m＝0，即m= 时，2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化；
3
14 10
综上所述，当m= 或 时2AP+3OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化．
3 3
14 10
故答案为： 或 ．
3 3
2．（2023秋•九江期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且
OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若PA＝2PB，求x的值；
（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左
运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的
值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）根据OB＝3OA，且AB＝4，求出OA和OB即可解答；（2）分三种情况分析，当P点在A点左侧时，当P点位于A、B两点之间时，当P点位于B点右侧
时，依次令PA＝2PB，即可解答；
（3）表示出t秒后的各点，再计算3PB﹣PA，得出固定结果，即可说明．
【解答】（1）∵OB＝3OA，且AB＝4，
∴OA＝1，OB＝3，
∴a＝﹣1，b＝3，
故答案为：﹣1，3；
（2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去．
②当P点位于A、B两点之间时，
因为PA＝2PB，
所以 x+1＝2（3﹣x），
5
所以 x= ．
3
③当P点位于B点右侧时，
因为 PA＝2PB，
所以 x+1＝2（x﹣3），
所以 x＝7．
5
故x的值为 或7．
3
（3）t秒后，A点的值为（﹣1﹣t），P点的值为 2t，B点的值为（3+3t），
所以3PB﹣PA
＝3（3+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣1﹣t）]
＝9+3t﹣（2t+1+t）
＝9+3t﹣3t﹣1
＝8．
所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化．
3．（2023秋•仓山区期末）已知点A，B，C在数轴上，点C表示的数为5，点A，B均在点C的左边，且
AC＝10，BC＝3．
（1）求点A，B在数轴上表示的数．
（2）点P在数轴上表示的数为m．
①若AP＝2BP，求m的值；
②若点P是线段BC上一点，是否存在有理数k，使得kPB﹣PC的值为定值，如果存在，请求出 k的值，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；
（2）①根据AP＝2BP以及点A、B的位置判断出点P在点A的右边，再分当点P在点B的左边时和当
点P在点B的右边时，分别计算即可；
②先求出PB、PC，再计算kPB﹣PC，整理成（k+1）m﹣2k﹣5，令m的系数为0，即可求出k的值．
【解答】解：（1）设点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，
∵点C表示的数为5，AC＝10，BC＝3，点A，B均在点C的左边，
∴5﹣a＝10，5﹣b＝3，
解得a＝﹣5，b＝2，
∴点A在数轴上表示的数为﹣5，点B在数轴上表示的数为2；
（2）①由（1）可知，点A在数轴上表示的数为﹣5，点B在数轴上表示的数为2，
∵AP＝2BP，
∴点P在点A的右边，
∴AP＝m﹣（﹣5）＝m+5，
当点P在点B的左边时，
∵点P在数轴上表示的数为m，
∴BP＝2﹣m，
∵AP＝2BP，
∴m+5＝2（2﹣m），
1
解得m=− ；
3
当点P在点B的右边时，
∵点P在数轴上表示的数为m，
∴BP＝m﹣2，
∵AP＝2BP，
∴m+5＝2（m﹣2），
解得m＝9；
1
综上所述，m的值为9或− ；
3
②答：存在k，使得kPB﹣PC的值为定值．
理由：∵点P是线段BC上一点，
∴PB＝m﹣2，PC＝5﹣m，∴kPB﹣PC
＝k（m﹣2）﹣（5﹣m）
＝km﹣2k+m﹣5
＝（k+1）m﹣2k﹣5，
∴当 k+1＝0即k＝﹣1时，kPB﹣PC＝﹣2×（﹣1）﹣5＝﹣3为定值，
∴当k＝﹣1时，kPB﹣PC的值为定值，值为﹣3．
4．（2023秋•泉港区期末）如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对
应的数分别为﹣1、3．
（1）填空：线段AB的长度AB＝ ；
（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是
否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？
（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点
F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程
EF−OP
中， 的值是否发生变化？请说明理由．
MN
【分析】（1）利用A、B两点对应的数字求得OA，OB的值，则AB＝OA+OB；
（2）利用线段中点的定义求得点C对应的数字，设P点对应的数为x，利用分类讨论的思想方法分别
用P，A，B对应的数字表示出PA，PB的长度，通过计算PA+PB即可得出结论；
（3）分别用含t的代数式表示出线段EF，OP，MN，通过计算即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3，
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝4．
故答案为：4；
（2）数轴上存在一条线段，当 P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变
化．理由：
A、B两点对应的数分别为﹣1、3，
∴OA＝1，OB＝3，
∵点A是BC的中点，
∴AC＝AB＝4．∴OC＝AC+OA＝5，
∴C点对应的数为﹣5．
又∵OD＝AC，点D在点A的右侧，
∴D点对应的数为4．
设P点对应的数为x，
①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，
∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x，
∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化；
②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x，
∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4，
∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化；
③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，
∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2，
∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化．
综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化，
∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化；
EF−OP
（3）在运动过程中， 的值不发生变化．理由：
MN
设运动时间为t分钟，则OP＝t，OE＝5t+1，OF＝20t+3，
∴EF＝OE+OF＝25t+4，
∵M、N分别是PE、OF的中点，
1 1 1 1 3
∴EM＝PM= PE= （OP+OE）＝3t+ ，ON= OF＝10t+ ，
2 2 2 2 2
1 1
∴OM＝OE﹣EM＝5t+1﹣（3t+ ）＝2t+ ，
2 2
∴MN＝OM+ON＝12t+2，
EF−OP 25t+4−t
∴ = =2．
MN 12t+2
EF−OP
∴在运动过程中， 的值不发生变化．
MN
5．（2023春•雁峰区校级期末）如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴
上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15．
（1）点B在数轴上表示的数是 ，点C在数轴上表示的数是 ；（2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度秒的速度也向左
匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？
（3）若线段AB、线段CD分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同
时，动点P从﹣15出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜5时，
1
2AC− PD的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．
3
【分析】（1）由已知直接可得答案；
（2）求出B运动后表示的数是﹣10﹣t，C运动后表示的14﹣2t，根据点B与点C之间的距离为1个单
位长度列方程可解得答案；
（3）求出A运动后表示的数是﹣12﹣t，C运动后表示的数是14﹣2t，D运动后表示的数是15﹣2t，P
1
运动后表示的数是﹣15+4t，从而可表示出AC，PD，代入2AC− PD计算即可得到答案．
3
【解答】解：（1）∵﹣12+2＝﹣10，15﹣1＝14，
∴点B在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是14，
故答案为：﹣10，14；
（2）根据题意，B运动后表示的数是﹣10﹣t，C运动后表示的14﹣2t，
∴|﹣10﹣t﹣（14﹣2t）|＝1，
解得t＝25或t＝23，
∴当t为25或23时，点B与点C之间的距离为1个单位长度；
1
（3）2AC− PD的值不发生变化，理由如下：
3
根据题意，A运动后表示的数是﹣12﹣t，C运动后表示的数是14﹣2t，D运动后表示的数是15﹣2t，P
运动后表示的数是﹣15+4t，
∵0＜t＜5，
∴AC＝14﹣2t﹣（﹣12﹣t）＝﹣t+26，PD＝15﹣2t﹣（﹣15+4t）＝﹣6t+30，
1 1
∴2AC− PD＝2（﹣t+26）− （﹣6t+30）＝﹣2t+52+2t﹣10＝42，
3 3
1
∴2AC− PD为定值，这个定值是42．
36．（2023秋•分宜县校级月考）【知识准备】
若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数
x+ y
为 ．
2
（1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为C点D对应的数为d，且有[c﹣3+d|+（d+2）2＝0，则
CD的中点N所对应的数为 ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D
出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为 ts，t为何值时，PQ的中点所对应的数为
10？
【拓展延伸】
（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分
2x+ y
点公式：点M对应的数为 ；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A
3
3x+ y
的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为： ．
4
①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的五等分点．则点M对
应的数为 ．
②在（2）的条件下，若 E 是 PQ 最靠近 Q 的五等分点，F 为 PC 的中点，则是否存在 t，使得
5
OE+20F为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由．
7
【分析】（1）先由非负数的性质求出c＝5，d＝﹣2，进而可得CD的中点N所对应的数；
（2）首先依题意求出点P所表示的数为：5﹣t，点Q所表示的数为：﹣2+2t，然后根据PQ的中点所对
−2+2t+5−t
应的数为10，得 =10，由此解出/即可；
2
（3）①依题意可得出M对应的数；②由（2）可知：点P所表示的数为：5﹣t，点Q所表示的数为：
7t−3 t 7t−3
﹣2+2t，再求出点E所表示的数为 ，点F所表示的数为5− ，进而求出 OE=| |，
5 2 5
t 5 3
OF=|5− ||从而得 OE+2OF=|t− |+|10−t|．然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得
2 7 7出答案．
【解答】解：（1）∵|c﹣3+d|+（d+2）＝0，
∴d+2＝0，c﹣3+d＝0，
∴c＝5，d＝﹣2，
∵点N是CD的中点，
−2+5
∴CD的中点N所对应的数为： =1.5，
2
故答案为：1.5；
（2）由题意可得，点P表示的数为5﹣t，点Q表示的数为﹣2+2t，
1
∴ (−2+2t+5−t)=10，
2
解得t＝17，
当t＝17时，PQ的中点所对应的数为10；
x+4 y
（3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为： ；
5
x+4 y
故答案为： ；
5
7t−3 t
②由题意，得点E表示的数为 ，点F所表示的数为5− ，
5 2
7t−3 t
∴OE=| |，OF=|5− |
5 2
5 5 7t−3 t 3
∴. OE+2OF= | |+2|5− |=|t− |+|10−t|，
7 7 5 2 7
3 5 3 3
当t＜ 时， OE+2OF= −t+10−t=10 −2t，不是定值，
7 7 7 7
3 5 3 4
当 ≤t≤10时， OE+2OF=t− +10−t=9 ，是定值，
7 7 7 7
5 3 3
当t＞10时， OE+2OF=t− +t−10=2t−10 ，不是定值，
7 7 7
3 5 4
∴当 ≤t≤10时， OE+2OF存在定值，为9 ．
7 7 7
【类型6 数轴上的动线段问题】
1．（2023秋•大田县期中）如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在数轴上移
动，当Q移动到与A、B其中一个端点重合时，点P所对应的数为5，且点P始终在点Q的左侧，当Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为 ．
【分析】设PQ＝x，然后分类计算即可：①当点Q与点A重合时，点P所对应的数为5，则点Q对应
的数为x+5；②当点Q与点B重合时，点P所对应的数为5，则点Q对应的数为x+5．
【解答】解：设PQ＝x，
①当点Q与点A重合时，点P所对应的数为5，则点Q对应的数为x+5，
∵AB＝12，
∴当Q移动到线段AB的中点时，点Q对应的数为x+5+6＝x+11，
∴点Q所对应的数为x+11﹣x＝11；
②当点Q与点B重合时，点P所对应的数为5，则点Q对应的数为x+5，
∵AB＝12，
∴当Q移动到线段AB的中点时，点Q对应的数为x+5﹣6＝x﹣1，
∴点P所对应的数为x﹣1﹣x＝﹣1；
故答案为：11或﹣1．
2．（2023秋•黄陂区期末）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝16，有一根木棒PQ沿数轴向左水平
移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为6，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数
为 ．
【分析】设AB的中点为C，则AC＝BC＝8，求得AP＝10，当点Q移动到线段AB的中点C时，BQ＝
AQ＝8，根据两点间的距离的求法即可得到结论．
【解答】解：设AB的中点为C，
则AC＝BC＝8，
当点Q移动到点B时，BQ＝AQ＝8，
即当点Q移动到线段AB的中点C时，木棒向左平移了一个BC的长度，
∴木棒向左移动的距离为8；
∵点P所对应的数为6，当点Q移动到线段AB的中点C时，点P表示的数为x，
∴|6﹣x|＝8，
∵x＜6，
∴6﹣x＝8，解得x＝﹣2，
∴点P所对应的数为6﹣8＝﹣2，
故答案为：﹣2．
3．（2023秋•东西湖区期末）数轴上有 A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜
n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2．
（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．
①则点D表示的数为 ．
②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点
运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终
为1，求a的值；
（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．
【分析】（1）①利用数轴上的点对应 的数字和线段中点的定义解答即可；
②分别表示出点E，F对应的数字，再利用中点的定义得到点M，N对应的数字，利用MN＝1列出方
程，解方程即可得出结论；
（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，利用m，n和中点的定义求得点D对应的数字，进而
得到AD，BD的值，利用已知条件列出关于n﹣m的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2，
∴AB＝2﹣（﹣8）＝10．
∵AC﹣AB＝2，
∴AC＝12，
∴点C对应的数字为4，
∵点D是AC的中点，
1
∴CD= AC＝6，
2
设点D表示的数为x，∴4﹣x＝6，
∴x＝﹣2．
∴点D表示的数为﹣2．
故答案为：﹣2；
②设EF运动的时间为t秒，
则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a，
∵点M是EC的中点，N是BF的中点，
t−8+4 t−4 t−8+a+2 t−6+a
∴点M对应的数字为 = ，点N对应的数字为 = ，
2 2 2 2
∵MN＝1，
t−4 t−6+a
∴| − |＝1．
2 2
解得：a＝0或a＝4，
∵a＞0，
∴a＝4；
（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，
∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2，
∴c＝n+2，AB＝n﹣m．
∵点D是AC的中点，
m+n+2
∴d= ，
2
m+n+2 n+2−m m+n+2 n−m−2
∴AD= −m= ，BD＝n− = ，
2 2 2 2
∵AD+3BD＝4，
n−m+2 n−m−2
∴ +3× = 4，
2 2
解得：n﹣m＝3．
∴AB＝3．
4．（2023秋•永兴县期中）如图，在数轴上有两条线段AB，CD，其中线段AB的长为2个单位长度，线
段CD的长为1个单位长度，且点B表示的数是﹣10，点D表示的数是15．
（1）在数轴上，点A表示的数是 ，点C表示的数是 ，线段AD的长为 个单位长度；
（2）在数轴上，若线段AB以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右做匀速运动，同时线段CD以每秒2
个单位长度的速度沿数轴向左做匀速运动．当点B与点C重合时，点B与点C表示的数是多少？
（3）在数轴上，若线段AB以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左做匀速运动，同时线段CD以每秒2
个单位长度的速度沿数轴也向左做匀速运动．设运动时间为t秒，M为线段AC的中点，当点C在点B
的右侧时，则点M表示的数为多少？
【分析】（1）根据数轴上两点距离公式求解即可；
（2）设当点B与点C重合时，运动时间为x秒，此时点B表示的数是（﹣10+x），点C表示的数是
（14﹣2x），根据点B与点C重合，列方程求解，即可获得答案；
（3）首先求得点C在点B的右侧时t的取值范围，然后根据中点的定义求出点M在数轴上表示的数即
可．
【解答】解：（1）∵AB＝2，点B表示的数是﹣10，
∴点A表示的数是﹣10，
∵CD＝1，点D表示的数是15，
∴点C表示的数是14，
∴AD＝15﹣（﹣12）＝27．
故答案为：﹣12，14，27；
（2）设当点B与点C重合时，运动时间为x秒，
此时点B表示的数是（﹣10+x），点C表示的数是（14﹣2x），
∵点B与点C重合，
∴﹣10+x＝14﹣2x，
解得x＝8秒，
∴此时点B表示的数是﹣10+8＝﹣2，
即当点B与点C重合时，点B与点C表示的数是﹣2；
（3）根据题意，运动时间为t秒时，点A表示的数是﹣12﹣t，点B表示的数是﹣10﹣t，点C表示的数
是14﹣2t，
当点B与点C重合时，可有﹣10﹣t＝14﹣2t，
解得 t＝24秒，
∴当t＜24秒时，点C在点B的右侧，
∵M为线段AC的中点，−12−t+(14−2t) 2−3t
∴点M表示的数是 = ，
2 2
2−3t
∴当点C在点B的右侧时，则点M表示的数为 (t＜24)．
2
5．（2023秋•江夏区期末）在数轴上有A、B两点，它们对应的数分别是﹣4和12，线段CE在数轴上运动
（点C在点E的左边），且CE＝8，点M为AE的中点．
（1）如图1，当线段CE运动到线段AB之间（点C、点E两点均在A、B两点之间）时，CM＝1．
①直接写出AB＝ ；
②求点C对应的数及线段BE的长；
（2）如图2，当线段CE运动到点A在点C、点E两点之间时，画出草图，并求出BE与CM的数量关
系．
【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
（2）设点C所表示的数为x，得到点E所表示的数为x+8，根据中点的定义可求出点M所表示的数，
进而用含有x的代数式表示BE、CM，根据结果得出BE与CM的数量关系即可．
【解答】解：（1）①12﹣（﹣4）＝16，
故答案为：16；
②∵CM＝1，CE＝8，
∴ME＝CE﹣CM＝7，
∵M是AE的中点，
∴AM＝ME＝7，
∵点A所表示的数为﹣4，
∴点C所表示的数为﹣4+7﹣1＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝16﹣14＝2，
答：点C所表示的数为2，BE＝2；
（2）BE＝2CM，理由如下：如图，设点C所表示的数为x，则点E所表示的数为x+8，
∵点M是AE的中点，而点A所表示的数为﹣4，
x+8−4 x+4
∴点M所表示的数为 = ，
2 2
x+4 x+4−2x 1
∴BE＝12﹣（x+8）＝4﹣x，CM= −x= = （4﹣x），
2 2 2
∴BE＝2CM．
6．（2023秋•郧阳区期中）如图线段AB和线段CD都在数轴上，已知AB＝2（单位长度），CD＝4（单位
长度），点A在数轴上表示的数是a，点C在数轴上表示的数b．
（1）若|a+8|与（b﹣16）2互为相反数，求此时点A与点C之间相距多少单位长度？
（2）在（1）条件下线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒
的速度向左匀速运动．从开始算起，运动时间用t表示（单位：秒）．
①数轴上A表示的数是 ；C表示的数是 ．（用含t的代数式表示），若点A与点C相距
8个单位长度，求t的值；
②已知点Q是BC的中点，点P是AD的中点，在运动过程中，线段PQ长是不变化的，请说明理由，
并指出PQ的运动方向和速度．
【分析】（1）由非负数的性质求出a＝﹣8，b＝16，则可得出答案；
（2）①设时间为t秒，A，C两点表示的数分别为﹣8+6t，16﹣2t．由AC的长为8可得出|24﹣8t|＝8，
解方程可求出t的值；
②设运动时间为t 秒时，A点对应数为﹣8+6t．B点对应数为﹣10+6t，C点对应数为16﹣2t．D点对应
数为20﹣2t．求出PQ＝3，则可得出结论．
【解答】解：（1）∵|a+8|与（b﹣16）2 互为相反数．
∴|a+8|+（b﹣16）2＝0，
∴a+8＝0，b﹣16＝0，
解得a＝﹣8，b＝16．
∴此时A与C之间相距16﹣（﹣8）＝24（单位长度）；答：A、C相距为24单位长度；
（2）①设时间为t秒，A，C两点表示的数分别为﹣8+6t，16﹣2t．
故答案为：﹣8+6t，16﹣2t．
∴AC＝|（16﹣2t）﹣（﹣8+6t）|＝|24﹣8t|，
∵AC＝8，
∴|24﹣8t|＝8，
∴24﹣8t＝8或24﹣8t＝﹣8，
∴t＝2或4．
答：行驶2秒或4秒，A、C相距8个单位长度；
②线段PQ长是3，理由如下：
设运动时间为t秒时，A点对应数为﹣8+6t．B点对应数为﹣10+6t，C点对应数为16﹣2t．D点对应数
为20﹣2t．
∵QB＝QC，PA＝PD，
∴Q点对应数：3+2t．P点对应数：6+2t．
∴PQ＝|（6+2t）﹣（3+2t）|＝3，
此时PQ以每秒2个单位速度向右运动．
【类型7 数轴上点的往返运动】
1．已知点A，B是数轴上两点，且A，B之间的距离是12，点A表示的数是﹣5．一列点P在数轴上做有
规律的运动，动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单
位长度在此位置第三次向左运动3个单位长度，再第四次向右运动4个单位长度，…，按照如此规律不
断地左右运动．
（1）求点B表示的数；
（2）当运动到第2023次时，求点P所对应的数．
【分析】（1）根据题意可求B点坐标为7或﹣17；
（2）通过计算发现，当n是奇数时，P点对应的数为﹣6，﹣7，﹣8，…，再求第2023次时P点对应的
数即可．
【解答】解：（1）∵A，B之间的距离是12，点A表示的数是﹣5，
∴B点坐标为7或﹣17；
（2）第一次运动后P点表示的数为﹣6，
第二次运动后P点表示的数为﹣4，
第三次运动后P点表示的数为﹣7，第四次运动后P点表示的数为﹣3，
……
∴当n是奇数时，P点对应的数为﹣6，﹣7，﹣8，…，
∴第2023次时，P点对应的数是﹣1012﹣5＝﹣1017．
2．（2023秋•衢江区校级月考）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其
对应的数为a．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数．
（2）数轴上是否存在一个点P，使点P到点A、点B的距离之和为8，若存在，求出a的值，若不存
在，请说明理由．
（3）若点A以每分钟2个单位长度向左运动，点B以每分钟6个单位长度向左运动；
①当点P以每分钟1个单位长度从数轴上的数2开始向左运动，A、B、P三点同时出发，几分钟后P
点到点A、点B的距离相等？
②当点P以每分钟8个单位长度从原点开始向左运动，当遇到点A时；点P立即以同样的速度向右运
动，当遇到点B时，点P立即以同样的速度向左运动，并不停地往返于点A与点B之间，A、B、P三点
同时出发，求点A与点B重合时，点P所运动的总路程是多少个单位长度？
【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）分P点在A的左边；P点在B的右边；漏字情况进行讨论即可求解；
（3）①设x分钟后P点到点A、点B的距离相等，求出点B第一次追上点A时的时间即为所求；
②由①得到点B追上点A的时间，即为从点P开始运动到点A与点B重合的时间，再乘以点P的速
度，即可得到点P所运动的总路程．
【解答】解：（1）点P对应的数为（﹣1+3）÷2＝1．
（2）{8﹣[3﹣（﹣1）]}÷2＝2，
P点在A的左边，a的值为﹣1﹣2＝﹣3；
P点在B的右边，a的值为3+2＝5．
故a的值为﹣3或5．
（3）①设x分钟后P点到点A、点B的距离相等，依题意有：
（6﹣2）x＝3﹣（﹣1），
解得x＝1．
故1分钟后P点到点A、点B的距离相等；
②1×8＝8（个单位长度）．
答：点A与点B重合时，点P所运动的总路程是8个单位长度．3．（2023秋•郧西县期中）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足
式子|a+30|+|b+10|+|c﹣14|＝0；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运
动5秒后，长度为6个单位的线段MN（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发
以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段MN立即以同样的速度返回向左运动，当点
M到达点B后线段MN再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒．
（1）求a，b，c的值；
（2）当t＝ 2 2 秒时，点P与点C重合，并求出此时线段MN上点N所表示的数；
（3）记线段MN的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值．
【分析】（1）根据绝对值的非负性得出结论即可；
（2）根据A点和C点表示的数得出AC的长，然后计算出相遇的时间，进而求出N点表示的数即可；
（3）分情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵|a+30|+|b+10|+|c﹣14|＝0，
∴|a+30|≥0，|b+10|≥0，|c﹣14|≥0，
∴|a+30|＝0，|b+10|＝0，|c﹣14|＝0，
∴a＝﹣30，b＝﹣10，c＝14；
（2）当t＝22秒时，点P与点C重合，
∵A所表示数为﹣30，C所表示数为14，
∴AC＝14﹣（﹣30）＝44，
∴点P从A运动到点C所用时间为：44÷2＝22（秒），
故答案为：22；
线段MN的运动时间为22﹣5＝17（秒），
14−(−10)−6
线段MN从B运动到C所用时间为： =6（秒），
3
∵数轴上点N起始位置所表示数为：﹣4，
∴线段MN运动17秒后，点N所表示数为：﹣4+3×（17﹣6﹣6）＝11；
−10+(−4)
（3）点Q的起始位置所表示数为： =−7；
2
在运动过程中：点P所表示数为：﹣30+2t，
①当t＜11 时，点Q所表示数为：﹣7+3（t﹣5）＝3t﹣22，
即PQ＝|3t﹣22﹣（﹣30+2t）|＝1，解得t＝﹣7（舍去）或t＝﹣9（舍去），
②当11≤t≤17时，点Q所表示数为：11﹣3（t﹣11）＝﹣3t+44，
即：PQ＝|﹣3t+44﹣（﹣30+2t）|＝1，
73
解得t= 或t＝15；
5
③当17＜t≤23时，点Q所表示数为：﹣7+3（t﹣17）＝3t﹣58，
即：PQ＝|3t﹣58﹣（﹣30+2t）|＝1，
解得t＝27（舍去）或t＝29（舍去），
73
综上所述：t的值为 或15．
5
4．（2023秋•金水区校级期中）如图，数轴上两点A、B表示的数分别是﹣4和12．
（1）若点C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数（画出图形，写出过程）；
（2）P从A点出发以1.5个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2.5个单位/秒在数轴
上向左运动．求：
①P、Q相遇时点P在数轴上对应的数；
②P、Q运动的同时点M以3.5个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样
的速度向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时点M所经过的总路程是多
少？
【分析】（1）设C对应的数为x，根据题意画出图形，当C在A左侧时，﹣4﹣x+12﹣x＝20，当C'在B
右侧时，x+4+x﹣12＝20，分别解方程可得答案；
（2）①设运动时间为x秒，则P表示的数为﹣4+1.5t，Q表示的数为12﹣2.5t，可得﹣4+1.5t＝12﹣
2.5t，解出t的值即可得P、Q相遇时，点P在数轴上对应的数为2；
②用时间乘以速度可得M所经过的总路程．
【解答】解：（1）设C对应的数为x，
如图：
当C在A左侧时，AC＝﹣4﹣x，BC＝12﹣x，
∴﹣4﹣x+12﹣x＝20，
解得x＝﹣6；当C'在B右侧时，AC＝x﹣（﹣4）＝x+4，BC＝x﹣12，
∴x+4+x﹣12＝20，
解得x＝14；
∴C对应的数为﹣6或14；
（2）①设运动时间为x秒，则P表示的数为﹣4+1.5t，Q表示的数为12﹣2.5t，
∵P、Q相遇时，P，Q表示同一个数，
∴﹣4+1.5t＝12﹣2.5t，
解得t＝4，
∴﹣4+1.5t＝﹣4+1.5×4＝2，
∴P、Q相遇时点P在数轴上对应的数为2；
②由①知，P、Q经过4秒相遇，
∵3.5×4＝14（个单位长度）．
∴点M所经过的总路程是14个单位长度．
5．（2023秋•灞桥区校级月考）已知数轴上的点A，B，C，D所表示的数分别是a，﹣12，c，8，且|a+14|
+|c﹣6|＝0．
10
（1）则a＝ ，c＝ ；若点A，C沿数轴同时出发相向匀速运动， 秒后两点相遇，点A的
3
速度为每秒4个单位长度，点C的运动速度为每秒 个单位长度；
（2）A，C两点以（1）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，D点以每秒1
个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在t秒时有BD＝2AC，求t的值；
（3）A，C两点以（1）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点 A运动到点C起始位置时，
迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点C起始位置方向运动；当点C
运动到点A起始位置时马上停止运动，当点C停止运动时，点A也停止运动，在此运动过程中，A，C
两点相遇，求点A，C相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．
【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可求得a、c的值，进而可求得点C的运动速度；
（2）根据题意分别表示出AC，BD，再进行分类讨论计算即可；
（3）根据点A，C相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可．
【解答】解：（1）∵|a+14|+|c﹣6|＝0，
∴a+14＝0，c﹣6＝0，
∴a＝﹣14，c＝6；
6﹣（﹣14）＝20，10
20÷ =6（个单位长度），
3
∴C的运动速度为6﹣4＝2（个单位长度），
故答案为：﹣14，6，2；
（2）t秒时，点A数为﹣14+4t，点B数为﹣12，点C数为6+2t，点D数为8+t，
∴AC＝|6+2t﹣（﹣14+4t）|＝|20﹣2t|，BD＝|8+t﹣（﹣12）|＝20+t，
∵BD＝2AC，
∴①20﹣2t≥0时，20+t＝2（20﹣2t），解得：t＝4；
②20﹣2t＜0时，即t＞10，20+t＝2（2t﹣20），解得：t＝20；
∴t＝4或20．
10
（3）C点运动到A点所需时间为6﹣（﹣14）÷2＝10s，所以A，C相遇时间t≤10，由（2）得t=
3
10 2
时 ， A ， C 相 遇 点 为 −14+4× =− ， A 到 C 再 从 C 返 回 到 A ， 用 时
3 3
6−(−14) 6−(−14)
+ =7.5(s)；
4 8
20
①第一次从点 C 出发时，若与 C 相遇，根据题意得8×(t−5)=2t，t= ＜10，此时相遇数为
3
20 22
6−2× =− ；②第二次与C点相遇，得8×（t﹣7.5）+2t＝6﹣（﹣14），解得t＝8＜10，此时相
3 3
遇点为6﹣8×2＝﹣10；
2 22
∴A，C相遇时对应的数为：− ，− ，﹣10．
3 3
【类型8 数轴中的新定义问题】
1．（2023秋•西城区校级月考）定义：点 M、N是数轴上不重合的两点，当数轴上的点 P满足PM＝
2PN，则称点P是点M和点N的“双倍点”．
已知：点O、A、B在数轴上表示的数分别为0、a、b，回答下面的问题：
（1）当a＝﹣1，b＝5时，点A和点B的“双倍点”所表示的数为： ；
（2）当b＝a+6且a＜0时，如果O、A、B中恰有一点是另外两个点的“双倍点”，则a＝ ；
（3）若a＝3，b＝6，点C、D在数轴上表示的数分别为﹣4、﹣2，线段CD和点B同时沿数轴正方向
移动，点B的速度是每秒3个单位长度，线段CD的速度是每秒8个单位长度，设运动的时间为t秒（t
＞0），当线段CD上存在点A和点B的“双倍点”时，求t的取值范围．【分析】（1）设线段AB的“双倍点”为P，P表示的数为x，分两种情况讨论：①点P在A、B之
间；②点P在B的右边，根据PA＝2PB列方程求解即可；
（2）首先由b＝a+6得出AB＝6，再分三种情况讨论：①点O为线段AB的“双倍点”；②点A为线
段OB的“双倍点”；③点B为线段AO的“双倍点”，分别根据“双倍点”的定义列方程求解即可．
（3）运动t秒后，点B表示的数为3t+6，点C表示的数为8t﹣4，点D表示的数为8t﹣2，求出点A和
点B的“双倍点”E 为2t+5，E 为6t+9，然后分别求出四种临界情况：当点D到达E 时；当点C到达
1 2 1
E 时；当点D到达E 时；当点C到达E 时；即可得到t的取值范围．
1 2 2
【解答】解：（1）设线段AB的“双倍点”为P，P表示的数为x，
①当点P在A、B之间时，
∵PA＝2PB，
∴x﹣（﹣1）＝2（5﹣x），
解得x＝3；
②当点P在B的右边时，
∵PA＝2PB，
∴x﹣（﹣1）＝2（x﹣5），
解得x＝11，
故答案为：3或11；
（2）∵b＝a+6，
∴b﹣a＝6，即AB＝6，
分三种情况：
①如果点O为线段AB的“双倍点”，那么AO＝2OB，
根据题意可得：0﹣a＝2（b﹣0）或0﹣a＝2（0﹣b），
∴a＝﹣2b或a＝2b，
∵b＝a+6，
∴a＝﹣4，b＝2或a＝﹣12，b＝﹣6；
②如果点A为线段OB的“双倍点”，那么AO＝2AB，
∵a＜0，
∴此情况不存在；
③如果点B为线段AO的“双倍点”，那么AB＝2OB，
根据题意可得：6＝2（0﹣b）或6＝2（b﹣0），
解得：b＝﹣3或b＝3，∵b＝a+6，
∴a＝﹣9或a＝﹣3；
综上可得：a的值是﹣3或﹣4或﹣9或﹣12，
故答案为：﹣3或﹣4或﹣9或﹣12；
（3）运动t秒后，点B表示的数为3t+6，点C表示的数为8t﹣4，点D表示的数为8t﹣2，
∵a＝3，
2
∴点A和点B的“双倍点”为：(3t+6−3)× +3=2t+5或（3t+6）+（3t+6﹣3）＝6t+9，
3
设点A和点B的“双倍点”E 的位置是2t+5，E 的位置是6t+9，
1 2
当点D到达E 时，可得8t﹣2＝2t+5，
1
7
解得：t= ；
6
当点C到达E 时，可得8t﹣4＝2t+5，
1
3
解得：t= ；
2
当点D到达E 时，可得8t﹣2＝6t+9，
2
11
解得：t= ；
2
当点C到达E 时，可得8t﹣4＝6t+9，
2
13
解得：t= ；
2
7 3 11 13
∴t的取值范围为： ≤t≤ 或 ≤t≤ ．
6 2 2 2
1
2．（2023秋•零陵区月考）23．对于平面内的两点M、N，若直线MN上存在点P，使得MP= NP成立，
2
则称点P为点M、N的“和谐点”，但点P不是点N、M的“和谐点”．
（1）如图1，点A、B在直线l上，点C、D是线段AB的三等分点，则 是点A、B的“和谐点”
（填“点C或“点D”）；
（2）如图2，已知点E、F、G在数轴上，点E表示数﹣2，点F表示数1，且点F是点E、G的“和谐
点”，求点G表示的数；
（3）如图3，数轴上的点P表示数5，点M从原点O出发，以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点P出发，以每秒10个单位的速度向左运动，点M、N同时出发．在M、N、P三点中，若点M是另两
个点的“和谐点”，则OM＝ ．
1
【分析】（1）由三等分点可知AC= CB，再由“和谐点”定义判断即可；
2
1 1
（2）设点G表示的数为x，由题意可得EF= FG，即|﹣2﹣1|= |1﹣x|，求出x的值即可求解；
2 2
1
（3）设运动时间为t秒，分两种情况讨论：当点 M是点N、点P的“和谐点”时，|7t﹣5|= |﹣3t﹣
2
15 45 1
5|，求得OM= 或 ；当点M是点P、点N的“和谐点”时，|﹣3t﹣5|= |7t﹣5|，求得OM＝45．
17 11 2
【解答】解：（1）∵点C、D是线段AB的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，
1
∴AC= CB，
2
∴点C是点A、B的“和谐点”，
故答案为：点C；
（2）∵点F是点E、G的“和谐点”，
1
∴EF= FG，
2
设点G表示的数为x，
∵点E表示数﹣2，点F表示数1，
1
∴|﹣2﹣1|= |1﹣x|，
2
解得x＝7或x＝﹣5，
∴点G表示的数是7或﹣5；
（3）设运动时间为t秒，
∵点M从原点O出发，以每秒3个单位的速度向左运动，
∴M点表示的数是﹣3t，
∵点N从点P出发，以每秒10个单位的速度向左运动，
∴N点表示的数是5﹣10t，
1
当点M是点N、点P的“和谐点”时，MN= MP，
21
∴|7t﹣5|= |﹣3t﹣5|，
2
5 15
解得t= 或t= ，
17 11
15 45
∴M点表示的数是− 或− ，
17 11
15 45
∴OM= 或 ；
17 11
1
当点M是点P、点N的“和谐点”时，MP= MN，
2
1
∴|﹣3t﹣5|= |7t﹣5|，
2
解得t＝15，
∴M点表示的数是﹣45，
∴OM＝45；
15 45
综上所述：OM的值为 或 或45，
17 11
15 45
故答案为： 或 或45．
17 11
3．（2023秋•大冶市期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的
距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点 A，B，C所表
示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
2
（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：− ，0，1，4，5所对应的点分别为C ，C ，
3 1 2
C ，C ，C ，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
3 4 5
（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：
①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点 P表示
的数．
【分析】（1）根据两点间的距离易得AC ，BC ，AC ，BC ，AC ，BC ，AC ，BC ，AC ，BC 的长，
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
根据定义，进行判断即可求解．（2）这两个小题运用分类讨论，再由方程即可求得．
2 1 2 8
【解答】解：（1）∵AC =− −（﹣1）= ，BC ＝2﹣（− ）= ，
1 3 3 1 3 3
∴2AC ≠BC ，
1 1
∴C 不是A，B的“联盟点”．
1
∵AC ＝0﹣（﹣1）＝1，BC ＝2﹣0＝2，
2 2
∴2AC ＝BC ，
2 2
∴C 是A，B的“联盟点”．
2
∵AC ＝1﹣（﹣1）＝2，BC ＝2﹣1＝1，
3 3
∴AC ＝2BC ，
3 3
∴C 是A，B的“联盟点”．
3
∵AC ＝4﹣（﹣1）＝5，BC ＝4﹣2＝2，
4 4
∴AC ≠BC ，
4 4
∴C 不是A，B的“联盟点”．
4
∵AC ＝5﹣（﹣1）＝6，BC ＝5﹣2＝3，
5 5
∴AC ＝2BC ，
5 5
∴C 是A，B的“联盟点”．
5
综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C ，C ，C ．
2 3 5
（2）解；设点P表示的数为x，
①∵P在线段AB上，
∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，
5
当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x= ，
3
1
当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x= ，
3
5 1
综上所述，点P 表示的数为 ， ．
3 3
②由题意得，AB＝4，
∵P在A的左侧，
∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，
当点A为B，P的“联盟点”时，
若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，
当点B为A，P的“联盟点”时，
2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，
当点P为A，B的“联盟点”时，
BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，
综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．
4．（2023秋•中山市期末）对于数轴上的三点A，B，C，给出如下定义：若AC+CB＝m，则称点C叫做点
A，B的“距离和m点”．如图，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点C表示的数为0．由于
AC+BC＝5，则点C为点A，B的“距离和5点”；由于AC+AB＝8，则点A为点B，C的“距离和8
点”．
（1）若点N表示的数为﹣2，点N为点A，B的“距离和m点”，求m的值；
（2）点D在数轴上，若点D是点A，B的“距离和7点”，求点D表示的数；
（3）点E在数轴上，若点E，A，B中的一点是另两点的“距离和6点”，求点E所表示的数．
【分析】（1）根据若AC+CB＝m，则称点C叫做点A，B的“距离和m点”的定义，列式计算得m的
值；
（2）依题意，结合点D是点A，B的“距离和7点”，设D点表示的数为x，进行分类讨论，然后列式
计算，即可作答；
（3）点E是点A，B的“距离和6点”时，设E点表示的数为y，列式计算；或点A是点B，E的“距
离和6点”时，或点B是点A，E的“距离和6点”时，列式计算，即可作答．
【解答】（1）解：∵点N为点A，B的“m和距离点“，且点N在数轴上表示的数为﹣2，
∴AN＝1，BN＝4，
∴m＝AN+BN＝5．
（2）解：D点表示的数为x，
当D点在线段AB上时，AD+BD＝AB＝5，不符合题意；
当D点在A点左侧时，﹣x﹣3+（﹣x+2）＝7，
解得：x＝﹣4；
当D点在B点右侧时，x+3+x﹣2＝7，
解得：x＝3；
∴点D表示的数为：3或﹣4．（3）解：①点E是点A，B的“距离和6点”时，设E点表示的数为y，
当E点在线段AB上时，AE+BE＝AB＝5，不符合题意；
当E点在A点左侧时，﹣y﹣3+（﹣y+2）＝6，
解得：y＝﹣3.5；
当E点在B点右侧时，y+3+y﹣2＝6，
解得：y＝2.5；
∴点E表示的数为：﹣3.5或2.5；
②点A是点B，E的“距离和6点”时
∵AE+AB＝AE+5＝6，
∴AE＝1，
∴点E表示的数为：﹣4或﹣2；
③点B是点A，E的“距离和6点”时，
∵BE+AB＝BE+5＝6，
∴BE＝1，
∴点E表示的数为：1或3．
∴点E表示的数为﹣4或﹣3.5或﹣2或1或2.5或3．
5．（2023秋•青山湖区校级月考）已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P
到点B的距离的k倍，则称P是[A，B]的“k倍点”，记作：P[A，B]＝k，例如：若点P表示的数为0，
点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，则P是[A，B]的“2倍点”，记作：P[A，B]＝2．
（1）如图，A、B、P为数轴上三点，回答下面问题：
①P[B，A]＝ ；
②若点C在数轴上且C[A，B]＝1，则点C表示的数为 ；
③若点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2，求点D所表示的数．
（2）数轴上，点E表示的数为﹣10，点F表示的数为50，点M、N为线段EF上的两点，且M[E，N]
＝3，N[F，M]＝2，求MN的长度．
【分析】（1）①根据新定义，求得PA、PB即可求解；
②根据新定义得到点C为AB的中点，进而求解即可；
③根据新定义分两种情况：点D在线段AB上和点D在线段AB的延长线上，分别求解即可；（2）根据新定义得到ME＝3MN，NF＝2MN，设MN＝x，分点M在N的左边和右边两种情况，分别列
方程求解即可．
【解答】解：（1）①由数轴知，PA＝﹣1﹣（﹣3）＝2，PB＝5﹣（﹣3）＝8，
∴PB＝4PA，则P[B，A]＝4，
故答案为：4；
②∵点C在数轴上且C[A，B]＝1，
∴CA＝CB，则点C为AB的中点，
−1+5
∴点C表示的数为 =2，
2
故答案为：2；
③∵点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2，
∴DA＝2DB，
∵点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5，
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6，
2
当点D在线段AB上时，点D表示的数为−1+ ×6=3，
3
点D在线段AB的延长线上，点D表示的数为﹣1+2×6＝11，
故点D表示的数为3或11；
（2）∵点E表示的数为﹣10，点F表示的数为50，
∴EF＝50﹣（﹣10）＝60，
∵M[E，N]＝3，N[F，M]＝2，
∴ME＝3MN，NF＝2MN，
设MN＝x，则ME＝3x，NF＝2x，
∵点M、N为线段EF上的两点，
∴分两种情况，
当点M在N的左边时，如图，
∴3x+x+2x＝60，解得x＝10，
当点M在N的右边时，如图，∴3x﹣x+2x＝60，解得x＝15，
综上，MN的长为10或15．
