文档内容
专题 08 数列求和（奇偶项讨论求和）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：求 的前 项和 .............................2
题型二：求 的前 项和 ..............................5
题型三：通项含有 的类型；例如： .....................10
题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题..................13
三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练......................17
一、必备秘籍
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项
的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类
讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．
类型一：
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求 的前 项和
角度2：求 的前 项和
类型二：
通项含有 的类型；例如：
类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
二、典型题型
题型一：求 的前 项和
例题1．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知 为等差数列 的前n项和， ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 的公差为d．
∵ ，
∴ ，解得 ．
∴ ．
（2）当n为奇数时， ，当 为偶数时， ．
∴
设 ，①
则 ，②
，得∴ ．
故 ．
例题2．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列 满足 ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵ ， ，则 ，
∴ ，两式相除得： ，
当 时， ，
∴ ，即 ，
当 时， ，
∴ ，即 ，
综上所述， 的通项公式为： ；
（2）由题设及（1）可知： ，例题3．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且满足
， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，设数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ．
（2）因为 ，所以 ，
所以
．
例题4．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知数列 满足 ，
.
(1)记 ，求证：数列 是等比数列；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，故 ，故 ，
当 时， ，
故 ，
所以数列 是首项为5，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知： ，故 ，
其中 ，
故 ，
设 ，
故 .
题型二：求 的前 项和
例题1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 求 的前 项和 .
【答案】(1) , ；
(2) .
【详解】（1）根据题意可知 ，
所以
当 为奇数时， ，即 ，
所以当 为偶数时， ；当 为偶数时， ，即 ，
所以当 为奇数时， .
综上， , .
（2）由（1）可知当 为奇数时，若 ，即 ，解得 ，
当 为偶数时，若 ，即 ，解得 ，
所以 ，当 时， ，
所以 .
当 时，且 为奇数时，
当 时，且 为偶数时，
.
综上，
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有
.
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析， ；
(2) .
【详解】（1）证明：因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，则有 ，
所以 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
则 的奇数项为以 为首项， 为公比的等比数列；偶数项是以 ， 为公差的等差数列.
所以当 为偶数，且 时，
；
当 为奇数，且 时， 为偶数，.
时， ，满足.
所以，当 为奇数，且 时，有 .
综上， .
例题3．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前 项和为 ，数列 的前 项积为 ，且
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1）当 时， ，当 时， ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以
；
当 时， ，当 时， ， 时也符合，所以 ．
（2）由（1）知， ，所以 ，当 即 为偶数时，
，即
；
当 为奇数时， ，所以．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ， （ ）， ，
， ， 成等差数列．
(1)求k的值和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）解： ， ， 成等差数列，
所以 ，
得 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ．
（2）由（1）知，
当n为偶数时，设n＝2k，
可得
，
即 ；
当n为奇数时，设n＝2k－1，可得
，
即 ．
综上所述， .
题型三：通项含有 的类型；例如：
例题1．（2023秋·天津和平·高三天津二十中校考阶段练习）数列 是等差数列，数列 是等比数列，
且 ， ， ， ．
(1)求数列 的公差以及数列 的公比；
(2)求数列 前 项的和．
(3)求数列 前 项的和．
【答案】(1)数列 的公差为1，数列 的公比为2
(2)
(3)
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以数列 的公差为1，数列 的公比为2.
（2）由（1）可得： ，则 ，
设数列 前 项的和为 ，
则，
所以 .
（3）由（2）可知 ，
当 为奇数，则 ，
设数列 前 项的和为 ，
则 ，
可得 ， ，
两式相减得
，
所以 .
例题2．（2023秋·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）已知数列 满足
（ 是常数）.
(1)若 ，证明 是等比数列；
(2)若 ，且 是等比数列，求 的值以及数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2) ,
【详解】（1）依题意， ，
当 时， ，
所以数列 是首项 ，公比为 的等比数列.
（2）依题意， ， ，且 是等比数列，
则 ，
，
所以 ，而 ，故解得 ，
则 ，所以等比数列 的公比 ，则 ，
所以 ，
所以，当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
，
综上所述， .
例题3．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列 的前 项和 满足 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，当 时 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 是常数数列，又 ，所以 ，则 .
（2）因为 ，
当 为偶数时，
；
当 为奇数时，；
综上可得 .
例题4．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知 是各项均为正数的数列， 为 的前
n项和，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ， ， 成等差数列，得 ，①
当 时， ，
∴ ，得 （ 舍去），
当 时， ，②
①－②得， ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ 是首项为2，公差为1的等差数列，
∴ ，
故 ；
（2）由（1）知 ，
当 是奇数时，，
当 是偶数时，
，
综上 .
题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
例题1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知各项均为正数的数列 满足： ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 各项为正数， ，
所以上式两边同时除以 ，得 ，
令 ，则 ，即 ，解得 （负值舍去），
所以 ，又 ，
所以 是以 ， 的等比数列，
故 .
（2） ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，
当 时， ，根据三角函数周期性知 的周期为4，
则
例题2．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）设 为正数数列 的前 项和，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前99项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） , ,两式相减
，
化简得 ，
又 ,
所以 ,所以数列 为等差数列，
在 中令 得 ，
因此数列 的通项公式为 ；
（2）由 的周期为3，
，
，因此 .
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知 为等差数列 的前n项和， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列 的公差为 ，则
解得 ， ，
所以
（2）由 ，可得 ，
数列的最小正周期 ，
所以 ，
所以
例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，
当 时， ，两式子作差可得
，
又 ，所以 ，
可得数列 为公差为2 的等差数列，当 时， ，
所以，数列 的通项公式为 .
（2） ，
，
所以，数列 的前 项和 .
例题5．（2023春·广东佛山·高二佛山市第四中学校考阶段练习）已知在数列 中，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得 ，即数列 为常数列，
因为 ，所以 .
（2）由（1）可得 ，三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．1012 B． C．2023 D．
【答案】D
【详解】∵ ，
故
故
.
故选：D.
2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）若数列 的通项公式 （ ），则 的前 项和
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，
则
，
故选：C
3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ， ， ，数列
的前n项和为 ，则 （ ）
A．0 B．50 C．100 D．2525
【答案】B
【详解】法一：由于 ①，则当 时， ②，
①-②，得 ，即 ，易知 ，所以 ．
又 满足 ，故 ，则 ，
易知 ，所以 .
法二：由于 ①，则当 时， ②，
①-②，得 ，即 ，又易知 ，
所以数列 为常数列，所以 ，所以 ，则 ，
易知 ，所以 .
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，数列 的前n项和
为 ，则 （ ）
A．351 B．353 C．531 D．533
【答案】B
【详解】依题意， ，
显然，当n为奇数时有 ，
即有 ， ，…， ，
令 ，故 ，
所以数列 是首项为1，公差为3的等差数列，
故 ；
当n为偶数时有 ，
即 ， ，…， ，
于是，
，
故选：B．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 为数列的前n项和，
（ ）
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】D
【详解】解：因为当 为奇数时 ， 为偶数时 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
故选：D
6．（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知数列 的通项公式是 ，则
（ ）
A． B． C．3027 D．3028
【答案】A
【详解】解：由 ，
得
.
故选：A.
二、填空题
7．（2023秋·辽宁·高三校联考阶段练习）数列 满足 则数列
的前60项和为 ．
【答案】
【详解】由 ， 得
，
，
所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
所以数列 为各项均为1的常数数列，
所以 ，
又由 得，
，
即 ，
所以
，
所以数列 的前60项和为 .
故答案为： .
8．（2023春·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）已知数列 的通项公式 ，其前
项和为 ，则 .
【答案】-1012
【详解】解：因为 ，所以 ，
当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，
所以 ，
所以 ， ，
故 ，
所以
.
故答案为：-1012.9．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则
．
【答案】
【详解】由题意， ，
在数列 中， ，
当 或 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ．
∴ ，
∴ ，
故答案为：-2023.
10．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试）设数列 的通项公式为 ，其前
项和为 ，则 .
【答案】100
【详解】当 或 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ，
当 ， 时 .
∴ ，
∴ .
故答案为：100.
三、解答题
11．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
，求 的值.
【答案】36
【详解】法一：由 可得：
当n为奇数时，，
，
两式相减可得： ，
所以 .
当n为偶数时，
，
，
两式相加可得： ，
所以 ， ，
所以
.
法二：因为 ，
所以 ， ， ，
， ， ， ，
所以 .
12．（2023春·安徽阜阳·高二统考期末）已知数列 的前 项和为 ，若 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ，可得 ，
数列 为等差数列.
设公差为 ，则 .
又 .
从而 .（2）由（1）可知 ，
，
当 为偶数时， .
当 为奇数时，
.
数列 的前 项和 .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 是等差数列， ， ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 是等差数列， ， ，且 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 ．
（2）由题意 知， ，
所以
．
当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
．综上 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）设 是首项为1，公差不为0的等差数列，且 ， ， 成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列 的公差为 ，则 ，
又 ，所以
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
化简得 ，又 ，
所以 ，
所以 ；
（2）由（1）可得： ，
则 ，
则当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
即 .
