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专题 08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和
◆倒序相加法求和
等差数列的求和公式 ,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来
求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现 ( 为常数),
( 为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和.
【经典例题1】
已知函数 对任意的 ，都有 ，数列 满足 …
.求数列 的通项公式.
【练习1】已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试用推导等差数列前 项和的方法
𝑛
探求：若 ，则 （ ）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
【练习2】已知函数 ，数列 是正项等比数列，且 ，则
__________．【练习3】已知 ，求 .
【练习4】函数 对任意 ,都有 .
(I)求 的值;
(II)若数列 满足 ,数列 是等差数列吗?
◆数列绝对值求和
(1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列 加绝对值后得到的数列 求和,设 的前 项和
为 的前 项和为 ,数列 的第 项小于 0 而从第 项开始大于或等于 0,于是有
(2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列 加绝对值后得到的数列 求和,设 的前 项和为
的前 项和为 ,数列 的第 项大于 0 而从第 项开始小于或等于 0,于是有
。
【经典例题1】已知 是数列 的前 项和,且 .
(1)求 ;
(2)求数列 的前 项和 .【经典例题2】已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(I)求 的通项公式;
(II)求数列 的前 项和 .
【练习1】已知在前n项和为 的等差数列 中， ， ．求数列 的前20项和 ．
【练习2】等差数列 中， ， （ ， ），求数列 的前 项和．
【练习3】数列 中， ， ，求数列 的前n项和 ．
【练习4】已知数列 的前n项和 ，求数列 的前n项和 .
◆数列奇偶性求和
对于数列奇偶性的问题,基本原则有两种手段：第一是所有的奇数项相加,所有的偶数项相加;第二是相邻
的奇数项与偶数项相加作为新的一项.【经典例题1】在数列 中, 且 ,则
________.
【经典例题2】数列 满足 ,则 的前60项和为_____.
【经典例题3】已知数列 满足:当 且 时,有 .则数列 的前200项
和为
A. 300 B. 200 C. 100 D. 0
【练习1】已知数列 满足： ， ， .
(1)记 ，求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求 .
【练习2】已知数列数列 的前 项和且 ，且 .
（1）求 的值，并证明： ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求 的值.
【练习3】已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且数列 是公差为2的等差数列．（1）求数列 的通项公式；
（2） 若 ，求数列 的前n项和 .
【练习4】在数列 中， ， ，且 .
(1)证明： 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式.
过关检测】
【
一、单选题
1．已知数列 的前 项和为 ，则数列 的前12项和为（ ）
A．93 B．94 C．95 D．96
2．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就
表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行 的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，
该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列
，则 （ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
3．已知数列 的前n项和 ，则 的值为( )
A．68 B．67 C．65 D．56
4．设 ， 为数列的前n项和，求 的值是（ ）A． B．0 C．59 D．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣5n+2，则数列{|an|}的前10项和为（ ）
A．56 B．58 C．62 D．60
6．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）
A．9 B．10
C．11 D．12
7．等差数列共有 项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则 等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．已知等差数列 共有 项，若数列 中奇数项的和为 ，偶数项的和为 ， ，则
公差 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知某等差数列 的项数 为奇数，前三项与最后三项这六项之和为 ，所有奇数项的和为 ，则
这个数列的项数 为（ ）
A． B． C． D．
10．已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（ ）
A．300 B．298 C．296 D．294
11．已知数列 的前n项和为 ，则此数列奇数项的前m项和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．已知函数 ，数列 是正项等比数列，且 ，
______．
13．在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得
________．14．若数列 的前n项和是 ，则 ________.
三、解答题
15．等差数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16．已知数列 的前n项和为
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 的公式．
17．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
18．数列 中， ， ，前n项和 满足 ．（1）证明： 为等差数列；
（2）求 ．
19．若数列 满足 （ ， 是不等于 的常数）对任意 恒成立，则称 是周
期为 ，周期公差为 的“类周期等差数列”．已知在数列 中， ， ．
(1)求证： 是周期为 的“类周期等差数列”，并求 的值；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 ．
