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专题 08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和
◆倒序相加法求和
等差数列的求和公式 ,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来
求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现 ( 为常数),
( 为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和.
【经典例题1】
已知函数 对任意的 ，都有 ，数列 满足 …
.求数列 的通项公式.
【答案】
【解析】
因为 ，
.
故 … .①
… .②
①+②，得 ， .
所以数列 的通项公式为 .
【练习1】已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试用推导等差数列前 项和的方法
𝑛探求：若 ，则 （ ）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
【答案】D
【解析】
，
∵函数
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ .
故选：D.
【练习2】已知函数 ，数列 是正项等比数列，且 ，则
__________．
【答案】
【解析】
函数 ，当 时， ，
因数列 是正项等比数列，且 ，则 ，
，同理 ，
令 ，又 ，
则有 ， ，
所以 .
故答案为：
【练习3】已知 ，求 .
【答案】1005.
【解析】
因为 ，所以 ，
所以 .令 ，
倒写得 .
两式相加得 ，故 .
【练习4】函数 对任意 ,都有 .
(I)求 的值;
(II)若数列 满足 ,数列 是等差数列吗?
【解析】(I)令 ,得 .
(II)已知函数 对任意 ,都有 ,可得由两式相加可得
故数列 是等差数列.
◆数列绝对值求和
(1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列 加绝对值后得到的数列 求和,设 的前 项和
为 的前 项和为 ,数列 的第 项小于 0 而从第 项开始大于或等于 0,于是有
(2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列 加绝对值后得到的数列 求和,设 的前 项和为
的前 项和为 ,数列 的第 项大于 0 而从第 项开始小于或等于 0,于是有
。
【经典例题1】已知 是数列 的前 项和,且 .
(1)求 ;
(2)求数列 的前 项和 .
解析:(1)由 ,可得 ,
当 时, ;
当 时,上式也成立,所以 .
(2)当 时, ,即有当 时, ,则有 ,即数列
的前 项和
【经典例题2】已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(I)求 的通项公式;
(II)求数列 的前 项和 .
【解析】
(I)由题意 ,解得 ,于是 ,故
的通项公式为 .
(II)由(I)知 .
(1)当 时,
(2)当n>7时,
【练习1】已知在前n项和为 的等差数列 中， ， ．求数列 的前20项和 ．
【答案】 .
【解析】 ，可得 ，即 ，故 时 ，
所以 .
【练习2】等差数列 中， ， （ ， ），求数列 的前 项和．【答案】 .
【解析】
由题意可知：数列 的公差 ，则 ，
数列 的前 项和 ，
令 ，即 ，则 ，
设数列 的前 项和为 ，则有：
当 时， ；
当 时，
，
综上所述： .
【练习3】数列 中， ， ，求数列 的前n项和 ．
【答案】
【解析】
∵数列 中， ，∴ ，
又∵ ，∴数列 是首项为31，公差为 的等差数列，
则 ，当 时， ；当 时， .
设等差数列 的前 项和为 ，则
，
当 时， ，
当 时， ，
所以
【练习4】已知数列 的前n项和 ，求数列 的前n项和 .
【答案】 .
【解析】
，
当 时， .
∵ 也符合上式，∴数列 的通项公式为 .
由 ，得 ，
即当 时， ；当 时， .
当 时， ；
当 时，故
◆数列奇偶性求和
对于数列奇偶性的问题,基本原则有两种手段：第一是所有的奇数项相加,所有的偶数项相加;第二是相邻
的奇数项与偶数项相加作为新的一项.
【经典例题1】在数列 中, 且 ,则
________.
【解析】当 为奇数时, ;当 为偶数时, ,因此数列 的奇数项都是1,偶数项
成公差为2的等差数列,则 故填2600.
【经典例题2】数列 满足 ,则 的前60项和为_____.
【解析】
有 ,
,
.
从而可得 ,
,
从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2 ,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为
首项, 以16为公差的等差数列.
的前60项和为 故答案为:1830.【经典例题3】已知数列 满足:当 且 时,有 .则数列 的前200项
和为
A. 300 B. 200 C. 100 D. 0
【解析】已知 ,可令 ,则 ,可得
可知数列 的前200项和为300.故选
.
【练习1】已知数列 满足： ， ， .
(1)记 ，求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1) (2)353
【解析】
(1)因为 ，令n取 ，则 ，
即 ， ，所以数列 是以1为首项，3为公差的等差数列，所以
(2)令n取2n，则 ，
所以 ，
由（1）可知， ；
；所以
【练习2】已知数列数列 的前 项和且 ，且 .
（1）求 的值，并证明： ；（2）求数列 的通项公式；
（3）求 的值.
【答案】（1） ，证明见解析；（2） ；（3） .
【解析】
（1）令 ，得 ，所以 ，
， ，
两式相减得 ，
因为 ，所以 ；
（2）由（1）可知，数列 为等差数列，公差为 ，首项为 ，
所以当 为奇数时， ，
数列 为等差数列，公差为 ，首项为 ，
所以当 为偶数时， ，
综上所述 ；
（3）由（2）可知， ，
，
故 .【练习3】已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且数列 是公差为2的等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2） 若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）因为数列 是公差为2的等差数列，且 ，所以 ，所以
，
又因为 ，所以当 时 ，
又因为 符合 的情况，所以 ；
（2）因为 ，
当 为偶数时， ，
所以 ，
当 为奇数时， ，
综上可知： .
【练习4】在数列 中， ， ，且 .
(1)证明： 是等比数列；(2)求数列 的通项公式.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【解析】
(1)由 得： ，且 ，
则 ，又 ，
所以数列 是首项为3，公比为4的等比数列.
(2)由（1）知： ，又 ，则 ，
当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ·
综上， ·
【过关检测】
一、单选题
1．已知数列 的前 项和为 ，则数列 的前12项和为（ ）
A．93 B．94 C．95 D．96
【答案】B
【解析】
当 时， ；
当 时，
所以数列 的通项公式为 ，即数列从第2项开始为等差数列，由 得 ，即数列的前2项为负，所以
故选：B
2．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就
表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行 的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，
该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列
，则 （ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
【答案】C
【解析】
令 ，
，
两式相加得：
，
∴ ，
故选:C．
3．已知数列 的前n项和 ，则 的值为( )
A．68 B．67 C．65 D．56
【答案】A
【解析】
当 时， ；当 时， 符合上式，
所以 ，
所以 ．
故选：A.
4．设 ， 为数列的前n项和，求 的值是（ ）
A． B．0 C．59 D．
【答案】A
【解析】
令 ①
则 ②
①+②可得： ，
， . .
故选：A
5．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣5n+2，则数列{|an|}的前10项和为（ ）
A．56 B．58 C．62 D．60
【答案】D
【解析】
Sn＝n2﹣5n+2的最小值是当n 2.5时取得，
∵n是自然数，取值计算：
n＝2时，Sn＝22﹣5×2+2＝﹣4，n＝3时，Sn＝32﹣5×3+2＝﹣4，
a＝S﹣S＝（﹣4）﹣（﹣4）＝0，
3 3 2
∴n≥4时，an＞0，n≤3时，an≤0，
a＝S＝1﹣5+2＝﹣2，
1 1
∴数列{|an|}的前10项和：
S＝S ﹣2S＝（100﹣50+2）﹣2（9﹣15+2）＝60．
10 3
故选：D．
6．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】B
【解析】
分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为
∴ ，∴ ，∴n＝10，
故选:B.
7．等差数列共有 项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则 等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
∵S =132，S = =120，
奇数 偶数
∴S -S = =12，
奇数 偶数
∴S n =S +S =252=
2 +1 奇数 偶数
解得n=10．
故选：C．
8．已知等差数列 共有 项，若数列 中奇数项的和为 ，偶数项的和为 ， ，则公差 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意 ， ，
所以， ，
，
所以， ， .
故选：A.
9．已知某等差数列 的项数 为奇数，前三项与最后三项这六项之和为 ，所有奇数项的和为 ，则
这个数列的项数 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由已知， ，
所以 ，
所有奇数项的和为 ，
于是可得 .
故选：A.
10．已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（ ）
A．300 B．298 C．296 D．294
【答案】D
【解析】
由题意得： ， ，又 ， .
故选： .
11．已知数列 的前n项和为 ，则此数列奇数项的前m项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
当 时， ，因为当n=1时， 不满足，所以数列 从第
二项开始成等比数列，又 ，
则数列 的奇数项构成的数列的前m项和 .
故选:B.
二、填空题
12．已知函数 ，数列 是正项等比数列，且 ，
______．
【答案】
【解析】
解：由数列 是正项等比数列，
且 ，可得 ，
因为 ，
可设 ，又 ，
两式相加可得
，
所以 ．
故答案为： ．
13．在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得
________．
【答案】
【解析】
令 ，
则： ，
两式相加可得：
,
∴ ，即 .
故答案为： .
14．若数列 的前n项和是 ，则 ________.
【答案】66
【解析】
解：因为
当 时， ；当 时， ，
所以 ， ， ， .
故
故答案为：
三、解答题
15．等差数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)由题意得： ，解得 ， ；
(2) ，当 时， ， ； 时， ， ；
当 时， ；
当 时， ；即
，综上所述： .
16．已知数列 的前n项和为
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前n项和 的公式．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)当n＝1时， ；
当 时， ，
显然 时也满足上式，
所以 .
(2)由（1）知 ，
所以当 时， ；当 时， ，
①当 时， ，
则 ，
此时
②当 时， ，
=
.综上可得： .
17．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)设等差数列 的首项为 ,公差为 ，
. .
, 数列 的通项公式为 .
(2)当 时， ， 数列 的前n项和 ；
当 时， ，
数列 的前n项和 ，
.
综上所述：
18．数列 中， ， ，前n项和 满足 ．
（1）证明： 为等差数列；（2）求 ．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
解：（1）∵ ①
∴ ②
① ②： ③
∴ ④
④ ③：
∴
∴ 是以 首项，2为公差的等差数列，
（2）由（1）得 是以 首项，2为公差的等差数列，
同理可得 是以 为首项，2为公差的等差数列，
又 ，
∴前101项的偶数项和为 ，
前101项的奇数项和为 ，
∴ ．
19．若数列 满足 （ ， 是不等于 的常数）对任意 恒成立，则称 是周
期为 ，周期公差为 的“类周期等差数列”．已知在数列 中， ， ．
(1)求证： 是周期为 的“类周期等差数列”，并求 的值；(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析； ；
(2)
【解析】
(1)由 ， ，相减得 ，
所以 周期为 ，周期公差为 的“类周期等差数列”，
由 ， ，得 ，
所以 ．
(2)由 ， ，得 ，
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ．
综上所述，
