文档内容
专题 08 数列求和（奇偶项讨论求和）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：求 的前 项和 ...................2
题型二：求 的前 项和 ....................7
题型三：通项含有 的类型；例如： ...........13
题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题........17
三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练...........21
一、必备秘籍
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列
奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，
并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中
有许多可通过构造函数来解决．
类型一：
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求 的前 项和
角度2：求 的前 项和
类型二：通项含有 的类型；例如：
类型三：
已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
二、典型题型
题型一：求 的前 项和
1．（23-24高三上·江西·期末）已知等比数列 的首项 ，公比为 ， 的 项和
为 且 ， ， 成等差数列.
(1)求 的通项 ：
(2)若 ， ，求 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，先验证 不符合要求，然后再由 列出方程，即可
求得 ，从而得到通项公式；
（2）根据题意，可得 ，其奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列，而
偶数次项依次构成一个首项为 ，公差为 的等差数列，然后结合数列求和的公式，代
入计算即可得到结果．
【详解】（1）由题意，若 ，
由首项 ，可知 ， ，
此时 ，不符合题意，故 ，
则由 ，
可得
化简整理，得 ，
解得 （舍去），或 ，
， ．（2）由（1），可得 ，
故数列 的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以 为首项， 为公
差的等差数列，
．
2．（2024·湖南·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .等比数列
是正项递增数列，且 .
(1)求数列 的通项 和数列 的通项 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和.
【答案】(1) ，
(2) （或 ）
【分析】（1）根据题意分别求出数列 的首项和公差，以及数列 的首项和公比，进
而可得出答案；
（2）利用并项求和法求解即可.
【详解】（1）由题意，设等差数列 的首项为 ，公差为 ，又 ，
所以 解得 ，
故 ，
因为数列 为各项为正的递增数列，设公比为 ，且 ，
因为 ，所以 ，得 ，
又 ，所以 ，即 ，又 ，
解得 ，从而 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，所以 ，
所以数列 的前 项和为
（或 ）.
3．（2024·江西上饶·一模）设 为正项数列 的前 项和，若 ， ， 成等差数
列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2024项和 ．
【答案】(1) （ ）
(2)
【分析】（1）利用 ，得 ，两式作差，整理得 是等差数
列即可求解；
（2）利用裂项相消和分组求和求解.
【详解】（1）由已知得： ，
当 时， ， ．
当 时， 得
．
，
数列 是以2为首项2为公差的等差数列
（ ）
（2）由已知得：
．．
4 ． （ 23-24 高 三 上 · 河 北 · 期 末 ） 在 数 列 中 ， ， 且
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列的前 项和为 ，求
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）当 时， ，当 时，得到 ，从而得到 从第2项起成等比数
列，即可得到答案.
（2）根据（1）得到 ，当 为大于1的奇数时， ，当 为偶数时，
.再利用分组求和、错位相减求和即可得到答案.
【详解】（1）
当 时， ，则 .
当 时，由 ，
得 ，
则 ，则 .
因为 ，所以 从第2项起成等比数列，.
（2） ，当 为大于1的奇数时， ，
当 为偶数时， .
.
，
则 ，
则 ，
，
则 ，
则 .
5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系化简求解即可；
（2）采用分组求和的方式计算即可.
【详解】（1） ① ②
①-②整理得
数列 是正项数列，当 时，
数列 是以2为首项，4为公差的等差数列，
；
（2）由题意知， ，
故
.
题型二：求 的前 项和
1．（23-24高二上·江苏常州·期末）在数列 中， ，且对任意的 ，都有
.
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据题意可得 ，可知 等比数列，结
合等比数列通项公式可得 ，可知 是等差数列，结合等差数列通项
公式运算求解；
（2）由（1）可得 ，分类讨论 的奇偶性，利用分组求和法结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又因为 ，则 ，
且 ，可知 ，可得 ，
则 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，整理得 ，
且 ，可知 是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，即 .
（2）由（1）可知 ，
可知 的奇数项为以 为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以 ， 为公差的
等差数列.
当 为偶数， ；
当 为奇数， ；
综上所述： .
2．（2023·全国·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为
数列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作
差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式
求出 ，并与 作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
3．（2023·湖南岳阳·三模）已知等比数列 的前n项和为 ，其公比 ，
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求出公比 ， ，直接写出等比数列的通项公式即可；
（2）由（1）得 ，分组求和即可，注意分类讨论的思想.
【详解】（1）因为 是等比数列，公比为 ，则
，
所以 ，解得 ，
由 ，可得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ，
当n为偶数时，；
当n为奇数时 ；
综上所述： .
4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 求 的前 项和 .
【答案】(1) , ；
(2) .
【分析】（1）先求出 再对 分奇偶两种情况讨论得解；
（2）先求出 时， 的前 项和 ；再讨论当 时，且 为奇数时，当
时，且 为偶数时， 的前 项和 ，即得解.
【详解】（1）根据题意可知 ，
所以
当 为奇数时， ，即 ，
所以当 为偶数时， ；
当 为偶数时， ，即 ，
所以当 为奇数时， .综上， , .
（2）由（1）可知当 为奇数时，若 ，即 ，解得 ，
当 为偶数时，若 ，即 ，解得 ，
所以 ，当 时， ，
所以 .
当 时，且 为奇数时，
当 时，且 为偶数时，
.
综上，
5．（22-23高二下·广东佛山·期中）已知数列 满足 ， .
(1)记 ，写出 、 ，并求数列 的通项公式；
(2)求 的前 项和 .
【答案】(1) ， ，(2)
【分析】（1）利用数列 的递推公式以及 可写出 、 的值，推导出数列
为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列 的通项公式；
（2）对 分偶数和奇数两种情况讨论，在 为偶数时，设 ，计算出
的表达式，结合等差数列的求和公式可求得 的表达式；在 为奇数
时，设 ，由 可求得 的表达式.综合可得出 的表达式.
【详解】（1）解：因为数列 满足 ， ，
所以， ， ，
，即 ，
所以，数列 是公差为 ，首项为 的等差数列，
因此， .
（2）当 为偶数时，设 ，则 ， ，
所以， ，
此时，
；
当 为奇数时，设 ，则 ，
则
.
综上所述， .题型三：通项含有 的类型；例如：
1．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知公差为3的等差数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求 ：
(2)若 ，记 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)30
【分析】（1）直接根据等差数列及其前 项和的基本量的计算得首项，由此即可得解.
（2）由题意得 ，由分组求和法即可得解.
【详解】（1）因为公差为3的等差数列 的前 项和为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
（2）由题意 ，
所以 .
2．（23-24高三上·山西晋城·期末）已知数列 是各项为正数的数列，前n项和记为
， ，( )，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系，以 取代 构造等式，两式作差得递推关系，再变
形可证明数列 是等差数列，进而求出通项；
（2）分奇偶讨论，利用并项求和法求解前n项和.
【详解】（1）由题意得 ①，且 ，当 时， ，
解得 或 (舍去)，
当 时， ②·
∴① ②得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ .
所以数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）得 ，
则当 ，且 时，
，
n为偶数时，
，
n为奇数时，则 为偶数，由上式可知， ，
所以
.
所以， .
3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知数列 ， 满足 ， ，
.
(1)证明： 为等差数列.
(2)设数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据已知代入化简得出 ，即可证明；
（2）根据（1）得出数列 的通项，当 为偶数时，利用并项求和法得出 ，当
为奇数时， 为偶数，由 得出 ，即可综合得出答案.
【详解】（1）由题意得 ， ，
则 ，
所以 是首项 ，公差为1的等差数列.
（2）由（1）得 ，则 ，
当 为偶数时，
.
当 为奇数时， 为偶数，
则 .
综上， .
4．（2024·贵州安顺·模拟预测）在等比数列 中，已知 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的通项公式得到关于 的方程组，解之即可；
（2）先由（1）得 ，再分类讨论 为奇数与 为偶数两种情况，利用并项求和
法即可得解.【详解】（1）因为在等比数列 中， ，设其公比为 ，
所以 ，解得 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）由（1）得 ，
所以数列 的前 项和 ，
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ；
所以 .
5．（2024·山东·模拟预测）已知 是各项均为正数的数列， 为 的前n项和，且
， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ， ， 成等差数列，得 ， 时得 ；
时求得 ，可知 是首项为2，公差为1的等差数列，利用等差数列
的通项公式可求得 ，进而求得 ；
（2）由（1）知 ，分 是奇数、偶数可得 .
【详解】（1）由 ， ， 成等差数列，得 ，①
当 时， ，
∴ ，得 （ 舍去），当 时， ，②
①－②得， ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ 是首项为2，公差为1的等差数列，
∴ ，
故 ；
（2）由（1）知 ，
当 是奇数时，
，
当 是偶数时，
，
综上 .
题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
1．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知数列 为公差大于0的等差数列，其前 项和为
， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前100项和 .
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意，列出方程求得 的值，即可求
解；
（2）由（1）得 ，分别求得 ， ， 和
时， 的取值，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，可得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
即数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）得 ，
当 ， 时， ，所以 ；
当 ， 时， ，所以 ；
当 ， 时， ，所以 ；
当 ， 时， ，所以 ；
所以 .
2．（2024·吉林长春·一模）已知各项均为正数的数列 满足： ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，两边同除 从而得到 ，则得到其通项；（2）根据正弦型函数的周期性，再进行分组求和，最后利用等比数列前 项和公式即可.
【详解】（1）因为 各项为正数， ，
所以上式两边同时除以 ，得 ，
令 ，则 ，即 ，解得 （负值舍去），
所以 ，又 ，
所以 是以 ， 的等比数列，
故 .
（2） ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
当 时， ，根据三角函数周期性知 的周期为4，
则
3．（2023·江苏苏州·三模）已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 成
等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2023项和.
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及给定的条件求出公差d和 ；
（2）根据数列 的周期性求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由题意可知，即
解得 ，所以 ；
（2）由（1）可知， ，
对于任意 ，有 ，
所以 ，
故数列 的前2023项和为
.
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）设数列 满足 ，且
.
(1)求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析， ;
(2) .
【分析】（1）根据递推式 ，变形为 ，由等差
数列定义可证明结论；利用累加法求得 ；
（2）根据 ，讨论n的奇偶性，分类求解，利用并项求和法，可得答案.
【详解】（1）由已知得 ， 即 ，
是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列.
，
当 时，
,
当 时， 也满足上式，所以 ;
（2） ,
当 为偶数时，当 为奇数时，
,
所以 .
三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练
1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列 的前n项和为 ， ，等比数列
的公比为3， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)令 求数列 的前7项和 ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）首先求 ，即可求数列 的通项公式，再利用公式
，即可求数列 的通项公式，利用数列 ， ，即可求数列 的项公
式；
（2）根据（1）的结果，即可求 .
【详解】（1）当 时， ，即 ，由 ，
得 ，又等比数列 的公比为3，
所以 ；
由 ，①，当 时， ②，① ②， ，因为 ，
所以 ，即 ，
即数列 是常数列，即 ，
得 ，
当 时， ，
当 时， 成立，
所以 ；
（2） ，
，
，
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和 ， ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 求解即可；
（2）利用分组求和即可.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
也满足 ，
故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可知 ，当 为偶数时，
；
当 为奇数时，
，
所以 .
3．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知等差数列 的公差为 ，且 ，设 为
的前项和，数列 满足 .
(1)若 ，且 ，求 ；
(2)若数列 也是公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，依次求出 ，列出不等式求解即得.
（2）设 ，由已知求出 ，借助恒成立求出 ，再按奇偶分类并结合分组求
和法求解即得.
【详解】（1）依题意， ， ，
则 ，由 ，得 ，解得 ，而
，
所以 .
（2）由 是公差为 的等差数列，设 ，
又 ，
于是 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，则 ，又 ，解得 ，从而 ， ，
当 为偶数时，
；
当 为奇数时，
，
所以 .
4．（2023·广东·二模）在等差数列 中， .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列以及等比求和公式，结合分组求和即可求解，或者分奇偶，又等差求和
公式以及并项求和求解.
【详解】（1）设 的公差为 ，则
解得
所以 .
（2）（方法一）
.
（方法二）当 为偶数时，当 为奇数时，
.
综上，
5．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前100项的和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据 与 之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可；
（2）根据特殊角余弦值的特点，结合等比数列的前 项和公式进行求解即可.
【详解】（1）当 时， ，整理得 ，又
，得
则数列 是以-2为首项，-2为公比的等比数列.
则
（2）当 时，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
则6．（2024·浙江·二模）如图，已知 的面积为1，点D，E，F分别为线段 ， ，
的中点，记 的面积为 ；点G，H，I分别为线段 ， ， 的中点，记
的面积为 ；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为 ．
(1)求 ， ，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相邻两个三角形的面积关系可得 ，即可求解通项，
（2）先利用并项求和法求得 为偶数的情况的和，再利用所得结论求得奇数的情况的和，
然后写成分段形式.
【详解】（1）由题意可知 , ，...，
由此可知 ，故 是以公比为 的等比数列，所以 .
（2）由 得 ， ，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时， ，故 .
7．（23-24高三上·辽宁·期末）在等比数列 中
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求 的前n项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式运算求解；
（2）根据题意可得： ，利用并项求和运算求解.
【详解】（1）由题意可得： ，
∵ ，则 ，解得 或 （舍去），
∴ 的通项公式 ；
（2）由（1）可得： ，
若 为奇数，可得 ，则有：
当 为奇数时，则
；
当 为偶数时，则 ；
综上所述： .
8．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知 为数列 的前 项和， ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）法一：根据 得到 ，从而得到
，可得 的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的
通项公式，得到答案；
法二：变形得到 ，结合 ，得到 ，利
用 求出答案；
（2）变形得到 ，当 为奇数时， ，当 为偶数时，
，分 为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.
【详解】（1）法一: 当 时， ，即 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
两式相减得： ．又 ，满足上式．
所以当 时， ，
又当 时， ，
两式相减得： ，
所以数列 的奇数项是以 为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为奇数），
数列 的偶数项是以 为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为偶数），
所以 ，即 的通项公式是 ．
法二：因为 ，
所以 ，
同理可得 ，
故 ，
因为 ，所以 ，即 ，
当 时， ，当 时， 适合上式，所以 的通项公式是 .
（2）因为 ，
故当 时， ①，
当 时， ②，
①、②两式相减得： ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以 ，
所以 ；
当n为偶数时，
,
当n为奇数时，
，
综上， .
9．（2024高三·全国·专题练习）设 是首项为1，公差不为0的等差数列，且 ， ，
成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设数列 的公差为 ，结合等比数列定义等差数列通项公式，列方程求
，由此可得 的通项公式；（2）证明 ，讨论 的奇偶，利用分组求和法求 .
【详解】（1）设数列 的公差为 ，则 ，
又 ，所以
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
化简得 ，又 ，
所以 ，
所以 ；
（2）由（1）可得： ，
则 ，
则当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
即 .
10．（2024·广东汕头·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据前n项和与通项之间的关系分析可得 ，结合等比数列求其通项公式；
（2）结合（1）求 ，分奇偶项，利用分组求和的方法求和即可.
【详解】（1）
∵ ，则有：当 时， ，解得 ；
当 时，则 ，
两式相减得 ，即 ；
注意到 ，故 ，
∴ 是首项为3，公比为3的等比数列，
故 .
（2）
由（1）得 ，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时 ；
综上所述： .
11．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知正项数列 的前n项和 ，且
，数列 为单调递增的等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系化简递推关系式可得 为等差数列，据此可得通项公式，由等比数列的性质化简后求出首项与公比可得 通项公式；
（2）利用分组求和，再分 为偶数，奇数求和即可.
【详解】（1）由 可知，
则
化简可得：
，即 ，
数列 是以2为公差的等差数列，
，
由 可知 ，
，
又由 为递增的等比数列，且 ，即 ，
解得 ， .
（2）依题意可知 ，
因此
,
当 为偶数时，原式 ，
当 为奇数时，原式 ，
综上， .
