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专题 4.5 代数式求值问题必考五大类型
【人教版2024】
【类型1 整体思想求值（直接代入）】..................................................................................................................1
【类型2 整体思想求值（变系数）】......................................................................................................................3
【类型3 整体思想求值（奇次项）】......................................................................................................................6
【类型4 整体思想求值（先拆分再合并）】.........................................................................................................9
【类型5 利用赋值法求值】....................................................................................................................................13
【类型1 整体思想求值（直接代入）】
1．（2023秋•铜梁区期末）已知x﹣y＝5，xy＝6，则代数式6x+2xy﹣6y的值是 ．
【分析】将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝6，
∴6x+2xy﹣6y
＝6（x﹣y）+2xy
＝6×5+2×6
＝30+12
＝42，
故答案为：42．
2．（2023秋•建邺区校级期末）已知a+b＝4，ab＝2，则4ab﹣（3a+3b）的值等于 ．
【分析】先将原整式进行变形，再整体代入进行求解．
【解答】解：∵4ab﹣（3a+3b）
＝4ab﹣3（a+b），
∴当a+b＝4，ab＝2时，
原式＝4×2﹣3×4
＝8﹣12
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
3．（2023秋•顺义区校级期中）如果x2+x＝1，那么﹣3（x2+x）2+2x2+2x的值为 ．【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：当x2+x＝1时，原式＝2（x2+x）﹣3（x2+x）2＝2×1﹣3×12＝﹣1．
故答案为：﹣1．
4．（2023秋•儋州校级期中）若m﹣2n＝﹣4，则﹣3（m﹣2n）2﹣（2n﹣m）3+2（2n﹣m）﹣1＝
．
【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：当m﹣2n＝﹣4时，原式＝﹣3（m﹣2n）2﹣（﹣（m﹣2n））3+2（﹣（m﹣2n））﹣1＝
﹣3×（﹣4）2﹣（﹣（﹣4））3+2×（﹣（﹣4））﹣1＝﹣105．
故答案为：﹣105．
5．（2023秋•阳信县期末）当x﹣y＝2时，代数式2（x﹣y）2+3x﹣3y+1＝ ．
【分析】化简整理代数式，代入数据求值即可．
【解答】解：∵x﹣y＝2，
2（x﹣y）2+3x﹣3y+1
＝2（x﹣y）2+3（x﹣y）+1
＝2×22+3×2+1
＝8+6+1
＝15，
故答案为：15．
6．（2023秋•嵊州市期末）若a﹣3b＝﹣5，则2（a﹣3b）2+3b﹣a﹣15＝ ．
【分析】把原式化成已知代数式的形式，再整体代入计算便可．
【解答】解：∵a﹣3b＝﹣5，
∴原式＝2（a﹣3b）2﹣（a﹣3b）﹣15＝2×25+5﹣15＝40，
故答案为：40．
7．（2023秋•抚州期中）数学中，运用整体思想在多项式的化简与求值中极为广泛，且非常重要．
例如：已知：a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×1+4＝6．
请你根据以上材料解答以下问题：
（1）若x2﹣3x＝2，求1+3x﹣x2的值；
（2）已知xy+x＝﹣1，y﹣xy＝﹣2．求代数式2[x+（xy﹣y）2]﹣3[（xy+x）2﹣xy]﹣xy的值．
【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解；
（2）根据已知条件，由y﹣xy＝﹣2整理得xy﹣y＝2，再把xy+x＝﹣1和xy﹣y＝2分别代入2[x+（xy﹣
y）2]﹣3[（xy+x）2﹣xy]﹣xy即可作答．【解答】解：（1）因为x2﹣3x＝2，
所以1+3x﹣x2＝1﹣（x2﹣3x）＝1﹣2＝﹣1，
则1+3x﹣x2的值为﹣1；
（2）∵xy+x＝﹣1，y﹣xy＝﹣2，
∴xy﹣y＝2，
∴2[x+（xy﹣y）2]﹣3[（xy+x）2﹣xy]﹣xy
＝2（x+22）﹣3[（﹣1）2﹣xy]﹣xy
＝2x+8﹣3（1﹣xy）﹣xy
＝2x+8﹣3+3xy﹣xy
＝2（x+xy）+5
＝2×（﹣1）+5
＝3．
【类型2 整体思想求值（变系数）】
x
1．（2023秋•沛县校级月考）已知 −3 y+5=0，则代数式6y﹣x+3的值为 ．
2
【分析】根据式子的特点，采用整体代入的方法．观察已知等式并进行变形，可以将已知整体代入求代
数式的值．
x
【解答】解：∵ −3 y+5=0，
2
x
∴ −3 y=−5，
2
∴x﹣6y＝﹣10，
∴6y﹣x+3＝﹣（x﹣6y）+3＝﹣（﹣10）+3＝13，
故答案为：13．
4
2．（2023秋•莱州市期末）代数式3x2﹣4x+6的值9，则x2− x+6＝ ．
3
4
【分析】根据题意得3x2﹣4x+6＝9，求得x2− x，再整体代入即可．
3
【解答】解：∵3x2﹣4x+6的值9，∴3x2﹣4x+6＝9，
4
∴x2− x=1，
3
4
∴x2− x+6＝1+6＝7．
3故答案为7．
3．（2023秋•曲阜市校级期中）若代数式x﹣2y＝3，则代数式2（x﹣2y）2﹣4y+2x+1的值为 ．
【分析】将2（x﹣2y）2﹣4y+2x+1化简为2（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1整体代入求值即可．
【解答】解：∵x﹣2y＝3，
∴2（x﹣2y）2﹣4y+2x+1
＝2（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1
＝2×32+2×3+1
＝18+6+1
＝25．
故答案为：25．
1 1
4．（2023秋•邻水县期末）已知2m+3n＝12，则 m+ n的值为 ．
3 2
1 1
【分析】将 m+ n通分，并把2m+3n＝12代入计算即可．
3 2
【解答】解：∵2m+3n＝12，
1 1
∴ m+ n
3 2
2m+3n
=
6
12
=
6
＝2，
故答案为：2．
3
5．（2023秋•嘉祥县期末）当x＝﹣1时，代数式2ax2﹣3b+8的值是8，则−a+ b+3= ．
2
1
【分析】将原式化为− (2a−3b)+3是解决问题的关键．根据题意得出2a﹣3b＝0，再将原式化为
2
1
− (2a−3b)+3，整体代入计算即可．
2
【解答】解：∵x＝﹣1时，代数式2ax2﹣3b+8的值为8，
∴2a﹣3b+8＝8，
即2a﹣3b＝0，3
∴−a+ b+3
2
1
=− (2a−3b)+3
2
1
=− ×0+3
2
＝3，
故答案为：3．
4
6．（2023秋•鄞州区校级月考）已知3x2﹣4x+6＝9，则 x+6−x2= ．
3
【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：∵3x2﹣4x+6＝9，
∴3x2﹣4x＝3，
1 1
∴当3x2﹣4x＝3时，原式=− (3x2−4x)+6=− ×3+6＝5．
3 3
故答案为：5．
7．（2024•峰峰矿区校级模拟）定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为代换数，若3x2﹣5与﹣x+4互为代换
数，则代数式6x2+2x﹣5＝ ．
【分析】根据题意，3x2﹣5与﹣x+4互为代换数，得3x2﹣5﹣（﹣x+4）＝0，得到3x2+x＝9，即可求出
答案．
【解答】解：∵3x2﹣5与﹣x+4互为代换数，
∴3x2﹣5﹣（﹣x+4）＝0，
∴3x2+x＝9，
∴6x2+2x﹣5
＝2（3x2+x）﹣5
＝2×9﹣5
＝13．
故答案为：13．
【类型3 整体思想求值（奇次项）】
1．（2023秋•平舆县期末）已知多项式ax5+bx3+cx﹣1，当x＝1时，该多项式的值为2；当x＝﹣1时，该
多项式的值为 ．
【分析】由题意可得a+b+c﹣1＝2，则a+b+c＝3，将x＝﹣1代入ax5+bx3+cx﹣1中变形后代入数值计算即可．
【解答】解：由题意可得a+b+c﹣1＝2，
则a+b+c＝3，
当x＝﹣1时，
ax5+bx3+cx﹣1
＝﹣a﹣b﹣c﹣1
＝﹣（a+b+c）﹣1
＝﹣3﹣1
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
2．（2023秋•彭山区校级期中）已知当x＝﹣985时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么当x＝985时，代数
式ax3+bx+1的值是 ．
【分析】将x＝﹣985代入ax3+bx+1，整理得到﹣9853a﹣985b＝5，然后把x＝985代入ax3+bx+1后整体
代入可得解．
【解答】解：将x＝﹣985代入ax3+bx+1得：
﹣9853a﹣985b+1＝6，
∴9853a+985b＝﹣5，
当x＝985时，
ax3+bx+1
＝9853a+985b+1
＝﹣5+1
＝﹣4；
故答案为：﹣4．
3．（2023秋•雨湖区期末）当x＝1时，代数式px3+qx+2的值为2027，则当x＝﹣1时，代数式px3+qx+2
的值为 ．
【分析】当x＝1时，代数式px3+qx+2的值为2027可得p+q＝2025，将x＝﹣1代入代数式px3+qx+2中
得到﹣（p+q）+2，然后整体代入求值即可．
【解答】解：当x＝1时，代数式px3+qx+2的值为2027，
∴p+q+2＝2027，
∴p+q＝2025，
当x＝﹣1时，px3+qx+2
＝﹣p﹣q+2
＝﹣（p+q）+2
＝﹣2025+2
＝﹣2023，
故答案为：﹣2023．
4．（2024秋•虹口区校级月考）当 x＝1时，整式 ax3+bx2+cx+2024的值为2023，当x＝﹣1时，整式
ax3+bx2+cx+2024的值为2022，则b＝ ．
【分析】根据当 x＝1时，整式ax3+bx2+cx+2024的值为2023，得出a+b+c＝﹣1①，根据当x＝﹣1
时，整式ax3+bx2+cx+2024的值为2022，得出﹣a+b﹣c＝﹣2②，然后两式相加即可求出b的值．
【解答】解：当x＝1时，整式ax3+bx2+cx+2024的值为2023，
∴a+b+c+2024＝2023，
∴a+b+c＝﹣1①，
当x＝﹣1时，整式ax3+bx2+cx+2024的值为2022，
∴﹣a+b﹣c+2024＝2022，
∴﹣a+b﹣c＝﹣2②，
①+②，得2b＝﹣3，
∴b＝﹣1.5．
5．（2023秋•卧龙区校级月考）当x＝5时，ax5+bx3+cx+2＝3；则当x＝﹣5时，3﹣ax5﹣bx3﹣cx＝ ．
【分析】把x＝5时，代入到ax5+bx3+cx+2＝3得55a+53b+5c＝1，再由当x＝﹣5时，3﹣ax5﹣bx3﹣cx进
行求解即可．
【解答】解：∵当x＝5时，ax5+bx3+cx+2＝3，
∴55a+53b+5c+2＝3，
∴55a+53b+5c＝1，
∴当x＝﹣5时，
3﹣ax5﹣bx3﹣cx＝3+（55a+53b+5c）＝4，
故答案为：4．
6．（2023秋•韶关校级期中）已知多项式ax2023+bx2021+cx2019﹣3，当x＝﹣1时，多项式的值为17，则当x
＝1时，多项式ax2023+bx2021+cx2019﹣3的值是 ．
【分析】根据已知条件求得a+b+c＝﹣20；再将x＝1代入代数式，进行整理，然后将a+b+c＝﹣20整体
代入变形后的式子即可得解．【解答】解：∵多项式ax2023+bx2021+cx2019﹣3，当x＝﹣1时，多项式的值为17，
∴﹣a﹣b﹣c﹣3＝17，
∴a+b+c＝﹣20，
∴当x＝1时，
ax2023+bx2021+cx2019﹣3
＝a+b+c﹣3
＝﹣20﹣3
＝﹣23．
故答案是：﹣23．
7．（2023秋•东乡区期中）阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项
式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知 a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×1+4＝
6．请根据以上材料解答下列问题：
1 3
（1）若x2﹣3x＝2，则 x2− x−1的值为 ；
2 2
（2）当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，求当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值；
（3）当x＝2024时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，求当x＝﹣2024时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值
（用含m的式子表示）．
【分析】（1）将代数式化为已知的形式即可求解；
（2）当x＝1时，得p+q+1＝5，再将x＝﹣1，代入代数式px3+qx+1整理变形即可求解；
（3）当x＝2024时，得20245a+20243b+2024c＝m+5，再将x＝﹣2024代入原代数式整理变形即可求
解；
【解答】解：（1）依题意得：
1 3 1 1
x2− x−1= (x2−3x)−1= ×2−1=0，
2 2 2 2
故答案为：0；
（2）依题意得：
当x＝1时，p+q+1＝5，即：p+q＝4，
当x＝﹣1时，
px3+qx+1
＝﹣p﹣q+1
＝﹣（p+q）+1＝﹣4+1
＝﹣3；
（3）∵当x＝2024时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，
∴20245a+20243b+2024c﹣5＝m．
∴20245a+20243b+2024c＝m+5．
∴当x＝﹣2024时，
ax5+bx3+cx﹣5
＝﹣20245a﹣20243b﹣2024c﹣5
＝﹣（20245a+20243b+2024c）﹣5
＝﹣（20245a+20243b+2024c）﹣5
＝﹣（m+5）﹣5
＝﹣m﹣10
【类型4 整体思想求值（先拆分再合并）】
1．（2023秋•南安市月考）已知a﹣b＝﹣3，c+d＝2，则（2a+c）﹣（2b﹣d）＝ ．
【分析】将（2a+c）﹣（2b﹣d）整理为2（a﹣b）+（c+d），再整体代入a﹣b＝﹣3，c+d＝2进行计
算即可得出答案．
【解答】解：∵a﹣b＝﹣3，c+d＝2，
∴（2a+c）﹣（2b﹣d）＝2a+c﹣2b+d＝2（a﹣b）+（c+d）＝2×（﹣3）+2＝﹣4，
故答案为：﹣4．
2．（2024春•文登区期中）若a﹣b＝2，a﹣c＝1，则（2a﹣b﹣c）2+（c﹣a）2＝ ．
【分析】把所求代数式整理成已知条件的形式，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：（2a﹣b﹣c）2+（c﹣a）2
＝（a﹣b+a﹣c）2+（a﹣c）2
＝（2+1）2+12
＝9+1
＝10．
故答案为：10．
3．（2023秋•义乌市月考）已知2m2+2mn﹣n2＝1012，mn+2n2＝﹣9，则4m2+5mn＝ ．
【分析】由题意得2（2m2+2mn﹣n2）+mn+2n2＝4m2+5mn，代入求值即可．
【解答】解：∵2m2+2mn﹣n2＝1012，mn+2n2＝﹣9，
∴2（2m2+2mn﹣n2）+mn+2n2＝1012×2+（﹣9），即：4m2+5mn＝2024﹣9＝2015，
故答案为：2015．
4．（2023秋•鹤壁期中）已知a﹣b＝2，a﹣c＝1，求（2a﹣b﹣c）2+（c﹣a）2的值．
【分析】把（2a﹣b﹣c）整理成（a﹣b）+（a﹣c）的形式，然后整体代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：（2a﹣b﹣c）2+（c﹣a）2，
＝[（a﹣b）+（a﹣c）]2+（a﹣c）2，
当a﹣b＝2，a﹣c＝1时，原式＝（2+1）2+12＝9+1＝10．
5．（2023秋•东莞市校级期中）阅读材料：我们知道，4x+2x﹣x＝（4+2﹣1）x＝5x，类似地，我们把
（a+b）看成一个整体，则4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝（4+2﹣1）（a+b）＝5（a+b）．“整体思
想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
（1）把（a+b）看成一个整体，合并﹣3（a+b）2﹣7（a+b）2+8（a+b）2的结果为 ；
（2）若a﹣5b＝3，5b﹣3c＝﹣5，3c﹣d＝10，求（a﹣3c）+（5b﹣d）﹣（5b﹣3c）的值；
（3）若a﹣2b＝5，2b﹣c＝﹣7，c﹣d＝12，求4（a﹣c）+4（2b﹣d）﹣4（2b﹣c）的值．
【分析】（1）把（a+b）2看成一个整体，合并同类项即可；
（2）利用加法的交换律与交换律将多项式变形后，利用整体代入的方法解答即可；
（3）利用乘法的分配律和加法的交换律与交换律将多项式变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）﹣3（a+b）2﹣7（a+b）2+8（a+b）2
＝（﹣3﹣7+8）（a+b）2
＝﹣2（a+b）2．
故答案为：﹣2（a+b）2；
（2）∵a﹣5b＝3，5b﹣3c＝﹣5，3c﹣d＝10，
∴原式＝a﹣3c+5b﹣d﹣5b+3c
＝（a﹣5b）+（5b﹣3c）+（3c﹣d）
＝3+（﹣5）+10
＝13﹣5
＝8．
（3）∵a﹣2b＝5，2b﹣c＝﹣7，c﹣d＝12，
∴原式＝4[（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）]
＝4（a﹣c+2b﹣d﹣2b+c）
＝4[（a﹣2b）+（2b﹣c）+（c﹣d）]
＝4[5+（﹣7）+12]＝4×10
＝40．
6．（2023秋•内黄县期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．
我们知道，合并同类项：5x﹣3x+2x＝（5﹣3+2）x＝4x，类似地，我们把（m+n）看成一个整体，则5
（m+n）﹣3（m+n）+2（m+n）＝（5﹣3+2）（m+n）＝4（m+n）．
尝试应用：
（1）把（m+n）2看成一个整体，合并4（m+n）2﹣5（m+n）2+3（m+n）2的结果是 ；
（2）已知x2+2y＝﹣9，求4x2+8y+18的值；
拓展探索：
（3）已知a﹣b＝2，b﹣2c＝4，2c﹣d＝﹣1，求（a﹣2c）﹣（b﹣2c）﹣（b﹣d）的值．
【分析】（1）将原式进行合并即可；
（2）将原式变形后代入数值计算即可；
（3）将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2（m+n）2，
故答案为：2（m+n）2；
（2）∵x2+2y＝﹣9，
∴4x2+8y+18
＝4（x2+2y）+18
＝4×（﹣9）+18
＝﹣18；
（3）∵a﹣b＝2，b﹣2c＝4，2c﹣d＝﹣1，
∴（a﹣2c）﹣（b﹣2c）﹣（b﹣d）
＝a﹣2c﹣b+2c﹣b+d
＝（a﹣b）﹣（b﹣2c）﹣（2c﹣d）
＝2﹣4﹣（﹣1）
＝﹣2+1
＝﹣1．
7．（2023秋•威宁县期末）小颖同学在学习整式的加减时遇到这样一道题：“如果代数式 3a+2b的值为﹣
4，那么代数式3（a+b）+3（2a+b）的值是多少？”这个问题中，a和b的值不能单独求出来，于是聪
明的小颖同学想到了把3a+2b作为一个整体求解，得到如下的解题过程：原式＝3a+3b+6a+3b＝9a+6b
＝3（3a+2b）＝3×（﹣4）＝﹣12．整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
【简单应用】
（1）已知m2+m＝2，则m2+m+2023的值为 ；
【联系推广】
（2）已知2p﹣q＝﹣3，求5（p﹣q）﹣9p+7q+5的值；
【拓展提高】
（3）已知2x2﹣3xy﹣y2＝3，﹣x2+5xy﹣6y2＝﹣2，求4x2﹣13xy+11y2的值．
【分析】（1）将已知数值代入原式计算即可；
（2）将原式整理并变形后代入已知数值计算即可；
（3）将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：（1）∵m2+m＝2，
∴m2+m+2023＝2+2023＝2025，
故答案为：2025；
（2）∵2p﹣q＝﹣3，
∴5（p﹣q）﹣9p+7q+5
＝5p﹣5q﹣9p+7q+5
＝﹣4p+2q+5
＝﹣2（2p﹣q）+5
＝﹣2×（﹣3）+5
＝11；
（3）∵2x2﹣3xy﹣y2＝3，﹣x2+5xy﹣6y2＝﹣2，
∴4x2﹣13xy+11y2
＝2x2﹣3xy﹣y2+2x2﹣10xy+12y2
＝2x2﹣3xy﹣y2﹣2（﹣x2+5xy﹣6y2）
＝3﹣2×（﹣2）
＝3+4
＝7．
【类型5 利用赋值法求值】
1．（2024春•萨尔图区校级期末）若（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d，则a﹣b+c﹣d的值为 ．
【分析】根据多项式乘多项式的计算方法计算（x﹣1）3的结果为x3﹣3x2+3x﹣1，进而确定a、b、c、d
的值，再代入计算即可．【解答】解：∵（x﹣1）3
＝（x﹣1）（x﹣1）2
＝（x﹣1）（x2﹣2x+1）
＝x3﹣3x2+3x﹣1，而（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣1，
∴a﹣b+c﹣d＝1+3+3+1＝8，
故答案为：8．
2．（2023秋•海曙区校级期中）若（3x+1）4＝ax4+bx3+cx2+dx+e，则b+d＝ ．
【分析】将x＝﹣1和x＝1代入原式，再将两式相减，即可求解．
【解答】解：当x＝﹣1时，（﹣3+1）4＝a﹣b+c﹣d+e，即16＝a﹣b+c﹣d+e①，
当x＝1时，（3+1）4＝a+b+c+d+e，即256＝a+b+c+d+e②，
②﹣①得：2b+2d＝240，
∴b+d＝120，
故答案为：120．
3．（2023秋•灌云县校级期中）若（3x﹣1）5＝a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5，则a +a +a +a +a ＝ 3 3 ．
0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
【分析】求出（3x﹣1）5的结果，得到a 、a 、a 、a 、a ，计算出它们的和即可．
1 2 3 4 5
【解答】解：令x＝1，
所以（3x﹣1）5＝25＝32，
∴a +a +a +a +a +a ＝32，
0 1 2 3 4 5
∵a ＝（﹣1）5＝﹣1，
0
∴a +a +a +a +a
1 2 3 4 5
＝32﹣a
0
＝32﹣（﹣1）
＝33．
故答案为：33．
4．（2023秋•东港区期中）若：（2x﹣1）5＝a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5
0 1 2 3 4 5
（1）当x＝0时，a ＝ ； （2）a +a +a +a +a ＝ ．
0 1 2 3 4 5
【分析】（1）将x＝0代入可求得a 的值；
0
（2）将x＝1代入先求得a +a +a +a +a +a 的值，然后可求得a +a +a +a +a 的值．
0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
【解答】解：（1）将x＝0代入得：a ＝（2×0﹣1）5＝﹣1；
0
（2）将x＝1代入得：a +a +a +a +a +a ＝（2×1﹣1）5＝1，
0 1 2 3 4 5a +a +a +a +a ＝a +a +a +a +a +a ﹣a
1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0
＝1﹣（﹣1）
＝2．
故答案为：﹣1；2．
5．（2023秋•鄞州区月考）已知 是关于x的恒等式（即x
(−2x+1) 5=a x5+a x4+a x3+a x2+a x+a
5 4 3 2 1 0
取任意值时等式都成立），则a +a +a +a +a ＝ ﹣ 2 ．
1 2 3 4 5
【分析】分别将x＝1和x＝0代入恒等式，求出a +a +a +a +a +a 和a 的值，从而求出a +a +a +a +a
5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5
的值即可．
【解答】解：∵x取任意值时等式都成立，
∴当x＝1时，得﹣1＝a +a +a +a +a +a ，
5 4 3 2 1 0
当x＝0时，得1＝a ，
0
∴a +a +a +a +a +1＝﹣1，
5 4 3 2 1
∴a +a +a +a +a ＝﹣2．
1 2 3 4 5
故答案为：﹣2．
6．（2023秋•鄞州区校级月考）已知 ，求a +a +a +a +a +a +a ＝
(1+2x) 7=a +a x+a x2+⋯+a x7 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 7
；a +a +a +a ＝ ．
1 3 5 7
【分析】令x＝0，求得a ＝1；然后令x＝1求得a +a +a +a +a +a +a +a ＝37，然后将其减去a 即可求
0 0 1 2 3 4 5 6 7 0
得 a +a +a +a +a +a +a 的 值 ； 令 x ＝ ﹣ 1 求 得 a ﹣ a +a ﹣ a +a ﹣ a +a ﹣ a ＝ ﹣ 1 ， 将
1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
a +a +a +a +a +a +a +a ＝37与a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a ＝﹣1相减并计算即可求得a +a +a +a 的
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7
值．
【解答】解：令x＝0，则（1+0）7＝a ，
0
则a ＝1；
0
令x＝1，则a +a +a +a +a +a +a +a ＝37①，
0 1 2 3 4 5 6 7
那么a +a +a +a +a +a +a ＝37﹣1；
1 2 3 4 5 6 7
令x＝﹣1，则a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a ＝﹣1②，
0 1 2 3 4 5 6 7
①﹣②得：2（a +a +a +a ）＝37+1，
1 3 5 7
37+1
那么a +a +a +a = ；
1 3 5 7
2
37+1
故答案为：37﹣1； ．
27．（2023秋•天心区校级月考）对任意的x，都有（2x﹣1）5＝a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5．
0 1 2 3 4 5
（1）求a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a 的值；
0 1 2 3 4 5
（2）求a +a +a +a +a 的值；
1 2 3 4 5
（3）求a +a +a 的值．
0 2 4
【分析】（1）将x＝﹣1代入即可求出答案；
（2）将x＝0代入即可求出a 的值，将x＝1代入即可求出a +a +a +a +a +a 的值，从而得出答案；
0 0 1 2 3 4 5
（3）由（1）、（2）中的结论可得a +a +a 的值．
0 2 4
【解答】解：对任意的x，都有（2x﹣1）5＝a +a x+a x2+a x3+a x4 ，
0 1 2 3 4 +a x5
5
（1）令x＝﹣1，则a +a x+a x2+a x3+a x4 a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a ，
0 1 2 3 4 +a x5= 0 1 2 3 4 5
5
∴（2x﹣1）5＝[2×（﹣1）﹣1]5＝（﹣3）5＝﹣243，
即a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a ＝﹣243；
0 1 2 3 4 5
（2）令x＝1，则a +a x+a x2+a x3+a x4 a +a +a +a +a +a ，
0 1 2 3 4 +a x5= 0 1 2 3 4 5
5
∴（2x﹣1）5＝（2×1﹣1）5＝1，
即a +a +a +a +a +a ＝1，
0 1 2 3 4 5
令x＝0，则 ，
a =(2×0−1) 5=−1
0
∴a +a +a +a +a ＝1﹣a ＝1﹣（﹣1）＝2；
1 2 3 4 5 0
（3）由（1）得a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a ＝﹣243①，
0 1 2 3 4 5
由（2）得a +a +a +a +a +a ＝1②，
0 1 2 3 4 5
①+②得2a +2a +2a ＝﹣242，
0 2 4
∴a +a +a ＝﹣121．
0 2 4
