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专题 4.8 圆的计算与证明必考八大类型
【人教版】
【类型1 构造垂径图，利用勾股定理求解】.........................................................................................................1
【类型2 垂径定理与共边双勾股】..........................................................................................................................3
【类型3 弧的中点与垂径定理】..............................................................................................................................5
【类型4 圆周角定理与垂径定理综合】..................................................................................................................7
【类型5 圆的切线与判定综合】..............................................................................................................................9
【类型6 三角形的内切圆和内心】........................................................................................................................12
【类型7 圆与等腰三角形】....................................................................................................................................14
【类型8 圆与四边形】............................................................................................................................................16
【类型1 构造垂径图，利用勾股定理求解】
1．（2024秋•上城区校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两
点，若AB＝16cm，CD＝6cm．
（1）求AC的长；
（2）若大圆半径为10cm，求小圆的半径．
2．（2024秋•沭阳县月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，
交AC于点E．
（1）若∠A＝35°，求^DE的度数；
（2）若BC＝6，AC＝8，求BD的长．3．（2023•长安区二模）如图， O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）OM⊥CD，OM＝6， O⊙的半径为10，求弦CD的长；
（2）过点A作AN⊥BD交⊙CD于点F，求证：CE＝EF．
4．（2023•庐阳区一模）如图， O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．
（1）求 O的半径长； ⊙
（2）连⊙接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．
5．（2024秋•阿荣旗期末）如图，AC是 O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于
点F，BD＝8，AE＝2．求BF的长度．⊙
6．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，AB是 O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长
线于点C． ⊙（1）求证：D是AC的中点；
（2）若AB＝6，AC=2❑√13，求 O的半径．
⊙
7．（2023秋•江汉区校级月考）如图， O的弦AB与CD相交于点E，已知AE＝BE，OE＝3CE，且AB
＝8． ⊙
（1）如图1，若CD过圆心O，求 O的半径；
（2）如图2，若∠DEB＝60°，请直⊙接写出点 O的半径．
⊙
【类型2 垂径定理与共边双勾股】
1．（2023秋•六安期中）如图，AB为 O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交 O于点
D，求CD的长． ⊙ ⊙
2．（2023秋•江岸区期中）如图，AB是 O的直径，AC是弦，BD＝CD，DE⊥AB于点E，连接DO．
（1）求证：AC∥DO； ⊙
（2）若CD=❑√6，DE=❑√5，求AE的长．3．（2023•武汉）如图，OA，OB，OC都是 O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC； ⊙
（2）若AB＝4，BC=❑√5，求 O的半径．
⊙
4．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，在 O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于
N，BN与CD相交于Q． ⊙
（1）求证：BQ＝BC；
（2）若BQ＝5，CM＝3，求 O的半径．
⊙
5．（2023•天门一模）如图，以 AB为直径的 O经过△ABC的顶点 C，AE，BE分别平分∠BAC和
∠ABC，AE的延长线交 O于点D，连接BD．⊙
（1）判断△BDE的形状⊙，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2❑√10，求BC的长．【类型3 弧的中点与垂径定理】
1．（2023秋•定海区期中）如图，AB是 O的弦，C点是优弧AB的中点，连CO，BC．
（1）求证CO⊥AB； ⊙
（2）若BC=4❑√5，AB＝8，求 O的半径长．
⊙
2．（2024•武汉模拟）如图，AB是 O的直径，点C是^BD的中点，连接BC，CD，DA，OC．
（1）证明：OC∥AD； ⊙
（2）若AB＝10，CD=2❑√5，求AD长．
3．（2022•和县一模）如图，AB为 O的直径，C是 O上的一点，连接AC，BC．D是^BC的中点，过D
作DE⊥AB于点E，交BC于点F⊙． ⊙
（1）求证：BC＝2DE；
（2）若AC＝6，AB＝10，求DF的长．4．（2023秋•武昌区期中）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，点C为弧AF的中点，连接AF
交CD于G，连接OG． ⊙
（1）求证：AF＝2CE；
（2）若AB＝10，AC=2❑√5，直接写出OG的长．
5．（2024•深圳模拟）如图，AB为 O的直径，AC为弦，点D为^AC的中点，过点D作DE⊥AB于点
F，交AC于点G． ⊙
（1）求证：GA＝GD；
（2）若AC＝12，AF＝3，求圆的半径长．
6．（2023秋•拱墅区校级期末）如图， O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是^BF的中
点，连结CF交OB于点G，连结BC．⊙
（1）求证：GE＝BE；
（2）若OG＝1，CD＝8，求BC的长．7．（2023 秋•拱墅区校级月考）如图，AB 是 O 的直径，点 C 为^BD的中点，CF 为 O 的弦，且
CF⊥AB，垂足为点E．连结BD交CF于点G，⊙连结CD，AD，BF． ⊙
（1）求证：CF＝BD；
（2）若AD＝10，EF＝15，求 O的半径及BE的长．
⊙
【类型4 圆周角定理与垂径定理综合】
1．（2024•马鞍山一模）如图，在 O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF
与CD相交于G． ⊙
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB=4❑√5，OG＝2，求 O的半径．
⊙
2．（2023秋•黄梅县期中）如图，AB是 O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长
线于点G，垂足为点F，连接AC． ⊙
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度．3．（2024•安庆一模）如图，四边形 ABCD 的四个顶点都在 O 上，DB 平分∠ADC，连接 OC，且
OC⊥BD． ⊙
（1）求证：AB＝CD；
（2）若CD＝5，BD＝8，求 O的半径．
⊙
4．（2024•安徽三模）如图，在 O中，AB是直径，AB⊥CD，点E在 O上，∠BDC＝∠CDE，AE与
BC的延长线交于点F． ⊙ ⊙
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AB＝10，BD＝4，求AE的长．
5．（2024•突泉县二模）已知：如图，AB为 O的直径，点E为OA上一点，过点E作CD⊥AB，交 O
于点C、D． ⊙ ⊙
（1）如图1，若AE＝2，OE＝3，求CD的长；
（2）如图2，点P为^BC上一点，连接DP交直径AB于点F，连接CF，若OC∥PB，求证：∠CFP＝
∠B．6．（2024•安徽一模）如图1，CD为 O的直径，弦AB⊥CD于点G，且B为弧CF的中点，CF交AB于
点H，若CG＝2，CF＝8． ⊙
（1）求BG的长；
（2）如图2，连接OH，BC，求证：OH⊥BC．
7．（2024•宁波模拟）如图，以 AB为直径的 O经过△ABC的顶点C，AE和BE分别平分∠BAC和
∠ABC，AE的延长线交 O于点D，连接BD⊙．
（1）求证：BD＝DE．⊙
（2）若AB＝10，AC＝6，求BE的长．
【类型5 圆的切线与判定综合】
1．（2024秋•邳州市校级月考）如图，AB为 O直径，点C为 O上一点，AC平分∠HAB，AH⊥CH，
垂足为H，垂足为H，AH 交 O 于点D．⊙ ⊙
（1）求证：直线HC是 O的⊙切线；
（2）若HC＝8，DH＝4⊙，求 O的直径．
⊙2．（2024秋•鼓楼区校级月考）如图，点A为 O外一点，AC交 O于B，C两点，OE⊥BC于点F，交
O于点E，D为 O上一点，连接DE交AC⊙于点G，且AG＝A⊙D．
⊙（1）求证：AD是⊙ O的切线；
（2）若∠A＝60°，⊙OE＝6，求DE的长．
3．（2024秋•天门校级月考）如图，线段AB经过 O的圆心O，交 O于A，C两点，BC＝5，AD为 O
的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接D⊙O并延长交 O于⊙点E，连接BE交 O于点M． ⊙
（1）求证：直线BD是 O的切线； ⊙ ⊙
（2）求 O的半径和线⊙段BM的长
⊙
4．（2024•青川县三模）如图 O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长 BC于D，连接 AD，使得
AD∥OC，AB交OC于E． ⊙
（1）求证：AD与 O相切；
（2）若AE＝2❑√5，⊙CE＝2．求 O的半径和AB的长度．
⊙5．（2024秋•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为 O的直径，AC与 O相交于点D，
过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交 O于点F． ⊙ ⊙
（1）求证：DE为 O的切线； ⊙
（2）若BE＝1，B⊙F＝2，求AD的长．
6．（2024•兴隆台区校级开学）如图，△ABC是 O的内接三角形，AB是 O的直径，AD平分∠BAC交
O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线⊙于点E． ⊙
⊙（1）求证：DE是 O切线；
（2）若DE＝3，C⊙E＝2，求 O的半径．
⊙
7．（2024•十堰三模）如图，AB为 O的直径，点C在 O上，∠ACB的平分线交 O于点D，过点D作
DE∥AB，交CB的延长线于点E．⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：ED是 O的切线；
（2）若AC＝9❑√2，⊙BC＝3❑√2，求CD的长．【类型6 三角形的内切圆和内心】
1．（2024•镇江一模）如图，等腰三角形ABC内接于 O，AB＝AC，点I是△ABC的内心，连接BI并延
长交 O于点D，点E在BD的延长线上，满足∠EA⊙D＝∠CAD．试证明：
（1）⊙OA所在的直线经过点I；
（2）点D是IE的中点．
2．（2024•潍坊一模）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆 O相交于点D、过D
作直线DG∥BC． ⊙
（1）求证：DG是 O的切线；
（2）求证：DE＝C⊙D；
（3）若DE＝2❑√5，BC＝8，求 O的半径．
⊙
3．（2024•富阳区一模）如图，AB是 O的直径，点C是直线AB上方的 O上一点．点M是△ABC的内
心．连结AM，BM，CM，延长CM⊙交 O于点D． ⊙
（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．⊙（2）求∠AMB的度数．
❑√2
（3）当点C在直线AB上方的 O上运动时，求证：DM= AB．
2
⊙
4．（2023秋•武昌区期末）如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆 O相交于点D．
（1）求证：DB＝DI； ⊙
（2）如果OI⊥AD，IM⊥AB于M．求证：BC＝2AM．
5．（2024•蜀山区一模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内
心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO．
（1）求证：DI＝DB；
（2）若BD＝2，IO⊥BI，求AI的长．
6．（2023秋•万年县期末）如图，AB是△ABC外接圆 O的直径，PA是 O的切线，BD∥OP，点D在
O上． ⊙ ⊙
⊙（1）求证：PD是 O的切线．
（2）若△ABC的边⊙AC＝6cm，BC＝8cm，I是△ABC的内心，求IO的长度．7．（2023秋•江夏区校级期中）如图，AB是 O的直径，点C是 O上一点，点I是△ABC（BC＜AC＜
AB）的内心，CI的延长线交 O于点D，连⊙AD． ⊙
（1）求证：DA＝DI； ⊙
（2）若CI=2❑√2，DI=5❑√2，求BC的长．
【类型7 圆与等腰三角形】
1．（2023秋•泗县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交AC，BC分别于点E，D两
点，连接ED，BE． ⊙
（1）求证：^DE=^BD．
（2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长．
2．（2024秋•江阴市校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作 O，分别交
BC，AC于点D，E，连接OD，DE． ⊙
（1）求证：BD＝DC；
（2）若∠BAC＝40°，求∠ODE的度数．3．（2024秋•青山区期中）如图，△ABC是 O的内接三角形，AB＝AC，点P是^AB的中点，连接PA、
PB、PC． ⊙
（1）如图1，若∠BPC＝60°，求∠ACP；
（2）如图2，若BC＝48，AB＝40，求AP的长．
4．（2024•安徽二模）如图，AB为 O的直径，CD为 O的一条弦，∠BCD的平分线交 O于点E，
AD，BE的延长线交于点F． ⊙ ⊙ ⊙
（1）若∠BAD＝70°，求∠ABE的度数．
（2）求证：AB＝AF．
5．（2024•合肥模拟）如图， O的两条弦AB⊥CD，垂足为E，点F在 O上，DB平分∠CDF，连接
AF，分别交BD于G，CD于⊙H． ⊙
（1）求证：DF＝DH；
（2）连接EG，若∠CDF＝45°， O的半径为2，求EG的长．
⊙6．（2023•武汉模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是中线，E为边AC的中点，过B，D，E三
点的 O交AC于另一点F，连接BF．
（1）⊙求证：BF＝BC；
（2）若BC＝4，AD＝4❑√3，求 O的直径．
⊙
7．（2023秋•江岸区期中）如图，在 O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交 O于点E，
过点E作 O的切线交BC于点H．⊙ ⊙
（1）求证⊙：EH＝FH；
（2）若点C为^AE的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．
【类型8 圆与四边形】
1．（2024•埇桥区校级二模）已知四边形ABCD是 O的内接四边形，BD是 O的直径，连接AC，
∠ACB＝45°． ⊙ ⊙
（1）如图1，AB=❑√2，求 O的半径；
（2）如图2，过点O作OE⊙⊥BC于点E，延长EO交AC于点F，连接DF，OC．已知OF＝2OE，求
证：四边形OCDF是平行四边形．2．（2024•花山区二模）如图，AB为 O的直径，在BA的延长线上取一点C，CD与 O相切于点D，
AE∥CD交 O于点E，且∠BAE＝3⊙0°，连接DE． ⊙
（1）求证：⊙四边形ACDE为平行四边形；
（2）已知F为^AB的中点，连接EF．若CD=2❑√3，求EF的长．
3．（2024•东湖区校级模拟）如图，以菱形ABCD的边AD为直径作 O交AB于点E，连接DB，F是BC
上的一点，且BF＝BE，连接DF． ⊙
（1）当∠A＝60°，AD＝2时，求DE的长．
（2）求证：DF是 O的切线．
⊙
4．（2024•兴宁市校级二模）如图，P为 O外一点，PA、PB为 O的切线，切点分别为A、B，直线PO
交 O于点D、E，交AB于点C． ⊙ ⊙
（⊙1）求证：∠ADE＝∠PAE．
（2）若∠ADE＝30°，连接BD，求证：四边形ADBP是菱形．5．（2024•镇平县模拟）如图， O的直径AB＝4，BC切 O于点B，连接AC交 O于点D，连接OD．
（1）取BC的中点E，连接O⊙E．当∠A的度数为 ⊙时，四边形ODCE为平⊙行四边形；
（2）若∠C＝30°，求CD的长．
6．（2023•鼓楼区二模）如图，四边形ABCD是 O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝
OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与 O相⊙切于点C．
（1）求证：矩形ABCD是正方形； ⊙
（2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是 ．
7．（2023•南昌模拟）点 A是矩形EFBG边EG上的点，以AB为直径的圆交EF于点D和点C，AE＝
ED，连接BD，BC，AC．
（1）求证：AC＝BC．
（2）已知AE=1，BD=3❑√2，求CD的长．
