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专题6.2 平方根（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）下列各数没有平方根的是（ ）
A． B．0 C． D．13
2．（2024上·江苏宿迁·八年级统考期末）4的算术平方根是（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．（2023下·天津西青·七年级期末）估计 的值在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
4．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知 ， ，那么
约等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022上·八年级单元测试）如果一个正方形木板的面积为 ，那么该木板的边长为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2021下·黑龙江鹤岗·七年级期末）当x等于（ ）时， 有最（ ）值．
A．2，小 B．2，大 C．±2，小 D．±2，大
8．（2023下·浙江宁波·八年级校考期中）如图，小明利用不等臂天平及若干砝码称小球质量
（杠杆原理：杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．当小球放于左盘时，右盘砝码重
m克；当小球放于右盘时，左盘砝码为n克，则小球的质量为（ ）A． 克 B． 克 C． 克 D． 克
9．（2023上·河北石家庄·八年级校联考期中）下面是高琪同学做的练习题，她做对了（ ）
道
填空题：
（1） 的相反数是 （2）算术平方根等于它本身的数有 0 和 1
（3） （4） 的倒数是
（5）近似数5.2万精确到了千位 （6）已知 ，则 2
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（2023上·浙江金华·七年级统考期末）依次连结 方格四条边的中点得到一个阴影正
方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（ ）
A．2 B． C． D．2.5
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末） 的平方根是 ．
12．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）若 ，则 ．
13．（2023上·山东威海·七年级校考阶段练习）若实数 满足 ,则
．
14．（2019上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知a，b分别是 的整数部分和小数部分，
则2a﹣b的值为 ．
15．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考开学考试）若 的倒数等于它本身，则关于x的方程 的解为 ．
16．（2022下·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）已知 、 、
…则第四个式子为 ．
17．（2023上·四川成都·八年级统考期末）如图是由五个边长为1的小正方形组成的十字形，
小明说只剪两刀就可以拼成一个没有缝隙的大正方形，则剪完后拼成的大正方形的边长是
．
18．（2023·山西太原·统考二模）在小明同学的笔记本中记录了求算术平方根近似值的一种
方法，如 ．用他记录的这种方法，求得 的近似值为
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）解方程．
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2024上·江苏泰州·八年级统考期末）已知一个正数 的两个平方根是 和
．
（1）求代数式 的值；
（2）求 的值．21．（10分）（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）如图，数轴上从左至右依次有C，
O，A，B四个点，分别对应的数字为x，0，1和 ，且 ．
（1）求 的长，并求x的值；
（2）求 的平方根．
22．（10分）（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，顺次连结 方格四条边的中点，得到
一个正方形 ．设每一个小方格的边长为1个单位．
（1）正方形 的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．
（2）如果把正方形 放到数轴上，使得边 与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，
数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数．23．（10分）（2020上·江西南昌·七年级阶段练习）在数学活动课上，范老师设计了一个游
戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，
剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以
得到一个奖品．
下面我们用四张卡片代表四名同学（如图）：
（1）列式，并计算：
① 经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？
②3经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？
（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是55，a是多少？
24．（12分）（2020下·七年级统考课时练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接
求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得，还可以通过一组数
的内在联系，运用规律求得.请同学们观察下表：
16 0.16 0.0016 1600 160000 …
4 0.4 0.04 40 400 …
（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表述出来）
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知 ，求下列各数的算术平方根：
①0.0206；②2060000.参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是平方根的含义，根据负数没有平方根作答即可.
【详解】解：由负数没有平方根可得没有平方根的是 ，
故选C.
2．B
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个非负实数a、b，若满足 ，那么a就叫做
b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解；4的算术平方根是2，
故选；B．
3．D
【分析】根据“ ”即可求解．
【详解】解：∵
∴
故选：D
【点拨】本题考查算术平方根的估值．找到与被开方数相邻的完全平方数是解题关键．
4．B
【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根．根据平方根、算术平方根的性质进行求解即可．
【详解】解：A、 ，本选项不符合题意；
B、 ，本选项符合题意；
C、 ，本选项不符合题意；
D、 没有意义，本选项不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】当被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余
的依此类推，利用这个规律即可解决问题．【详解】解： ，
，
故答案为：A．
【点拨】此题主要考查了算术平方根的性质，如果被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方
根也在扩大（或缩小），但只扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推．
6．A
【分析】设该木板边长为 ，根据题意可得 ，根据x为正数，得出x的值．
【详解】解：设该木板边长为 ，
根据题意可得 ，
∵ ，
∴ ，
∵x为正数，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了平方根的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程求解．
7．D
【分析】根据算术平方根的非负性得到 即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ，即 时， 有最大值，
故选D．
【点拨】本题主要考查了算术平方根的非负性，正确得到 是解题的关键．
8．B
【分析】根据“杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂”，列出等式求解即可．【详解】解：小球的质量为x克，由题意得，
由图1得 ，
∴ ，
由图2得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题考查了等式的性质、算术平方根的应用，根据“杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂”，
列出等式是解答本题的关键．
9．C
【分析】根据算术平方根定义，近似数定义，非负数的性质，代数式求值，算术平方根的非负性，绝对值
的意义，进行解答即可．
【详解】解：（1） 的相反数是 ，故（1）正确；
（2）算术平方根等于它本身的数有0和1，故（2）正确；
（3） ，故（3）错误；
（4） 的倒数是 ，故（4）错误；
（5）近似数5.2万精确到了千位，故（5）正确；
（6）∵ ，∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，故（6）错误；
综上分析可知，正确的有3个，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了算术平方根的定义，绝对值的意义，倒数的定义，近似数，非负数的性质，代数
式求值，解题的关键是熟练掌握相关的定义与性质．
10．B
【分析】首先求出阴影正方形的面积，即可得出边长．
【详解】解：阴影正方形的面积为 ，
∴阴影正方形的边长是 ，
故选B．
【点拨】本题考查了算术平方根的应用，关键是明确算术平方根的意义．
11．
【分析】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义，根据定义计算是解题关键．
一个正数有两个平方根，且他们互为相反数．
【详解】解： ，
的平方根为 ，
故答案为： ．
12．
【分析】整理后，根据平方根的定义可得 ，即可得出a的值．
【详解】解：整理得 ，
即 ，
故答案为： ．【点拨】此题考查平方根，解题关键在于掌握其定义．
13．
【分析】本题考查非负数性质,算术平方根,绝对值定义．根据非负数性质列出方程求出 的值,代入所求代
数式计算即可．
【详解】解:∵ ,
∴根据题意得: ,解得 ,
∴ ．
故答案为: ．
14． ．
【分析】先求出 介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用 减去它的整数部分求出它的
小数部分，再代入即可.
【详解】∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴a=3，b= ﹣3，
∴2a﹣b=2×3﹣（ ﹣3）=6﹣ +3= ．
故答案为 ．
【点拨】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此
题的关键.
15．2或
【分析】根据倒数等于本身的数为 ，以及非负性确定出 ，从而求出 ，再分别代入题目求解
即可．
【详解】解：∵ 的倒数等于它本身，且 ，∴ ，
解得： 或 ，
当 时，原方程为 ，解得： ；
当 时，原方程为 ，解得： ；
故答案为：2或 ．
【点拨】本题考查倒数的概念，完全平方式非负性的应用，以及利用平方根的概念解方程等，准确分析出
对应代数式的值，掌握平方根的概念求解参数的值以及适当分类讨论是解题关键．
16．
【分析】本题考查了算术平方根的规律探索问题，根据题意找到规律 即可完成．
【详解】根据前三个式子的规律可得第四个式子为： ．
故答案为： ．
17．
【分析】利用无缝拼接前后面积不变即可作答．
【详解】由题意知，五个边长为1的小正方形组成的十字形的面积为 ，
∵小明只剪两刀就可以将其拼成一个没有缝隙的大正方形，
∴拼成的大正方形的面积为5，
∴拼成的大正方形的边长为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了算术平方根的应用，理解图形无缝拼接前后面积不变，是解答本题的关键．
18．10.15
【分析】根据题中的方法进行计算即可．【详解】解：根据题意可得， ，
故答案为：10.15．
【点拨】本题考查求算术平方根近似值，理解题意，掌握求算术平方根近似值的方法是解题的关键．
19．(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）先移项，再利用平方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
∴ ， ；
（2）解： ，
，
，
∴ ， ．
【点拨】本题考查利用平方根的定义解方程．掌握平方根的定义是解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义，利用一个正数的两个平方根互为相反数列出
方程，是解答本题的关键．
（1）根据题意得到 ，进而得到 ，由此得到答案．
（2）根据题意，得到正数 的一个平方根 ，由此得到 ．【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得： ，
，
代数式 的值为 ．
（2）由（1）得：
，
，
．
21．(1)
(2)
【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，求一个数的平方根，
（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；
（2）根据 得到 求出 ，然后代入 求解即可．
解题的关键是求出x的值．
【详解】（1）根据题意可得， ；
（2）∵
∴ ，解得
∴
∴1的平方根为 ．
22．（1）2和3之间，见解析；（2） 或
【分析】（1）根据方格可得正方形ABCD的面积为8，然后由正方形面积计算公式可求解边长，然后利用
算术平方根可求解；
（2）由（1）及题意可分当点B在原点的左侧和右侧两种情况，然后问题可求解．
【详解】解：（1）由方格可得：正方形ABCD的面积为： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 介于2和3之间；
（2）由（1）得： ，由点A与原点重合，则有：
当点B在原点的左侧时，则点B表示的数为 ，
当点B在原点的右侧时，点B表示的数为 ；
综上所述：点B在数轴上所表示的数为 或 ．
【点拨】本题主要考查算术平方根及数轴，熟练掌握算术平方根及数轴是解题的关键．
23．（1）① ，② ；（2） 或
【分析】（1）①根据题意，可以列出相应的算式： ，从而可以求得相应的结果； ②
根据题意，可以列出相应的算式： ，从而可以求得相应的结果；
（2）根据题意，可以得到关于a的方程： ，从而利用平方根的含义可以求得a的值．
【详解】解：（1）①由题意得：
；
②由题意得：
；（2）由题意知，
或
或
【点拨】本题考查有理数加减运算，乘法运算，乘方运算及有理数的混合运算，同时考查了利用平方根的
含义解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式与方程，求出相应的结果．
24．（1）（说法不唯一，合理即可）被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向
左或向右移动n位;（2）① ；② .
【分析】（1）根据表格中被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律即可；
（2）①根据（1）总结的规律，计算即可；
②根据（1）总结的规律，计算即可；
【详解】解：（1）由表可知：被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向
右移动n位（说法不唯一，合理即可）;
（2）①根据（1）总结规律， ；
②根据（1）总结规律， ．
【点拨】此题考查的是探索规律题，掌握被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律是解
决此题的关键．
