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专题 4.9 圆中最值问题必考五大类型
【人教版】
【类型1 经过定点的弦】..........................................................................................................................................1
【类型2 定点定长型隐圆】......................................................................................................................................7
【类型3 遇90度圆周角构辅助圆】......................................................................................................................16
【类型4 遇定弦定角构外接圆】............................................................................................................................24
【类型5 利用圆的切线求最值】............................................................................................................................33
【类型1 经过定点的弦】
【问题提出】
M是半径为r的 O内一定点，OM=d（0b）.
结论：点Q在以b为半径的⊙O上，且当PQ与⊙O相切时，∠OPQ最大.
模型2
条件：O是直线l上的一定点，P是l上的一动点，OQ=m（定长），且∠OPQ=α（定角）.
结论：点Q在以m为半径的⊙O上，且当PQ与⊙O相切时，OP最大.
【必刷题型】
1．（2024•济南模拟）如图，在平面直角坐标系中， O的半径为1，点P在经过点A（﹣4，0），B
（0，4）的直线上，PQ与 O相切于点Q，则切线长⊙PQ的最小值为 ❑√7 ．
⊙【分析】连接OQ，OP，由切线的性质可知PQ=❑√OP2−OQ2=❑√OP2−1，要使PQ的值为最小，则
需满足OP为最小值即可，然后根据点到直线垂线段最短可知当 OP⊥AB时OP为最小值，进而问题可
求解．
【解答】解：连接OQ，OP，如图所示：
∵PQ与 O相切于点Q，
∴OQ⊥P⊙Q，
∵OQ＝1，
∴PQ=❑√OP2−OQ2=❑√OP2−1，
∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，且AB=4❑√2，
要使PQ的值为最小，则需满足OP为最小值即可，根据点到直线垂线段最短可知当OP⊥AB时OP为最
小值，
1
∴OP= AB=2❑√2，
2
∴PQ=❑√8−1=❑√7，
∴PQ的最小值为❑√7；
故答案为：❑√7．
2．（2023秋•江阳区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3． C的半径为1，点P是
⊙❑√119
AB边上的动点，过点P作 C的一条切线PD，点D为切点，则线段PD长的最小值为 ．
5
⊙
【分析】连接DC，PC，根据切线的性质和勾股定理推出PD=❑√PC2−DC2，由于DC为半径是定
值，则PC最小时，PD取最小值，由垂线段最短可知，当PC⊥AB时，PC最小，利用三角形面积求得
PC，即可求得线段PD长的最小值．
【解答】解：连接DC，PC，如图所示：
∵PD为 C的一条切线，
∴PD⊥D⊙C，
∴PD=❑√PC2−DC2，
∵DC为半径是定值，
∴当PC最小时，PD取得最小值，
由垂线段最短可知，当PC⊥AB时，PC最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
∴AB＝5，
1 1
∵ AC⋅BC= PC⋅AB，
2 2
12
∴5PC＝12，解得PC= ，
5√ 12 2 ❑√119
∴PD=❑( ) −12= ，
5 5
❑√119
故答案为： ．
5
3．（2024•陕西模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝8，以点B为圆心，半径为2作 B，点D是AC边上
的一个动点，过点D作DE与 O相切于点E，则线段DE的最小值为 2❑√11 ．⊙
⊙
【分析】连接BD，BE，作BF⊥AC于点F，由等边三角形的性质得AC＝AB＝8，所以AF＝CF＝4，则
BF=❑√AB2−AF2=4❑√3，再由切线的性质证明∠BED＝90°，则DE=❑√BD2−BE2=❑√BD2−4，所以
当BD的值最小时，DE的值最小，由BD≥4❑√3，求得BD的最小值为4❑√3，则DE最小 =❑√(4❑√3) 2−4=
2❑√11，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图，连接BD，BE，作BF⊥AC于点F，则∠AFB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝8，
∴AC＝AB＝8，
1 1
∴AF＝CF= AC= ×8＝4，
2 2
∴BF=❑√AB2−AF2=❑√82−42=4❑√3，
∵DE与 O相切于点E，BE＝2，
∴DE⊥B⊙E，
∴∠BED＝90°，
∴DE=❑√BD2−BE2=❑√BD2−22=❑√BD2−4，
∴当BD的值最小时，DE的值最小，
∵BD≥BF，
∴BD≥4❑√3，∴BD的最小值为4❑√3，
∴DE最小 =❑√(4❑√3) 2−4=2❑√11，
故答案为：2❑√11．
4．（2023•永寿县二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当
∠APM的度数最大时，CP的长为 4 ﹣ 2❑√2 ．
【分析】因为同弧所对的圆外角小于圆周角，因此过点A、M作 O与CD相切于点P'，当点P运动到
点P'处时，∠AP'M的度数最大，记AM的中点为N，可以证出四边⊙形OP'DN是矩形，在Rt△MON中，
利用勾股定理求出ON，从而得出DP'的长，进而求出CP的长．
【解答】解：过点A、M作 O与CD相切于点P'，记PM 与 O交于点Q，连接AP′，MP′，OM，
OP′，AQ， ⊙ ⊙
则∠AP'M＝∠AQM＞∠APM，∠OP′D＝90°，
∴当点P运动到点P'时，∠AP'M最大，
作ON⊥AD于点N，
1
则MN＝AN= AM，
2
∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，
∴四边形OP'DN是矩形，
∵AB＝4，M是AD的中点，
∴AM＝DM＝2，MN＝1，
∴OM＝OP'＝DN＝DM+MN＝3，
在Rt△MON中，
ON=❑√OM2−M N2=❑√32−12=2❑√2，
∴DP'＝ON＝2❑√2，
∴CP'＝DC﹣DP'＝4﹣2❑√2，
∴当∠APM的度数最大时，CP的长为4﹣2❑√2．
故答案为：4﹣2❑√2．
5．（2023秋•兴化市月考）在Rt△ABC中∠C＝90°，且AC＝BC＝6cm，点E是BC上一动点，连接AE，
过点E作AE的垂线，交边AB于点F，则BF的最大值为 (18❑√2−24)cm ．
【分析】取AF的中点O，连接OE，先确定出点E为以点O为圆心，AF为直径的圆与边BC的交点，
从而可得当 O 与 BC 相切时，OE 最小，BF 取最大值，再设 BE＝OE＝OA＝x cm，则
OB=(6❑√2−x⊙)cm，在Rt△BOE中，利用勾股定理可求出x的值，由此即可得．
【解答】解：如图，取AF的中点O，连接OE，由圆周角定理可知，点E为以点O为圆心，AF为直径的圆与边BC的交点，
1
∴OE= AF，
2
则当BF取最大值时，AF最小，即OE最小，
由圆的性质可知，当 O与BC相切时，OE最小，
则此时OE⊥BC， ⊙
∵在Rt△ABC中∠C＝90°，且AC＝BC＝6cm，
∴AB=❑√AC2+BC2=6❑√2cm，∠B＝45°，
∴Rt△BOE是等腰直角三角形，
∴OE＝BE，
设BE＝OE＝OA＝x cm，则OB=AB−OA=(6❑√2−x)cm，
在Rt△BOE中，OE2+BE2＝OB2，
即x2+x2=(6❑√2−x) 2 ，
解得x=−6❑√2+12或x=−6❑√2−12＜0（不符合题意，舍去），
∴AF=2OA=(−12❑√2+24)cm，
∴BF=AB−AF=(18❑√2−24)cm，
所以BF的最大值为(18❑√2−24)cm，
故答案为：．
