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专题 4.2 绝对值必考六大类型
【人教版2024】
【类型1 根据绝对值的意义求范围】......................................................................................................................1
【类型2 根据绝对值的意义去绝对值】..................................................................................................................3
【类型3 绝对值的非负性】......................................................................................................................................6
|a|
【类型4 多绝对值分类讨论（ 型）】................................................................................................................9
a
【类型5 多绝对值分类讨论（整数类问题）】...................................................................................................13
【类型6 多绝对值求最值类问题】........................................................................................................................16
【类型1 根据绝对值的意义求范围】
1．（2024春•开封期末）已知|2x﹣5|＝5﹣2x，则x的取值范围是（ ）
2 2 5 5
A．x＜ B．x≤ C．x＜ D．x≤
5 5 2 2
【分析】根据绝对值的性质进行解题即可．
【解答】解：∵|2x﹣5|＝5﹣2x，
∴2x﹣5≤0，
5
∴x≤ ．
2
故选：D．
2．（2023秋•通州区校级月考）m是有理数，若M＝m+|m|，则M的值不可能为（ ）
A．M＞0 B．M＝0 C．M＜0 D．M≥0
【分析】运用绝对值的性质进行讨论、求解．
【解答】解：当m≥0时，|m|＝m，
∴M＝m+|m|＝m+m＝2m；
当m＜0时，|m|＝﹣m，
∴M＝m+|m|＝﹣m+m＝0，
∴M≥0，
故选：C．3．（2023秋•甘南县期末）若x+|x|＝0，则x一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
【分析】先整理，然后根据绝对值等于它的相反数进行解答．
【解答】解：由x+|x|＝0得，
|x|＝﹣x，
∵负数或零的绝对值等于它的相反数，
∴x一定是负数或零，即非正数．
故选：D．
4．（2023秋•淮阳区期中）若|x﹣1|+x＝1，则x一定（ ）
A．大于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1
【分析】先把已知的等式变形为|x﹣1|＝1﹣x，然后根据负数或0的绝对值等于它的相反数，即可求出x
的取值范围．
【解答】解：∵|x﹣1|+x＝1，
∴|x﹣1|＝1﹣x，
∴x﹣1≤0，
∴x≤1，
即x不大于1，
故选：C．
5．（2023秋•顺庆区校级月考）使等式|6+x|＝|6|+|x|成立的有理数x是（ ）
A．任意一个整数 B．任意一个非负数
C．任意一个非正数 D．任意一个有理数
【分析】根据绝对值的性质判断出6与x同号或x为0，然后解答即可．
【解答】解：∵|6+x|＝|6|+|x|，
∴6与x同号或x为0，
∴x是任意一个非负数．
故选：B．
6．（2023秋•思明区校级期末）若|x﹣5|＝|x|+5，则x的取值范围是 ．
【分析】运用绝对值的知识进行讨论、求解．
【解答】解：∵当x＞0时，|x﹣5|＝x﹣5；
当x≤0时，|x﹣5|＝﹣x+5，
∴若|x﹣5|＝|x|+5，则|x|＝﹣x，
∴x≤0．
7．（2023秋•碑林区校级期末）当等式a+b＝﹣（|a|+|b|）成立时有理数a、b满足 a ≤ 0 ， b ≤ 0 条件．
【分析】根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加解答即可．
【解答】解：若a+b＝﹣（|a|+|b|），
则a≤0，b≤0，
故答案为：a≤0，b≤0．
【类型2 根据绝对值的意义去绝对值】
1．（2024春•海门区校级月考）已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（ ）
A．2m﹣3 B．﹣1 C．1 D．2m﹣1
【分析】由|m|＝﹣m，得到m≤0，判断出m﹣1 与m﹣2的正负，然后利用绝对值的性质化简，去括
号，合并，即可得到结果．
【解答】解：∵|m|＝﹣m，
∴m≤0，
∴m﹣1＜0，m﹣2＜0，
∴|m﹣1|﹣|m﹣2|＝﹣（m﹣1）+（m﹣2）＝1﹣m+m﹣2＝﹣1．
故选：B．
2．（2023•涪城区模拟）若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】根据|a+2|＝﹣a﹣2确定a的取值范围，进而确定a﹣1，2﹣a的符号，再根据绝对值的定义进
行计算即可．
【解答】解：∵|a+2|＝﹣a﹣2，
∴a+2≤0，
即a≤﹣2，
∴a﹣1＜0，2﹣a＞0，
∴|a﹣1|﹣|2﹣a|
＝﹣a+1﹣2+a
＝﹣1，
故选：D．
a+|a| a
3．（2023秋•路桥区期中）a＜0，则化简 + 的结果为（ ）
a−|a| |a|A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】首先根据a＜0得|a|＝﹣a，进而可得出答案．
【解答】解：∵a＜0，
∴|a|＝﹣a，
a+|a| a a+(−a) a
∴ + = + =−1．
a−|a| |a| a−(−a) −a
故选：B．
4．（2023秋•镇原县期末）若b＜0，ab＜0，则|b﹣a|﹣|a﹣b+1|的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据b＜0，ab＜0，可得：a＞0，据此判断出b﹣a、a﹣b+1的正负，再根据绝对值的含义和
求法，求出|b﹣a|﹣|a﹣b+1|的值即可．
【解答】解：∵b＜0，ab＜0，
∴a＞0，
∴b﹣a＜0，a﹣b+1＞0，
∴|b﹣a|﹣|a﹣b+1|
＝﹣（b﹣a）﹣（a﹣b+1）
＝﹣b+a﹣a+b﹣1
＝﹣1．
故选：B．
5．（2023秋•万州区期末）设a，b，c为非零实数，且|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0．化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣
b|+|a﹣c|的结果是（ ）
A．b﹣2c B．b C．b﹣2a D．﹣2a
【分析】根据题意，可得：a＜0，b＜0，c＞0，据此化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|即可．
【解答】解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|
＝﹣b﹣（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）+c﹣a
＝b，
故选：B．
6．（2023秋•宝安区期中）已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则代数式|b﹣a|﹣|c+b|+|a﹣c|化简后
的结果为（ ）A．2b﹣2c B．2b+2a C．2b D．﹣2a
【分析】由数轴得出a＜b＜0，c＞0，|c|＞|b|，进一步判断出b﹣a＞0，c+b＞0，a﹣c＜0，再根据绝对
值的定义化简即可．
【解答】解：由数轴得，a＜b＜0，c＞0，|c|＞|b|，
∴b﹣a＞0，c+b＞0，a﹣c＜0，
∴|b﹣a|﹣|c+b|+|a﹣c|
＝（b﹣a）﹣（c+b）+（c﹣a）
＝b﹣a﹣c﹣b+c﹣a
＝﹣2a，
故选：D．
7．（2023秋•和平区校级期末）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|＝
．
【分析】根据图形判断a、b、c的符号，以及绝对值中三个式子的符号，再去绝对值化简．
【解答】解：根据数轴可知，a＜b＜0＜c，且b+c＞0，
故a+b＜0，a﹣c＜0，b+c＞0，
|a+b|＝﹣a﹣b，|a﹣c|＝c﹣a，|b+c|＝b+c，
∴原式＝﹣（a+b）﹣（c﹣a）﹣2（b+c）
＝﹣a﹣b﹣c+a﹣2b﹣2c
＝﹣3b﹣3c．
故答案为：﹣3b﹣3c．
8．（2023秋•锦江区校级期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣c|﹣|a|﹣|b+c﹣2a|＝
．
【分析】根据数轴得到a＜0，c＞b＞0，进一步判断出b﹣c＜0，b+c﹣2a＞0，再根据绝对值的性质化
简即可．
【解答】解：由数轴得，a＜0，c＞b＞0，
∴b﹣c＜0，b+c﹣2a＞0，∴|b﹣c|﹣|a|﹣|b+c﹣2a|
＝（c﹣b）﹣（﹣a）﹣（b+c﹣2a）
＝c﹣b+a﹣b﹣c+2a
＝3a﹣2b，
故答案为：3a﹣2b．
【类型3 绝对值的非负性】
1．（2023秋•渑池县期末）如果|y+3|＝﹣|2x﹣4|，那么x﹣y＝（ ）
A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．1
【分析】根据任何数的绝对值都是非负数，可以得y+3＝0，2x﹣4＝0，即可求解．
【解答】解：∵|y+3|＝﹣|2x﹣4|，
∴|y+3|+|2x﹣4|＝0，
∴y+3＝0，2x﹣4＝0，
解得x＝2，y＝﹣3，
∴x﹣y＝2+3＝5．
故选：B．
2．（2023秋•嘉鱼县期末）已知y＝﹣2﹣|x﹣1|，则y有最____值____（ ）
A．大，﹣3 B．小，﹣3 C．大，﹣2 D．小，﹣2
【分析】根据绝对值的非负性即可解答．
【解答】解：∵|x﹣1|≥0，
∴y＝﹣2﹣|x﹣1|≤﹣2，
∴y＝﹣2﹣|x﹣1|有最大值﹣2．
故选：C．
3．（2023秋•南浔区期中）若|a﹣2|与|m+n+3|互为相反数，则a+m+n＝（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】根据绝对值的非负性以及互为相反数的定义求出a的值，m+n的值即可．
【解答】解：∵|a﹣2|与|m+n+3|互为相反数，
∴|a﹣2|+|m+n+3|＝0，而|a﹣2|≥0，|m+n+3|≥0，
∴a﹣2＝0，m+n+3＝0，
解得a＝2，m+n＝﹣3，
∴a+m+n＝2﹣3＝﹣1，
故选：D．4．（2023春•南召县期中）若|x+y﹣3|与（2x+3y﹣8）2的值互为相反数，则3x+4y的值为（ ）
A．11 B．3 C．10 D．﹣14
【分析】直接利用非负数的性质得出，|x+y﹣3|＝0，（2x+3y﹣8）2＝0，进而利用整体思想得出答案．
【解答】解：∵|x+y﹣3|与（2x+3y﹣8）2的值互为相反数，|x+y﹣3|≥0，（2x+3y﹣8）2≥0，∴|x+y﹣3|
＝0，（2x+3y﹣8）2＝0，
{ x+ y−3=0① )
∴ ，
2x+3 y−8=0②
①+②得：
3x+4y﹣11＝0，
故3x+4y＝11．
故选：A．
5．（2023秋•温州期末）如果|x+y﹣3|＝2x+2y，则（x+y）3等于（ ）
A．1 B．﹣27 C．1或﹣27 D．无法确定
【分析】先把|x+y﹣3|＝2x+2y，变形为|x+y﹣3|＝2（x+y），由绝对值的性质可知x+y≥0，再分情况思
考：当x+y﹣3＞0时，去掉绝对值号，求得x+y的值；当x+y﹣3＝0时去掉绝对值号，求得x+y的值；
当x+y﹣3＜0时，去掉绝对值号，求得x+y的值；即可求得符合条件的x+y的值，再代入即可．
【解答】解：∵|x+y﹣3|＝2x+2y
∴|x+y﹣3|＝2（x+y），
∵|x+y﹣3|≥0，
∴x+y≥0，
当x+y﹣3＞0时，
|x+y﹣3|＝2（x+y），
x+y﹣3＝2（x+y）
∴x+y＝﹣3，
∵x+y≥0，
∴x+y＝﹣3舍去；
当x+y﹣3＝0时，可得x+y＝3即原式为0＝6（舍去）
当x+y﹣3＜0时，原式＝3﹣（x+y）＝2（x+y）
∴x+y＝1，
∴（x+y）3＝1，
故选：A．6．（2023秋•浠水县期中）若（a+b）2+|b﹣1|＝b﹣1，且|a+3b﹣3|＝5，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
{a+b=0) {a=−b)
【分析】先化简得到 ，解得 ，即可求解．
b−1≥0 b≥1
【解答】解：∵（a+b）2+|b﹣1|＝b﹣1，
∴（a+b）2+|b﹣1|﹣（b﹣1）＝0，
∵|b﹣1|≥（b﹣1），
∴|b﹣1|﹣（b﹣1）≥0，（a+b）2≥0，
∴a+b＝0且|b﹣1|＝b﹣1，
{a+b=0)
∴ ，
b−1≥0
{a=−b)
解得 ，
b≥1
∵|a+3b﹣3|＝5，
∴a+3b﹣3＝5或a+3b﹣3＝﹣5，
∴a+3b＝8或a+3b＝﹣2，
把a＝﹣b代入上式得：b＝4或﹣1 （舍去），
∴a﹣b＝﹣4﹣4＝﹣8．
故选：A．
7．（2023•天元区校级三模）已知实数a、b、c满足2|a+3|+4﹣b＝0，（c﹣2）2+4b﹣16＝0，则a+b+c的
值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【分析】先对已知的式子进行变形，可得2|a+3|＝b﹣4，（c﹣2）2＝16﹣4b，接下来根据非负数性质求
出b的值，再求出a，c的值，然后将其代入式子求得答案．
【解答】解：∵2|a+3|+4﹣b＝0，（c﹣2）2+4b﹣16＝0，
∴2|a+3|＝b﹣4，（c﹣2）2＝16﹣4b，
根据绝对值以及偶次方的非负性，
得b﹣4≥0，16﹣4b≥0，
∴b≥4且b≤4，
∴b＝4，
∴2|a+3|＝0，（c﹣2）2＝0，
∴a＝﹣3，c＝2，∴a+b+c＝﹣3+4+2＝3，
故选：B．
|a|
【类型4 多绝对值分类讨论（ 型）】
a
|abc| |a| |b| |c|
1．（2023秋•莲池区期末）若三个非零有理数a，b，c满足 =−1，则 + + 的值为（
abc a b c
）
A．﹣1 B．﹣3 C．3或﹣3 D．1或﹣3
【分析】由于a，b，c的符号不能确定，所以应分三个数两个大于0、三个都小于0进行解答．
|abc|
【解答】解：∵ =−1，
abc
∴abc＜0，
当a，b，c中有两个大于0时，原式＝1+1﹣1＝1；
当a，b，c均小于0时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
故选：D．
|a| |b| |c|
2．（2023 秋•建邺区校级月考）已知|x﹣2|+3 的最小值是 a， + + =−1，那么
a b c
|ab| |bc| |ac| |abc|
+ + + 的值为（ ）
ab bc ac abc
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
|a| 3
【分析】根据题意，因为 |x﹣2|+3 的最小值是 a，求出 a＝3，得出 = =1，因为
a 3
|a| |b| |c| |b| |c| |b| |c|
+ + =−1，所以 + =−2，得出 = =−1，所以b＜0，c＜0，所以ab＜
a b c b c b c
|ab| |bc| |ac| |abc|
0，bc＞0，ac＜0，abc＞0，求出∴ + + + =−1+1﹣1+1＝0，据此解答．
ab bc ac abc
【解答】解：∵|x﹣2|≥0，
∴|x﹣2|的最小值是0，
∵|x﹣2|+3的最小值是a，
∴a＝3．
|a| 3
∴ = =1，
a 3|a| |b| |c|
∵ + + =−1，
a b c
|b| |c|
∴ + =−2，
b c
|b| |c|
∴ = =−1，
b c
∴b＜0，c＜0，
|ab| |bc| |ac| |abc|
∴ + + +
ab bc ac abc
＝﹣1+1+（﹣1）+1
＝0．
故选：C．
a b c d
3．（2023秋•顺庆区校级月考）若abcd＞4，则 + + + 的值为（ ）
|a| |b| |c| |d|
A．±4或±2或0 B．±3或0或±1 C．±2或0 D．0或±4
【分析】讨论负数的个数，然后根据绝对值的意义进行计算即可．
【解答】解：∵abcd＞4，则分以下三种情况讨论，
当a、b、c、d没有负数时，原式＝1+1+1+1＝4；
当a、b、c、d有两个负数时，原式＝﹣1﹣1+1+1＝0；
当a、b、c、d有四个负数时，原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4．
a b c d
综上所述， + + + 的值为0或±4．
|a| |b| |c| |d|
故选：D．
a b c ak
4．（2023秋•宁津县月考）已知有理数a，b，c满足 + + =−3，则 的值为（ ）
|a| |b| |c| |ak|
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【分析】根据已知条件得到a＜0，b＜0，c＜0，于是得到结论．
a b c
【解答】解：∵ + + =−3，
|a| |b| |c|
∴a＜0，b＜0，c＜0，
ak
∴ 的值为﹣1，
|ak|
故选：A．a |b| c |abc|
5．（2023秋•江岸区校级月考）已知a+b+c＜0，abc＜0，则 + − + 的值为（ ）
|a| b |c| abc
A．﹣2或﹣1或1 B．﹣1或﹣2或2 C．2或﹣2 D．﹣2或1
【分析】根据题干信息，对a、b、c三个数的符号进行分类讨论即可求解．
【解答】解：∵a+b+c＜0，abc＜0，
∴a、b、c三个数中可能是一个负数两正数或三个都是负数，
当a＜0、b＞0、c＞0时，
a |b| c |abc|
∴ + − + =−1+1﹣1﹣1＝﹣2；
|a| b |c| abc
当a＞0、b＜0、c＞0时，
a |b| c |abc|
∴ + − + = 1﹣1﹣1﹣1＝﹣2；
|a| b |c| abc
当a＞0、b＞0、c＜0时，
a |b| c |abc|
∴ + − + =1+1−(−1)+(−1)=2；
|a| b |c| abc
当a＜0、b＜0、c＜0时，
a |b| c |abc|
∴ + − + =(−1)+(−1)−(−1)+(−1)=−2；
|a| b |c| abc
|a| |b| |c| |abc|
综上， + + + =2或﹣2．
a b c abc
故选：C．
a b c ab ac bc
6．（2023秋•潼南区期中）已知abc＜0，a+b+c＞0，且x= + + + + + ，
|a| |b| |c| |ab| |ac| |bc|
则x的值为（ ）
A．0 B．0或1 C．0或﹣2或1 D．0或1或﹣6
【分析】由题意可得a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0，再运用绝对值知识
对各种情况进行求解．
【解答】解：∵abc＜0，a+b+c＞0，
∴a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0，
当a＜0，b＞0，c＞0时，
a b c ab ac bc
x= + + + + +
|a| |b| |c| |ab| |ac| |bc|
a b c ab ac bc
= + + + + +
−a b c −ab −ac bc＝﹣1+1+1﹣1﹣1+1
＝0，
同理可得，当a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0，
x＝0，
∴当abc＜0，a+b+c＞0时，x＝0，
故选：A．
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
7．（2023秋•渝中区期末）已知abc＜0，a+b+c＝0，若x= + − ，则x的最大
a b c
值与最小值的乘积为（ ）
A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24
【分析】根据abc＜0，a+b+c＝0判断出a、b、c只能是一负两正，然后分情况讨论：当a、b为正，c
为负时；当a、c为正，b为负时；当b、c为正，a为负时；分别计算x的值，即可得出答案．
【解答】解：∵abc＜0，
∴a、b、c中一负两正或三负，
∵a+b+c＝0，
∴a、b、c不可能三负，只能是一负两正，
∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
当a、b为正，c为负时，
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
x= + −
a b c
|−a| 2|−b| 3|−c|
= + −
a b c
a 2b −3c
= + −
a b c
＝1+2+3
＝6；
当a、c为正，b为负时，
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
x= + −
a b c
|−a| 2|−b| 3|−c|
= + −
a b ca −2b 3c
= + −
a b c
＝1﹣2﹣3
＝﹣4；
当b、c为正，a为负时，
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
x= + −
a b c
|−a| 2|−b| 3|−c|
= + −
a b c
−a 2b 3c
= + −
a b c
＝﹣1+2﹣3
＝﹣2；
则x的最大值与最小值的乘积为6×（﹣4）＝﹣24，
故选：A．
【类型5 多绝对值分类讨论（整数类问题）】
1．（2023秋•无锡期中）已知a，b，c均为整数，且|a﹣b|+|b﹣c|＝2，那么|a﹣b|+|a﹣c|的值是 ．
【分析】首先根据a，b，c均为整数得|a﹣b|，|b﹣c|均为非负整数，再根据|a﹣b|+|b﹣c|＝2即可得出①|
a﹣b|＝0，|b﹣c|＝2，②|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝0，③|a﹣b|＝1，|b﹣c|＝1，据此根据每一种情况求出|a﹣b|
+|a﹣c|的值即可．
【解答】解：∵a，b，c均为整数，
∴|a﹣b|，|b﹣c|均为非负整数，
又∵|a﹣b|+|b﹣c|＝2，
∴|a﹣b|＝0，|b﹣c|＝2，或|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝0，或|a﹣b|＝1，|b﹣c|＝1，
①当|a﹣b|＝0，|b﹣c|＝2时，a＝b，|a﹣c|＝|b﹣c|＝2，
∴|a﹣b|+|a﹣c|＝0+2＝2；
②当|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝0时，b＝c，|a﹣c|＝|a﹣b|＝2，
∴|a﹣b|+|a﹣c|＝2+2＝4；
③当|a﹣b|＝1，|b﹣c|＝1时，此时|a﹣c|＝0或2，
∴|a﹣b|+|a﹣c|＝1+0＝1或|a﹣b|+|a﹣c|＝1+2＝3．
综上所述，|a﹣b|+|a﹣c|的值是1或2或3或4．
故此题答案为：1或2或3或4．2．（2023秋•抚州期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．
【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离，
|a﹣3|表示a到3点的距离，
因为﹣5到3点的距离为8，
故﹣5到3之间的所有点均满足条件，
又由a为整数，
故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个，
故选：D．
3．（2023秋•南充期末）已知a、b、c都为整数，且满足|a﹣b|2023+|b﹣c|2024＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的
结果为（ ）
A．0 B．0或1 C．1 D．1或2
{|a−b|=0)
【分析】先判断出 a﹣b，b﹣c 都为整数，再根据|a﹣b|2023+|b﹣c|2024＝1，得出 或
|b−c|=1
{|a−b|=1)
，然后分情况化简绝对值即可．
|b−c|=0
【解答】解：∵a、b、c都为整数，
∴a﹣b，b﹣c都为整数，
∵|a﹣b|2023+|b﹣c|2024＝1，
{|a−b|=0) {|a−b|=1)
∴ 或 ，
|b−c|=1 |b−c|=0
∴a﹣b＝0，|b﹣c|＝1或|a﹣b|＝1，b﹣c＝0，
即a＝b，|b﹣c|＝1或|a﹣b|＝1，b＝c，
当a＝b，|b﹣c|＝1时，
|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|
＝0+1﹣|b﹣c|
＝0+1﹣1
＝0；
当|a﹣b|＝1，b＝c时，
|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|
＝1+0﹣|a﹣b|＝1+0﹣1
＝0；
综上，|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的值为0，
故选：A．
4．（2023秋•温州期末）方程|x﹣2y﹣3|+|x+y﹣1|＝2的整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据绝对值，方程组整数解的定义分类进行解答即可．
【解答】解：∵|x﹣2y﹣3|≥0，|x+y﹣1|≥0，而x﹣2y﹣3是整数，x+y﹣1是整数，且|x﹣2y﹣3|+|x+y﹣
1|＝2，
{|x−2y−3|=0) {|x−2y−3|=1) {|x−2y−3|=2)
∴ 或 或 ，
|x+ y−1=2 |x+ y−1|=1 |x+ y−1|=0
{|x−2y−3|=0)
（1）当 时，有
|x+ y−1=2
{x−2y−3=0) {x−2y−3=0)
① ，② ，
x+ y−1=2 x+ y−1=−2
{x=3)
其中方程组①有整数解 ，②没有整数解；
y=0
{|x−2y−3|=1)
（2）当 时，有
|x+ y−1|=1
{x−2y−3=1) {x−2y−3=1) {x−2y−3=−1) {x−2y−3=−1)
① ，② ，③ ，④ ，
x+ y−1=1 x+ y−1=−1 x+ y−1=1 x+ y−1=−1
{x=2)
其中，方程组①没有整数解，方程组②没有整数解，方程组③有整数解 ，方程组④没有整数
y=0
解；
{|x−2y−3|=2)
（3）当 时，有
|x+ y−1|=0
{x−2y−3=2) {x−2y−3=−2)
① ，② ，
x+ y−1=0 x+ y−1=0
{x=1)
其中，方程组①没有整数解，方程组②有整数解 ；
y=0
综上所述，原方程组的整数有3个，
故选：C．
5．（2023秋•南海区校级月考）适合|3a+7|+|3a﹣5|＝12的整数a的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个【分析】由题意可理解为3a到﹣7和5的距离的和，由此可得出3a的值，继而可得出答案．
【解答】解：|3a+7|表示3a到﹣7的距离，
|3a﹣5|表示3a到5的距离，
则|3a+7|+|3a﹣5|＝12表示由﹣7到5点的距离为12，
故﹣7到5中间所有点都满足，
则﹣7≤3a≤5，由此可得a为整数的值有：﹣2、﹣1、0、1，共4个值，
故选：A．
【类型6 多绝对值求最值类问题】
1．（2023秋•晋江市期中）已知有理数a＞0，b＞0，则|x﹣a|+|x+b|的最小值为（ ）
A．a﹣b B．a+b C．﹣b﹣a D．b﹣a
【分析】根据绝对值的几何意义得出|x﹣a|+|x+b|的最小值为a和﹣b之间的距离，然后列式化简即可．
【解答】解：由绝对值的几何意义可知，|x﹣a|+|x+b|表示x到a和﹣b的距离之和，
∴|x﹣a|+|x+b|的最小值为a和﹣b之间的距离，即|a﹣（﹣b）|＝|a+b|，
∵a＞0，b＞0，
∴|a﹣（﹣b）|＝|a+b|＝a+b，
故选：B．
2．（2023秋•和平区期中）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3
C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
【分析】分三种情况：当x≥1时；当﹣2＜x＜1时；当x≤﹣2时；进行讨论可求代数式|x﹣1|﹣|x+2|的
值，即可求出a与b的值．
【解答】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a＝3，b＝﹣3．
故选：C．
1 1 1
3．（2023•越秀区校级自主招生）求| x−1|+| x−2|+| x−3|的最小值（ ）
2 3 4
7
A．12 B．6 C． D．3
2
【分析】利用分类讨论的思想方法和绝对值的意义化简运算后，通过比较计算结果即可得出结论．1 1 1 13
【解答】解：当x＜2时，原式＝1− x+2− x+3− x＝6− x，
2 3 4 12
13 23
∵x＜2，∴6− x＞ ；
12 6
1 1 1 1
当2≤x≤6时，原式= x﹣1+2− x+3− x＝4− x，
2 3 4 12
7 1 23
∵2≤x≤6，∴ ≤4− x≤ ；
2 12 6
1 1 1 7
当6＜x≤12时，原式= x﹣1+ x﹣2+3− x= x，
2 3 4 12
7 7
∵6＜x≤12，∴ ＜ x≤7；
2 12
1 1 1 13
当x＞12时，原式= x﹣1+ x﹣2+ x﹣3= x﹣6，
2 3 4 12
13
∵x＞12，∴ x﹣6＞7．
12
7
综上，当x＝6时，原式有最小值为 ．
2
故选：C．
4．（2023秋•灞桥区校级期中）设y＝|x﹣b|+|x﹣20|+|x﹣b﹣20|，其中0＜b＜20，则y的最小值为
．
【分析】根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由于y＝|x﹣b|+|x﹣20|+|x﹣b﹣20|，其中0＜b＜20，
∴b＜20＜b+20，
∴当x＝20时，y＝|x﹣b|+|x﹣20|+|x﹣b﹣20|的值最小，
此时y＝20﹣b+b+20﹣20＝20，
故答案为：20．
5．（2023秋•雁塔区校级月考）已知式子|x+1|+|y+3|＝10﹣|x﹣2|﹣|y﹣4|，则2x+y的最大值是 ．
【分析】利用绝对值的意义求得x，y的取值范围，从而求得x，y的最大值，代入运算即可得出结论．
【解答】解：∵|x+1|+|y+3|＝10﹣|x﹣2|﹣|y﹣4|，
∴|x+1|+|y+3|+|x﹣2|+|y﹣4|＝10，
|x+1|+|x﹣2|表示的是数轴上到﹣1和2两点的距离的和，
∵当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|取得最小值为3，即|x+1|+|x﹣2|≥3，
同理：|y+3|+|y﹣4|表示的是数轴上到﹣3和4两点的距离的和，∵当﹣3≤y≤4时，|y+3|+|y﹣4|取得最小值为7，即|y+3|+|y﹣4|≥7，
∵|x+1|+|y+3|+|x﹣2|+|y﹣4|＝10，
∴﹣1≤x≤2且﹣3≤y≤4．
∴x的最大值为2，y的最大值为4，
∴2x+y的最大值是2×2+4＝8．
故答案为：8．
6．（2024春•杨浦区校级期末）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值＝ ．
【分析】对|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|整理变形可得，（|x﹣1|+|x﹣5|）+|x﹣3|+（|x﹣4|+|x﹣2|），
其几何意义为x表示的点到1与5，2与4，3三部分距离之和最小，借助数轴分析可得答案．
【解答】解：|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|＝（|x﹣1|+|x﹣5|）+|x﹣3|+（|x﹣4|+|x﹣2|），
其几何意义为x表示的点到1与5、2与4、3三部分距离之和最小，
借助数轴分析可得，当x＝3时，这三部分和最小，
则其最小值为6，
故答案为6．
7．（2023秋•洪山区校级月考）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，则x+2y+3z的最
大值是 ，最小值是 ．
【分析】|x+1|+|x﹣2|表示数轴上表示数x的点到表示﹣1和2的两个点的距离之和，|y﹣2|+|y+1|≥3，表
示数轴上表示数y的点到表示2和﹣1的两个点的距离之和，|z﹣3|+|z+1|≥4．表示数轴上表示数z的点
到表示3和﹣1的两个点的距离之和，再根据已知条件分析求解即可．
【解答】解：∵|x+1|+|x﹣2|表示数轴上表示数x的点到表示﹣1和2的两个点的距离之和，
∴|x+1|+|x﹣2|≥3，
同理|y﹣2|+|y+1|≥3，表示数轴上表示数y的点到表示2和﹣1的两个点的距离之和，
|z﹣3|+|z+1|≥4．表示数轴上表示数z的点到表示3和﹣1的两个点的距离之和，
∴（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）•（|z﹣3|+|z+1|）≥36．
∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）•（|z﹣3|+|z+1|）＝36，
∴|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣2|+|y+1|＝3，|z﹣3|+|z+1|＝4，
∴﹣1≤x≤2，﹣1≤y≤2，﹣1≤z≤3．
∴﹣6≤x+2y+3z≤15，
∴x+2y+3z的最大值是15，最小值是﹣6．
故答案为：15；﹣6．8．（2023秋•慈溪市月考）求|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|2023x﹣1|的最小值．
1 1
【分析】根据题意转化为表示x到1的距离，2倍x到 的距离，3倍x到 的距离，…，2023倍x到
2 3
1
的距离之和，求解即可．
2023
【解答】解：∵|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|2023x﹣1|
1 1 1 1
＝|x﹣1|+2|x− |+3|x− |+4|x− |+…+2023|x− |，
2 3 4 2023
1 1
∴|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|2023x﹣1|表示x到1的距离，2倍x到 的距离，3倍x到 的距离，…，
2 3
1
2023倍x到 的距离之和，
2023
(1+2023)×2023
∵1+2+3+…+2023= =2047276，
2
∴在第1023638和1023639个数之间取得最小值，
1 1
∵ ×1432×1431＝1024596， ×1431×1430＝1023165，
2 2
1 1
∴在 ≤x≤ 取得最小值，
1431 1430
1429 1428 1427 0 1 2 593
∴原式= + + +⋯+ + + +⋯+
1430 1430 1430 1430 1430 1430 1430
(1429+1)×1429 (593+1)×593
= +
2×1430 2×1430
598928
= ．
715
