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第 29 讲 平面向量的基本定理与坐标运算
【基础知识全通关】
1.平面向量的基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 有且只
1 2
有一对实数λ ，λ ，使a=λ e+λ e.其中，不共线的向量e ，e 叫作表示这一平面内所有向
1 2 1 1 2 2 1 2
量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
a=（x，y） b=（x，y）
1 1 2 2
a+b=(x+x，y+y) a-b=(x-x，y-y) λa=(λx ，λy)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
3．平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、
作为基底，对于平面上的一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实
数 ，使得 =x +y .这样，平面内的任一向量 都可由 唯一确定，我们
把有序数对 叫做向量 的（直角）坐标，记作 = ，x叫做 在x轴上的坐标，
y叫做 在y轴上的坐标．把 = 叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标
表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了
向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
【微点拨】
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即
且 ，其中 ．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若 ， ，则 ；若 ， ，则
， ，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3） 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向
量．
4．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
运 算 坐标语言
记 =(x1，y1)， =(x2，y2)
加法与减法
=(x1+x2，y1+y2)， =(x2-x1，y2-y1)
实数与向量的乘积
记 =(x，y)，则 =( x， y)
5．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直
角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐
标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该
点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有
关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相
对位置有关．
6．平面向量平行(共线)的坐标表示
设非零向量 ，则 ∥ ⇔(x1，y1)= (x2，y2)，即 ，或
x1y2-x2y1=0.
【微点拨】
x y
1
=
1,
x y
若 ，则 ∥ 不能表示成 2 2 因为分母有可能为0.7.三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
=(x2-x1，y2-y1)， =(x3-x1，y3-y1)，
若 则A，B，C三点共线.
【考点研习一点通】
考点一：平面向量的正交分解
例1．如下图，分别用基底 ， 表示向量 、 、 ，并求出它们的坐标．
【解析】
由图可知 ，∴ =（―2，3）．
同理可知 =3 +4 =（3，4）．
=4 ―4 =（4，―5）．
【总结】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，对此要从两个方面加深理解：一是相
等向量的坐标相同；二是当向量的起点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．
【变式1-1】已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在 轴上，C在第一
象限，D为AC的中点，分别求向量 的坐标。
【点拨】可根据题意，画出图形，写出 的坐标，然后再求题目中相应向量的坐
标。【解析】如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A（0，0），B（2，0），C（2cos60°，
2sin60°）,
.
【总结】向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，这是求向量坐标的最基本的方法。
【变式1-2】已知O是坐标原点，点 M在第二象限， ，∠xOM=120°，求
的坐标．
【解析】设M（x，y），则 ．
，即 ，所以 ．
【变式 1-3】已知 ，且 求 M、N 及
的坐标.
【点拨】根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐
标.
【解析】
设 ，则同理可求 ，因此
【总结】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者
中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想
求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.
【变式1-4】 已知点
A(−1,2),B(2,8)以及
求点C，D的坐标和
的坐标.
【解析】设点C、D的坐标分别为 ，
由题意得
因为 ，
所以有 和 ，解得 和
所以点C、D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而
考点二：平面向量的坐标运算
例2．已知向量 ，计算 。
【点拨】先用向量线性运算的运算律进行化简，然后再用向量线性运算的坐标公式计算。
【解析】= 。
【变式 2-1】已知 ，且 求 M、N 及
的坐标.
【点拨】根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐
标.
【解析】
设 ，则
同理可求 ，因此
【总结】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者
中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想
求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.
【变式2-2】已知 三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2）并且
，求证： 。
【点拨】由于 两点的坐标已给出，因此要证 ，可根据向量平行的条件，只需对相应的坐标进行运算。解题的关键是求出点 、 的坐标，从而求出 的坐标，再
作判断。
【解析】设点 ，依题意有：
，
，即 。
同理 ， 。
【变式2-3】平面内给定三个向量
(1)若 求实数k；
(2)设 满足 且 求 .
【点拨】(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值；(2)由两向量
平行及得出关于x，y的两个方程，解方程即可得出x，y的值，从而求出 .
【解析】
(1)(2)
又 且
【总结】
(1)与平行有关的问题，一般可以考虑运用向量平行的充要条件，用待定系数法求解；
(2)向量共线定理的坐标表示提供了代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行
问题的处理提供了简单易行的方法.
考点三：平面向量平行的坐标表示
例3．如图所示，在平行四边形ABCD中，A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、
D（1，2），M、N分别为DC、AB的中点，求 、 的坐标，并判断
、 是否共线．
【解析】 已知A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），又M、N分别为DC、
AB的中点，
∴由中点坐标公式可得M（2.5，2.5），N（1.5，0.5），
∴ ， ，
其坐标满足2.5×(―2.5)―2.5×(－2.5)=0，
∴ 、 共线．
【总结】求出两向量的坐标，验证xy－xy=0即可．
1 2 2 1
【变式3-1】如图，已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标．
【解析】设顶点D的坐标为（x，y）．
∵ ， ．
由 ，得（1，2）=（3―x，4―y）．
∴ ，∴ ．
∴顶点D的坐标为（2，2）．
【变式3-2】向量 ， ， ，当k为何值时，A、B、C三
点共线？
【解析】 ，
．
∵A、B、C三点共线，∴ ，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0．
整理，得k2―9k―22=0．解得k=―2或k=11．
1 2
∴当k=―2或11时，A、B、C三点共线．
【总结】以上方法是用了A、B、C三点共线即公共点的两个向量 ， 共线，本题还
可以利用A、B、C三点共线 或 ，即得k=―2
或11时，A、B、C三点共线．
【变式3-3】如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与
BD的交点P的坐标．【解析】设 ．
∵ ，
∵ ．
又 ，而 与 共线，
∴4(10 ―11)+8(4 +1)=0，
解之，得 ．设点P的坐标为（x ，y ），
P P
∴ ，
∴ ，即 ．
故点P的坐标为（6，4）．
【总结】利用向量的坐标运算求线段交点坐标的一般方法：
（1）设线段AC、BD交于点P（x，y），并以AC、BD为对角线作四边形ABCD；
（2）在四边形中寻找向量的相等或共线关系；
（3）利用向量的坐标表示这些关系，将问题转化为方程（组）问题；
（4）解这个方程（组），可得到问题的答案．
【考点易错】
1.如图所示，在 中，点 在线段 上，且 ，若 ，
则A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】 ，
所以 ，从而求得 ，
故选B．
2. 设 为 所在平面内一点， ，若 ，则
__________．
【答案】-3
【解析】∵ 为 所在平面内一点, ，
∴B，C，D三点共线.若 ∴ ，
化为： = + ，与 =− + ，比较可得： ，解得
.
即答案为-3.
3.已知向量 ，且 ，则m=
A．−8 B．−6C．6 D．8
【答案】D
【解析】∵ ，
又 ，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
4.已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 的夹角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知： ，解得： .
.
故选：D.
5.已知向量 ， 满足 ， 在 上投影为 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 在 上投影为 ，即 .
， ，
又 ， ，
，
.
本题选B．【巩固提升】
1．已知平面向量 ，则向量 （ ）
A． （-2，-1） B．（-2,1） C．（-1，0） D．（-1，2）
【答案】D
2．已知向量 =（1，2）， =（x，1）且 +2 与2 ― 平行，则x等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】 +2 =（1+2x，4），2 ― =（2―x，3），∴ .
3．若三点 共线，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
4 ． 已 知 分 别 是 方 向 与 轴 ， 轴 正 方 向 相 同 的 单 位 向 量 ， 设
（其中 ），则向量 位于（ ）。
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】 ，
5 ． 已 知 ， 且 ， 则 等 于
（ ）。
A． B． C．（1，2） D．
【答案】D【 解 析 】 ， 解 得 则
则 。
6．已知 ，且 ，则锐角 等于（ ）。
A．45° B．30° C．60° D．30°或60°
【答案】A
【解析】 由 ，得 ，解得 。又 为锐
角， 。
OC
7．已知向量 ＝(6,4)， ＝(0,2)， ＝ ＋λ ，若点C在函数y＝sin x的图像上，
则实数λ的值为 ( )
A. B. C．－ D．－
【答案】D
【解析】 ∴点C(6,4＋2λ)，∵点C在y＝
，
sin x上．
∴4＋2λ＝sin ×6＝1，∴λ＝－ .
8．如图，点P在∠AOB的对顶角区域MON内，且满足： ，则实数对
（x，y）可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】在题图中，作PF∥ON交OM于点F，PE∥OM交ON于点E，得平行四边形OEPF ， 则 ， 易 知 ， 与 反 向 ， 与 反 向 ， 所 以 在
中，应有x＜0，y＜0。
9． 已知点M（2，3），N（8，4），点P在线段MN上，且 ，则 =
。
【答案】
【解析】由 ， ，
又 ， 。
10．已知 a＞0，若平面内三点 A（1，－a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则
a=________。
【答案】
【解析】A、B、C三点共线 ， 共线， ， ，
∴a3+a=2(a2+a) a(a2+1)=2a(a+1)，
∴a2―2a―1=0，∴ （a＞0）。
11．已知向量 ，在基底 下，若 ，则实数
， = 。
【答案】
【解析】因为 ，则 ，所以
12．已知A（2,3），B（5,4），C（7,10）， ，若点P在第三象
限内，则 的取值范围为________。
【答案】【解析】设 ， ，
．由 得 ，因为P在第三象限，所以 ，解得
．
13．已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（―2，1），一组对边AB、CD的中点分
别为M（3，0）、N（―1，―2），求平行四边形的各个顶点的坐标。
【解析】设其余三个顶点的坐标分别为B（x，y），C（x，y），D（x，y），
1 1 2 2 3 3
因为M是AB的中点，所以 ， ，
解得x=8，y=―1，
1 1
设MN的中点O＇（x ，y ），则 ， ，而O＇既是AC
0 0
的中点，又是BD的中点，
所以 ， ，
即 ， ，
解得x=4，y=―3，
2 2
同理解得x=―6，y=―1，
3 3
所以B（8，―1），C（4，―3），D（―6，―1）。
14．已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及
求：(1)t为何值时，P在X轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
2
∴t=−
3
【解析】(1) ，若P在x轴上，则2+3t=0，
；1
∴t=−
3
若P在y轴上，只需1+3t=0， ；
{1+3t<0 2 1
∴− 0 3 3
若P在第二象限，则 .
(2)因为 若OABP为平行四边形，则
无解，所以四边形OABP不能成为平行四边形.
