文档内容
专题 4.3 三角形中角度计算七大几何模型
【人教版】
【模型1 8字模型】...................................................................................................................................................1
【模型2 飞镖模型】..................................................................................................................................................3
【模型3 A字模型】..................................................................................................................................................6
【模型4 老鹰抓小鸡模型】......................................................................................................................................7
【模型5 双内角平分线模型】..................................................................................................................................9
【模型6 双外角平分线模型】................................................................................................................................12
【模型7 内外角平分线模型】................................................................................................................................14
【模型1 8字模型】
【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D.
【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.
在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A＋∠B=∠C+∠D.
【练习】
1．如图，∠C＝∠D＝90°，∠A＝20°，则∠COA＝ ，∠B＝ ．
2．如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．3．如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为
．
4．如图所示，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（ ）
A．240° B．300° C．360° D．540°
6．如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度
数．7．我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接
AB，CD得到“8”字图形ABDC．
（1）如图1，试说明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关
系；
1
（3）如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ=
4
1
∠ABC，∠EDP= ∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关系．
4
【模型2 飞镖模型】
【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C.
【证明】如图,延长BD交AC于点E.∠BEC是△ABE的外角，
∵∠BEC=∠A+∠B.
又∵∠BDC是△CDE的外角，
∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
【练习】
1．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，则∠A的度数是（ ）
A．37° B．61° C．60° D．39°
2．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经
过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（ ）度．
A．90 B．60 C．50 D．40
3．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ）
A．90° B．180° C．360° D．无法确定
4．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D
＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝ °．5．如图，若∠EOC＝115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ °．
6．如图，已知BE、CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC＝50°，则∠BHC的度数
是 ．
7．【探究】如图①，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
【应用】（1）如图②，我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示，∠A＝28°，∠D＝12°，∠ABC
＝64°，∠BCD＝46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数；
（2）如图③，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．8．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系
并证明．
【模型3 A字模型】
【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A.
【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，
∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.
又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A.
【练习】
1．如图，△ABC中，∠A＝65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，∠BDE+∠CED的值为（ ）A．180° B．215° C．235° D．245°
2．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，∠1+∠2＝214°，则∠A的度数为（ ）
A．17° B．34° C．68° D．无法确定
3．如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．140° B．180° C．250° D．360°
4．在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ 61 ° ．
5．如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．
【模型4 老鹰抓小鸡模型】
【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.【证明】如图，连接AF.
∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，
∴∠FCE=∠CAF+∠CFA，
∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC，
即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE.
【练习】
1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（
）
A．40° B．60° C．80° D．140°
2．如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
3．如图，三角形纸片 ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点
C'处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）A．80° B．90° C．100° D．110°
4．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数
是 ．
5．一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部）
（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝ °．
（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中
得出的结论求∠BA′C的度数．
6．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，
∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠ ．
（1）若点P在线段AB上，α如图（1）所示，且∠ ＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则α∠ 、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所α示，直接写出∠ 、∠1、∠2之间关系为： ．
（不需说明理由）． α【模型5 双内角平分线模型】
1
【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+ ∠A.
2
【证明】
设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y.
由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.①
由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.②
由②得x＋y=180°-∠BDC.③
把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A，
1
即∠BDC =90°+ ∠A.
2
【练习】
1．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∠BAC＝80°，则∠BOC的度数是（
）A．130° B．120° C．100° D．90°
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点
O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
3．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为
．
4．已知在△ABC中，∠A＝100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝
∠BCD．
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED﹣∠AFD＝12°，求∠ACF的度
数．
5．已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O
（1）若∠A＝70°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A＝a，求∠BOC的度数；
1 1
（3）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC= ∠ABC，∠OCB=
3 3
∠ACB，∠A＝a，求∠BOC的度数．
6．已知△ABC中，∠A＝60°，在图（1）中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O ，则计算可得∠BO C＝
1 1
120°：
（1）在图（2）中，设∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于 O 、O ，得到∠BO C．则
1 2 2
∠BO C＝ ；
2
（2）在图（3）中请你猜想，当∠ABC、∠ACB同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O 、
1
O 2⋯O n﹣1 ，则∠BO n﹣1 C＝ （用含n的代数式表示）．
【模型6 双外角平分线模型】
1
【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A.
2【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y.
由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.①
易得2x＋2y=180°＋∠A.②
由①得x+y=180°-∠BDC.③
把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A，
即2∠BDC=180°-∠A，
1
即∠BDC=90°- ∠A.
2
【练习】
1．如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和
GC交于点H．设∠A＝ ，∠H＝ ，则 与 之间的数量关系为 ．
α β α β
2．在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平
分线相交于点Q，当∠Q＝65°，则∠BPC＝ °．
3．如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点P，∠MBC
与∠NCB的角平分线交于点G．若∠G＝67°，那么∠P＝ °．4．如图，△ABC中，∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，点D是△ABC 三个内角平分线交点，延长DB到点G，
4 3
∠FCB与∠CBG的平分线将于点E，若BE∥AC，则 n+ m= ．
5 5
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC外角∠EAC的
平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是（ ）
A．AD∥BC B．∠ACB＝2∠ADB
C．∠ADC＝90°﹣∠ABD D．BD平分∠ADC
6．如图，AD，BD分别是△ABC的外角∠BAF，∠ABG的角平分线；AE，BE分别是∠DAB，∠ABD的角
平分线；AM，BN分别是∠FAD，∠DBG的角平分线．当∠C＝（ ）时，AM∥BN．
A．45° B．50° C．60° D．120°
【模型7 内外角平分线模型】
1
【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D= ∠A.
2【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y.
由外角定理得2y=∠A+2x ，①
y=∠D+x.②
把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x ,
1
即∠D= ∠A.
2
【练习】
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝
25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．70°
2．如图，BE是△ABC中∠ABC的平分线，CE是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABC＝40°，∠ACD＝
100°，则∠A+∠E＝（ ）
A．40° B．90° C．100° D．140°
3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则
∠CAP的度数为（ ）A．40° B．50° C．55° D．60°
4．如图，在△ABC中，∠ACB＜∠A，BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平
1
分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD＝∠CBD；②∠ABE+∠A＝90°；③∠G= ∠A；④∠A﹣
2
∠ACB＝2∠EBD．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A ，∠A BC和∠A CD的平分线
1 1 1
交于点A
2
，⋯，∠A
2023
BC和∠A
2023
CD的平分线交于点A
2024
，则∠A
2024
的度数为（ ）
30 30
A．( )° B．( )°
22024 22023
60 60
C．( )° D．( )°
22024 22023
6．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，
1
D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②∠D=90°− ∠A；③DH∥AB；④
2
1
∠H= ∠A；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（ ）
2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，
对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
（1）【问题再现】
如图（1），若∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分
线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D．则∠D＝ °；
（2）【问题推广】
①如图（2），若∠MON＝ （0°＜ ＜180°），（1）中的其余条件不变，则∠D＝ °（用含 的代
数式表示）； α α α
②如图（2），∠MON＝ （0°＜ ＜180°），点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），点E
α α
1
是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠D= ，则AE是
2
α
△OAB的角平分线吗？请说明理由；
（3）【拓展提升】
1 1
如图（3），若∠NBC= ∠ABN，∠DAO= ∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系（用含m的代数式
m m
表示），并说明理由．
