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第 29 讲 抛物线
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.抛物线的定义
(1)一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上
到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线
的焦点，定直线l称为抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
y2＝－2px x2＝－2py
y2＝2px (p>0) x2＝2py (p>0)
标准方程 (p>0) (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
性
准线方
质 x＝－ x＝ y＝－ y＝
程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方
向右 向左 向上 向下
向
二、考点和典型例题
1、抛物线的定义和标准方程
【典例1-1】过抛物线 焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若 ，则 的
值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，设 ， ，
因为 ，所以点 到准线 的距离为3，
所以 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以 的值为 ，
故选：C
【典例1-2】抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则点 到坐标原点的
距离为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】
由题意知，焦点坐标为 ，准线方程为 ，
由 到焦点距离等于到准线距离，得 ，则 ，
，可得 ，
故选：A.
【典例1-3】已知抛物线 上的一点 到其焦点的距离为2，则该抛物线
的焦点到其准线的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A
【详解】
由题可知，抛物线准线 ，可得 ，解得 ，
所以该抛物线的焦点到其准线的距离为 .
故选：A.
【典例1-4】焦点在直线 上的抛物线的标准方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【详解】
解：直线 与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），
当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为 ，
当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为 ，
故选：B
【典例1-5】已知直线 恒过定点 ，抛物线 ： 的焦点坐
标为 ， 为抛物线 上的动点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
方程 可化为 ，
所以直线 恒过定点 ，
因为抛物线 ： 的焦点坐标为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
过点 作 准线 ，垂足为 ，则 ，
过点 作 准线 ，垂足为 ，
所以 ，当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为3，
故选：C.2、抛物线的几何性质及应用
【典例2-1】对抛物线 ，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【详解】
由题知，该抛物线的标准方程为 ，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为 .
故选：A.
【典例2-2】已知过点 的直线与抛物线 相交于 ， 两点，点 ，若直
线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
因为过点 的直线与抛物线 相交于 ， 两点，
所以可设 ， ，直线 的方程为： ，
由 得 ，因此 ， ，且 ，
又直线 ， 的斜率分别为 ， ，点 ，
所以 ， ，
因此 ，
当 时， ；
当 时， ，
且 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
所以 ；
当 时， ，
且 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
所以 ，
综上 .
故选：C.
【典例2-3】抛物线 与圆 交于 、 两点，圆心 ，点
为劣弧 上不同于 、 的一个动点，平行于 轴的直线 交抛物线于点 ，则
的周长的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，
可得圆心 也是抛物线的焦点，
过 作准线的垂线，垂足为 ，根据抛物线的定义，可得
故 的周长 ，
由 可得 ， .
的取值范围为
的周长 的取值范围为
故选： .
【典例2-4】已知圆 与抛物线 相交于M，N，且 ，则
（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】
因为圆 与抛物线 相交于M，N，且 ，
由对称性，不妨设 ，
代入抛物线方程，则 ，解得 ，
所以 ，
故
故选：B
【典例2-5】已知抛物线 ，以 为圆心，半径为5的圆与抛物线
交于 两点，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【详解】
以 为圆心，半径为5的圆的方程为 ,
由抛物线 ，得到抛物线关于x轴对称，又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，
∴它们的交点A,B关于x轴对称，
因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，
∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值 ,
不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为 ,
又∵A在圆上，∴ ,解得 ,
故选：B.
3、抛物线的综合问题
【典例3-1】已知 为抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，点 .则
最大值的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意知： ， ；
， ，
；
令 ，则 ，
，
则当 ，即 时， 取最大值，此时 .
故选：C.
【典例3-2】如图，已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点 ，圆
，过圆心 的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23 B．26 C．36 D．62
【答案】B
【详解】
解法一：设抛物线的方程 ，则 ，得 ，
所以抛物线方程为 ，焦点 ，圆 ，圆心 ，半径
，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.
设直线l的方程为： ，设P、Q坐标分别为 和 ，
由 联立，得 ，∴ ，
，∴ ， ，
，当且
仅当 ，即 ， 时取等号.
解法二： ，又 ，
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
故选：B.
【典例3-3】已知直线l过点 ，且垂直于x轴．若l被抛物线 截得的线段长为
，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
当 时， ，显然 ，解得 ，故 ，解得 ，故抛物线 ，焦点坐标为
故选：A
【典例3-4】已知点 在抛物线 上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点 的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
O为坐标原点，求证： 为定值.
【解析】(1)
∵点 在抛物线C上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线C的方程为 .
(2)
证明：设直线 ， ， ，
联立 ，消去y可得， ，
由韦达定理有， ，
∴ ，即得证.
【典例3-5】已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点．
(1)过 作垂直于 轴的直线与抛物线 交于 两点， 的面积为 ．求抛物线 的
标准方程；
(2)抛物线上有 两点，若 为正三角形，求 的边长．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
由抛物线方程知： ， 为抛物线的通径，则 ，
，解得： ，
抛物线 的标准方程为： .
(2)
为正三角形， ，由抛物线对称性可知： 轴，设 ，则 ，解得： ， ，
， ，解得： ，
，即 的边长为 .
