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专题 4.12 分式相关计算必考五大类型（100 题）
【人教版】
【类型1 分式的乘除法计算·20题】.......................................................................................................................1
【类型2 分式的加减法计算·20题】.......................................................................................................................8
【类型3 分式的混合运算·20题】..........................................................................................................................18
【类型4 分式的化简求值·20题】..........................................................................................................................25
【类型5 解分式方程·20题】..................................................................................................................................35
【类型1 分式的乘除法计算·20题】
3b2 bc 2a
1．（2023秋•上饶期末）计算： ÷ ⋅(− )．
16a 2a2 b
【分析】先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
3b2 2a2 2a
【解答】解：原式= • •（− ）
16a bc b
3a2
=− ．
4c
x2 −y y 2
2．（2024春•惠安县校级月考）计算： ÷ ⋅( ) ．
y x x
【分析】先将除法转化为乘法，再约分即可得到答案．
x2 −y y 2
【解答】解： ÷ ⋅( )
y x x
x2 −x y2
= ⋅ ⋅
y y x2
＝﹣x．
x2−4 y2 x+2y 2
3．（2023秋•合江县校级期末）化简： ÷( ) ．
x2+2xy+ y2 x+ y
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式将式子变形，再将除法转化为乘法，最后约分即可得到答
案．x2−4 y2 x+2y 2
【解答】解： ÷( )
x2+2xy+ y2 x+ y
(x+2y)(x−2y) (x+2y) 2
= ÷
(x+ y) 2 (x+ y) 2
(x+2y)(x−2y) (x+ y) 2
= ⋅
(x+ y) 2 (x+2y) 2
x−2y
= ．
x+2y
x 1 x+ y
4．（2024春•文峰区期末）计算： ÷ • ．
x2−y2 2x−2y x
【分析】根据平方差公式、提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再根据分式的乘除法法则计算即
可．
x x+ y
=
【解答】解：原式 •2（x﹣y）•
(x+ y)(x−y) x
＝2．
x2−4 y2 x−2y
5．（2024春•甘孜州期末）计算： ÷ ．
x2+2xy+ y2 x+ y
【分析】先进行因式分解，再根据分式除法法则计算即可．
x2−4 y2 x−2y
【解答】解： ÷
x2+2xy+ y x+ y
(x+2y)(x−2y) x+ y
= ⋅
(x+ y) 2 x−2y
x+2y
= ．
x+ y
a2 a3
6．（2024•东海县二模）计算 ÷ ．
a−2 a2−4a+4
【分析】根据分式的乘除法法则进行解题即可．
a2 a2−4a+4
【解答】解：原式= •
a−2 a3a2 (a−2) 2
= •
a−2 a3
a−2
= ．
a
m m2−m
7．（2024春•榆树市校级月考）计算： ÷ ．
m2−1 m2−2m+1
【分析】根据分式除法运算法则，进行计算即可．
m m2−m
【解答】解： ÷
m2−1 m2−2m+1
m m(m−1)
= ÷
(m−1)(m+1) (m−1) 2
m (m−1) 2
= ⋅
(m−1)(m+1) m(m−1)
1
= ．
m+1
2x−6 3−x x−2
8．（2024春•铁西区期末）计算： ÷ ⋅ ．
x2−4x+4 4x2−16 x+3
【分析】根据分式的乘除法运算法则进行计算即可．
2(x−3) 4(x+2)(x−2) x−2
【解答】解：原式 = × •
(x−2) 2 3−x x+3
8(x+2)
=− ．
x+3
8(x+2)
故答案为：− ．
x+3
x2+2x+1 x+1
9．（2024•惠城区一模）计算： ÷ ．
x2−1 x3−x2
【分析】把原式中的除法转化为乘法，将分子分母经过分解因式、约分把结果化为最简即可．
(x+1) 2 x+1
【解答】解：原式= ÷
(x+1)(x−1) x2 (x−1)(x+1) 2 x2 (x−1)
= ⋅
(x+1)(x−1) x+1
＝x2．
−m 2m2 m2
10．（2023秋•自贡期末）计算：( ) 2÷( ) 2 ⋅ ．
n 5n 5n
【分析】先算乘方，再算乘除，即可得出结果．
−m 2m2 m2
【解答】解：( ) 2÷( ) 2 ⋅
n 5n 5n
m2 4m4 m2
= ÷ ⋅
n2 25n2 5n
m2 25n2 m2
= ⋅ ⋅
n2 4m4 5n
5
= ．
4n
11．（2024秋•任城区校级月考）计算：
6b2
（1）3ab2÷ ；
a
x−y 12x2y2
（2） ⋅ ．
6xy x2−y2
【分析】（1）按分式的除法法则运算即可；
（2）按分式的乘法法则运算即可．
a
【解答】解：（1）原式＝3ab2•
6b2
a2
= ；
2
x−y 12x2y2
（2）原式= •
6xy (x+ y)(x−y)
2xy
= ．
x+ y
12．（2023秋•福山区期末）计算：
2a 2b 2b
（1）(− ) 3×( ) 2÷(− ) 2 ；
b2 a a3a 9a 2b
（2）1÷( ÷ ⋅ )．
2b 4b 3a
【分析】（1）先进行乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
4b
（2）先把括号内的除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝1÷ ，然后进行除法运算．
9a
8a3 4b2 4b2
【解答】解：（1）原式=− • ÷
b6 a2 a2
8a3 4b2 a2
=− • •
b6 a2 4b2
8a3
=− ；
b6
3a 4b 2b
（2）原式＝1÷（ • • ）
2b 9a 3a
4b
＝1÷
9a
9a
= ．
4b
13．（2023秋•新泰市校级月考）计算：
2ab3 6a4 −3c
（1）( )
2÷
⋅( )
2
；
−c2d b3 b2
2x−6 3−x x−2 2
（2） ÷ ⋅( ) ．
x2−4x+4 4x2−16 x+2
【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可；
（2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可．
2ab3 6a4 −3c
【解答】解：（1）( )
2÷
⋅( )
2
−c2d b3 b2
4a2b6 b3 9c2
= ⋅ ⋅
c4d2 6a4 b46b5
= ；
a2c2d2
2x−6 3−x x−2 2
（2） ÷ ⋅( )
x2−4x+4 4x2−16 x+2
2(x−3) 4(x+2)(x−2) (x−2) 2
= ⋅ ⋅
(x−2) 2 −(x−3) (x+2) 2
8(x−2)
=− ．
x+2
8x−16
=− ．
x+2
14．（2024秋•石景山区校级月考）计算：
b 2 a b 3
（1）( ) ⋅(− )÷(− ) ；
2a b2 a
x2−1 x−2
（2） ÷(x−1)⋅ ．
x2−4x+4 x2+x
【分析】（1）根据分式的乘除混合运算运算即可；
（2）运用完全平方式、平方差公式、提取公因式因式分解，再约分化简即可．
b2 a b3
【解答】解：（1）原式= ⋅(− )÷(− )
4a2 b2 a3
b2 a a3
= ⋅ ⋅
4a2 b2 b3
a2
=
4b3
(x+1)(x−1) 1 x−2
（2）原式= ⋅ ⋅
(x−2) 2 x−1 x(x+1)
1
= ．
x(x−2)
15．（2024秋•西城区校级期中）计算：ab2 −4c a
（1） ⋅ ÷ ；
6c2 b2 c
a−3 a2+a a
（2）( ) 2 ⋅ ⋅ ．
a a−3 a+1
【分析】（1）利用分式的乘除法则计算即可；
（2）利用分式的乘法法则计算即可．
2a c
【解答】解：（1）原式=− •
3c a
2
=− ；
3
(a−3) 2 a(a+1) a
（2）原式= ⋅ ⋅
a2 a−3 a+1
＝a﹣3．
16．（2023秋•双牌县校级月考）计算．
2x2 5 y 10x2
（1） ⋅ ÷ ；
3 y2 6x 21y
a2−ab a2−b2
（2） ÷ ．
a2 ab
【分析】（1）利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）利用除法法则变形，约分即可得到结果．
2x2 5 y 10x2
【解答】解：（1） ⋅ ÷
3 y2 6x 21y
2x2 5 y 21y
= ⋅ ×
3 y2 6x 10x2
7
= ；
6x
a2−ab a2−b2
（2） ÷
a2 ab
a(a−b) ab
= ×
a2 (a−b)(a+b)b
= ．
a+b
17．（2023秋•禹城市月考）计算：
1 a
（1） ÷ ；
a−2 a2−4
4x2−4xy+ y2 1
（2） ÷(4x2−y2 )⋅ ．
2x−y 2x+ y
1 a
【分析】（1）本题需先对 ÷ 进行化简，然后合并即可．
a−2 a2−4
（2）先把分式进行化简，然后再算除法，最后解出结果即可．
1 a
【解答】解：（1） ÷
a−2 a2−4
1 (a+2)(a−2)
= ×
a−2 a
a+2
= ；
a
4x2−4xy+ y2 1
（2） ÷(4x2−y2 )⋅
2x−y 2x+ y
(2x−y) 2 1 1
= × •
2x−y (2x+ y)(2x−y) 2x+ y
1
=
．
(2x+ y) 2
18．（2023秋•东阿县校级月考）计算：
b 2 b 3b 3 4a 2
（1）( ) ÷(− )⋅( ) ⋅( ) ．
2a a 4a 3b
4x2−4xy+ y2 1
（2） ÷(4x2−y2 )⋅ ；
2x−y 2x+ y
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除；
（2）先根据完全平方公式以及平方差公式进行化简，然后计算即可．
b2 a 27b3 16a2 3b2
【解答】解：（1）原式= ⋅(− )⋅ ⋅ =− ；
4a2 b 64a3 9b2 16a2
(2x−y) 2 1 1 1
（2）原式= ⋅ ⋅ = ．
2x−y (2x+ y)(2x−y) 2x+ y (2x+ y) 219．（2023秋•任城区校级月考）计算：
(x−y) 3 x2−2xy+ y2
（1） ÷ ；
x+ y 2x+2y
x2−1 x+1 1−x
（2） ÷ ⋅ ．
x2−2x+1 x−1 x+1
【分析】（1）（2）先把分式的分子分母因式分解，再把除法统一成乘法，利用分式的乘法法则得结
论．
(x−y) 3 x2−2xy+ y2
【解答】解：（1） ÷
x+ y 2x+2y
(x−y) 3 (x−y) 2
= ÷
x+ y 2(x+ y)
(x−y) 3 2(x+ y)
= •
x+ y (x−y) 2
＝2（x﹣y）
＝2x﹣2y；
x2−1 x+1 1−x
（2） ÷ ⋅
x2−2x+1 x−1 x+1
(x+1)(x−1) x−1 −(x−1)
=
• •
(x−1) 2 x+1 x+1
x−1
=− ．
x+1
20．（2024秋•丰城市校级月考）计算：
a+2 a2−4a+4 a2−4
（1） ⋅ ÷ ；
a2−2a+1 a+1 a2−1
x2−1 2x2−2
（2） ÷ ÷(x−1) 2 ．
x2+2x+1 4x2+8x+4
【分析】（1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
（2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；a+2 (a−2) 2 (a+1)(a−1)
【解答】解：（1）原式= × ×
(a−1) 2 a+1 (a+2)(a−2)
a−2
= ；
a−1
(x+1)(x−1) 4(x+1) 2 1
（2）原式= × ×
(x+1) 2 2(x+1)(x−1) (x−1) 2
(x+1)(x−1) 4(x+1) 2 1
= × ×
(x+1) 2 2(x+1)(x−1) (x−1) 2
2
=
．
(x−1) 2
【类型2 分式的加减法计算·20题】
x2−4 x
1．（2024•来凤县模拟）计算： − ．
x2+4x+4 x+2
【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可．
(x+2)(x−2) x
【解答】解：原式 = −
(x+2) 2 x+2
x−2−x
=
x+2
−2
=
x+2
2
=− ．
x+2
ab a2
2．（2024秋•闵行区校级期中）计算：( −a)+ ．
a−b a−b
【分析】根据去括号的法则直接求解即可．
ab a2
【解答】解：( −a)+
a−b a−b
ab a2
= −a+
a−b a−b
ab a2−ab a2
= − +
a−b a−b a−b2ab
= ．
a−b
1 1 x+2
3．（2024•龙湖区一模）化简：( + )+ ．
x−1 x+1 x2−1
【分析】先通分、去括号，再运用同分母分数加减的方法进行计算、化简．
1 1 x+2
【解答】解：( + )+
x−1 x+1 x2−1
x+1 x−1 x+2
= + +
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
3x+2
=
．
x2−1
a2 4
4．（2023秋•顺义区期末）计算： + ．
a−2 2−a
【分析】利用分式的加减法则计算即可．
a2 4
【解答】解：原式= −
a−2 a−2
a2−4
=
a−2
(a+2)(a−2)
=
a−2
＝a+2．
a2+1 2
5．（2024春•槐荫区期末）计算： − ．
a+1 a+1
【分析】根据同分母的分式的加减，进行计算，再约分即可得出答案
a2+1 2
【解答】解： −
a+1 a+1
a2+1−2
=
a+1
a2−1
=
a+1
(a+1)(a−1)
=
a+1
＝a﹣1．
4ab 4a2+b2
6．（2023•碑林区校级模拟）化简： + −2a+b．
2a+b 2a+b
【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减即可．4ab+4a2+b2
【解答】解：原式= −2a+b
2a+b
(2a+b) 2
= −2a+b
2a+b
＝2a+b﹣2a+b
＝2b．
7．（2024秋•任城区校级月考）计算：
2a 1
（1） + ；
a2−4 2−a
x+2y y 2x
（2） + − ．
y−x x−y y−x
【分析】（1）确定公分母（a+2）（a﹣2），先通分，然后按同分母加法法则运算即可；
（2）确定公分母为（x﹣y），将分母适当变形后按同分母加法法则运算即可．
2a −1
【解答】解：（1）原式= +
(a+2)(a−2) a−2
2a −(a+2)
= +
(a+2)(a−2) (a+2)(a−2)
2a−a−2
=
(a+2)(a−2)
a−2
=
(a+2)(a−2)
1
= ；
a+2
x+2y y 2x
（2）原式=− + +
x−y x−y x−y
−x−2y+ y+2x
=
x−y
x−y
=
x−y
＝1．
8．（2024秋•石景山区校级月考）计算：
1 4
（1） − ；
x−2 x2−4
3x x+ y
（2） + ．
2x−y y−2x【分析】（1）先将分母通分，变成同分母分式，再根据同分母的分式加减法运算即可；
（2）将式子变形后根据同分母的分式加减法运算即可．
x+2 4
【解答】解：（1）原式= −
(x−2)(x+2) (x−2)(x+2)
x+2−4
=
(x−2)(x+2)
x−2
=
(x−2)(x+2)
1
= ；
x+2
3x x+ y
（2）原式= −
2x−y 2x−y
3x−(x+ y)
=
2x−y
3x−x−y
=
2x−y
2x−y
=
2x−y
＝1．
9．（2024春•泗阳县期中）计算：
2a−3 a−2
（1） − ；
a+1 a+1
a 1
（2） − ．
a2−4 2a−4
【分析】（1）根据同分母相加减，分母不变，分子直接相加减即可；
（2）根据异分母相加减，先进行通分，再把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减即可．
2a−3 a−2 2a−3−a+2 a−1
【解答】解：（1） − = = ；
a+1 a+1 a+1 a+1
a 1 a 1 2a a+2 1
（2） − = − = − = ．
a2−4 2a−4 (a+2)(a−2) 2(a−2) 2(a+2)(a−2) 2(a+2)(a−2) 2(a+2)
10．（2024春•梁溪区期末）计算：
3 a−15
（1） + ；
a 5a
2 8
（2） − ．
a−2 a2−4【分析】先逐一通分、再计算加减、化简．
3 a−15
【解答】解：（1）（1） +
a 5a
15 a−15
= +
5a 5a
a
=
5a
1
= ；
5
2 8
（2） −
a−2 a2−4
2a+4 8
= −
(a+2)(a−2) (a+2)(a−2)
2a−4
=
(a+2)(a−2)
2(a−2)
=
(a+2)(a−2)
2
= ．
a+2
11．（2024春•锡山区期中）计算：
2ab b
（1） − ；
a2−b2 a+b
2x2
（2） −x+ y；
x+ y
【分析】（1）先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解；
（2）先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解．
2ab b(a−b)
【解答】解：（1）原式= −
(a+b)(a−b) (a+b)(a−b)
2ab−ab+b2
=
(a+b)(a−b)
b(a+b)
=
(a+b)(a−b)
b
= ；
a−b
2x2−(x−y)(x+ y)
（2）原式=
x+ y2x2−x2+ y2
=
x+ y
x2+ y2
= ．
x+ y
12．（2024春•新吴区期中）计算：
x 1
（1） − ．
x−1 x−1
4x2 9
（2） + ．
2x−3 3−2x
2b2
（3）a−b+ ．
a+b
【分析】先运用分式基本性质进行通分后，再进行加减、化简．
x 1
【解答】解：（1） −
x−1 1−x
x 1
= +
x−1 x−1
x+1
= ；
x−1
4x2 9
（2） +
2x−3 3−2x
4x2 9
= −
2x−3 2x−3
4x2−9
=
2x−3
(2x+3)(2x−3)
=
2x−3
＝2x+3；
2b2
（3）a−b+
a+b
(a−b)(a+b) 2b2
= +
a+b a+b
a2−b2+2b2
=
a+b
a2+b2
= ．
a+b
13．（2024春•建邺区期中）化简：2a 1
（1） − ；
a2−9 a−3
a2
（2） −a−1．
a+1
【分析】（1）先通分，再加减；
（2）把分母﹣a﹣1看成分母为1的分式，先通分，再加减．
2a 1
【解答】解：（1） −
a2−9 a−3
2a 1
= −
(a+3)(a−3) a−3
2a−(a+3)
=
(a+3)(a−3)
a−3
=
(a+3)(a−3)
1
= ；
(a+3)
a2
（2） −a−1
a+1
a2
= −(a+1)
a+1
a2 (a+1) 2
= −
a+1 a+1
a2−(a+1) 2
=
a+1
2a+1
=− ．
a+1
14．（2024秋•张店区校级月考）化简下列式子：
x2
（1） −x−1；
x−1
2a 1
（2） + ．
a2−4 2−a
【分析】（1）先通分，再进行减法运算即可；
（2）先通分，再进行减法运算即可．
x2
【解答】解：（1） −x−1
x−1x2 x2−1
= −
x−1 x−1
1
= ；
x−1
2a 1
（2） +
a2−4 2−a
2a 1
= −
a2−4 a−2
2a a+2
= −
a2−4 a2−4
a−2
=
(a−2)(a+2)
1
= ．
a+2
15．（2024春•丰县期中）计算：
2a−b
（1）1+ ；
a+b
a2 2ab−b2
（2） − ．
(a−b) 2 (b−a) 2
【分析】（1）先通分，再根据分式的加法法则进行计算即可；
（2）先变形，再根据分式的减法法则进行计算即可．
2a−b
【解答】解：（1）1+
a+b
a+b 2a−b
= +
a+b a+b
a+b+2a−b
=
a+b
3a
= ；
a+b
a2 2ab−b2
（2） −
(a−b) 2 (b−a) 2
a2 2ab−b2
= −
(a−b) 2 (a−b) 2a2−(2ab−b2
)
=
(a−b) 2
a2−2ab+b2
=
(a−b) 2
(a−b) 2
=
(a−b) 2
＝1．
16．（2024春•梁溪区校级月考）计算．
2x2
（1） −x+ y；
x+ y
4 2 1
（2） + + ．
x2−4 x+2 2−x
【分析】（1）通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求解；
（2）通分并利用同分母分式的加减法法则计算，约分即可求解．
2x2
【解答】解：（1） −x+ y
x+ y
2x2
= −(x−y)
x+ y
2x2 x2−y2
= −
x+ y x+ y
x2+ y2
= ；
x+ y
4 2 1
（2） + +
x2−4 x+2 2−x
4 2(x−2) x+2
= + −
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
4+2x−4−x−2
=
(x+2)(x−2)
x−2
=
(x+2)(x−2)
1
= ．
x+2
17．（2024春•新城区校级期末）计算：3m−n m+n
（1） − ；
(m−n) 2 (n−m) 2
m n 2mn
（2） − + ．
m−n m+n m2−n2
【分析】（1）先通分，合并后约分，即可得解；
（2）先把分母通分为m2﹣n2，再合并后约分即可得解．
3m−n m+n
【解答】解：（1）） −
(m−n) 2 (n−m) 2
3m−n m+n
= −
(m−n) 2 (m−n) 2
(3m−n)−(m+n)
=
(m−n) 2
2m−2n
=
(m−n) 2
2
= ．
m−n
m n 2mn
（2） − +
m−n m+n m2−n2
m(m+n) n(m−n) 2mn
= − +
(m−n)(m+n) (m−n)(m+n) (m−n)(m+n)
m2+2mn+n2
=
(m−n)(m+n)
(m+n) 2
=
(m−n)(m+n)
m+n
= ．
m−n
18．（2023春•工业园区校级月考）计算：
2x−2 2x
（1） + ；
x2−1 x+1
6ab 9a2+b2
（2） + −3a+b．
3a+b a+b
2x−2
【分析】（1）先把 进行约分，然后根据同分母分式加法计算法则求解即可；
x2−1
（2）根据异分母分式加减法计算法则求解即可．2x−2 2x
【解答】解：（1） +
x2−1 x+1
2(x−1) 2x
= +
(x+1)(x−1) x+1
2 2x
= +
x+1 x+1
2+2x
=
x+1
2(x+1)
=
x+1
＝2；
6ab 9a2+b2
（2） + −3a+b
3a+b a+b
6a2b+6ab2+27a3+9a2b+3ab2+b3
= −3a+b
(3a+b)(a+b)
15a2b+9ab2+27a3+b3
= −3a+b
(3a+b)(a+b)
15a2b+9ab2+27a3+b3−(3a−b)(3a+b)(a+b)
=
(3a+b)(a+b)
15a2b+9ab2+27a3+b3−(9a2−b2 )(a+b)
=
(3a+b)(a+b)
15a2b+9ab2+27a3+b3−9a3+ab2−9a2b+b3
=
(3a+b)(a+b)
18a3+6a2b+10ab2+2b3
= ．
(3a+b)(a+b)
19．（2023秋•任城区期中）计算下列各题：
1 1
（1） + ；
x−1 1+x
a 3a+1 2a+3
（2） + + ．
a2−1 a2−1 1−a2
【分析】（1）先通分再进行计算即可；
（2）先将分母变成统一的a2﹣1，然后再进行计算即可．
x+1 x−1 2x
【解答】解：（1）原式= + = ；
(x−1)(x+1) (x−1)(x+1) x2−1a 3a+1 2a+3
（2）原式= + −
a2−1 a2−1 a2−1
a+3a+1−2a−3
=
a2−1
2a−2
=
a2−1
2(a−1)
=
(a−1)(a+1)
2
= ．
a+1
20．（2023春•天宁区校级期中）化简：
1 6
（1） + ；
x+3 x2−9
a2+a 1
（2） +( +1)．
a2+2a+1 a+1
【分析】（1）根据分式的加减法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算括号外面的即可．
x−3 6
【解答】解：（1）原式= +
(x+3)(x−3) (x+3)(x−3)
x−3+6
=
(x+3)(x−3)
x+3
=
(x+3)(x−3)
1
= ；
x−3
a(a+1) 1+a+1
（2）原式= +
(a+1) 2 a+1
a a+2
= +
a+1 a+1
2a+2
=
a+1
＝2．【类型3 分式的混合运算·20题】
x x2+2x+1 x+1
1．（2024秋•通州区期中）计算： − ÷ ．
x+2 x2+x x−2
【分析】先计算分式的除法，再算分式的减法，即可解答．
x x2+2x+1 x+1
【解答】解： − ÷
x+2 x2+x x−2
x (x+1) 2 x−2
= − •
x+2 x(x+1) x+1
x x−2
= −
x+2 x
x2−(x+2)(x−2)
=
x(x+2)
4
=
．
x2+2x
x 1 x−1
2．（2024秋•新城区期中）化简：( − )÷ ．
x2+2x+1 2x+2 4x+4
【分析】先计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再约分即可．
2x−(x+1) 4(x+1)
【解答】解：原式 = ×
2(x+1) 2 x−1
x−1 4(x+1)
= ⋅
2(x+1) 2 x−1
2
= ．
x+1
x+3 x 2x−3
3．（2024秋•东城区校级期中）计算：( − )÷ ．
x2−x x2−2x+1 x
【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．
x+3 x 2x−3
【解答】解：( − )÷
x2−x x2−2x+1 x
x+3 x x
＝[ − ]•
x(x−1) (x−1) 2 2x−3(x+3)(x−1)−x2
x
= •
x(x−1) 2 2x−3
x2+2x−3−x2 x
= •
x(x−1) 2 2x−3
2x−3 1
=
•
(x−1) 2 2x−3
1
=
．
(x−1) 2
3 a2+4a+4
4．（2024•西安校级一模）化简：(a+1− )÷ ．
a−1 a−1
【分析】先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
3 a2+4a+4
【解答】解：(a+1− )÷
a−1 a−1
(a+1)(a−1)−3 a−1
= •
a−1 (a+2) 2
a2−4
=
(a+2) 2
(a+2)(a−2)
=
(a+2) 2
a−2
= ．
a+2
1 x2−6x+9
5．（2024•永昌县校级模拟）化简：(1− )÷ ．
x−2 x2−2x
【分析】先算括号里面的，再算除法即可．
1 x2−6x+9
【解答】解：(1− )÷
x−2 x2−2x
x−2−1 x(x−2)
= •
x−2 (x−3) 2
x−3 x(x−2)
= •
x−2 (x−3) 2x
= ．
x−3
m−3 5
6．（2024•镇安县三模）化简： ÷(m+2− )．
3m2−6m m−2
【分析】先算括号里面的，再算除法即可．
m−3 m2−4−5
【解答】解：原式= ÷
3m(m−2) m−2
m−3 m−2
= •
3m(m−2) (m+3)(m−3)
1
=
3m(m+3)
1
=
．
3m2+9m
−1 x−1 x−1
7．（2023秋•宝山区校级月考）计算：1−x⋅ + ÷ ．
1−x x2+3x+2 x+2
【分析】先把除法变成乘法，然后约分，再通分计算异分母分式加法即可．
x x−1 x+2
【解答】解：原式=1+ + ⋅
1−x (x+1)(x+2) x−1
x 1
=1+ +
1−x x+1
1−x2+x(x+1)+(1−x)
=
(x+1)(1−x)
1−x2+x2+x+1−x
=
(x+1)(1−x)
2
=
(x+1)(1−x)
2
=
．
1−x2
a2−6a+9 5
8．（2024•雁塔区校级模拟）化简： ÷(a+2+ )．
a−2 2−a
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可．
(a−3) 2 5
【解答】解：原式= ÷（a+2− ）
a−2 a−2
(a−3) 2 (a+2)(a−2)−5
= ÷
a−2 a−2(a−3) 2 a−2
= •
a−2 a2−9
(a−3) 2 a−2
= •
a−2 (a+3)(a−3)
a−3
= ．
a+3
2x2−18 x2+6x 9
9．（2024•碑林区校级模拟）化简： ÷( − )．
2x−4 x−2 2−x
【分析】先算括号里面的，再算除法即可．
2x2−18 x2+6x 9
【解答】解： ÷( − )
2x−4 x−2 2−x
2(x+3)(x−3) x2+6x 9
= ÷（ + ）
2(x−2) x−2 x−2
(x+3)(x−3) (x+3) 2
= ÷
x−2 x−2
(x+3)(x−3) x−2
= •
x−2 (x+3) 2
x−3
= ．
x+3
1 n m2−mn
10．（2024•榆阳区校级二模）化简：( − )÷ ．
m−n m2−n2 m2−2mn+n2
【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，从而可得答案．
1 n m2−mn
【解答】解：( − )÷
m−n m2−n2 m2−2mn+n2
m+n n (m−n) 2
=[ − ]⋅
(m+n)(m−n) (m+n)(m−n) m(m−n)
m (m−n) 2
= ⋅
(m+n)(m−n) m(m−n)
1
= ；
m+n
2x−1 x2−4x+4
11．（2023秋•岱岳区期末）化简：（ −x+1）÷ ．
x+1 2+2x
【分析】先通分括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再化简即可．2x−1 x2−4x+4
【解答】解：（ −x+1）÷
x+1 2+2x
2x−1−(x−1)(x+1) 2(x+1)
= •
x+1 (x−2) 2
2x−1−x2+1 2(x+1)
= •
x+1 (x−2) 2
x(2−x) 2(x+1)
= •
x+1 (x−2) 2
2x
= ．
2−x
x2+xy+ y2 x2−xy 2x+2
12．（2024秋•黄浦区校级月考）计算： ⋅ + ．
(x−y) 2 (x+ y) 2−xy x−y
【分析】先将分子分母因式分解，再计算乘法，最后计算同分母加法即可．
x2+xy+ y2 x2−xy 2x+2
【解答】解： ⋅ +
(x−y) 2 (x+ y) 2−xy x−y
x2+xy+ y2 x(x−y) 2x+2
= ⋅ +
(x−y) 2 x2+2xy+ y2−xy x−y
x2+xy+ y2 x(x−y) 2x+2
= ⋅ +
(x−y) 2 x2+xy+ y2 x−y
x 2x+2
= +
x−y x−y
3x+2
= ．
x−y
13．（2024春•桐柏县校级月考）化简：
4a−1 a2−8a+16
（1）(a−1− )÷ ；
a+1 a+1
a2−6a+9 1
（2） ÷(1− )．
a2−2a a−2
【分析】（1）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的运算，同时把除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可；
（2）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的运算，然后把除法变成乘法，分子、分母能因式分解
的进行因式分解，然后约分即可．
a2−1−4a+1 a+1
【解答】解：（1）原式= ⋅
a+1 (a−4) 2
a(a−4) a+1
= ⋅
a+1 (a−4) 2
a
= ；
a−4
(a−3) 2 a−2−1
（2）原式= ÷
a(a−2) a−2
(a−3) 2 a−2
= ⋅
a(a−2) a−3
a−3
= ．
a
14．（2023春•老边区期末）化简：
a−2 a2−4
（1）1− ÷ ；
a a2+a
2a+2 a2−1
（2） ÷(a+1)+ ．
a−1 a2−2a+1
【分析】（1）先算除法，再算减法即可；
（2）先算除法，再算加法即可．
a−2 a2−4
【解答】解：（1）1− ÷
a a2+a
a−2 a(a+1)
＝1− •
a (a+2)(a−2)
a+1
＝1−
a+2
a+2−a−1
=
a+21
= ；
a+2
2a+2 a2−1
（2） ÷(a+1)+
a−1 a2−2a+1
2(a+1) 1 (a+1)(a−1)
= • +
a−1 a+1 (a−1) 2
2 a+1
= +
a−1 a−1
2+a+1
=
a−1
a+3
= ．
a−1
1 x2−4x+4
15．（2024春•南阳月考）（1）化简：(1− )÷ ；
x−1 x−1
2a2+2a 1
（2）化简： ÷(1+ )．
a2−1 a−1
【分析】（1）利用分式的混合运算法则计算即可；
（2）利用分式的混合运算法则计算即可．
x−1−1 (x−2) 2
【解答】解：（1）原式= ÷
x−1 x−1
x−2 x−1
= •
x−1 (x−2) 2
1
= ；
x−2
2a(a+1) a−1+1
（2）原式= ÷
(a+1)(a−1) a−1
2a a
= ÷
a−1 a−1
2a a−1
= •
a−1 a
＝2．
16．（2023秋•广饶县校级月考）计算：x2−4 x2+2x 1
（1） ÷ − ；
x2−4x+4 2x−4 x
4 a−4
（2）（a﹣2− ）÷ ．
a−2 a2−4
【分析】（1）把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约会，最后算减法即可；
（2）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
x2−4 x2+2x 1
【解答】解：（1） ÷ −
x2−4x+4 2x−4 x
(x−2)(x+2) 2(x−2) 1
= ⋅ −
(x−2) 2 x(x+2) x
2 1
= −
x x
1
= ；
x
4 a−4
（2）（a﹣2− ）÷
a−2 a2−4
a2−4a+4−4 (a−2)(a+2)
= ⋅
a−2 a−4
a(a−4) (a−2)(a+2)
= ⋅
a−2 a−4
＝a（a+2）
＝a2+2a．
17．（2024秋•定陶区校级期中）化简：
a2−1 a2−a
（1） ÷ ；
a2+2a+1 a+1
1 1 x+ y
（2） − ⋅( −x−y)．
2x x+ y 2x
【分析】（1）分子分母先因式分解，将除号变为乘号，再进行分式的约分化简即可；
（2）先运用分配律展开，再进行加减计算．
a2−1 a2−a (a+1)(a−1) a+1 1
【解答】解：（1） ÷ = ⋅ = ；
a2+2a+1 a+1 (a+1) 2 a(a−1) a1 1 x+ y 1 1 1
（2）原式= − ⋅ + ⋅(x+ y)= − +1=1．
2x x+ y 2x x+ y 2x 2x
18．（2024秋•定陶区校级期中）化简：
a2−b2 a2+b2
（1） ÷(2+ )；
a−b ab
x x 4x
（2）( − )÷ ．
x−2 x+2 x−2
【分析】（1）先化简计算括号，再将除法化为乘法，借助于平方差公式和完全平方公式计算；
（2）先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法计算即可．
(a+b)(a−b) a2+b2+2ab
【解答】解：（1）原式= ÷
a−b ab
(a+b)(a−b) ab
= ×
a−b (a+b) 2
ab
= ；
a+b
x(x+2)−x(x−2) x−2
（2）原式= ×
(x+2)(x−2) 4x
x2+2x−x2+2x x−2
= ×
(x+2)(x−2) 4x
4x x−2
= ×
(x+2)(x−2) 4x
1
= ．
x+2
19．（2024秋•顺义区校级月考）计算：
2a−1 a−1
（1）(a− )÷ ．
a a2
2 1 m2−4m+4
（2） − ÷ ．
m−2 m+2 m2−4
【分析】（1）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（2）先把除法运算化为乘法运算，约分即可；
a2−(2a−1) a2
【解答】解：（1）原式= •
a a−1
(a−1) 2 a2
= •
a a−1＝a（a﹣1）
＝a2﹣a；
2 1 (m+2)(m−2)
（2）原式= − •
m−2 m+2 (m−2) 2
2 1
= −
m−2 m−2
1
= ．
m−2
20．（2024春•郸城县校级月考）计算：
a2−b2 2a−2b
（1） ÷ ；
a2+2ab+b2 a+b
4a−5 1 2
（2）(a+1− )÷( − )．
a−1 a−1 a2−a
【分析】（1）将分式的分子和分母因式分解，除法化为乘法，再计算乘法可得结果；
（2）先计算小括号内的异分母分式减法，再将除法化为乘法计算即可．
(a+b)(a−b) a+b
【解答】解：（1）原式= ⋅
(a+b) 2 2(a−b)
a−b a+b
= ⋅
a+b 2(a−b)
1
= ；
2
a2−1−4a+5 a−2
（2）原式= ÷
a−1 a(a−1)
(a−2) 2 a(a−1)
= ⋅
a−1 a−2
＝a（a﹣2）
＝a2﹣2a．
【类型4 分式的化简求值·20题】
x+3 x 2x−3
1．（2024秋•建湖县期中）先化简，再求值：( − )÷ ，其中x满足x2﹣2x﹣4＝
x2−x x2−2x+1 x
0．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再将分子、分母分解因式并约分，化简后的形式为1
，然后再将x2﹣2x＝4代入求值即可．
x2−2x+1
x+3 x 2x−3
【解答】解：( − )÷
x2−x x2−2x+1 x
(x+3)(x−1) x2 x
＝[ − ]•
x(x−1) 2 (x−1) 2 2x−3
x2+2x−3−x2 x
= •
x(x−1) 2 2x−3
1
=
．
x2−2x+1
∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x＝4，
1 1
∴原式= = ．
4+1 5
2 a2−2a+1
2．（2024秋•淮安期中）先化简(1− )÷ ，再从﹣1，1，﹣2三个数字中选择一个你喜欢
a+1 a+1
的数代入上式求值．
【分析】把括号内式子进行通分，再将除法运算转化成乘法运算，然后进行因式分解、约分得到最简结
果，最后根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
a+1−2 a+1
【解答】解：原式 = ×
a+1 (a−1) 2
1
= ．
a−1
1 1
当a＝﹣2时，原式= =− ．
−2−1 3
4−2a a2−2a
3．（2024秋•五华区校级期中）先化简，再求值：( −a+2)÷ ，请从﹣2，﹣1，0，2中选
a+2 a+2
择一个数字a代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件得出a的值，代入计
算即可．
4−2a a2−4 a(a−2)
【解答】解：原式＝（ − ）÷
a+2 a+2 a+2−a2−2a+8 a(a−2)
= ÷
a+2 a+2
(a−2)(a+4) a+2
=− •
a+2 a(a−2)
a+4
=− ，
a
∵a（a﹣2）≠0且a+2≠0，
∴a≠0且a≠±2，
∴a＝﹣1，
−1+4
则原式=− = 3．
−1
x2+4x+4 x2−4 4
4．（2024•甘南州）先化简，再求值： ⋅ ÷( +1)，且x满足﹣2≤x≤2，取一
x2+2x x2−4x+4 x−2
个值即可．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的x的值代入计算即可．
(x+2) 2 (x+2)(x−2) x+2
【解答】解：原式= ⋅ ÷
x(x+2) (x−2) 2 x−2
x+2 x+2 x−2
= . ⋅
x x−2 x+2
x+2
= ，
x
∵﹣2≤x≤2，且x≠0，±2，
∴整数x＝1或﹣1，
1+2
∴当x＝1时，原式= =3（答案不唯一）．
1
x y x2+2xy+ y2
5．（2024秋•青秀区校级期中）先化简，再求值：( + )÷ ，其中x＝5，y＝3．
x−y x−y x+ y
【分析】先根据同分母分式加减运算法则计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式，然后
将x＝5，y＝3代入计算即可
x y x2+2xy+ y2
【解答】解：( + )÷
x−y x−y x+ y
x+ y (x+ y) 2
= ÷
x−y x+ yx+ y x+ y
= ⋅
x−y (x+ y) 2
1
= ，
x−y
1 1
当x＝5，y＝3时，原式= = ．
5−3 2
x+3 x 2x−3
6．（2024秋•兴化市校级月考）先化简，再求值：( − )÷ ，其中x满足x2﹣2x﹣1
x2−x x2−2x+1 x
＝0．
x+3 x 2x−3 1
【分析】先把( − )÷ 化简得 ，再利用整体代入法求值即可．
x2−x x2−2x+1 x x2−2x+1
x+3 x x
【解答】解：原式 =[ − ]⋅
x(x−1) (x−1) 2 2x−3
(x+3)(x−1) x2 x
=[ − ]⋅
x(x−1) 2 x(x−1) 2 2x−3
x2+2x−3−x2 x
= ⋅
x(x−1) 2 2x−3
1
=
，
x2−2x+1
∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
1
∴原式= ．
2
a2−2a+1 3
7．（2024•邵东市三模）先化简代数式 ÷(1− )，再从2，﹣2，1，﹣1四个数中选择一个
a2−4 a+2
你喜欢的数代入求值．
【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
(a−1) 2 a+2−3
【解答】解：原式= ÷
(a+2)(a−2) a+2
(a−1) 2 a+2
= •
(a+2)(a−2) a−1a−1
= ，
a−2
∵a+2≠0，a﹣2≠0，a﹣1≠0，
∴a只能取﹣1，
−1−1 2
当a＝﹣1时，原式= = ．
−1−2 3
x2−4 1
8．（2024秋•正定县期中）先化简 ÷(1+ )，再从不等式2x﹣3＜5的正整数解中选一个使原式
x2−9 x−3
有意义的数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，解不等式求出x的范围，根据分式有意义的条件
确定x的值，代入计算即可．
(x+2)(x−2) x−3 1
【解答】解：原式= ÷（ + ）
(x+3)(x−3) x−3 x−3
(x+2)(x−2) x−2
= ÷
(x+3)(x−3) x−3
(x+2)(x−2) x−3
= •
(x+3)(x−3) x−2
x+2
= ，
x+3
解不等式2x﹣3＜5，得x＜4，其中正整数有1、2、3，
由题意可知：x≠2、±3，
1+2 3
当x＝1时，原式= = ．
1+3 4
2a−a2 a−2
9．（2024秋•延庆区期中）先化简，再求值：(a−2+ )÷ ，其中a=❑√5−2．
a+2 a2+4a+4
【分析】先对括号内进行通分，然后将除法转化为乘法进行约分，即可得到化简后的结果，最后代入求
值．
(a−2)(a+2) 2a−a2 a−2
【解答】解：原式=[ + ]÷
a+2 a+2 (a+2) 2
a2−4+2a−a2 (a+2) 2
=( )⋅
a+2 a−22(a−2) (a+2) 2
= ⋅
a+2 a−2
＝2a+4．
当a=❑√5−2时，原式=2(❑√5−2)+4=2❑√5．
3 a2−4
10．（2024秋•桥西区校级月考）先化简，再求值：( −a+1)÷ ，再从﹣2，﹣1，0，1，2
a+1 a2+2a+1
中取一个数代入求值其中．
【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给
字母的值代入计算．
3−(a+1)(a−1) (a+1) 2
【解答】解：原式= ×
a+1 (a+2)(a−2)
(2−a)(2+a) (a+1) 2
= ×
a+1 (a+2)(a−2)
＝﹣a﹣1，
由题意：a+1≠0、a+2≠0、a﹣2≠0，
故a取1，当a＝1时，
原式＝﹣a﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2．
1 a2−2a+1
11．（2024秋•双流区校级月考）先化简，再求值：(1+ )÷ ，其中a是一元二次方程x2﹣
a−2 a2−4
5x+6＝0的实数根．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最
简结果，再解方程求得a的值，把合适的a的值代入计算即可求出值．
a−2 1 (a−1) 2
【解答】解：原式=( + )÷
a−2 a−2 (a+2)(a−2)
a−1 (a+2)(a−2)
= ⋅
a−2 (a−1) 2
a+2
= ，
a−1
解方程x2﹣5x+6＝0得x＝2或x＝3，∵a是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的实数根，
∴a＝2或a＝3，
当a＝2时，原式没有意义，
3+2 5
当a＝3时，原式= = ．
3−1 2
a2−4 2 a2+2a
12．（2024秋•新邵县期中）先化简分式，再代入求值：( − )÷ ，其中a为满足﹣
a2−4a+4 a−2 a−2
1＜a＜2的整数．
【分析】运用分式的加减乘除运算法则化简，再代入求值就可得解．
(a−2)(a+2) 2 a(a+2)
【解答】解：原式 =[ − ]÷
(a−2) 2 a−2 a−2
a+2 2 a−2
=( − )⋅
a−2 a−2 a(a+2)
a a−2
= ⋅
a−2 a(a+2)
1
= ，
a+2
∵a为满足﹣1＜a＜2的整数，
∴a的值可以为0，1，
∵a≠0，
∴a＝1，
当a＝1时，
1 1 1
原式= = = ．
a+2 1+2 3
y2 x−y
13．（2024秋•定陶区校级期中）（1）先化简，再求值：( −y)÷ −(x−2y)(x+ y)，其中x
x+ y x2−y2
＝﹣1，y＝2．
x+2 x−1 x−4
（2）先化简( − )÷ ，再从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值．
x2−2x x2−4x+4 x
【分析】（1）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后合并同类项，最后将 x、y的值代入化简后
的式子计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定 x的值，把x的值代入计算即可．
y2 x−y
【解答】解：（1）( −y)÷ −(x−2y)(x+ y)
x+ y x2−y2
y2−xy−y2 (x+ y)(x−y)
= ⋅ −x2−xy+2xy+2y2
x+ y x−y
＝﹣xy﹣x2﹣xy+2xy+2y2
＝﹣x2+2y2，
当x＝﹣1，y＝2时，原式＝﹣（﹣1）2+2×22＝7；
x+2 x−1 x−4
（2）( − )÷
x2−2x x2−4x+4 x
x2−4 x2−x x
=[ − ]⋅
x(x−2) 2 x(x−2) 2 x−4
x−4 x
= ⋅
x(x−2) 2 x−4
1
=
，
(x−2) 2
由题意得：x≠0，2，4，
1
当x＝3时，原式
= =1．
(3−2) 2
2 x 3 7 x2+4x+4
14．（2024秋•徐汇区校级期中）先化简(1+ )÷( + + )⋅ ，再从﹣1，﹣
x−1 x−1 x+1 x2−1 x+1
2，﹣3中选择合适的x值代入求值．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式
＝x+1，然后根据分式有意义的条件确定x的值，最后把x的值代入计算即可．
x−1+2 x(x+1)+3(x−1)+7 (x+2) 2
【解答】解：原式= ÷ •
x−1 (x+1)(x−1) x+1
x+1 (x+2) 2 (x+2) 2
= ÷ •
x−1 (x+1)(x−1) x+1
x+1 (x+1)(x−1) (x+2) 2
= • •
x−1 (x+2) 2 x+1
＝x+1，∵x﹣1≠0且x+1≠0且x+2≠0，
∴x可以取﹣3，
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+1＝﹣2．
x x2−4
15．（2024•罗湖区校级模拟）先化简，再求值：( −1)÷ ，并从﹣2，2，4中选一个合适
x−2 x2−4x+4
的数作为x的值代入求值．
【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从﹣2，2，4中选一个使得原分式有意义的值
代入化简后的式子计算即可．
x x2−4
【解答】解：( −1)÷
x−2 x2−4x+4
x−x+2 (x−2) 2
= •
x−2 (x+2)(x−2)
2 (x−2) 2
= •
x−2 (x+2)(x−2)
2
= ，
x+2
∵x＝2或﹣2时，原分式无意义，
∴x＝4，
2 1
当x＝4时，原式= = ．
4+2 3
x x2−1
16．（2024秋•永兴县校级月考）先化简，再求值：(1− )÷ ，然后从﹣1、0、1、2这几个
x2+x (x+1) 2
数中选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后化简，再从﹣1、0、1、2中选
取一个使分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．
x2+x x (x+1)(x−1)
【解答】解：原式=( − )÷
x2+x x2+x (x+1) 2
x2 (x+1) 2
= •
x(x+1) (x+1)(x−1)x
= ，
x−1
∵x≠±1，x≠0，
∴x＝2，
2
∴原式= =2．
2−1
a2−9 a a2+3a
17．（2024秋•桃城区校级月考）先化简，再求值：( − )÷( )，再从﹣3，﹣1，
a2−6a+9 a−3 a−3
0，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的a的
值代入化简后的式子计算即可．
a2−9 a a2+3a
【解答】解：( − )÷( )
a2−6a+9 a−3 a−3
(a+3)(a−3) a a−3
＝[ − ]•
(a−3) 2 a−3 a(a+3)
a+3 a a−3
＝（ − ）•
a−3 a−3 a(a+3)
3 a−3
= •
a−3 a(a+3)
3
=
a(a+3)
3
=
，
a2+3a
由题意得，a≠±3且a≠0，
∴a＝﹣1时，
3 3
原式
= =−
．
(−1) 2+3×(−1) 2
2 1 x2+6x+9
18．（2024秋•雁塔区校级月考）先化简，再求值：( − )÷ ，其中x从﹣3，﹣1，
x−1 x+1 x2−1
1，3中选择一个适当的数．
【分析】先计算括号内的，同时把除法转化为乘法，然后约分，最后选择合适的x代入求值即可．2 1 x2+6x+9
【解答】解：( − )÷
x−1 x+1 x2−1
2(x+1)−(x−1) (x+1)(x−1)
= ⋅
(x−1)(x+1) (x+3) 2
x+3 (x+1)(x−1)
= ⋅
(x−1)(x+1) (x+3) 2
1
= ，
x+3
∵x+1≠0，x﹣1≠0，x+3≠0，
∴x≠﹣1，x≠1，x≠﹣3，
∴取x＝3，
1 1
当x＝3时，原式= = ．
3+3 6
x2−x−2 x−3
19．（2023秋•科尔沁区期末）先化简：( −x+1)÷ ，再从﹣3，﹣1，1，3中选取一个使
x−1 x2−1
原式有意义的数代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
x2−x−2−(x−1) 2 (x+1)(x−1)
【解答】解：原式= •
x−1 x−3
x2−x−2−x2−1+2x (x+1)(x−1)
= •
x−1 x−3
x−3 (x+1)(x−1)
= •
x−1 x−3
＝x+1，
∵x﹣1≠0，x﹣3≠0，x+1≠0，
∴x≠1，3，﹣1．
∴当x＝﹣3时，原式＝﹣3+1＝﹣2．
20．（2024 秋•桃城区校级月考）嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分
2 a+1
(■+ )÷ ．
a2−2a+1 a−11
（1）嘉淇猜被墨水遮住的式子是 ，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的作为
a−1
a值代入求值；
2a
（2）若这道题的答案是 ，则被墨水遮住的式子是多少？
a2−1
1 2 a+1
【分析】（1）用 代替(■+ )÷ 中的■化简，根据a≠1，a≠﹣1，取限定的﹣1，
a−1 a2−2a+1 a−1
0，1中的0作为a值，代入化简结果计算即得；
2 a+1 2a
（2）根据乘除加减的互逆关系做等式变形，计算(■+ )÷ = 中的■．
a2−2a+1 a−1 a2−1
1 2 a+1
【解答】解：（1）( + )÷
a−1 a2−2a+1 a−1
a−1+2 a+1
= ÷
(a−1) 2 a−1
a+1 a−1
= ⋅
(a−1) 2 a+1
1
= ，
a−1
∵a﹣1≠0，a+1≠0，
∴a≠1，a≠﹣1，
∴从﹣1，0，1中选取0作为a值代入求值，
1
原式= =−1；
0−1
2 a+1 2a
（2）∵(■+ )÷ = ，
a2−2a+1 a−1 a2−1
∴■＝
2a a+1 2
■= ⋅ −
a2−1 a−1 a2−2a+1
2a(a+1) 2(a+1)
= −
(a−1) 2 (a+1) (a−1) 2 (a+1)
2(a+1)(a−1)
=
(a+1) 2 (a−1)
2
= ，
a+12
则被墨水遮住的式子是 ．
a+1
【类型5 解分式方程·20题】
1．（2024秋•淮安期中）解方程：
2 5
① = ；
x−3 x
1 1−x
② +3= ．
x−2 2−x
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解方程求得x的值后进行检验即可．
【解答】解：①原方程去分母得：2x＝5x﹣15，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x（x﹣3）≠0，
故原方程的解为x＝5；
②原方程去分母得：1+3x﹣6＝x﹣1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
则x＝2是分式方程的增根，
故原方程无解．
2．（2024秋•莱西市期中）解分式方程：
3 1
（1） = ；
x2+3x x2−9
8 x
（2） +1= ．
x2−4 x−2
【分析】（1）先把方程中各个分式的分母分解因式，然后方程两边同时乘 x（x+3）（x﹣3），把分式
方程化为整式方程，解方程求出x，再进行检验即可；
（2）先把方程中各个分式的分母分解因式，然后方程两边同时乘（x+2）（x﹣2），把分式方程化为整
式方程，解方程求出x，再进行检验即可．
3 1
【解答】解：（1） = ，
x2+3x x2−9
3 1
= ，
x(x+3) (x+3)(x−3)
3（x﹣3）＝x，
3x﹣9＝x，2x＝9，
x＝4.5，
检验：当x＝4.5时，x（x+3）（x﹣3）≠0，
∴x＝4.5是原分式方程的解；
8 x
（2） +1= ，
x2−4 x−2
8 x
+1= ，
(x+2)(x−2) x−2
8+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2），
8+x2﹣4＝x2+2x，
2x＝4，
x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴原分式方程无解．
3．（2024秋•东城区校级期中）解分式方程
1 4
（1） = ；
x x+3
x 3
（2） −1= ．
x−1 (x−1)(x+2)
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得未知数的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原方程两边同乘x（x+3），去分母得：x+3＝4x，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，
x（x+3）≠0，
故原方程的解为x＝1；
（2）原方程两边同乘（x﹣1）（x+2），去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
整理得：x+2＝3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，
则x＝1是分式方程的增根，
故原方程无解．
4．（2024秋•北碚区校级期中）解方程：2x 3
（1） + =2；
2x−1 1−2x
8 x
（2） +1= ．
x2−4 x−2
【分析】（1）利用解分式方程的一般步骤解答即可；
（2）利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：（1）去分母得：
2x﹣3＝2（2x﹣1），
去括号得：
2x﹣3＝4x﹣2，
移项，合并同类项得：
﹣2x＝1，
1
∴x=− ．
2
1
经检验：x=− 是原方程的解．
2
1
∴原方程的解为x=− ．
2
（2）去分母得：
8+x2﹣4＝x（x+2），
去括号得：
8+x2﹣4＝x2+2x，
移项，合并同类项得：
2x＝4，
∴x＝2．
经检验：x＝2是原方程的增根．
∴原方程无解．
5．（2024秋•潍坊期中）解分式方程：
x 3x
（1） = −1；
x+1 2x+2
1 2 4
（2） + = ．
x+1 x−1 x2−1
【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；（2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
x 3x
【解答】解：（1） = −1，
x+1 2x+2
2x＝3x﹣2（x+1），
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，2（x+1）≠0，
∴x＝﹣2是原方程的根；
1 2 4
（2） + = ，
x+1 x−1 x2−1
x﹣1+2（x+1）＝4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解．
6．（2024秋•荣昌区校级月考）解分式方程：
100 30
（1） = ；
x x+7
2 x+2
（2） + =−1．
x2−1 1−x
【分析】（1）方程两边同乘x（x+7）化为整式方程，解方程并检验即可；
（2）方程两边同乘（x+1）（x﹣1）化为整式方程，解方程并检验即可．
【解答】解：（1）两边同乘x（x+7）得：
100（x+7）＝30x，
100x+700＝30x，
100x﹣30x＝﹣700，
70x＝﹣700
x＝﹣10，
检验：当x＝﹣10时，x（x+7）≠0，
所以，原分式方程解为x＝﹣10；
（2）两边同乘（x+1）（x﹣1）得：
2﹣（x+2）（x+1）＝﹣x2+1，
1
解得：x=− ，
31
检验：当x=− 时，（x+1）（x﹣1）≠0，
3
1
所以，原分式方程解为x=− ．
3
7．（2024秋•任城区校级月考）解分式方程：
3 x+2
（1） + =0；
x−1 x(1−x)
2 1 1
（2） − = ．
x2−9 2x−6 2x+6
【分析】（1）先变形确定最简公分母，然后通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为
1、检验，从而解决此题．
（2）先变形确定最简公分母，然后通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1、检验，
从而解决此题．
3 x+2
【解答】解：（1）∵ + =0，
x−1 x(1−x)
3 x+2
∴ − =0．
x−1 x(x−1)
方程两边同乘x（x﹣1），得3x﹣（x+2）＝0．
去括号，得3x﹣x﹣2＝0．
移项，得3x﹣x＝2．
合并同类项，得2x＝2．
x的系数化为1，得x＝1．
当x＝1时，x（x﹣1）＝0．
∴x＝1是这个方程的增根．
∴这个分式方程无解．
2 1 1
（2）∵ − = ，
x2−9 2x−6 2x+6
2 1 1
∴ − = ．
(x+3)(x−3) 2(x−3) 2(x+3)
方程两边同乘2（x+3）（x﹣3），得4﹣（x+3）＝x﹣3．
去括号，得4﹣x﹣3＝x﹣3．
移项，得﹣x﹣x＝﹣3+3﹣4．
合并同类项，得﹣2x＝﹣4．x的系数化为1，得x＝2．
当x＝2时，2（x+3）（x﹣3）≠0．
∴这个分式方程的解为x＝2．
8．（2024秋•徐汇区校级期中）解方程：
x 4
（1） = +1；
x−2 x(x−2)
6 3 5
（2） = + ．
x2−25 x2+8x+15 x2−2x−15
【分析】（1）根据解分式方程步骤进行解答检验即可；
（2）根据等式的性质，方程两边都乘以（x+3）（x﹣5）（x+5），可得整式方程，根据解整式方程，
可得答案．
x 4
【解答】解：（1） = +1
x−2 x(x−2)
去分母得：x2＝4+x（x﹣2），
整理得：4﹣2x＝0，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是增根，
∴原分式方程无解．
6 3 5
（2）原方程整理得： = +
(x+5)(x−5) (x+5)(x+3) (x−5)(x+3)
方程两边都乘以（x+3）（x﹣5）（x+5）得：
6（x+3）＝3（x﹣5）+5（x+5）．
化简得：2x＝8．
解得x＝4，
经检验：x＝4是方程的解．
9．（2024秋•永兴县校级月考）解方程：
3 1−x
（1） +2= ；
4−x x−4
x 2
（2） + =1．
x−1 x2−1
【分析】（1）方程两边都乘（x﹣4），得出﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出x（x+1）+2＝x2﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣4）得：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）去分母得，x（x+1）+2＝x2﹣1，
解得：x＝﹣3，
经检验：当x＝﹣3是原方程的根，
∴原方程的解为x＝﹣3．
10．（2024秋•钢城区校级期中）解方程：
1−x 1
（1） = −2；
x−2 2−x
3 2 x+1
（2） − = ．
2x+1 2x−1 4x2−1
【分析】（1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案；
（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案．
1−x 1
【解答】解：（1） = −2，
x−2 2−x
去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
去括号得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
移项得：﹣x+2x＝﹣1+4﹣1，
合并同类项得：x＝2，
检验，当x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解；
3 2 x+1
（2） − = ，
2x+1 2x−1 4x2−1
去分母得：3（2x﹣1）﹣2（2x+1）＝x+1，
去括号得：6x﹣3﹣4x﹣2＝x+1，
移项得：6x﹣4x﹣x＝1+3+2，
合并同类项得：x＝6，
检验，当x＝6时，（2x+1）（2x﹣1）≠0，
∴原方程的解为x＝6．
11．（2024秋•新宁县月考）解分式方程：−1 3−x
（1） +3= ；
x−2 2−x
2 x+2
（2） + =−1．
x2−1 1−x
【分析】（1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可．
【解答】解：（1）去分母得，﹣1+3（x﹣2）＝﹣3+x，
解得，x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
所以原方程无解；
（2）去分母得，2﹣（x+2）（x+1）＝﹣x2+1，
1
解得，x=− ，
3
1
检验：当x=− 时，x2﹣1≠0，
3
1
所以x=− 是原方程的解．
3
12．（2024秋•桂阳县校级月考）解分式方程：
x 2
（1） + =3；
2x−1 1−2x
2x+9 4x−7
（2） = +2．
3x−9 x−3
【分析】（1）两边同乘以2x﹣1得到整式方程，解方程并检验即可；
（2）两边同乘以3（x﹣3）得到整式方程，解方程并检验即可．
x 2
【解答】解：（1）方程化为 − =3，
2x−1 2x−1
方程两边同乘以2x﹣1得，x﹣2＝3（2x﹣1），
1
解得，x= ，
5
1 2 3
当x= 时，2x−1= −1=− ≠0，
5 5 5
1
∴x= 是分式方程的解；
5
（2）两边同乘以3（x﹣3）得，2x+9＝3（4x﹣7）+6（x﹣3），解得x＝3，
当x＝3时，3（x﹣3）＝0，
∴x＝3是增根，分式方程无解．
13．（2023秋•九龙坡区校级期末）解方程：
x 2 2
（1） + =
x−1 3x−3 3
7 3 6
（2） + =
x2+x x2−x x2−1
【分析】（1）按照解分式方程的基本步骤求解即可．
（2）按照解分式方程的基本步骤求解即可．
x 2 2
【解答】解：（1） + = ，
x−1 3x−3 3
去分母，得3x+2＝2（x﹣1），
去括号，得3x+2＝2x﹣2，
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣2，
合并同类项，系数化为1，得x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的根，
故x＝﹣4是原方程的根．
7 3 6
（2） + = ，
x2+x x2−x x2−1
7 3 6
即 + = ，
x(x+1) x(x−1) (x−1)(x+1)
去分母，得7（x﹣1）+3（x+1）＝6x，
去括号，得7x﹣7+3x+3＝6x，
移项、合并同类项，得4x＝4，
系数化为1，得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的增根，
故原方程无解．
14．（2023秋•科尔沁区期末）解方程：
x x+1
（1） = ；
x−3 x−1
16 2+x
（2） +1= ．
x2−4 x−2【分析】（1）先去分母，再化成关于未知数的一元一次方程求解，验根即可得到答案；
（2）先将原方程整理，再去分母，再化成关于未知数的一元一次方程求解，验根即可得到答案．
x x+1
【解答】解：（1） = ，
x−3 x−1
方程两边乘（x﹣3）（x﹣1），得x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x﹣3）（x﹣1）≠0，
∴原分式方程的解为x＝﹣3；
16 2+x 16 2+x
（2）由 +1= 得： +1= ，
x2−4 x−2 (x−2)(x+2) x−2
方程两边乘（x+2）（x﹣2），得16+（x+2）（x﹣2）＝（2+x）（x+2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，即x＝2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
15．（2024秋•石景山区校级月考）解方程：
3 2
（1） = ；
x+2 3−x
x+1 4
（2） + =1．
x−1 x2−1
【分析】（1）方程两边都乘（x+2）（3﹣x）得出3（3﹣x）＝2（x+2），求出方程的解，再进行检验
即可；
（2）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进行检验
即可．
3 2
【解答】解：（1） = ，
x+2 3−x
方程两边都乘（x+2）（3﹣x），得3（3﹣x）＝2（x+2），
解得x＝1，
检验：当x＝1时，（x+2）（3﹣x）≠0，
所以分式方程的解是x＝1；
x+1 4
（2） + =1，
x−1 x2−1
x+1 4
+ =1，
x−1 (x+1)(x−1)方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解是x＝﹣3．
16．（2023秋•大理州期末）解方程：
x−3 3
（1） +1= ；
x−2 2−x
1 2 4
（2） − = ．
x−1 x+1 x2−1
【分析】（1）先找出最简公分母（x﹣2），去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可；
（2）先找出最简公分母（x+1）（x﹣1），去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可．
【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣2），
得x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得x＝1，
检验：当x＝1时x﹣2≠0，
∴原分式方程的解是x＝1；
（2）方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），
得x+1﹣2（x﹣1）＝4，
解得x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴原分式方程无解．
17．（2023秋•定陶区期末）解分式方程：
2 1
（1） = ；
x+3 x−1
4 x
（2） + =−1．
x2−2x 2−x
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）去分母，得2（x﹣1）＝x+3，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的根，
∴x＝5；（2）去分母，得4﹣x2＝﹣（x2﹣2x），
解得x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
18．（2024春•丰泽区校级月考）解分式方程：
x 2
（1） −1= ；
x−2 (x−1)(x−2)
3−x 1
（2） + =1．
x−4 4−x
【分析】（1）观察可得最简公分母是（x﹣1）（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转
化为整式方程求解；
（2）观察可得最简公分母是（x﹣4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求
解．
【解答】解：（1）方程的两边同乘（x﹣1）（x﹣2），得x（x﹣1）﹣（x﹣1）（x﹣2）＝2，
解得x＝2．
检验：把x＝2代入（x﹣1）（x﹣2）＝0．
x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
（2）方程的两边同乘（x﹣4），得3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得x＝3．
检验：把x＝3代入x﹣4＝﹣1≠0．
x＝3是原方程的解；
19．（2024春•和平区校级月考）解方程：
2 1+x
（1） + =1；
x−2 2−x
2 3 x+3
（2） − = ．
x−1 x+1 x2−1
【分析】（1）方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得
答案；
（2）方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案．
【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣2）得：2﹣（1+x）＝x﹣2，3
解得：x= ，
2
3
检验：当x= 时，x﹣2≠0，
2
3
故分式方程的解为x= ；
2
（2）方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得：2（x+1）﹣3（x﹣1）＝x+3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，分式方程无解．
20．（2024春•雁塔区校级期末）解方程：
1 1−x
（1） +3= ；
x−2 2−x
x 4
（2） −1= ．
x−1 (x−1)(x+2)
【分析】（1）去分母化为整式方程求解；
（2）去分母化为整式方程求解．
1 1−x
【解答】解：（1） +3= ，
x−2 2−x
方程两边都乘（x﹣2），
得1+3（x﹣2）＝x﹣1，
去括号得，1+3x﹣6＝x﹣1，
移项得，3x﹣x＝﹣1﹣1+6，
合并同类项得，2x＝4，
解这个方程，得x＝2，
经检验：x＝2是增根，
故原分式方程无解．
x 4
（2） −1= ，
x−1 (x−1)(x+2)
方程两边都乘（x﹣1）（x+2），
得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝4，
去括号得，x2+2x﹣x2﹣x+2＝4，
移项得，x2+2x﹣x2﹣x＝4﹣2，合并同类项得，x＝2，
经检验：x＝2是原分式方程的根，
故原分式方程的解为：x＝2．
