文档内容
专题 2.5 分式全章三大类型十八个必考点 70 题
【人教版】
【类型1 概念篇30题】............................................................................................................................................1
【考点1 分式的概念】..............................................................................................................................................1
【考点2 分式有意义条件】......................................................................................................................................2
【考点3 分式的值为零】..........................................................................................................................................2
【考点4 分式的基本性质】......................................................................................................................................2
【考点5 最简分式的概念】......................................................................................................................................3
【考点6 最简公分母的判断】..................................................................................................................................3
【考点7 科学记数法表示较小数】..........................................................................................................................4
【考点8 负整数指数幂】..........................................................................................................................................4
【考点9 分式方程的概念】......................................................................................................................................4
【考点10 分式方程的增根】....................................................................................................................................5
【类型2 计算篇20题】............................................................................................................................................5
【考点11 分式的混合运算】....................................................................................................................................5
【考点12 分式的化简求值】....................................................................................................................................6
【考点13 分式运算步骤的判断】............................................................................................................................6
【考点14 解分式方程】............................................................................................................................................6
【类型3 压轴篇20题】............................................................................................................................................9
【考点15 与分式方程解有关的含参问题】...........................................................................................................9
【考点16 利用分式的基本性质求值】..................................................................................................................10
【考点17 分式中的新定义问题】..........................................................................................................................10
【考点18 分式方程的应用题】..............................................................................................................................12
【类型1 概念篇30题】
【考点1 分式的概念】
a−b 5+x a+b 1
1．（2024秋•南岗区校级月考）在 ， ， ，a+ 中，是分式的有（ ）
2 π a−b m
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2 1 3 2 1 m+1
2．（2024秋•福山区期中）代数式 x， ， ，b2− ， ， 中，属于分式的有（ ）
5 π a2+2 3 x m+3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2023秋•甘井子区校级期末）下列各式1，x， 4 ，2a−5， x ，m−n，x2+2x+1，
x 3 3b3+5 3 x2−y2 m+n x2+2x+1c
中，分式共有（ ）个．
3(a−b)
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点2 分式有意义条件】
x+1
4．（2024春•滨江区期末）要使分式 有意义，x的取值应满足（ ）
(x+1)(x−2)
A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
5．（2024春•花山区校级期末）对于x取任何实数都有意义的分式为（ ）
3 3 3 3
A． B． C． D．
x2+1 x2−1 (x+1) 2 (x−1) 2
a a+1
6．（2023秋•阳新县期末）下列结论：①不论a为何值时 都有意义；②a＝﹣1时，分式 的
a2+1 a2−1
x2+1 x+1 x+1
值为0；③若 的值为负，则x的取值范围是x＜1；④若 ÷ 有意义，则x的取值范围是
x−1 x+2 x
x≠﹣1，x≠﹣2且x≠0．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【考点3 分式的值为零】
|x|−1
7．（2023秋•茌平区期末）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x2−3x+2
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
x2−9
8．（2024春•长安区期末）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x+3
A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．0
x+2b
9．（2024•潮南区二模）已知x＝1时，分式− 无意义；x＝4时，分式的值为0，则a+b的值为（
x−a
）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【考点4 分式的基本性质】
m+n
10．（2024秋•长春月考）将分式 中m与n的值同时扩大为原来的2倍，分式的值（ ）
m2+n2
1
A．扩大2倍 B．缩小为原来的
2
C．不变 D．无法确定11．（2024秋•新邵县期中）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
2+x 2+x 2x x2
A． B． C． D．
x−y xy x−y x−y
4xy
12．（2024秋•南岗区校级月考）如果把分式 中的x、y都扩大3倍，则分式的值（ ）
x+3 y
A．扩大9倍 B．扩大3倍
1
C．不变 D．缩小到原来的
3
【考点5 最简分式的概念】
13．（2024春•凤城市期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
xy 3x+3 x+ y x+1
A． B． C． D．
x2 3x−3 x−y x2−1
14．（2024秋•中山市期中）下列各式中，是最简分式的是（ ）
2a a+1
A． B．
3a2b a2+1
C． a D．a2+ab
a2+3a a2−b2
15．（2023 秋•合江县校级期末）下列分式 x2−2x x+1 −2 12xy中，最简分式有
， ， ，
2y−xy x2−1 a2−2a 9z3
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点6 最简公分母的判断】
2c 3a 5b
16．（2024春•仁寿县期中）分式 ， ， 的最简公分母是（ ）
3a2b2 −4b4c 2a2c
A．12a2b4c2 B．24a2b4c2 C．24a4b6c D．12a2b4c
17．（2023秋•琼中县期末）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ）
1 1
A． 与 的最简公分母是6x
3x 6x
1 1
B． 与 最简公分母是3a2b3c
3a2b3 3a2b3c
1 1
C． 与 的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x）
a(x−y) b(y−x)1 1
D． 与 的最简公分母是m2﹣n2
m+n m−n
x+1 2 x
18．（2024秋•宁阳县期中）分式 ， ，− 的最简公分母是（ ）
x2−x x2−1 x2+2x+1
A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2
C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2
【考点7 科学记数法表示较小数】
19．（2024秋•青秀区校级月考）今年9月1日华为Mate60手机的发布，宣告美国对我国高端芯片技术封
锁的失败．据测速网监测，用Mate60手机下载一个2.4M的文件大约只需要0.000048秒，数据0.000048
用科学记数法表示为（ ）
A．0.48×10﹣4 B．0.48×10﹣5 C．4.8×10﹣5 D．48×10﹣5
20．（2023秋•应县期末）冠状病毒是一个大型病毒家族，借助电子显微镜，我们可以看到这些病毒直径
约为125纳米（1纳米＝1×10﹣9米），125纳米用科学记数法表示等于（ ）
A．1.25×10﹣7米 B．1.25×10﹣8米
C．1.25×10﹣10米 D．1.25×10﹣11米
21．（2024•郑州校级四模）《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发
展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学记数法表示这个数为（ ）
A．1.6×10﹣12米 B．1.6×10﹣13米
C．16×10﹣12厘米 D．1.6×10﹣13厘米
【考点8 负整数指数幂】
1 −2 2 0
22．（2024•鹤城区校级开学）若a＝﹣32，b＝﹣3﹣2，c=(− ) ，d=(− ) ，则a、b、c、d的大小关
3 3
系为（ ）
A．a＜b＜c＜d B．b＞d＞a＞c C．a＜d＜c＜b D．a＜b＜d＜c
1
23．（2024•定州市三模）若
=3p
，则p的值为（ ）
32
1 1
A．﹣3 B． C．﹣2 D．
3 2
24．（2023秋•怀化期末）若（x﹣3）0﹣2（3x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜2 C．x≠3或x≠2 D．x≠3且x≠2【考点9 分式方程的概念】
x x−1 x 400 x 5
25．（2024春•泗县月考）下列关于x的方程：① − =10；② = ；③ +1= x；④
2 5 600 x−30 4 2
a 1
= ，其中是分式方程的有（ ）
2x x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1 1 x 2x
26．（2023春•苏家屯区期中）在①x2﹣x+ ，② −3＝a+4，③ +5x＝6，④ =1中，其中关于x
x a 2 x−3
的分式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．（2022秋•新市区校级期中）下列各式中分式方程有（ ）个．
1 1 1 20 10
（1）x2﹣x+ ；（2） −3＝a+4；（3） −x=3；（4） − =1．
x a ❑√x x+ y x−y
A．1 B．2
C．3 D．以上都不对
【考点10 分式方程的增根】
x a
28．（2024春•阳山县期末）已知关于x的方程 =3− 有增根，则a的值为（ ）
x−5 x−5
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
ax 6
29．（2024春•嵊州市期末）若分式方程 + =1有增根，则a的值为（ ）
x−3 3−x
A．1 B．2 C．3 D．4
x ？
30．（2024春•市南区期末）小明在解关于x的分式方程 = −2时，发现墨水不小心把其中一个
x+1 x+1
数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【类型2 计算篇20题】
【考点11 分式的混合运算】
1．（2024秋•武冈市期中）计算：
2x 4
（1）(x+2)⋅ − ；
x2−4 x−2（2） 1 x2−4x+4
(1− )÷
x−1 x2−1
2．（2024秋•福山区期中）计算：
3 x2−4x+4
（1）( −x+1)÷
x+1 x+1
（2） 2c3 2 5a 3c 3
(− ) ÷ ⋅(− )
3ab2 2b3 2a
3．（2024秋•泰山区期中）计算：
（1） 25−a2 a−5 a−3；
÷ ⋅
a2−6a+9 2a−6 a+5
（2） 6 m2−14m+49．
(1− )÷
m−1 m2−m
4．（2024春•沙坪坝区校级期中）计算：
（1）a+b a2−b2；
÷
ab 3a2b
（2）x2+4x+4 4+x2 ．
÷(2x− )
x2+2x x
5．（2024春•靖江市校级月考）计算：
a2 b2
（1） − ；
a−b a−b
4a−5 1 2
（2）(a+1− )÷( − )．
a−1 a−1 a2−a
【考点12 分式的化简求值】
3 x2−4x+4
6．（2024•天河区校级一模）先化简( −x+1)÷ ，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的
x+1 x+1
数作为x的值代入求值．
a2−6a+9 5
7．（2024秋•岳阳县期中）先化简，再求值： ÷(a+2+ )，其中a为不大于3的正整数．
a−2 2−a
8．（2024秋•渝北区校级期中）先化简，再求值： −6x x2+9 3x ，请从﹣3、﹣2、0、3
( −x+3)÷ ÷
x−3 x x2−9中选取合适的x的值代入．
9．（2024秋•两江新区校级月考）先化简，再求值 2x−y x2−2xy+ y2 x−y，其中 1 −1，y＝
( − )÷ x=( )
x+ y x2−y2 x+ y 2
（﹣2024）0．
10．（2024秋•秀英区校级期中）先化简，再求值x2−8x+16 12 1 ，其中x与1、3构
÷( −x+2)+
x2+2x x+2 x+4
成△ABC的三边长，且x为整数．
【考点13 分式运算步骤的判断】
3x x 2x
11．（2024春•曲沃县期末）先化简，再求值：( − )÷ ，其中x＝﹣3
x−1 x+1 x2−1
请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成相应任务：
3x x (x+1)(x−1)
原式=( − )⋅ ..............................第一步
x−1 x+1 2x
3(x+1) x−1
= − .................................................第二步
2 2
3x+3−x−1
= .......................................................第三步
2
2x+2
= ...............................................................第四步
2
＝x+1......................................................................第五步
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+1＝﹣2................................第六步
任务一：小明的解题过程中，第二步变形运用的运算律是 ；第五步变形的依据是
；
任务二：小明的解题过程中，第 步开始出错的，正确的结果是 ．
12．（2024春•盐湖区期末）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并回答问题．
2a 1
−
a2−4 a−2
2a 1
= − 第一步
(a+2)(a−2) a−2
2a a+2
= − 第二步
(a+2)(a−2) (a−2)(a+2)
2a−a+2
= 第三步
(a+2)(a−2)a+2
= 第四步
(a+2)(a−2)
1
= 第五步
a−2
任务一：填空
①在以上化简过程中，第 步对分式进行了通分，通分的依据是 ．
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确答案 ．
任务三：除纠正以上错误外，请你根据平时学习经验，就分式化简时还需要注意什么事项，给其他同学
一条建议 ．
13．（2024春•镇平县期末）先化简，再求值： x2−1 x−1 ，其中x＝﹣4．下面是小明
( −x+1)÷
x+2 x2+4x+4
同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务．
x2−1 (x+1)(x+2) x2+4x+4
解：原式=[ − ]⋅ 第一步
x+2 x+2 x−1
−3x−3 (x+2) 2
= ⋅ 第二步
x+2 x−1
(−3x−3)(x+2)
= 第三步
x−1
3(x+1)(x+2)
=− 第四步
x−1
（1）填空：
①以上化简步骤中，第 步是约分得到的，约分的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
（2）请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值；
（3）请根据平时数学学习中积累的经验就分式的化简过程写出一条注意事项；
14．（2024春•肥乡区期末）老师布置了教材中的习题作为今天的作业：
3x x x2−4
用两种方法计算( − )⋅ ．
x−2 x+2 x
下面是小李同学作业中的部分运算过程：
3x(x+2) x(x−2) x2−4
解：原式＝[ − ]⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步
(x−2)(x+2) (x−2)(x+2) x3x2+6x x2−2x (x+2)(x−2)
=[ − ]⋅ ⋯⋯⋯第二
(x−2)(x+2) (x−2)(x+2) x
3x2+6x(x2−2x) (x+2)(x−2) 第三步
= ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(x−2)(x+2) x
3x2+6x−x2−2x (x+2)(x−2)
= ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步
(x−2)(x+2) x
＝……
（1）以上化简步骤中，第 步是通分；
（2）第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
（3）用第二种方法化简分式．
15．（2023秋•弋江区期末）下面是小华同学进行分式化简的过程，请你认真阅读并完成相应任务．
x2−9 2x+1 第一步
− ⋯⋯
x2+6x+9 2x+6
(x+3)(x−3) 2x+1 第二步
= − ⋯⋯
(x+3) 2 2(x+3)
2(x−3) 2x+1
= − ⋯⋯第三步
2(x+3) 2(x+3)
2(x−3)−(2x+1)
= ⋯⋯第四步
2(x+3)
2x−6−2x+1
= ⋯⋯第五步
2(x+3)
5
=− ⋯⋯第六步
2x+6
任务一：填空：①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提
一条建议．
【考点14 解分式方程】
16．（2023秋•东阿县期末）解分式方程：
4+x 2x
（1） + =1；
x−2 2−x16 2+x
（2） +1= ．
x2−4 x−2
17．（2023秋•大武口区期末）解分式方程
3 1
（1） − =0；
x2+2x x2−2x
x 2x
（2） = +1．
x+1 3x+3
18．（2023秋•商南县期末）解下列分式方程：
x 2x
（1） −1= ；
x−1 3x−3
2+x 16
（2） + =−1．
2−x x2−4
19．（2023秋•盐山县期末）解下列分式方程：
2 1+x
（1） = +1；
x−2 x−2
2x+9 4x−7
（2） − =2．
3x−9 x−3
20．（2024春•广水市期末）解分式方程
x x−1
（1） = ；
x−1 x+2
2 x 1
（2） + = ．
3 3x−1 9x−3
【类型3 压轴篇20题】
【考点15 与分式方程解有关的含参问题】
2−x
{ ≤2+x)
1．（2024•衡南县模拟）若实数m使关于x的不等式组 3 有解且至多有3个整数解，且使关于
m
x＜
3
mx−2 3
x的分式方程 + =2有整数解，则满足条件的整数m有（ ）个
x−1 1−x
A．5 B．4 C．3 D．2
{ 2x−1＜5x−4 )
2．（2023秋•竹溪县校级期末）若关于x的不等式组 13 8 3 的解集为x≥a，且关于x的分
x− a≥ x−2a
6 3 2x+3 a
式方程 + =2的解为非负数，则所有满足条件的整数a的个数是（ ）
x−1 1−x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
{2x−7≥x−8
)
3．（2024•张家界模拟）若整数a使关于x的不等式组 a−6x 有且只有4个整数解，且使关于y
＞−2
4
a 3
的分式方程 − =−1的解满足y＞﹣6，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
y−4 4−y
A．15 B．11 C．10 D．18
x mx−2
4．（2024•铁锋区三模）若关于x的分式方程 =1+ 无解，则m的值为（ ）
x−3 9−x2
16 16 2
A．﹣3或− B．− 或−
3 3 3
16 2 2
C．﹣3或− 或− D．﹣3或−
3 3 3
x−1 x−2 2x+a
5．（2024•会东县二模）若关于x的分式方程 − = 的解为负数，a的取值范围（
x−2 x+1 (x−2)(x+1)
）
A．a＜﹣5且a≠﹣7 B．a＞﹣5且a≠﹣1
C．a＞﹣5 D．a＜﹣5
【考点16 利用分式的基本性质求值】
3(a−2b)+3b
6．（2024•北京）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式 的值．
a2−2ab+b2
7．（2024春•金华期末）已知a﹣3b＝0，求分式a2−3ab+b2的值．
a2+b2
6x−3 y
8．（2024•东城区一模）已知2x﹣y﹣9＝0，求代数式 的值．
4x2−4xy+ y2
1 1 a−3ab+b
9．（2023秋•道县期中）已知 + =6，求 的值．
a b a+12ab+b
a+b−c a−b+c −a+b+c
10．（2023秋•宣州区校级期中）已知a，b，c均为非零实数，且满足 = = ，
c b a
(a+b)(b+c)(c+a)
求： 的值．
abc【考点17 分式中的新定义问题】
11．（2024秋•福山区期中）请阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，（我们称之为“假分
x+1 x2 1
式”，例如： ， ；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ，
x−1 x−1 x+1
2x+1 12 10+2 2
．我们知道，假分数可以化为带分数，例如： = =2+ ．类似的，假分式也可以化为
x2−1 5 5 5
x+1 x−1+1+1 2
“带分式”（整式与真分式和的形式），例如： = =1+ ．
x−1 x−1 x−1
5x−1
（1）将分式 化为带分式；
x−2
5x−1
（2）在（1）问中，当x取哪些数值时，分式 的值也是整数；
x−2
（3）当x的值变化时，分式3x2+17的最大值为 ．
x2+3
k
12．（2023秋•赤坎区校级期末）阅读下列材料：求分式方程x+ =m的解，不妨设k＝ab，m＝a+b，可
x
6
得x ＝a，x ＝b是该分式方程的解．例如：求分式方程x+ =−5的解，可发现k＝6＝（﹣2）×（﹣
1 2
x
3），m＝﹣5＝（﹣2）+（﹣3），容易检验x ＝﹣2，x ＝﹣3是该方程的解．根据以上材料回答下列
1 2
问题：
12
（1）求分式方程x+ =7的解为 ；
x
3 1 1
（2）若x ＝m，x ＝n是分式方程x− =4的两个解，求 + 的值；
1 2
x m n
2n2+3n
（3）设n为自然数，若关于x的分式方程x+ =3n+5的两个解分别为x ，x （x ＜x ），求2x
1 2 1 2 1
x−2
﹣x 的值．
2
13．（2024秋•台江区校级期中）【阅读理解】
阅读下面的解题过程：已知： x 1，求 x2 的值；
=
x2+1 3 x4+1x 1 x2+1 1
解：由 = 知x≠0，∴ =3，即x+ =3①，
x2+1 3 x x
∴x4+1 1 1 ②，故 x2 的值为1．
=x2+ =(x+ ) 2−2=32−2=7
x2 x2 x x4+1 7
1 1
（1）第②步x2+ =(x+ ) 2−2运用了公式： ；（要求：用含a、b的式子表示）
x2 x
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知： x ，求 x2 的值．
=−2
x2−3x+1 x4+5x2+1
【拓展延伸】
ab 1 bc 1 ac 1 abc
（3）已知： = ， = ， = ，求 的值．
a+b 15 b+c 17 a+c 16 ab+bc+ac
14．（2024春•淮安期末）阅读下列解题过程：
已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = ，知x≠0，所以 =3，即x+ =3．
x2+1 3 x x
∴x4+1 1 1
=x2+ =(x+ ) 2−2=32−2=7
x2 x2 x
∴ x2 的值为7的倒数，即1．
x4+1 7
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 2 x4+1
（2）已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2−x+1 7 x4−x2+1
xy yz 4 zx 4 xyz
（3）已知 =2， = ， = ，求 的值．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx15．（2023秋•崇川区期末）阅读：如果两个分式 A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为
x −1 x−1
“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式A= ，B= ，A+B= =1，则A与B互为
x−1 x−1 x−1
“关联分式”，“关联值”k＝1．
x−4 x−2
（1）若分式A= ，B= ，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，
x−3 x−3
请求出“关联值”k；
2x−1 M
（2）已知分式C= ，D= ，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2．
x−3 x2−9
①M＝ （用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于 ；
(x−a)(x−b) (x−c)(x−5)
（3）若分式E= ，F= （a，b为整数且c＝a+b），E是F的“关联分
x−4 4−x
式”，且“关联值”k＝5，求c的值．
【考点18 分式方程的应用题】
16．（2024秋•北碚区校级期中）秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量
上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母
蟹数量的1.25倍．
（1）求公蟹、母蟹的售价；
（2）赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降
13
价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的 倍还多，且总费用不
7
超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？
17．（2024秋•九龙坡区校级期中）“开心水果店”用 3200元购进一批糖心苹果，很快售完．该店又用
3000元购进第二批这种糖心苹果，已知第二批的进货价比第一批的进货价每千克少了1元，第一批购进
数量比第二批少20%．
（1）求第一批购进的苹果每千克多少元？
（2）该水果店销售第一批苹果时，每千克的售价为6元，全部售完后购进第二批苹果，发现第二批苹
果品质不如第一批，该店主将售价下降a%销售，结果仍有5%的苹果出现了腐坏现象，不能销售．若该
水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2875元，求a的最大值．
18．（2024秋•滦州市期中）甲、乙两地相距180km，一辆汽车从甲地开往乙地，出发后前 1小时按原计划的速度匀速行驶，1小时后在原计划速度的基础上提速50%匀速行驶，并比原计划提前40min到达乙
地，设前1小时行驶的速度为x km/h．
（1）提速后走完剩余路程的时间为 h（用含x的式子表示）；
（2）求汽车出发后前1小时的行驶速度；
（3）到达乙地后，当汽车以y km/h的速度原路返回时，同时有一辆货车以ay km/h（0＜a＜1）的速度
从甲地开往乙地，求两车相遇时汽车比货车多行驶多少千米（用含a的式子表示）．
19．（2023秋•硚口区期末）一辆汽车开往距离出发地360km的目的地，出发的第一小时按原计划的速度
匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前50min到达目的地．
（1）求原计划的行驶速度；
（2）汽车按原路返回，若司机准备一半路程以 a km/h的速度行驶，另一半路程以bkm/h的速度行驶
（a≠b），共用时t 小时；若司机准备用一半时间以a km/h的速度行驶，另一半时间以b km/h的速度
1
行驶，共用时t 小时．
2
①直接写出用含a，b的式子分别表示t 和t ；
1 2
②试比较t ，t 的大小，并说明理由．
1 2
20．（2023秋•武昌区期末）小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘
坐公交车，同时出发到梨园公交车站汇合．
（1）已知乘坐地铁和公交车的路程都是5千米，地铁的平均速度是公交车的两倍，虽然小美进站和出
站比小聪上下公交车多花了5分钟，但还是比小聪早到两分半钟．求地铁的平均速度．
（2）游玩途径东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价a元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼．两
人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了 b元/斤（a≠b），小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥
饼．
①用a，b表示小美购买酥饼的平均价格P小美 ＝ ，小聪购买酥饼的平均价格P小聪 ＝ ；
②小美和小聪谁的平均价格低？说明理由．
