文档内容
2025 年高考数学二轮复习测试卷 02(新高考八省专用)
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ，
故选：A.
2．已知复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为复数 ，所以 的共轭复数 .
故选：B.
3．如图，在 中， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .
故选：D.
4．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
则 ，从而 .
取 ，满足 ，不满足 .
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选： .
5．设 为两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列说法一定成立的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 与 所成角相等，则
【答案】C
【解析】对于A，若 ，但直线 在平面 内，则条件满足，但显然没有 ，故A错误；
对于B，若 是一个长方体的某一个顶点引出的三个侧面，则它们两两垂直，此时并没有 ，故B
错误；对于C，由于 ，且 ，故 ，而 ，所以一定有 ，故C正确；
对于D，若 是 内的两条相交直线，则 和 所成角均为 ，但 相交，从而不平行，故D错误.
故选：C.
6．已知 展开式各项系数之和为64，则展开式中 的系数为（ ）
A．31 B．30 C．29 D．28
【答案】C
【解析】令 得 ，解得 ，
二项式 的展开式的通项公式为 且 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以二项式 展开式中含 的项为 ，
所以二项式 展开式中 的系数为 .
故选：C.
7．如图，直线 与曲线 相切于两点，则函数 在 上的极大值点个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由题， ，则 ，
作出与直线 平行的函数 的所有切线，如图，各切线与函数 的切点的横坐标依次为 ，
则 在 ，处的导数都等于 ，
所以在 上， 单调递增，
在 上， 单调递减，
因此函数 有三个极大值点，有两个极小值点.
故选：D.
8．函数 所有零点的和为（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】C
【解析】如图，绘制函数 与函数 的图象，
可知 与 的图象恰有 个公共点，
且它们的图象均关于直线 对称，所以 所有零点的和为 .
故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列 为无穷等差数列，公差为d，前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 且互不相等，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABD
【解析】选项A,若 ，得 ，所以 ，故选项A
正确；
选项B，若 且互不相等，易知 ，故选项B正确；
选项C，若 ，则 ，此时 ，故选项C错误；
选项D，若 ，易知 ，
所以
所以 ，故选项D正确.
故选：ABD
10．已知函数 ，则下列函数判断正确的是（ ）
A． 为奇函数B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减
D． 的图象关于点 对称
【答案】BC
【解析】由 ，
可得 .
对于A，因 ，则 为偶函数，故A错误；
对于B，因当 时， ， ，故 的图象关于直线 对称，即B正确；
对于C，当 时， ，而 在 上单调递减，故C正确；
对于D，当 时， ，故函数 的图象关于点 对称，即D错
误.
故选：BC.
11．记 、 分别为函数 、 的导函数，若存在 ，满足 且
，则称 为函数 与 的一个“ 点”，则下列说法正确的为（ ）
A．函数 与 存在唯一“ 点”
B．函数 与 存在两个“ 点”
C．函数 与 不存在“ 点”
D．若函数 与 存在“ 点”，则
【答案】ACD【解析】令 .
对于A选项， ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ，所以， ，
此时，函数 与 存在唯一“ 点”，A对；
对于B选项， ，则 ，
函数 的定义域为 ，令 可得 ，且 ，
所以，函数 与 不存在“ 点”，B错；
对于C选项， ，则 ，
令 可得 ，解得 或 ，但 ， ，
此时，函数 与 不存在“ 点”，C对；
对于D选项， ，其中 ，则 ，
若函数 与 存在“ 点”，记为 ，
则 ，解得 ，D对.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线 的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为．
【答案】
【解析】双曲线 的顶点为 ，
所以椭圆的焦点在 轴上，设方程为 ，
由长轴长为 ，可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
故答案为： .
13．某情报站有 四种互不相同的密码，每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一
种．设第一周使用A种密码，则第7周也使用A种密码的概率为 ．（用最简分数表示）
【答案】
【解析】用 表示第k周用A种密码的概率，则第k周未用A种密码的概率为 ，
所以 ，
所以 ,
由 知，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ， ．
故答案为：14．如图，在 中， ， ，直线 与边 ， 分别交于 ， 两点，且
的面积是 面积的一半.设 ， ，记y=f (x)，则 的最小值与最大值之和为
.
【答案】 / /4.5
【解析】因为 的面积是 面积的一半，
即 ，即 ，可得 ，
又因为 ，即 ，
且 ，可得 ，
所以 ，且 的定义域为 ，
令 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
可知 在 上的最小值为2，最大值为 ，
即 在 上的最小值为2，最大值为 ，
所以 的最小值与最大值之和为 .
故答案为： .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
中国数学奥林匹克（ ）竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高､规模最大､最具影响力
的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可进入
决赛.
(1)根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩 ，成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600
名学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数（结果取整数）；
附：若 ，则 ，
【答案】(1)95
(2)60
【解析】（1）由于 ，故 ，
故 ，
所以 ，
故进入决赛的人数为 .
因此甲同学的成绩的数学期望为 分
16．（15分）
在前 项和为 的等比数列 中， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，记 ，求数列 的前 项和 ；
(3)若 ，记 ，且 ，求数列 的通项公式．
【答案】(1) 或(2)
(3)
【解析】（1）设公比为 ，由 ，有 ，可得 或 ，
①当 时，由 ，有 ，可得 ，解得 或2，
故数列 的通项公式为 或 ，
②当 时，由 ，有 ，可得 ，方程无解，
由上知数列 的通项公式为 或 ；
（2）由 ，有 ，可得 ，
有 ，
两边乘以2，有 ，
两式作差，有 ，
有 ；
（3）由 ，有 ，可得 ，
有 ，有 ，
有 ，
可得数列 是公比为 的等比数列，
又由 ，有 ，
可得数列 的通项公式为 .17．（15分）
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 的极小值小于0，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【解析】（1）依题意，函数 的定义域为R，
当 时， ，则 ，
，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）由题意得， ，
当 时， 恒成立，所以函数 在R上单调递增，此时函数 不存在极值，
不合题意.
当 时，令 ，即 ，则 .
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
所以函数 在 处取得极小值，
且 .又因为 ，则 等价于 ，
令 ，
则 ，所以函数 在 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，
即不等式 的解集为 ，
故实数 的取值范围是 .
18．（17分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率 ，点D在椭圆上，且
， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 与椭圆 交于A，B两点（不与椭圆的左、右顶点重合）．
①当 的倾斜角为 时，求 的面积；
②点P为椭圆 的右顶点，直线PA、PB分别与y轴相交于点M、N，求证以MN为直径的圆被x轴截
得的弦长为定值．
【答案】(1)
(2) ；②证明见解析
①
【解析】（1）由题意可知 ，即
∵ ，∴ ，令 ，则 ，即 ，即 ，又∵在椭圆中 ，∴ ，解得 ，
∴求椭圆 的方程： .
（2）①F (−1,0)，F (1,0)， ，则直线 ，
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联立方程组 ，解得 ， ，
焦点弦长 ，
点 到直线 的距离 ，
∴
② ，
当 轴时，交点 ， 关于 轴对称，∴点 关于原定对称，∴与 为直径的圆圆心为 ，半径为
∵ ，∴ ，则 ，∴ ，
又∵ ，∴圆 与 轴的截得的弦为 ，
当直线 斜率存在时，设直线 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，
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联立方程组 ，整理得 ，
则 ， ，
，
直线 ，令 ，则 ，
直线 ，令 ，则 ，
则 ， ，
则即
即 ，同理可证 ，
即点 在以MN为直径的圆上，又∵ 在 轴上，
∴以MN为直径的圆被x轴截得的弦为 ， ，
综上所述：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值2.
19．（17分）
在平面四边形 中， ， ，将 沿AC翻折至
，其中P为动点.
(1)设 ，三棱锥 的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面 平面 ；
（ii）求球O的半径
(2)求二面角 的余弦值的最小值.
【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）球O的半径为 ；
(2) .
【解析】（1）在 中，由 ， 得 ，
所以 ，且 ，即
，（i）证明：因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（ii）以A为原点， 分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ，设球心 ，半径 ，
则 ，
所以 ，
解得 ，所以球O的半径为 ；
（2）在平面 中，过P作 于G，在平面 中，过G作 ，
因 平面 ,则 平面 .
则由（1） ，
设 ，以G为原点， 分别为x轴和y轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则点 在平面 内，则 ，
所以 ，
设平面 一个法向量分别为 ，则 ，
即 ，取 ，则得 ；
平面 的一个法向量为 ，则 ，
即 ，取 ，则得 ，
所以 ，
令 ，则由 得 ，则 ，
于是，
当且仅当 即 时等号成立，
所以二面角 的余弦值的最小值为 .
