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第12讲 不等式大小关系及不等式的解法
【知识点总结】
一、 基本概念
不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在.
不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“ ”，“
”，“ ”，“ ”，“ ”等）连接的式子叫做不等式，其中“ ”或“ ”连接的不等式叫做严格不等
式；用“ ”或“ ”连接的不等式叫做非严格的不等式. 不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代
替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等
式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.
二、基本性质
不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放
宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由
于忽略某些限制条件而造成解题失误.
1. 两个不等式的同向合成，一律为“ ”（充分不必要条件）
（1） （传递性，注意找中间量）
（2） （同向可加性）
（3） （同正可乘性，注意条件为正）
2. 一个不等式的等价变形，一律为“ ”（充要条件），这是不等式解法的理论依据
（1） .
（2） （对称性）
（3） （乘正保号性）
（4）
（5） （不等量加等量）
（6） （乘方保号性，注意条件为正）
（7） （开方保号性，注意条件为正）
（8） （同号可倒性）； .
三、一元一次不等式（ ）
（1）若 ，解集为 .
（2） 若 ，解集为
（3）若 ，当 时，解集为 ；当 时，解集为四、一元一次不等式组（ ）
（1） ，解集为 .（2） ，解集为
（3） ，解集为
（4） ，解集为
五、一元二次不等式
一元二次不等式 ，其中 ， 是方程 的
两个根，且
（1）当 时，二次函数图象开口向上.
（2）①若 ，解集为 .
②若 ，解集为 .
③若 ，解集为 .
(2) 当 时，二次函数图象开口向下.
①若 ，解集为
②若 ，解集为
六、简单的一元高次不等式的解法
简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.
例如，解一元高次不等式
（1）将 最高次项系数化为正数
（2）将 分解为若干个一次因式或二次不可分因式（ ）
（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切
而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）.
（4）根据曲线显现出的 的值的符号变化规律写出不等式的解集.
七、分式不等式
（1）（2）
（3）（4）
八、绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【详解】
A：若 ，则 （ ），故A错误；
B：若 ，则 ，所以 ，所以B正确；
C：若 ，则 ，所以C错误；
D：若 ，则 ，故D错误.
故选：B.
例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞|b|，则a2＞b2
D．若a＞b，则【答案】C
【详解】当c＝0时，A不成立；
2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；
a＝2，b＝1时， ，D不成立；
由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确．
故选：C．
例3．（2022·全国·高三专题练习）实数 ， ， 满足 且 ，则下列关系成立的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由 可得 ，利用完全平方可得
由 可得 ，所以 ，
， ，
综上 ，
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 的解集是 或 ，则
的值是___________.
【答案】0
【详解】
由题意，得： ，
且 ，2是方程 的两根，
则 ， ，
解得 ， ，则 .
故答案为：0.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， .若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是______.
【答案】【详解】
由 ，得 ，得 ，
所以 ，
由 ，得 ，得 ，
所以 ，
因为 是 的充分不必要条件，
所以集合 是集合 的真子集，
所以 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
关键点点睛：本题的解答关键是将 是 的充分不必要条件转化为集合 是
的真子集.
例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 有实数解，则 的取值范围是_____．
【答案】
【详解】
当 时，不等式为 有实数解，所以 符合题意；
当 时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式 有实数解，符合题意；
当 时，要使不等式 有实数解，则需满足 ，可得 ，
所以 ，
综上所述： 的取值范围是 ，
故答案为： .
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围为_______
【答案】
【详解】
当 时，不等式 恒成立，所以 符合题意；当 时，若关于 的不等式 恒成立，则 ，
解得： ，
综上所述 的取值范围为： ，
故答案为： .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． < B．a2>b2
C． > D．a|c|>b|c|
【答案】C
【分析】
举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.
【详解】
当a=1，b=-2时，满足a>b，但 ，a2<b2，排除A，B；
因 >0，a>b，由不等式性质得 ，C正确；
当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）若 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质，求得 ，且 ，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，
又由 ，可得 ，因为 ，可得 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的个数为（ ）
①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则
.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
①∵a>|b|≥0，∴a2>b2成立，∴①正确；
②取a＝2，b＝1，c＝3，d＝－2，则2－3<1－(－2)，故②错误；
③取a＝4，b＝1，c＝－1，d＝－2，则4×(－1)<1×(－2)，故③错误；
④∵a>b>0，∴0< < 且c<0，∴ ，∴④正确．
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习（文））若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（ ）
A．m＞n B．m≥n
C．m＜n D．m≤n
【答案】B
【分析】
运用作差法进行比较即可得到答案.
【详解】
因为m－n＝(2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0.
所以m≥n.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a<－2，3<b<4，则 的取值范围为（ ）A．(1，3)
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出 的范围.
【详解】
因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故 的取值范围为(1，3)，故选：A．
6．（2022·全国·高三专题练习）设 ＜ ＜ ＜1，则( )
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
【答案】C
【分析】
先由题得到0＜a＜b＜1，再比较选项数的大小.
【详解】
∵ ＜ ＜ ＜1，
∴0＜a＜b＜1.∴ ＝aa－b＞1.∴ab＜aa.
∵ ＝ ，,0＜ ＜1，a＞0，∴ ＜1.
∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.
故答案为C【点睛】
（1）本题主要考查比较法和指数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）
比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是
正数，一般用比商，其它一般用比差.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③ .以其中两个作为条件，
余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
讨论三种情况，利用不等式的性质，逐一判断即可.
【详解】
（1）若以①②为条件，③为结论.
则 ，因为 ，即 ，
故 ，即 ；则此时可以组成真命题；
（2）若以①③为条件，②为结论.
则由 ，即 ，结合 ，故可得 .
则此时可以组成真命题；
（3）若以②③为条件，①为结论.
则由 ，即 ，结合 ，即可得 .
则此时可以组成真命题.
故可以组成正确命题的个数是： .
故选： .
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，属基础题.
8．（2022·全国·高三专题练习）若α，β满足 ，则2α－β的取值范围是
A．－π < 2α－β < 0 B．－π < 2α－β < π
C．－ < 2α－β < D．0 < 2α－β < π
【答案】C【分析】由不等式的同向可加性得到 ，结合 将右侧范围进一步缩小，即可得到答
案
【详解】
由 知：
由 知：
∴
又∵ 即
∴
故选：C
【点睛】
本题考查了不等式的性质，应用不等式的同向可加性及同减相同的数符号不变，求范围
9．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）若集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先化简两个集合A、B，再对两个集合取并集.
【详解】
故
故选：C
10．（2021·吉林·高三阶段练习（文））设 ， ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】
解一元二次不等式求命题 、 对应x的范围，根据必要不充分条件列不等式求 的取值范围即可.
【详解】
由题设， ， ，
∵ 是 的必要不充分条件，
∴ ，解得 .
故选：A
11．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（文））若不等式 对任意 恒成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】C
【分析】
对 分两种情况讨论，结合二次函数的图象和性质求解.
【详解】
当 时， ，不符合题意，所以舍去；
当 时，由题得 且 ，所以 .
综上： .
故选：C
12．（2012·重庆·高三阶段练习（理））若不等式 的解集是 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知关于 的二次方程 的两根分别为 、 ，利用韦达定理可求得实数 、 的值，
即可得解.
【详解】由题意可知，关于 的二次方程 的两根分别为 、 ，且有 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，因此， .
故选：B.
13．（2022·全国·高三专题练习）不等式 的解集为（ ）
A． B．(－∞，1) C． ∪(1，＋∞)D．
【答案】A
【分析】
化简不等式为 ，结合分式不等式的解法，即可求解.
【详解】
原不等式 ，可化为 ，即 ，
结合分式不等式的解法，解得 ，即不等式的解集为 .
故选：A.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，集合 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由对数函数及指数函数的性质可化简集合，利用交集的定义即求.
【详解】
由题意得 ，即 ，
根据对数函数的单调性得 ，解得 ，所以集合 ，
解不等式 得 ，故集合 ，所以 .
故选：B．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先解一元二次不等式与指数不等式得到集合 、 ，再根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：由 可得 ， 可得 ，所以集合 ，
，所以 .
故选：C.
16．（2022·江苏·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
通过解不等式分别求出集合A，B，再求出 .
【详解】
解不等式 得 ，则 ；
解不等式 得 ，则 .
所以， .故选：D.
17．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知不等式 的解集是 ，则实数
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三个“二次”的关系即得.
【详解】
的解集是 ，
和 是方程 的解.
由根与系数的关系知 ，解得 .
故选：D.
18．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于 的不等式 的解集为 或 ，则实数 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将分式不等式化简后根据解集即可得出答案.
【详解】
根据原不等式可以推出 ，
因为不等式 的解集为 或 ，
所以 ， 是方程 的两根，且 ，所以 .
故选:A
19．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有5个整数，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出不等式的解，由其中只有5个整数得出不等关系，从而求得参数范围．【详解】
原不等式变形为 ， 时，原不等式才有解．
且解为 ，要使其中只有5个整数，则 ，解得 ．
故选：D．
20．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式 的解集为 ，则函数
的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题可得 和 是方程 的两个根，求出 ，再根据二次函数的性质即可得出.
【详解】
由题可得 和 是方程 的两个根，且 ，
，解得 ，
则 ，
则函数图象开口向下，与 轴交于 .
故选：C.21．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高三阶段练习）二次不等式 的解集为 ，
则 的值为（ ）
A． B．5 C． D．6【答案】D
【分析】
根据一元二次不等式的解与方程根的关系求解即可.
【详解】
不等式 的解集为 ，
，
原不等式等价于 ，
由韦达定理知 ， ，
， ，
．
故选：D．
二、多选题
22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ，则
【答案】BC
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可求解.
【详解】
选项A：当 时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B: ，
，所以本命题是真命题；
选项C: ，
，所以本命题是真命题；
选项D: 若 时， 显然不成立，所以本命题是假命题；故选：BC．三、填空题
23．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ， ，那么 ， ， 的大小关系为_____________.
【答案】
【分析】
利用不等式的性质以及作差法即可比较大小.
【详解】
由 ， ，
则 ， ， ，
又 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
24．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a、x满足 ，则 、 、 中的最大数为______
【答案】
【分析】
根据不等式的性质即可得解.
【详解】
解：
两边同乘 得，
两边同乘 得，
所以
故 、 、 中的最大数为
故答案为：
【点睛】
本题考查不等式的性质，属于基础题.
25．（2022·全国·高三专题练习）比较大小： ______ （用“ ”或“ ”符号填空）．
【答案】【分析】
因为两个数都是正数，所以平方后，再做差比较大小.
【详解】
解： ，
故 ，
故 ，
故答案为：
26．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ，则 _______ ．（用“>”或“<”填空）
【答案】>
【分析】
作差，判断差的符号可得答案.
【详解】
因为 ,
又 ， ，所以 ，所以 ，
故答案为：>.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
根据不等式的性质计算可得；
【详解】
解：解： ， ，
，
，
的取值范围是： ．
故答案为： .28．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ，则 的取值范围是_____．
【答案】【分析】
利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】
设 ，因此得： ， ，
，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 .
故答案为：
29．（2019·江苏·高三专题练习）不等式 的解集是________．
【答案】
【分析】
先由不等式化为 ，根据一元二次不等式的解法，即可求出结果.
【详解】
因为不等式 等价于 ，即 ，
解得： 或 ；
故原不等式的解集是 ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查解不等式，熟记绝对值不等式的解法以及一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.
30．（2020·全国·高三专题练习）在 上定义运算 ，若关于 的不等式
的解集为 ，则实数 的取值范围是_________.
【答案】【分析】
根据定义的运算化简原不等式，再结合二次函数的性质即可求解.
【详解】因为 ，不等式 恒成立，
所以 ，不等式 恒成立，
所以 ，不等式 恒成立，
即 ，不等式 恒成立，
所以 ，即 ，
解得： ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为：
31．（2022·全国·高三专题练习）不等式 的解集为________.
【答案】
【分析】
将不等式右边化为零，然后利用分式不等式的解法，求得不等式的解集.
【详解】
由 得 ，即 ，解得 .
故答案为:
32．（2021·上海市七宝中学高三期中）关于x的不等式 的解集为 ，则函
数 的定义域是_______
【答案】
【分析】
先由不等式的解集得到 满足的关系和条件，然后得到函数的表达式的具体形式，再根据对数函数的
定义域，解分式不等式求得.
【详解】由于关于x的不等式 的解集为 ，
∴ , ，∴ ,
由 ，解得 或
∴函数 的定义域为 ，
故答案为： .
33．（2021·北京·101中学模拟预测）若关于x的不等式 （ ）的解集为 ，
且 ，则a的值为___________.
【答案】
【分析】
根据一元二次不等式的解集与对应方程解的关系，利用根与系数的关系，结合题意即可求出a的值.
【详解】
解：关于x的不等式 （ ）的解集为 ，
所以 ， 是一元二次方程 的实数根，
所以 ，且 ， .
又因为 ，
所以 ，
又 ，解得 .
故答案为： .
34．（2021·江苏省苏州第十中学校高三阶段练习）已知不等式 的解集为 ，则不等式的解集为___________.
【答案】 或
【分析】
先由不等式 的解集为 ，判断出b=-6a,c=8a,把 化为 ，即可
解得.【详解】
因为不等式 的解集为 ，
所以a<0且2和4是 的两根.
所以 可得： ，
所以 可化为： ，
因为a<0，所以 可化为 ，
即 ，解得： 或 ，
所以不等式 的解集为 或 .
故答案为： 或 .
