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专题 24.9 直线和圆的位置关系（2 大考点 7 类题型）（知识梳理与
题型分类讲解）
【知识点一】直线和圆的三种位置关系
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯
一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
【知识点二】直线与圆的位置关系的判定
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和
点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；
图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么
（1）直线和圆相交 ;
（2）直线和圆相切 ;
（3）直线和圆相离 ;
【要点提示】这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则
是直线与圆的位置关系的判定．知识点与题型目录
【题型1】判断直线和圆的位置关系............................................2
【题型2】根据直线和圆的位置关系求半径......................................4
【题型3】根据直线和圆的位置关系求直线到圆心的距离..........................7
【题型4】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离..............................9
【题型5】求直线平移到与圆相切时运动的距离.................................13
【题型6】直通中考.........................................................16
【题型7】拓展延伸.........................................................17
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】判断直线和圆的位置关系
【例1】（2022九年级上·全国·专题练习）在 中， ， ， ，以O
为圆心，4为半径的 与直线 的位置关系如何？请说明理由
【答案】 与直线 的位置关系是相切，理由见解析
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是利用等积法求得斜边上的高．
首先利用勾股定理求得斜边的长，然后利用等积法求得斜边上的高，然后与半径4比较即可确定答案．
解： 与直线 的位置关系是相切，
理由：如图，作 于点 ，中， ， ， ，
，
，
，
的半径为4，
与直线 的位置关系是相切．
【变式1】（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知 的半径是一元二次方程
的一个根，圆心O到直线l的距离 ，则直线l与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系．掌握“ 时直线与圆相交，
时直线与圆相切， 时直线与圆相离”是解题的关键，先求出一元二次方程的解，然后分两种情况讨
论即可得解．
解：由 得，
，
解得 ， ，∴ 或 ．
∵圆心O到直线l的距离 ，
∴当 时， ，则直线l与 相切，
当 时， ，则直线l与 相交，
∴直线l与 的位置关系是相交或相切．故选：D．
【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知直线 经过点 ，将直线向上平移
个单位，若平移后得到的直线与半径为6的 相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为
．【答案】
【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为
直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
解：把点 代入直线 得，
， ；
由 向上平移 个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为 ，
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B， 如图所示
当 时， ；当 时， ，
， ，
即 ， ；
在 中， ，
过点O作 于D，
，
，解得 ，由直线与圆的位置关系可知 ，解得
故答案为：
【点拨】此题主要考查直线与圆的关系，一次函数图象的平移，关键是根据待定系数法、勾股定理、直
线与圆的位置关系等知识解答．
【题型2】根据直线和圆的位置关系求半径
【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知 的斜边 ，直角边 ，以点 为圆心
作 ．
（1）当半径 为________时，直线 与 相切；
（2）当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为________；
（3）当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为__________．
【答案】(1) ；(2) 或 ；(3) 或 ．
【分析】（ ）如图作 于 ，求出 的值即可判断；
（ ）当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为 或 ；
（ ）当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为 或 ，
本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：（1）如图作 于 ，
在 中， ， ， ，
∴由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，∴当半径 时，直线 与 相切，
故答案为： ；
（2）观察图形可知，
当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为 或 ，
故答案为： 或 ；
（3）观察图形可知，
当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式1】（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在 中， ，若以C为
圆心，r长为半径的圆C与边 有交点，那么r的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题注意两种情况：（1）圆与 相切时；（2）点 在圆内部，点 在圆上或圆外时．根据勾
股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题
考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况．【详解】解：依题意， ，
根据勾股定理求得 ．
当圆与 相切时，此时半径最小，即 ；
当点 在圆上，此时半径最大，即 ，
综上：即 ．故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， ， ，若 与射线 只有一个
交点，则 半径r的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，含 的直角三角形．熟练掌握圆与直线的位置关系，含
的直角三角形是解题的关键．
如图，作 于 ，则 ，当 时， 与射线 相切，此时只有一个交点；当
时， 与射线 只有一个交点；然后作答即可．
解：如图，作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 与射线 相切，此时只有一个交点；当 时， 与射线 有两个交点；
∴当 时， 与射线 只有一个交点；
综上，当 与射线 只有一个交点时， 半径r的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
【题型3】根据直线和圆的位置关系求直线到圆心的距离
【例3】（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知 的半径为1，圆心 在抛物线 上运
动，当 与 轴相切时，求圆心 的坐标.
【答案】 ， 或 .
【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是
解本题的关键． 与 轴相切，即圆心 到 轴的距离等于 的半径，也就是圆心 的纵坐标y为 ，
把y代入 中，即可求出符合题意的圆心 的坐标．
【详解】解： 与 轴相切，设圆心 到x轴的距离为d，
，即点 的纵坐标y为 ；
当 时，即 ，解得： ，
点 的坐标为 或 ；
当 时，即 ，解得： ，
点 的坐标为 ；
综上，符合题意点 的坐标为 ， 或 ．【变式1】（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， ，
，如果以CD为直径的圆与梯形 各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么AD长
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线AB和
圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的
联系，得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆必须和直线AB相交，设直线AB和圆相切于点E，
连接 ，则 ， ，
又∵ ，
∴此时 ．
根据梯形的中位线定理，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线要和圆相交，则 ．
故选D．
【变式2】（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系 中，对于直线 ： ，给出如下定义：若直
线 与某个圆相交，点 的坐标为 ，若 的半径为 ，直线 关于 的“圆截距”的最小值为，则 的值为 ．
【答案】
【分析】如图所示，设直线 与 交于 ，过点 作 于 ，连接 ，先证明当点 与点
重合时， 最小，即此时 最小，再由 求出 ，可得 ，解得 ．
解：如图所示，设直线 与 交于 ，过点 作 于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴当 最小时， 最大.
∵ ，
∴当点 与点 重合时， 最大，
∵直线 关于 的“圆截距”的最小值为 ，即 ，
∴ ，∴ .
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确
理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
【题型4】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
【例4】（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的 的圆心P的坐标为 ，
将 沿x轴正方向平移，使 与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】分两种情况讨论： 位于 轴左侧和 位于 轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分
别求解，即可得到答案．
解： 的圆心P的坐标为 ，
，
的半径为2，
，
， ，
当 位于 轴左侧且与 轴相切时，平移的距离为1，
当 位于 轴右侧且与 轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离d的取值范围是 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心
的距离等于圆的半径．
【变式1】（2020·辽宁盘锦·二模）如图，半径 的⊙M在 轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M
与直线 相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
【答案】D
【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相
切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．
解：①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：
∵
∴ ， ， 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴⊙M与直线AB相切于点A
∵
∴
∴圆心M的坐标为 ；②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作 于点C，如下图所示：
∵⊙M与直线AB相切，
∴
根据直线AB的解析式： 可知
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴圆心M的坐标为 ，
综上所述：圆心M的坐标为 或 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法
并进行分类讨论是解决本题的关键．
【变式2】（2021·四川绵阳·一模）如图， O 的直径AB长度为12， O 的直径为8，∠AOO＝30°，
1 2 1 2
O 沿直线OO 平移，当 O 平移到与 ⊙O 和AB所在直线都有公共点⊙时，令圆心距OO＝x，则x的取
2 1 2 2 1 1 2
⊙值范围是（ ） ⊙ ⊙A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8
【答案】D
【分析】由题意得出点O 在点O 的右侧，⊙O 与⊙O 和AB所在直线都有公共点时，OO 的最大值和最
2 1 2 1 1 2
小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O 在点O 的左侧时的结论．
2 1
解：当点O 在点O 的右侧时，
2 1
当⊙O 向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，
2
则OM=4，
2
又∵∠AOO=30°，
2 1
∴OO=2•OM=8，
1 2 2
当⊙O 继续向左移动到与⊙O 内切时，如图2所示，此时OO=6-4=2，
2 1 1 2
所以当⊙O 平移到与⊙O 和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；
2 1
故选：D．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的
关键．
【题型5】求直线平移到与圆相切时运动的距离
【例5】（2019九年级·全国·专题练习）已知：直线 经过点 .
（1）求 的值；（2）将该直线向上平移 个单位，若平移后得到的直线与半径为6的 相离（点 为坐标原
点），试求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用待定系数法解答；（2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三
角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
解：（1）因为直线 经过点 ，
所以 ，
即 ，
故答案为
（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线 所对应的函数关系式为 ，设直线 与 轴、
轴分别交于点 、 （如图所示），
当 时， ；当 时， .
所以 ， ，即 ， .
在 中， .
过点 作 于 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，解得 .
依题意得： ，
解得 ，
即 的取值范围为 .
【点拨】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中， 与x轴分别交于A、B两
点，点 的坐标为 ， ．将 沿着与y轴平行的方向平移，使得 与x轴相切，则平移的
距离为（ ）
A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
【答案】D
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的
问题是关键．作 于点 ，由垂径定理即可求得 的长，根据勾股定理即可求得 的长，再分
点 向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可．
解：连接 ，作 于点 ，由垂径定理得：
，在直角 中，由勾股定理得： ，
即 ，
，
的半径是2．
将 向上平移，当 与 轴相切时，平移的距离 ；
将 向下平移，当 与 轴相切时，平移的距离 ．
故选：D
【变式2】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 半径 ，直线 ，垂足为H，
且l交 于A，B两点， ，将直线l沿 所在直线向下平移，若l恰好与 相切时，则平移
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，由垂径定理和勾股定理得 ，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得
．
解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵将直线l沿 所在直线向下平移，若l恰好与 相切时，
∴ ，
即直线在原有位置向下移动 后与圆相切．
故选：B．【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型6】直通中考
【例1】（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数 的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点
O为圆心、r为半径作 ．若对于符合条件的任意实数k，一次函数 的图像与 总有两个公
共点，则r的最小值为 ．
【答案】2
【分析】由 的图像经过第一、二、四象限，可知 ，由 过定点 ，可知当圆经
过 时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2．
解：∵ 的图像经过第一、二、四象限，
∴ ， 随 的增大而减小，
∵ 过定点 ，
∴当圆经过 时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，
∴r的临界点是2，
∴r的最小值是2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运
用．
【例2】（2021·四川遂宁·中考真题）已知平面直角坐标系中，点P（ ）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离 可用公式 来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B
＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：
．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线 的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线 的位置关系，若相交，设其弦
长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
【答案】（1）3；（2）直线与圆相交，
【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）根据半径和点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长．
解：（1）∵y＝ x＋9可变形为 x－y＋9＝0，则其中A＝ ，B＝－1，C＝9，
由公式可得
∴点M到直线y＝ x＋9的距离为3，
（2）由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，圆的半径r＝4，
∵d＜r
∴直线与圆相交，
则弦长 ，【点拨】本题考查了阅读理解和圆与直线的位置关系，垂径定理，解题关键是熟练运用公式求解和熟练
运用圆的相关性质进行推理和计算．
【题型7】拓展延伸
【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 中， ， ， ，D
是 上一点，E是 上一点， ，若以 为直径的圆交 于M、N点，则 的最大值为
．
【答案】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识，如图，作 于H，
于K，由题意 ， ，推出欲求 的最大值，只要求出 的最
小值即可．
解：如图，连接 ，作 于H， 于K，
，，
，
，
，
欲求 的最大值，只要求出 的最小值即可，
，
点O的运动轨迹是以C为圆心， 为半径的圆，
在 中， ， ，
，
，
，
当C、O、H共线，且与 重合时， 的值最小，
的最小值为 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【例2】（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐
标系 中，定义一种坐标加密方式：将点 变换得到点 ，则称点Q是点P的“加
密点”．例如，点 的“加密点”是点 ．已知点A在x轴的上方，且 ，若点A的“加
密点”B在直线 上，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象和性质，直线与圆的位置关系；设 ，则 ，可得 ，进而得当直线 与半圆
相切时， ，当直线 过点 时， ，进而得到答案
解：设 ，则
∵B在直线 上，
∴ ，即 ，
∵点A在x轴的上方，且 ，
∴ ，
∴ 是直线 与半圆 的交点，
当直线 与半圆 相切时，
∴ 中， ，即 ，
当直线 过点 时， ，
∴
故答案为：
