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[基础题组练]
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的
交点个数是( )
A．至多为1 B．2
C．1 D．0
解析：选B.由题意知，>2，即<2，
所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.
2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，
则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立
解得交点A(0，－2)，B，所以S ＝·|OF|·|y －y |＝×1×＝，故选B.
△OAB A B
3．已知F(－1，0)，F(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F 且垂直于x轴的直线与椭圆C交
1 2 2
于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C.设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F 且垂直于x轴的直线与
2
椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的
方程为＋＝1.
4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C.设A，B两点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，直线l的方程为y＝x＋t，
1 1 2 2
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
则x＋x＝－t，xx＝.
1 2 1 2
所以|AB|＝|x－x|
1 2
＝·
＝·＝·，
当t＝0时，|AB| ＝.
max
5．中心为(0，0)，一个焦点为F(0，5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则
该椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C.c＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程消去y，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，
由根与系数的关系得x＋x＝＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.
1 2
6．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB
1
的长为________．
解析：由题意知，椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．
1
由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.
设A(x，y)、B(x，y)，由根与系数的关系，得
1 1 2 2
x＋x＝，xx＝0.
1 2 1 2
则|AB|＝
＝
＝ ＝.
答案：
7．直线m与椭圆＋y2＝1交于P ，P 两点，线段PP 的中点为P，设直线m的斜率为
1 2 1 2
k(k≠0)，直线OP的斜率为k，则kk 的值为________．
1 1 2 1 2
解析：由点差法可求出k＝－·，
1
所以k·＝－，即kk＝－.
1 1 2
答案：－
8．(2019·广东广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直
线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________________．
解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1，0)关于
直线y＝x的对称点为(m，n)，可得＝－2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在
直线y＝x上，所以有＝×③，联立②③，解得即对称点为，代入椭圆方程可得＋＝1④，联立
①④，解得a2＝，b2＝，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为
F(－1，0)，F(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF|＝5|PF|且cos∠FPF＝.
1 2 1 2 1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，
点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．
解：(1)由题意设|PF|＝r，|PF|＝r，则3r＝5r，又r＋r＝2a，所以r＝a，r＝a.
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
在△PFF 中，由余弦定理得，cos∠FPF＝＝＝，
1 2 1 2
解得a＝2，因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)联立方程，得，消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设A(x，y)，B(x，y)，则x＋
1 1 2 2 1
x＝，xx＝，且Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0，①
2 1 2
设AB的中点为M(x，y)，连接QM，则x＝＝，y＝kx＋m＝，
0 0 0 0 0
因为|AQ|＝|BQ|，所以AB⊥QM，又Q，M为AB的中点，所以k≠0，直线QM的斜率存在，所以k·k ＝k·＝－1，解得m＝－，②
QM
把②代入①得3＋4k2＞，整理得16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，解得k＞或k＜
－，故k的取值范围为∪.
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，过点A(－a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的
距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D(－1，0)与椭圆交于E，F两点，若ED＝2DF，求直线EF的方程．
解：(1)由题意，＝，a·b＝··，得a＝，b＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设EF：x＝my－1(m＞0)代入＋y2＝1，得(m2＋3)y2－2my－2＝0，
设E(x，y)，F(x，y)，由ED＝2DF，得y＝－2y.
1 1 2 2 1 2
由y＋y＝－y＝，yy＝－2y＝，
1 2 2 1 2
得＝，所以m＝1，m＝－1(舍去)，
直线EF的方程为x＝y－1即x－y＋1＝0.
[综合题组练]
1．(一题多解)(2019·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y
＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.法一：设直线与椭圆的交点为A(x，y)，B(x，y)，分别代入椭圆方程，得两式
1 1 2 2
相减得＝－·.因为k ＝＝1，且x＋x＝－8，y＋y＝2，所以＝，e＝＝＝，故选C.
AB 1 2 1 2
法二：将直线方程x－y＋5＝0代入＋＝1(a>b>0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，
设直线与椭圆的交点为A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝－，又由中点坐标公式知x＋x＝－8，
1 1 2 2 1 2 1 2
所以＝8，解得a＝2b，又c＝＝b，所以e＝＝.故选C.
2．(综合型)设F，F 分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OP＋
1 2
OF2)·PF2＝0(O为坐标原点)，则△FPF 的面积是( )
1 2
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D.因为(OP＋OF2)·PF2＝(OP＋F1O)·PF2
＝F1P·PF2＝0，
所以PF⊥PF，∠FPF＝90°.
1 2 1 2
设|PF|＝m，|PF|＝n，
1 2
则m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，mn＝2，
所以S ＝mn＝1.
△F1PF2
3．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，A是椭圆与x轴正
1
半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意可设P(－c，y)(c为半焦距)，
0
k ＝－，k ＝－，由于OP∥AB，
OP AB
所以－＝－，y＝，
0
把P代入椭圆方程得＋＝1，
所以＝，所以e＝＝.
答案：
4.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A，A，B，B，焦点分
1 2 1 2
别为F，F，延长BF 与AB 交于P点，若∠BPA 为钝角，则此椭圆的离
1 2 1 2 2 2 1 2
心率的取值范围为________．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∠BPA 为钝角可转化为
1 2
B2A2，F2B1所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20即e2＋e－1>0，e>或e<，又0b>0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值
为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点A(1，0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0，1)在以线段MN
为直径的圆上，求直线l的方程．
解：(1)由题可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2，
所以a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x，y)，N(x，y)。
1 1 2 2
联立，得消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.
Δ＝16m2＋48>0，y＋y＝，yy＝.
1 2 1 2
因为点B在以MN为直径的圆上，
所以BM·BN＝0.因为BM·BN＝(my＋1，y－1)·(my＋1，y－1)＝(m2＋1)yy＋(m－1)
1 1 2 2 1 2
(y＋y)＋2＝0，
1 2
所以(m2＋1)＋(m－1)＋2＝0，
整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝.
所以直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0.
6．(应用型)(2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在
x轴、y轴上滑动，CP＝PD.记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0，1)作直线与曲线E相交于A，B两点，OM＝OA＋OB，当点M在曲线E上时，
求四边形AOBM的面积．
解：(1)设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．
由CP＝PD，得(x－m，y)＝(－x，n－y)．
所以得
由|CD|＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，
所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，
整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，由OM＝OA＋OB，
1 1 2 2
知点M坐标为(x＋x，y＋y)．
1 2 1 2
由题意知，直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得
(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x＋x＝－，xx＝－.
1 2 1 2
y＋y＝k(x＋x)＋2＝.
1 2 1 2
由点M在曲线E上，知(x＋x)2＋＝1，
1 2
即＋＝1，解得k2＝2.
这时|AB|＝|x－x|＝＝，原点到直线AB的距离d＝＝，
1 2
所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝.
