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1．(2019·江西赣州模拟)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是(
)
A. B.
C. D.
解析：选D.函数f(x)＝aex－x－2a的导函数f′(x)＝aex－1.当a≤0时，f′(x)≤0恒成立，函
数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln，函数f(x)在上单
调递减，在上单调递增，所以f(x)的最小值为f＝1－ln－2a＝1＋ln a－2a.令g(a)＝1＋ln a－
2a(a>0)，则g′(a)＝－2.当a∈时，g(a)单调递增；当a∈时，g(a)单调递减，所以g(a) ＝g＝－
max
ln 2<0，所以f(x)的最小值为f<0，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点．综上所述，实数a的取
值范围是(0，＋∞)，故选D.
2．已知函数f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－.则方程f(x)＝0的解的个数是________．
解析：因为f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－，
所以f′(x)＝－x＋2＝
＝，
当x∈(0，3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(3，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x→0时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞，
所以f(x) ＝f(3)＝3ln 3－＋6－3ln 3－＝0，
max
所以方程f(x)＝0只有一个解．
答案：1
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.
(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；
(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.
解：(1)证明：当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.
设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.
当x≠1时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减．而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，
即f(x)≥1.
(2)设函数h(x)＝1－ax2e－x.
f(x)在(0，＋∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，＋∞)只有一个零点．
(ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点；
(ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当x∈(0，2)时，h′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，
h′(x)＞0.
所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．
故h(2)＝1－是h(x)在[0，＋∞)的最小值．
①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，＋∞)没有零点；②若h(2)＝0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点；
③若h(2)＜0，即a＞，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)有一个零点．
由(1)知，当x＞0时，ex＞x2，所以
h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－＞0.
故h(x)在(2，4a)有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)有两个零点．
综上，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝.
4．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知函数f(x)＝ex·(ln x－ax＋a＋b)(e为自然对数的底
数)，a，b∈R，直线y＝x是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线．
(1)求a，b的值．
(2)是否存在k∈Z，使得y＝f(x)在(k，k＋1)上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存
在，请说明理由．
解：(1)f′(x)＝ex(ln x－ax＋＋b)，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
由已知，得，即，
解得a＝1，b＝.
(2)由(1)知，f(x)＝ex，则f′(x)＝ex(ln x－x＋＋)，
令g(x)＝ln x－x＋＋，则g′(x)＝－<0恒成立，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝>0，g(2)＝ln 2－1<0，
所以存在唯一的x∈(1，2)，使得g(x)＝0，且当x∈(0，x)时，g(x)>0，即f′(x)>0，当
0 0 0
x∈(x，＋∞)时，g(x)<0，即f′(x)<0.
0
所以f(x)在(0，x)上单调递增，在(x，＋∞)上单调递减．
0 0
又当x→0时，f(x)<0，f(1)＝>0，f(2)＝e2(ln 2－)>0，f(e)＝ee<0，
所以存在k＝0或2，使得y＝f(x)在(k，k＋1)上有唯一零点．
5．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论g(x)＝f(x)在区间[0，1]上零点的个数．
解：(1)因为f(x)＝ex－ax－1，
所以f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，令f′(x)<0，
得x0，得x>ln a，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．
(2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝，
先考虑f(x)在区间[0，1]上的零点个数，
当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且f(0)＝0，所以f(x)在[0，1]上有一个零点；当a≥e时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以f(x)在[0，1]上有一个零点；
当1e－1或a＝2(－1)时，g(x)在[0，1]上有两个零点；
当1
