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[基础题组练]
1．(2019·豫南九校联考)将函数y＝sin(x－)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变)，再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为( )
A．y＝sin(－) B．y＝sin(－)
C．y＝sin(－) D．y＝sin(2x－)
解析：选B.函数y＝sin(x－)经伸长变换得y＝sin(－)，再作平移变换得y＝sin[(x－)－]＝
sin(－)．
2．(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象
( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
解析：选B.因为y＝sin 2x＝cos＝
cos，y＝cos＝cos，
所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象，故选B.
3．(2019·广州调研)将函数y＝2sin(x＋)cos(x＋)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得
图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.根据题意可得y＝sin(2x＋)，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y＝sin(2x
＋＋2φ)的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以＋2φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，
又φ>0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φ ＝，故选B.
min
4．(2019·郑州质量预测)若将函数f(x)＝sin(2x＋)图象上的每一个点都向左平移个单位长
度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为( )
A．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
B．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ－，kπ－](k∈Z)
D．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
解析：选A.将函数f(x)＝sin(2x＋)图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到函数
g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋π)＝－sin 2x的图象，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋
kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，因此函数g(x)的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，故选A.
5．(2019·江西赣州质检)设ω>0，函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后，
得到如图所示的图象，则ω，φ的值为( )A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝1，φ＝－ D．ω＝1，φ＝
解析：选A.函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后可得y＝sin(ωx＋＋
φ)．由函数的图象可知，＝－(－)＝，所以T＝π.根据周期公式可得ω＝2，所以y＝sin(2x＋φ
＋)．由图知当y＝－1时，x＝×(－)＝，所以函数的图象过(，－1)，
所以sin(＋φ)＝－1.因为－π<φ<π，所以φ＝.故选A.
6．(2019·湖北天门、仙桃、潜江联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，
则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)的值等于( )
A. B.
C.＋2 D．1
解析：选C.由题图知A＝2，＝6－2＝4，所以T＝8，则ω＝＝.
所以y＝2sin(x＋φ)．又因为函数图象过点(2，2)，
所以2sin(×2＋φ)＝2，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝2sin(x)．
因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)＝2f(1)＋2f(2)＋…＋2f(8)＋f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(2)＝＋2，
故选C.
7．(2019·湖南、江西等地十四校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图
象如图所示，已知x，x∈(，π)，x≠x，且f(x)＝f(x)，则f(x＋x)＝________.
1 2 1 2 1 2 1 2
解析：由题意可得A＝2，T＝×＝－＝π，所以ω＝2.
当x＝时，f(x)＝2，则ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
据此可得φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为0<φ<π，令k＝0可得φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋)．当x∈(，π)
时，<2x＋<，所以f(x)在此区间上的对称轴方程为x＝.由x，x∈(，π)，x≠x，且f(x)＝f(x)，可
1 2 1 2 1 2
得x＋x＝，
1 2
则f()＝2sin(2×＋)＝2sin＝2×＝1.
答案：18．(2019·无锡模拟)函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝
sin的图象重合，则φ＝________．
解析：把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，得到y＝cos (2x－π＋
φ)的图象，
与函数y＝sin的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin，即sin＝sin，
所以－＋φ＝－，则φ＝，
答案：
9．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，(ω>0，|φ|<)，若f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
则φ＝________.
解析：由f(x)的最小正周期大于2π，得>.又f()＝2，f()＝0，由题意得＝－＝，所以T＝3π，
则＝3π ω＝，
所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＝2sin(x＋φ)．
⇒
由f()＝2sin(×＋φ)＝2 sin(＋φ)＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|<，取k＝0，得φ＝.
答案：
⇒
10．(2019·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为2；
②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
③f(x)在(2k－，2k＋)，k∈Z上是减函数；
④f(x)的最大值为A.
则正确的结论为________．(填序号)
解析：由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×(－)＝2，故①正确；因为函数f(x)的图
象过点(，0)和(，0)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝(＋)＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不
是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－
≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－
A，故④不正确．
答案：①③
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象过点P(，0)，图象上与点P最近的一
个最高点是Q(，5)．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)依题意得A＝5，
周期T＝4(－)＝π，
所以ω＝＝2.故y＝5sin(2x＋φ)，
又图象过点P(，0)，
所以5sin(＋φ)＝0，
由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝－，
所以y＝5sin(2x－)．
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
12．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图
象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.
[综合题组练]
1．(2019·开封模拟)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度以后得到
的图象与函数y＝ksin x ·cos x(k>0)的图象重合，则k＋m的最小值是( )
A．2＋ B．2＋ C．2＋ D．2＋
解析：选A.将函数y＝sin2x－cos2x＝－cos 2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所
得图象对应的函数解析式为y＝－cos[2(x＋m)]＝－cos(2x＋2m)＝sin(m>0)，平移后得到的图
象与y＝ksin xcos x＝sin 2x(k>0)的图象重合，
所以，
所以k＝2，m＝nπ＋(n∈Z)，又m>0，所以m的最小值为，故k＋m的最小值为2＋，故选
A.2．(创新型)(2019·华南师范大学附属中学综合测试)如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)
(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝( )
A．－1 B．1
C．－ D.
解析：选D.由题设并结合图形可知，
AB＝＝
＝＝，得＝4，则ω＝，
所以f(－1)＝sin(－＋)＝sin ＝.
3．(应用型)若在区间(n，m)上，函数f(x)＝2cos 2x的图象总在函数g(x)＝－7－4sin x的
图象的上方，则m－n的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.根据题意，函数f(x)＝2cos 2x的图象总在函数g(x)＝－7－4sin x的图象的上
方可以转化为2cos 2x>－7－4sin x恒成立，即2cos 2x＋7＋4sin x>0.根据二倍角公式化简
为4sin2x－4sin x－9<0 －0.
(1)若y＝f(x)在[－，]上单调递增，求ω的取值范围．
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到
函数y＝g(x)的图象．
①求函数y＝g(x)的解析式，并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象；
②对任意a∈R，求函数y＝g(x)在区间[a，a＋10π]上零点个数的所有可能值．
解：(1)因为在[－，]上，函数f(x)＝2sin ωx单调递增，所以ω·≤，求得ω≤，所以ω的取
值范围为(0，]．
(2)①令ω＝2，将函数y＝f(x)＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin 2(x
＋)的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)＝2sin(2x＋)＋1的图象．
即函数y＝g(x)的解析式为y＝g(x)＝2sin(2x＋)＋1.列表：
2x＋ 0 π 2π
x －
y 1 3 1 －1 1
作图：②对任意a∈R，由于函数y＝g(x)的周期为π，g(x)在区间[a，a＋10π]上，共有10个周期，
故函数g(x)最多有21个零点，最少有20个零点．零点个数的所有可能值为20，21.
