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期末真题必刷压轴 60 题（25 个考点专练）
一．根与系数的关系（共3小题）
1．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ＝0，建立关于m的等式，由此求出m的取值．再化简
方程，进而求出方程相等的两根；
（2）利用根与系数的关系，化简x 2+x 2＝136，即（x +x ）2﹣2x x ＝136．根据根与系数的关系即可得
1 2 1 2 1 2
到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．
【解答】解：（1）若方程有两个相等的实数根，
则有Δ＝b2﹣4ac＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，原方程为x2+4x+4＝0，
∴x ＝x ＝﹣2；
1 2
（2）不存在．
假设存在，则有x 2+x 2＝136．
1 2
∵x +x ＝4m﹣8，
1 2
x x ＝4m2，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝136．
1 2 1 2
即（4m﹣8）2﹣2×4m2＝136，
∴m2﹣8m﹣9＝0，
（m﹣9）（m+1）＝0，
∴m ＝9，m ＝﹣1．
1 2
∵Δ＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m ＝9，m ＝﹣1都不符合题意，
1 2
∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔
2、根与系数的关系为：x +x ＝ x x ＝ ．
1 2 1 2
2．（2022秋•安顺期末）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相
等的实数根x 、x ，
1 2
（1）若x 2+x 2＝6，求m值；
1 2
（2）求 的最大值．【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大
值．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6
1 2 1 2 1 2
∴ ，
∵﹣1≤m＜1，
∴ ；
（2） ＝
＝ （﹣1≤m＜1）．
∵对称轴m＝ ，2＞0，
∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．
【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式 Δ＝b2﹣4ac来求出
m的取值范围；利用根与系数的关系x +x ＝ ，x x ＝ 来化简代数式的值．
1 2 1 2
3．（2022秋•宿城区期末）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理
由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．
（2）两实数根互为相反数，让﹣ ＝0即可求得k的值．
（3）分b＝c，b＝a两种情况做．
【解答】证明：（1）∵Δ＝（2k+1）2﹣16（k﹣ ）＝（2k﹣3）2≥0，
∴方程总有实根；
解：（2）∵两实数根互为相反数，
∴x +x ＝2k+1＝0，
1 2
解得k＝﹣0.5；
（3）①当b＝c时，则Δ＝0，即（2k﹣3）2＝0，
∴k＝ ，
方程可化为x2﹣4x+4＝0，
∴x ＝x ＝2，
1 2
而b＝c＝2，
∴b+c＝4＝a不适合题意舍去；
②当b＝a＝4，则42﹣4（2k+1）+4（k﹣ ）＝0，
∴k＝ ，
方程化为x2﹣6x+8＝0，
解得x ＝4，x ＝2，
1 2
∴c＝2，
C△ABC ＝10，
当c＝a＝4时，同理得b＝2，
∴C△ABC ＝10，
综上所述，△ABC的周长为10．
【点评】一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰
三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．
二．一元二次方程的应用（共3小题）
4．（2023春•武胜县校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5厘米，AB＝5 厘米，点P从点A出
发沿AC边以2厘米/秒的速度向终点C匀速移动，同时，点Q从点C出发沿CB边以1厘米/秒的速度向
终点B匀速移动，P、Q两点运动几秒时，P、Q两点间的距离是2 厘米？
【分析】首先表示出PC和CQ的长，然后利用勾股定理列出有关时间t的方程求解即可．
【解答】解：设P、Q两点运动x秒时，P、Q两点间的距离是2 厘米．
在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5厘米，AB＝5 厘米，
∴AC＝ ＝ ＝10（厘米），
∴AP＝2x 厘米 CQ＝x厘米 CP＝（10﹣2x）厘米，
在Rt△CPQ内有PC2+CQ2＝PQ2，
∴（10﹣2x）2+x2＝（2 ）2，
整理得：x2﹣8x+12＝0，
解得：x＝2或x＝6，当x＝6时 CP＝10﹣2x＝﹣2＜0，∴x＝6不合题意舍去．
∴P、Q两点运动2秒时，P、Q两点间的距离是2 厘米．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法和应用，解决第二题的关键是设出运动时间并用运动时间表示
出有关线段的长．
5．（2022秋•甘井子区校级期末）青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产
8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
【分析】本题依据题中的等量关系水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，根
据增长后的产量＝增长前的产量（1+增长率），设增长率是x，则2012年的产量是7200（1+x）2据此即
可列方程，解出后检验即可．
【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
则有：7200（1+x）2＝8450，
解得：x ＝ ≈0.0833，x ＝﹣ ＝﹣2.0833（应舍去）．
1 2
故水稻每公顷产量的年平均增长率为8.33%．
【点评】考查了一元二次方程的应用，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一
次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，
下降用“﹣”．
6．（2022秋•惠阳区校级期末）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形
花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩
形花园的面积为300m2．
【分析】设AB为x m，则BC为（50﹣2x）m，根据题意可得等量关系：矩形的长×宽＝300，根据等量关
系列出方程，再解即可．
【解答】解：设AB为x m，则BC为（50﹣2x）m，
根据题意得方程：x（50﹣2x）＝300，
2x2﹣50x+300＝0，
解得；x ＝10，x ＝15，
1 2
当x ＝10时50﹣2x＝30＞25（不合题意，舍去），
1
当x ＝15时50﹣2x＝20＜25（符合题意）．
2
答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未
知数，列出方程．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
7．（2022秋•阳曲县期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 的图象交于A（﹣1，3），B（3，
a）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞ 的解集；
（2）求S△AOB ．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求得解析式，然后求得 B的坐标，再用待定系数法求得
一次函数的解析式；
（2）不等式kx+b＞ 的解集就是一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时对应的x的范围；
（3）首先求得AB与y轴的交点，然后利用三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，3）代入y＝ 得m＝﹣3，
则反比例函数的解析式是y＝﹣ ，
当x＝3时，y＝﹣1，则B的坐标是（3，﹣1）．
根据题意得： ，
解得： ，
则直线的解析式是y＝﹣x+2；
（2）不等式kx+b＞ 的解集是：x＜﹣1或0＜x＜3；
（3）在y＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，
则S△AOB ＝ ×2×1+ ×2×3＝4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了
方程思想，综合性较强．
8．（2022秋•莘县校级期末）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的
交点．AB⊥x轴于B，且 ．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
（3）直接写出 的解集．【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，
由此即可求出k；
（2）由函数的解析式组成方程组，解之求得A、C的坐标，然后根据S△AOC ＝S△ODA +S△ODC 即可求出；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S△ABO ＝ •|BO|•|BA|＝ •（﹣x）•y＝ ，
∴xy＝﹣3，
又∵y＝ ，
即xy＝k，
∴k＝﹣3．
∴所求的两个函数的解析式分别为y＝﹣ ，y＝﹣x+2；
（2）由y＝﹣x+2，
令x＝0，得y＝2．
∴直线y＝﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），
∵A、C在反比例函数的图象上，
∴ ，解得 ， ，
∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），
∴S△AOC ＝S△ODA +S△ODC ＝ OD•（|x
1
|+|x
2
|）＝ ×2×（3+1）＝4；
（3）关于x的不等式 的解集是：﹣1≤x＜0或0x≥3．
【点评】此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用
坐标求出线段和图形的面积．也考查了函数和不等式的关系．
9．（2022秋•岳阳县期末）如图已知函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象与一次函数y＝mx+5（m＜0）的图象
相交不同的点A、B，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为x ，△AOD的面积为
0
2．
（1）求k的值及x ＝4时m的值；
0
（2）记[x]表示为不超过x的最大整数，例如：[1.4]＝1，[2]＝2，设t＝OD•DC，若﹣ ＜m＜﹣ ，求[m2•t]值．
【分析】（1）设A（x ，y ），可表示出△AOD的面积，再结合x y ＝k可求得k的值，根据A的横坐标
0 0 0 0
可得纵坐标，代入一次函数可得m的值；
（2）先根据一次函数与x轴的交点确定OC的长，表示DC的长，从而可以表示t，根据A的横坐标为
x ，即x 满足 ，可得：mx 2+5x ＝4，再根据m的取值计算m2•t，最后利用新定义可得结论．
0 0 0 0
【解答】解：（1）设A（x ，y ），则OD＝x ，AD＝y ，
0 0 0 0
∴S△AOD ＝ OD•AD＝ ＝2，
∴k＝x y ＝4；
0 0
当x ＝4时，y ＝1，
0 0
∴A（4，1），
代入y＝mx+5中得4m+5＝1，m＝﹣1；
（2）∵ ，
，
mx2+5x﹣4＝0，
∵A的横坐标为x ，
0
∴mx 2+5x ＝4，
0 0
当y＝0时，mx+5＝0，
x＝﹣ ，
∵OC＝﹣ ，OD＝x ，
0
∴m2•t＝m2•（OD•DC），
＝m2•x （﹣ ﹣x ），
0 0
＝m（﹣5x ﹣mx 2），
0 0
＝﹣4m，
∵﹣ ＜m＜﹣ ，
∴5＜﹣4m＜6，∴[m2•t]＝5．
【点评】本题是新定义的阅读理解问题，还考查了一次函数和反比例函数的交点问题、一元二次方程解
的定义及反比例函数k的几何意义，有难度，综合性较强，第2问利用方程的解得出mx 2+5x ＝4是关键．
0 0
四．反比例函数的应用（共2小题）
10．（2022秋•沙依巴克区校级期末）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为 1时，它的
另一边长为3．
（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？
为什么？
【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范
围；
（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．
【解答】解：（1）①由题意可得：xy＝3，
则y＝ （x＞0）；
②当y≥3时， ≥3
解得：x≤1，
故x的取值范围是：0＜x≤1；
（2）∵一个矩形的周长为6，
∴x+y＝3，
∴x+ ＝3，
整理得：x2﹣3x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴矩形的周长不可能是6；
所以圆圆的说法不对．
∵一个矩形的周长为10，
∴x+y＝5，
∴x+ ＝5，
整理得：x2﹣5x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝25﹣12＝13＞0，
∴矩形的周长可能是10，
所以方方的说法对．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出 y与x之间的关系是解题关键．
11．（2022秋•邯山区校级期末）家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（k ）随温度
t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温 10℃上升到30℃
Ω
的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高
而增加，温度每上升1℃，电阻增加 k ．
（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；
Ω
（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6k ？
Ω
【分析】（1）设关系为R＝ ，将（10，6）代入求k；
（2）将t＝30℃代入关系式中求R’，由题意得R＝R’+ （t﹣30）；
（3）将R＝6代入R＝R’+ （t﹣30）求出t．
【解答】解：（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，
∴可设R和t之间的关系式为R＝ ，
将（10，6）代入上式中得：6＝ ，
k＝60．
故当10≤t≤30时，R＝ ；
（2）将t＝30℃代入上式中得：R＝ ，R＝2．
∴温度在30℃时，电阻R＝2（k ）．
Ω
∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加
k ，
∴当t≥30时，
Ω
R＝2+ （t﹣30）＝ t﹣6；
（3）把R＝6（k ），代入R＝ t﹣6得，t＝45（℃），
所以，温度在10℃～45℃时，电阻不超过6k ．
Ω
Ω【点评】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应
的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
五．抛物线与x轴的交点（共2小题）
12．（2022秋•扶风县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（﹣1，
0），与y轴交于点C（0，﹣5），且经过点D（3，﹣8）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将此二次函数的解析式写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个
交点B的坐标．
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的
范围内有解，则t的取值范围是 ﹣ 9 ≤ t ＜ 0 ．
【分析】（1）把点A、B、C的坐标代入函数表达式，然后根据 三元一次方程的解法求出a、b、c的值，
即可得到二次函数的解析式；
（2）利用配方法整理，然后根据顶点式写出顶点坐标，再根据对称轴解析式与点A的坐标求出与x轴的
另一交点坐标；
（3）由（1）可知a，b，c的值，再根据一元二次方程x2﹣4x﹣5﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围
内有解相当于y＝x2﹣4x﹣5与y＝t在x的范围内有交点解答即可．
【解答】解：（1）根据题意得，
，
②分别代入①、③得，
a﹣b＝5④，
3a+b＝﹣1⑤，
④+⑤得，4a＝4，
解得a＝1，
把a＝1代入④得，1﹣b＝5，
解得b＝﹣4，
∴方程组的解是
，
∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）y＝x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+4﹣4﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣9，顶点坐标为（2，﹣9），
对称轴为x＝2，
设另一点坐标为B（a，0），
则﹣1+a＝2×2，
解得a＝5，
∴点B的坐标是B（5，0）；
（3）由（1）可知二次函数解析式为y＝x2﹣4x﹣5，
即y＝（x﹣2）2﹣9，
x＝﹣1时，y＝9﹣9＝0，
x＝3时，y＝1﹣9＝﹣8，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有解相当于y＝ax2+bx+c与直
线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣9≤t＜0时，在﹣1＜x＜3的范围内有解．
故答案为：﹣9≤t＜0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点的坐标代入函数表达式，然后解三元一次方程
组即可，熟练掌握二次函数的性质以及三种形式的相互转化也很重要；本题还考查了二次函数与不等式，
把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观．
13．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6交x轴于A（2，0），B（﹣6，0）两点，交y
轴于点C，点Q为线段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求QA+QO的最小值；
（3）过点Q作QP∥AC交抛物线的第三象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别
为S ，S ，设S＝S +S ，当 时，求点P的坐标．
1 2 1 2
【分析】（1）A（2，0），B（﹣6，0）代入y＝ax2+bx﹣6，利用待定系数法解答即可；
（2）作点O关于直线BC的对称点坐标为O′，求出O′的坐标，并证明Q′A为QA+QO的最小值，求
出Q′A即可；
（3）过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M．连接PC．设点P（m， m2+2m﹣6），由于QP∥AC，故
S△PAQ ＝S△PCQ （同底等高），从而得到S△PAQ +S△PBQ ＝S△PBC ＝S梯形PCOM +S Rt△PMB ﹣S Rt△BOC ，用P点坐标将
各项表示出来，从而求出m的值，进而求得P点坐标．【解答】解：（1）将A（2，0），B（﹣6，0）分别代入y＝ax2+bx﹣6，得方程组 ，解得
．
∴抛物线的解析式为y＝ +2x﹣6．
（2）作点O关于直线BC的对称点坐标为O′．连接BO′、CO′、OO′．
∵OB＝OC，OO′⊥BC，
∴OO′平分BC，
∴OO′垂直平分BC．
又∵BC垂直平分OO′，且∠BOC＝90°，
∴四边形OCO′B是正方形．
∴点O关于直线BC的对称点坐标为O′（﹣6，﹣6）．
连接O′A，与BC交于点Q．
∵BC是OO′的垂直平分线，
∴QO＝QO′，
∴QA+QO＝QA+QO′＝O′A．
在BC上任取一点异于点Q的点Q′，连接Q′O、Q′A、Q′O′．
Q′A+Q′O＝Q′A+Q′O′＞O′A（在三角形中，两边之和大于第三边），
∴QA+QO的最小值为O′A＝ ＝10．
（3）过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M．连接PC．
∵QP∥AC，∴S△PAQ ＝S△PCQ （同底等高），
∴S△PAQ +S△PBQ ＝S△PBC ＝S梯形PCOM +S Rt△PMB ﹣S Rt△BOC ．
设点P（m， m2+2m﹣6），
∴S梯形PCOM ＝ （MP+OC）•OM＝ （﹣ m2﹣2m+6+6）（﹣m）＝﹣ m（﹣ m2﹣2m+12），
S Rt△PMB ＝ MP•BM＝ （﹣ m2﹣2m+6）（m+6）＝ （m+6）（﹣ m2﹣2m+6），
S Rt△BOC ＝ OB•OC＝ ×6×6＝18．
∴S＝S +S ＝﹣ m（﹣ m2﹣2m+12）+ （m+6）（﹣ m2﹣2m+6）﹣18＝ ，解得m＝﹣1或﹣5．
1 2
∴P（﹣1，﹣ ）或（﹣5，﹣ ）．
【点评】本题考查二次函数的性质、图象上坐标特点和解析式的求法等内容，解答过程非常复杂，要求
有极强的计算能力和思维能力．
六．二次函数的应用（共2小题）
14．（2022秋•大理州期末）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调
查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．
【分析】（1）设销售价格为x元，根据“单件利润×销售量＝总利润”列出关于x的方程，解之可得；
（2）根据（1）中所列相等关系列出总利润y关于x的函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性
质求解可得．
【解答】解：（1）设销售价格为x元时，当天销售利润为2000元，
则（x﹣20）•[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
整理，得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x ＝30，x ＝40（舍去），
1 2
答：该商品销售价是30元/件；
（2）设该商品每天的销售利润为y，
则y＝（x﹣20）•[250﹣10（x﹣25）]
＝﹣10x2﹣700x+10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
答：当销售单价为35元/件时，销售利润最大．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．
15．（2022秋•华容区期末）如图，足球场上守门员在 O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在
y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第
一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度
减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取 ， ）
【分析】（1）易得第一次落地时抛物线的顶点，可设所求的函数解析式为顶点式，把（0，1）代入即可
求得所求的函数解析式；
（2）易得第二次落地时的抛物线的二次项的系数与第一次落地时抛物线的二次项系数相同，顶点的纵坐
标为第一个函数顶点纵坐标的一半，用顶点式设出所求的函数解析式，把 C坐标代入后求得第二次落地
时的抛物线解析式，让函数值等于0可得D的横坐标，减去OB的距离即为跑的距离．
【解答】解：（1）如图，设第一次落地时，
抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+4．
由已知：当x＝0时y＝1．
即1＝36a+4，
∴a＝﹣ ．
∴表达式为y＝﹣ （x﹣6）2+4；
（2）由题意得：0＝﹣ （x﹣6）2+4
解得：x ＝4 +6≈13，x2＝﹣4 +6＜0（舍去），
1
∴点C坐标为（13，0）．
设第二次落地的抛物线为y＝﹣ （x﹣k）2+2．
将C点坐标代入得：0＝﹣ （13﹣k）2+2．
解得：k ＝13﹣2 ＜13（舍去），k ＝13+2 ≈18．
1 2
∴y＝﹣ （x﹣18）2+2．
0＝﹣ （x﹣18）2+2．
x ＝18﹣2 （舍去），x ＝18+2 ≈23，
1 2
∴BD＝23﹣6＝17（米）．
答：运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑17米．【点评】考查二次函数的应用；判断出2个二次函数的顶点坐标是解决本题的关键；用到的知识点为：
若二次函数的形状相同，则二个二次函数的二次项系数相同．
七．二次函数综合题（共19小题）
16．（2022秋•绵阳期末）如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
与y轴交于点C（0， ）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，矩形DEFG的边DE在x轴上，顶点F，G在x轴上方的抛物线上，设点D的横坐标为d，当
矩形DEFG的周长取最大值时，求d，并求矩形DEFG的周长的最大值；
（3）在（2）的结论下，直线DG上是否存在点M，使得∠GMF＝2∠DEM，若存在，求出M的坐标；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由对称性得出点B坐标，抛物线的解析式设为交点式，进一步得出结果；
（2表示出点G的坐标，进而表示出DE和DG的长，进而表示出矩形的周长的解析式，进一步得出结果；
（3）设DM＝x，作EM的垂直平分线，交DE于H，根据△MGF∽△HDM，从而 ，从而表示出
DH＝﹣ +4x，MH＝EH＝ ﹣（﹣ +4x）＝ ﹣4x+ ，在直角三角形DHM中，根据勾股定
理列出方程，进而得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
B（3，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
∴ ＝a•1×（﹣3），
∴a＝﹣ ，∴y＝﹣ （x+1）（x﹣3）＝﹣ x2+3x+ ；
（2）设矩形DEFG的周长为l，
∵G（d，﹣ +3d+ ），
∴DE＝2（1﹣d）＝2﹣2d，DG＝﹣ +3d+ ，
∴l＝2（DE+DG）＝2（2﹣2d﹣ +3d+ ）＝﹣3d2+2d+13＝﹣3（d﹣ ）2+ ，
∴当d＝ 时，矩形周长最大值为 ；
（3）当M点在线段GD上时，如图，
设DM＝x，
作EM的垂直平分线，交DE于H，
∴EH＝MH，
∴∠HME＝∠HEM，
∴∠MHD＝∠MHE+∠HEM＝2∠DEM，
∵∠GMF＝2∠DEM，
∴∠GMF＝∠MHD，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠G＝∠D＝90°，
∴△MGF∽△HDM，
∴ ，
∴ ，
∴DH＝﹣ +4x，
∴MH＝EH＝ ﹣（﹣ +4x）＝ ﹣4x+ ，
由DM2+DH2＝MH2得，x2+（﹣ +4x）2＝（ ﹣4x+ ）2，
∴x ＝ ，x ＝ （舍去），
1 2
∴M（ ， ）；
当M点在线段DG和线段GD的延长线上时，∠GMF是锐角，2∠DEM是钝角，所以不存在∠GMF＝
2∠DEM；
综上所述：M（ ， ）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题
的关键是作辅助线，构造相似三角形．
17．（2022秋•德城区期末）如图1，直线y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线
与x轴的另一交点为B．
（1）请直接写出该抛物线的函数解析式；
（2）点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．
①如图2，连接BD，CD，BC，求△BDC面积的最大值；
②如图3，连接OD，将线段OD绕O点顺时针旋转90°，得到线段OE，过点E作EF∥x轴交直线AC于
F．求线段EF的最大值及此时点D的坐标．
【分析】（1）根据题意用一次函数解析式求出与x轴y轴交点坐标，代入即可得到答案；
（2）①连接OD，利用对角线将四边形分成不同的两个三角形，利用底边在轴线上的三角形面积和差即
可得到所求三角形面积表达式，配方成顶点式即可得到最值；
②过D作DM⊥x轴于M，EF交y轴于N，易证△ODM≌△OEN，从而可以根据线段关系得到E、F点
坐标，得到EF的表达式再根据二次函数最值即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，
当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，
当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得x＝1，
∴A（1，0），B（0，2），
代入y＝﹣ +bx+c得，y＝﹣ x+2；
（2）①连接OD， ，令y＝0，则﹣ x+2＝0，
解得x ＝﹣4，x ＝1，
1 2
∴B（﹣4，0）D在第二象限，
∴﹣4＜m＜0，
∴S△BCD ＝S△BOD +S△COD ﹣S△BOC
＝ ×4×2
＝﹣m2﹣4m
＝﹣（m+2）2+4，
当m＝﹣2时，△BCD的面积最大为4，
②过D作DM⊥x轴于M，EF交y轴于N，
在△ODM和△OEN中，
，
∴△ODM≌△OEN（AAS），
∴DM＝EN＝﹣ m+2OM＝ON＝﹣m，
∴ ，
令y＝﹣m，则﹣m＝﹣2x+2x＝ m+1EF＝﹣ m﹣1＝﹣ ﹣2m+1＝﹣ （m+2）2+3，
∴当m＝﹣2时EF最大为3，D点的坐标（﹣2，3）．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数共存问题及二次函数实际应用题，通过数形结合最终将最值问
题转换成二次函数最值问题是解题的关键．
18．（2022秋•大洼区期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P：y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点
A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q：y＝x2+2x﹣3的图象关于原点中心对称．（1）求抛物线P的表达式；
（2）连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交抛物线P的图象于点E，求线段
DE长度的最大值；
（3）如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使△MOB是等腰三角形？若存在，求出所有符合
条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出抛物线Q与y轴、x轴的交点坐标，再由抛物线Q与抛物线P关于原点对称即可得
点A、B、C坐标，即可求抛物线P；
（2）设 BC 得表达式为 y＝mx+n，将点 B、C 代入得 y＝﹣x+3，设 D（a，﹣a+3），则 E（a，﹣
a2+2a+3），表示出DE即可求解；
（3）对称轴与x轴交于点F，y＝﹣x2+2x+3得对称轴为x＝1，判断OM≠MB，分①OM＝OB＝3，
②BM＝OB＝3两种情况求解即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+0﹣3＝﹣3，
∴抛物线Q与y轴的交点为（0，﹣3），
当y＝0时，0＝x2+2x﹣3，
解得：x＝1或x＝﹣3，
∴抛物线Q与x轴的交点为（1，0）、（﹣3，0），
∵抛物线Q与抛物线P关于原点对称，
∴A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），
将点A、C代入y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得： ，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设BC得表达式为y＝mx+n，
将点B、C代入y＝mx+n得：
，
解得： ，∴y＝﹣x+3，
设D（a，﹣a+3），则E（a，﹣a2+2a+3）；
，
∴当a＝ 时，DE有最大值，DE的最大值为 ；
（3）在抛物线P的对称轴上存在点M，使△MOB是等腰三角形，理由如下：
如图，对称轴与x轴交于点F，
∵y＝﹣x2+2x+3得对称轴为x＝1，
∴OM≠MB，
①当OM＝OB＝3时，△MOB是等腰三角形，
，
∴ 或 ．
②当BM＝OB＝3时，△MOB是等腰三角形，
，
∴ 或 ．
∴ 或 或 或 ．
【点评】本题主要考查二次函数的应用、一次函数应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的
关键．
19．（2022秋•大冶市期末）抛物线y＝﹣ x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛
物线上的一点．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标为A （﹣ 2 ， 0 ） ，B （ 3 ， 0 ） ，C （ 0 ， 4 ） ；
（2）连接AP，CP，AC，若S△APC ＝2，求点P的坐标；
（3）连接AP，BC，是否存在点P，使得∠PAB＝ ∠ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说
明理由．【分析】（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣ x+4＝0，所以x＝﹣2或x＝3，由此可得结论；
（2）连接OP，设 ，则S△PAC ＝S△AOC +S△POC ﹣S△AOP ，列出方程求出m的值，进
而可以解决问题；
（3）在AB的延长线上截取BF＝BC，连接CF，过点B作BE⊥x轴，交CF于点E，连接AE，求出直线
CF的解析式为： ，直线AE的解析式为： ，联立方程组即可解决问题．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
令y＝0，则﹣ x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0），C（0，4）．
故答案为：（﹣2，0），（3，0），（0，4）；
（2）如图，连接OP，
设 ，
则S△PAC ＝S△AOC +S△POC ﹣S△AOP
＝＝4+2m+ m2﹣ m﹣4
＝ m2﹣ m
＝2，
解得：m ＝1，m ＝﹣3（舍），2m方/3+4m/3＝2
1 2
∴点P的坐标为（1，4）；
（3）存在点P使得 ，理由如下：
