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7.1 空间几何中的平行与垂直（精练）
1．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下
列各图中，不满足直线 平面ABC的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由正方体的性质可得 ， 平面ABC， 平面ABC，
所以直线 平面ABC，能满足；
对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得 ， 平面ABC， 平面ABC，
所以直线 平面ABC，能满足；
对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得 ， 平面ABC， 平面ABC，
所以直线 平面ABC，能满足；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.
故选：D.
2．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）a，b，c为三条不重合的直线， ， ，
为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：
① ， ，则 ；②若 ， ，则 ；
③ ， ，则 ；④若 ， ，则 ；
⑤若 ， ，则 ；⑥若 ， ，则 .
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】 ， ， 为三条不重合的直线， ， ， 为三个不重合的平面，
① ， ，则 ，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确；
② ， ，则 ， 可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确；
③ ， ，则 ， 可能平行，也可能相交，所以③不正确；
④ ， ，则 ，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；
⑤ ， ，则 或 ，所以⑤不正确；
⑥ ， ，则 或 ，所以⑥不正确；
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满
足直线BM与平面CNQ平行的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A选项中，由正方体的性质可知 ，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误；
B选项中，因为 ，故平面CNQ即为平面ACNQ，而 ， 平面CNQ， 平面
CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故正确；
C选项中，因为 ，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故错误；
D选项中，假设直线BM与平面CNQ平行，过点M作CQ的平行线交 于点D，则点D是在 上靠近
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点 的四等分点，
由 ， 平面CNQ， 平面CNQ，可得 平面CNQ，又BM与平面CNQ平行，
平面 ，则平面 平面CNQ，
而平面 与平面 ，平面CNQ分别交于BD，QN，则BD与QN平行，
显然BD与QN不平行，假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误．
故选：B.
4．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）在正方体 中，下列结论正
确的是（ ）
① ；②平面 平面 ；③ ；④ 平面 .
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】因为 ，所以四边形 为平行四边形，故 ，故①正确；
易证 ， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得
平面 ，
又 ， 平面 ，故平面 平面 ，故②正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由正方体 易知， 与 异面，故③错误；
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故④正确.故选：A
5（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为
底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面 ，使 ，设 与SM交于点N，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 交 于点 ，连接 ，则平面 即为平面 ，
因为 ，平面 ， 平面 ，所以 ，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，
所以 且 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .故选：C.
6．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知 是两条不相同的直线， 是两
个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 是异面直线， ，则 .
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】对于A， ，则 平面内必然存在一条直线 ，使得 ，并且 ，
同理，在 平面内必然存在一条直线 ，使得 ，并且 ，由于 是异面直线， 与 是相交的，
n与 也是相交的，
即 平面内存在两条相交的直线，分别与平面 平行， ，正确；
设 ，并且 ，则有 ，显然 是相交的，错误；
对于B，若 ，则 不成立，错误；
对于C，若 ，则 平面上必然存在一条直线l与n平行， ，即 ，正确；
对于D，若 ，必然存在一个平面 ，使得 ，并且 ， ，又 ，正
确；故选:ACD.
7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）（多选）已知点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在
棱的中点，则下列各图中，直线PQ与RS是平行直线的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】A：如下图， ， ，由正方体性质知： ，
所以 ，故 ，符合；
B：如下图， ， ，而 ，
所以 不平行，不符合；
C：如下图， ， ，而 ，
所以 不平行，不符合；
D：如下图， ， ，由正方体性质知： ，
所以 ，故 ，符合；故选：AD
8．（2023春·福建）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，现将 与 折起，使得平面BAE和平
面CDE都与平面DAE垂直.求证： 平面DAE.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析
【解析】过点B作 于M，过点C作 于N，连接MN.
∵平面BAE与平面DAE垂直，平面 平面 ， ， 平面BAE，∴ 平面
DAE，同理可证 平面DAE，∴ .
又知 与 全等，∴ ，∴四边形BCNM是平行四边形，∴ .
又 平面DAE， 平面DAE，∴ 平面DAE.
9．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）如图，在四棱锥 中，四边形 是梯形， ，
， ， 分别是棱 ， 的中点，证明： 平面
【答案】证明见解析
【解析】明：取 的中点 ，连接 ， ．
因为 ， 分别是棱 ， 的中点，所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 ， 分别是棱 ， 的中点，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 ， 平面 ，且 ，所以平面 平面 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
10．（2023·河南洛阳）如图，平面ABCD是圆柱OO₁的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G，BF∩CE=H，
AB=AD=2，求证：GH∥平面ABCD
【答案】证明见解析
【解析】由题意知， 平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
11．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，M，N分别为
，AC的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】取AB的中点为K，连接MK，NK，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由三棱柱 得：四边形 为平行四边形，
因为M是 中点，则 ，又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，同理得 平面 ，
又NK∩MK＝K， 平面MKN， 平面MKN，
故平面 平面 ， 平面MKN，
故 平面 ；
12．（2023·河北·统考模拟预测）在圆柱 中，等腰梯形 为底面圆 的内接四边形，且
，矩形 是该圆柱的轴截面， 为圆柱的一条母线， ，求证：平面
平面
【答案】证明见解析
【解析】在圆柱 中， , 平面 , 平面 ,故 平面 ；
连接 ，因为等腰梯形 为底面圆 的内接四边形， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，
则 为正三角形，故 ，则 ，
平面 , 平面 ,故 平面 ；
又 平面 ，故平面 平面 .
13．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）如图，在几何体 中，四边形 是
等腰梯形， ， 分别是 ， 的中点，证明： 平面
【答案】证明见解析；
【解析】取 的中点 ，连接 , ，因为 , 分别是 , 中点，
则 ，而 平面 平面 ，于是 平面 ，
，同理 平面 ，又 平面 ，
因此平面 平面 ，又 平面 ，
所以 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）如图，在四面体 中，点 分别为边
的中点，点 在线段 上，证明： 平面
【答案】证明见解析
【解析】因为点 分别为边 的中点，所以 ， .
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 .
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面 .又 平面 ，所以 平面 .
15．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面
垂直，MB//NC，MN⊥MB．
(1)求证：平面AMB//平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）因为MB//NC，MB 面DNC，NC 面DNC，所以MB//面DNC．
因为AMND是矩形，所以MA//DN，又MA 面DNC，DN 面DNC，所以MA//面DNC．
又MA∩MB=M，且MA、MB 平面AMB，所以面AMB//面DNC．
（2）因为AMND是矩形，所以AM⊥MN．
因为面AMND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM 面AMND，
所以AM⊥平面MBCN，而BC 平面MBCN，所以AM⊥BC．
因为MC⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM 面AMC，所以BC⊥面AMC，
因为AC 面AMC，所以BC⊥AC．
16．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥 中， ，
， ， 为棱 的中点，在直线 上找一点 ，使得
直线 平面 ，并说明理由
【答案】当 为 的中点时 平面 ，理由见解析
【解析】如图取 的中点 ，连接 、 ，此时 平面 ，
证明如下：因为 为棱 的中点，所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面
，
又 ， ，所以 且 ，所以 为平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
， 平面 ，所以平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，即当 为 的中点时 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】17．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABC－A B C 中，E，F，G，H分别是AB，AC，A B ，A C
1 1 1 1 1 1 1
的中点．求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA 平面BCHG.
1
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）∵G，H分别是AB，AC 的中点∴GH是 的中位线，∴GH BC ，
1 1 1 1 1 1
又在三棱柱ABC－ABC 中，BC BC，∴GH BC，∴B，C，H，G四点共面．
1 1 1 1 1
（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF BC，
∵ 平面BCHG，BC 平面BCHG，∴EF 平面BCHG，
⊂
∵在三棱柱ABC－ABC 中， ， ，∴AG EB， ，
1 1 1 1
∴四边形AEBG是平行四边形，∴AE GB，
1 1
∵ 平面BCHG，GB 平面BCHG，∴AE 平面BCHG，
1
⊂
∵AE∩EF＝E，AE，EF 平面EFA，∴平面EFA 平面BCHG.
1 1 1 1
⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】18．（2023·安徽）已知四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 分别为 ，
的重心，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】延长 交 于 ，延长 交 于 ，如图所示：
因为 分别为 和 的重心，
所以 分别为 的中点，且 ，
又因为底面 为平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
19．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图所求，四棱锥 ，底面 为平
行四边形， 为 的中点， 为 中点.
(1)求证： 平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)已知 点在 上满足 平面 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析(2)2
【解析】（1）证明：连结 交 于 ，连结 ，
因在 中， 为 中点， 为 中点，则 FO .
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ；
（2）如图连结 交 延长线于 ，连结 交 于 ，
连结 ， ， ，EN.
因 ，则 四点共面.
又 平面 ，平面 平面 ，
则 ，四边形 为平行四边形，可得 为 中点.
则 为BG中点.
即EN为 中位线，则EN PG， .
又 DN，则四边形EFDN为平行四边形，EN FD.
从而FD PG， .
20．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）在如图的空间几何体中， 是等腰直角三角形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，四边形 为直角梯形， 为 的中点，
证明： 平面
【答案】证明见解析
【解析】法一：证明：取 中点为 ，连接 和 ，则 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 ，故 ,即四边形 为平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ,
平面 平面 ，
平面 平面 .
又 平面 平面 .
法二：取 中点 ，连接 ,
分别是 的中点， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形， ，
又 平面 平面 ，
平面 .
21．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）如图，线段 是圆柱 的母线， 是圆柱下底面 的直
径，弦 上是否存在点D，使得 平面 ，请说明理由；
【答案】存在，理由见解析
【解析】当点D为 的中点时， 平面 ，证明如下：取AB的中点D，连接OD，
∵O，D分别为 ， 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
， 平面 ，∴平面 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于 平面 ，故 平面 .
22．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
【解析】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，所以 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）可知 ，则 ，得 ，
因此 ，则 ，有 ，
又 ， 平面 ，
则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
23．（2023·海南）如图所示，直三棱柱 中， ， ， 、 分别是 、
的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)求证：平面 平面 ；
(4)求 与 的夹角．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(4)
【解析】（1）因为 ， 是 的中点，所以 ，
在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，所以 ，
， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
（3）连接 ，在直三棱柱 中，
因为 、 分别是 、 的中点，所以 且 ，
且 ，
所以四边形 、 为平行四边形，
所以 ， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
（4）连接 交 于点 ，连接 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
所以 与 的夹角为 .
24．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正三角形 中， 、 、 分别是 、 、 边上的点，
满足 ： ： ： ： 如图 将 沿 折起到 的位置，使二面角
成直二面角，连结 如图
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1） ： ： ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）不妨设正三角形 的边长为 ，在图 中，取 的中点 ，连结 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】： ： ： ， ，
而 ， 是正三角形，又 ， ，
在图 中， ， ， 为二面角 的平面角，
由题设条件知此二面角为直二面角， ，
又 、 平面 ， ， 平面 ，即 平面 ；
25．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，若 为等边三角
形， 为等腰直角三角形，且 ，点E为 的中点，点D在线段 上，且 ，证明：
⊥平面
【答案】证明见解析
【解析】如图，取 的中点G，由 可得 ，
由 可得D为 的中点，由E为 的中点可得 为 的中位线，∴ ，∴
，
∵E为 的中点， ，∴ ，
∵平面 平面 ，且平面 平面 ，PE在面PAC内，
∴ 平面 ，而 平面 ，∴ ，又 ，且 平面 ，
∴ ⊥平面 .
26．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，在三棱柱 中，底面 是边长为4
的等边三角形， 在 上且满足 ，求证：平面 平
面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析
【解析】如图，过点 作 交 于 ，连接 ，设 ，连接
，
又 ，可得 四边形 为正方形， ，
， ，
为 的中点， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 平面 平面 .
27．（2023春·江苏无锡·）如图，在多面体 中，平面 平面 ， ， ，
， ，)求证：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析
【解析】证明：因为 且 ，所以四边形 为直角梯形，
又因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
又由 平面 ，所以 .
28．（2023春·山西太原·）如图，已知直三棱柱 ，O，M，N分别为线段 ， ， 的中
点， 为线段 上的动点， ， ，若 ，试证
【答案】证明见解析
【解析】在 中，∵O为BC中点且 ，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面 且 ，∴ 平面 ，
平面 ，∴ .
∵M，N分别为 ， 的中点，∴ ，∴ .
在直角 和直角 中，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 平面 ， ，
∴ 平面 ， 平面 ，∴ .
29．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱 中， ，
求证：
【答案】证明见解析
【解析】连接 与 相交于点 ，如下图所示
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在直棱柱 中， 平面 平面 ， ，
又 ， 平面 ，所以， 平面 ，
又 平面 ，
， 四边形 为菱形，即
又 ，且 平面 ， 平面 ，又 平面 ， .
30．（2023春·河北石家庄）如图，在直三棱柱 中， ， ， 、
分别为 、 的中点．求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为 ， ，则 ，所以， ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
连接 ，如下图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 平面 ， 平面 ，所以， ，同理 ，
在侧面 内，则 ，又因为 ，
所以，四边形 为正方形，故 ，
因为 ， 、 平面 ，因此， 平面 .
31．（2022秋·湖南益阳）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ，
， 为 的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】因为 ， ， 为 的中点，所以 ，
因为四棱锥 的底面是矩形，所以 ，
所以 ，所以 ，
而 ，即 ，
因为 底面 ， 底面 ，
所以 ，而 平面 ，所以 平面 ；
32．（2023云南）如图，四棱柱 的底面为菱形， 底面 ， ，E，F
分别是CD， 的中点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）取 的中点G，连接FG，GE，如下图所示：
因为F是 的中点，
所以FG是 的中位线，
所以 ， ，
又四棱柱 的底面为菱形，
所以 ， ，
又E是CD的中点，所以 ， ，
所以 ， ，
所以四边形GEDF是平行四边形，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）连接AC，在菱形ABCD中， ，则 .
所以 是等边三角形，所以 ，即 .
又 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ，
又 ，AB， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面
33．（2023春·湖北）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD， ，
(1)证明：EA∥平面BCF；
(2)证明：平面EAC⊥平面FAC.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）在正方形ABCD中， ，
又由AD⊂平面ADE，BC 平面ADE，
故BC//平面ADE.
∵ ，同理可证FB//平面ADE，
又∵ ，BC，BF⊂平面BCF，
∴平面ADE//平面BCF，
又∵EA⊂平面ADE，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 平面BCF
（2）如图，
连接BD交AC于O，连接OE,OF.
设 ，则
由ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以 ，又 ，且 ，ED，BD⊂平面BDEF，
所以AC⊥平面BDEF，
又OE，OF⊂平面BDEF，所以 ，
所以∠EOF是二面角 的平面角，
在三角形EOF中，
，
所以 ，所以 ，
二面角 是直二面角，即证平面EAC⊥平面FAC.
34．（2023·全国·北京）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，已知
，且 平面 ， ， ．在线段FG上确定一点M使得平面 平面
PFG，并说明理由；
【答案】 为 中点，理由见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 为 中点，证明如下：
连接 ， ，过 作 于 ，
于是在 中， ， ，故 ；
在 中， ， ，故
所以 ， 为等腰三角形
又 平面 ，
所以 ， 为等腰三角形
故在等腰三角形 和等腰三角形 中有 ，
又 ，且 ， 平面
平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ．
35．（2023·全国·安徽）如图，在四棱锥 中， 为线段 的
中点， ，证明： .
【答案】证明见解析
【解析】连接 ，设 ，则有 ，
又在 中， ，则 ， ，
等腰 中， ， ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
则 中， ，则 ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， .
1．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）如图，在正方体 中， ， 分
别是棱 ， 的中点，点 在正方形 内，若 ， 平面 ，则 的最小值是
（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】如图，分别取棱 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为正方体中 ， ，
所以平面 内两相交直线 ， 与平面 平行
所以 平面 ，则点 在线段 上．
过点 作 ，垂足为 ，连接DH，
则 ，当且仅当 与 重合时， ．故选：B.
2．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）（多选）已知四棱锥 的所有棱长相等，M，N
分别是棱PD，BC的中点，则（ ）
A． B． 面
C． D． 面
【答案】BC
【解析】对于A，因为 平面 ， 平面 ， 直线 ， 平面 ，所以 与 是
异面直线，故A错误；
对于B，取 为 的中点，连接 ，所以 ， ，
又 ， ，所以 ， ，
即四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 面 ，故B正确；
对于C，因为 ， 为 的中点，所以 ，因为 ，所以 ，故C正确；
对于D，若 面 ， 面 ，所以 ，
因为四棱锥 的所有棱长相等，所以底面 是正方形，取 为 的中点，连接 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，
所以 ，这与 为等边三角形 矛盾，故 不垂直于平面 ，故D错误.
故选：BC.
3．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，已知 是平行四边形，点P是平面 外一点，M是
的中点，在 上取一点G，过G和 作平面交平面 于 ，则 与 的位置关系是
_________．
【答案】平行
【解析】连接 交 于 ，连结 ，
因为 是平行四边形，所以 为 中点.因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
因为 平面 ，又过 和 作平面交平面 于 ，即平面 平面 ，且
平面 ，所以 .故答案为：平行.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023·海南）正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，
① 与 平行；
② 与 是异面直线；
③ 与平面 平行；
④平面 与平面 平行．
以上四个命题中，正确命题的序号是_________．
【答案】③④
【解析】由展开图得到正方体的直观图如图，
对①， 与 异面，故①错误；
对②，连接 ，因为 ， ，
所以 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 与 平行，故②错误；
对③，连接 ，同②的方法可证四边形 为平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故③正确；
同②的方法可证四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ，
又 ， 面 ，所以平面 平面 ，故④正确.
故答案为：③④.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023·山东）如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面
AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．其中，正确命题的序号是________．
【答案】①②③④
【解析】由正方体的平面展开图还原几何体如下所示：
对于①，根据正方体的几何特点，平面 显然与平面 平行，进而BM平行平面DE，故①正确；
对于②，连接 ， 如下，
在四边形 中，因为 // ，故四边形 为平行四边形，故 // ，
又 平面 ， 平面 ，故 //平面 ，故②正确；
对于③，连接 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】显然四边形 为平行四边形，故 // ，
又 面 面 ，故 //面 ，
显然四边形 为平行四边形，故 // ，
又 面 面 ，故 //面 ，
又 面 ，故面 //面 ，故③正确；
对于④，连接 ，
显然四边形 为平行四边形，故 // ，
又 面 面 ，故 //面 ，
显然四边形 为平行四边形，故 // ，
又 面 面 ，故 //面 ，
又 面 ，故面 //面 ，故④正确．
故答案为：①②③④．
6．（2023·四川达州·统考二模）如图， 、 、 分别是正方体 的棱 、 、 的
中点， 是 上的点， 平面 .若 ，则 ___________.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】设 ，其中 ， ，
，
，
因为 平面 ，则 、 、 共面，显然 、 不共线，
所以，存在 、 ，使得 ，
即
，
因为 为空间中的一组基底，所以， ，解得 ，
因此， .
故答案为： .
7．（2023·江西南昌·统考三模）如图，在多面体 中，四边形 与 均为直角梯形，
， 平面 ， ， ，G在 上，且 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)若 与 所成的角为 ，求多面体 的体积．
【答案】(1)证明见解析(2) ．
【解析】（1）延长 交 于点M，连接 ，则 在面 内，
由 ，则 ，又 ，
所以 ，可得 ，
由 ，G在 上且 ，故 为平行四边形，
则 ，且 ，又 共线，
所以 ，且 ，故 为平行四边形，则 ，
由 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）
取 的中点N，则 ，且 ，
所以 为平行四边形，则 ，
在平面 内，过G作FB的平行线交AB于P，
所以 与 所成的角，即为 与 所成角，则 ，
平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
设 ，则△ 中， ，
，则 为等边三角形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，即 ，
所以在 中，P为 的中点，且 ，故 为 的中位线，
所以 ，易知多面体 为棱台，且 ，且 ，
体积 ．
8．（2023·全国·高一专题练习）如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD， 平面ABCD， 平面
ABCD，且 .
(1)求证： 平面AEC；
(2)求证： 平面AEC.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）
如图，设AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE，不妨令 .
则 .
∵四边形ABCD为正方形，∴ .
∵ 平面ABCD，且平面 平面 ， 面 ，
∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ， ，即四边形BOEF为平行四边形，
∴ .
又 平面AEC， 平面AEC，
∴ 平面AEC.
（2）连接OF.
∵ ，且 ， ，∴四边形ODEF为菱形.
∵ 平面ABCD，
∴四边形ODEF为正方形，∴ .
又四边形ABCD为正方形，
∴ .
∵ 平面ABCD， 平面ABCD，
∴ .
而 ，且 平面BDEF， 平面BDEF，
∴ 平面BDEF.
∵ 平面BDEF，
∴ .
又 ，OE， 平面AEC，
∴ 平面AEC.
9．（2023·浙江·高三专题练习）如图，直三棱柱 中， ， ，
，证明： 平面
【答案】证明见解析
【解析】如图1，取 中点为 ，连结 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由三棱柱的性质可知， ， ， ， .
因为 ， ，所以 ， .
又因为 为 的中点，所以 .
又 ，所以四边形 是平行四边形，所以， ， ，
所以 ， ，所以，四边形 是平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 .
因为 平面 ，所以 平面 .
10．（2023春·陕西榆林）如图所示，四棱锥 中，点 在线段 上（不含端点位置），
， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】求证：平面 平面 ；
【答案】证明见解析
【解析】设点 为 的中点，连接 ．
， ，则有 ，
由题意得 ， ，且 ，
∴在 中，由余弦定理得 ，
则 ，
∵ ，∴ ．
，得 ，且 ，
则四边形 为矩形，∴ ．
在 中， ，∴ ，
而 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 ．
11．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面 ，
， ， 为 的中点， 交 于点 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由题知，在三棱柱 中，
因为 ， ， 平面 ，
所以四边形 是正方形， ，
又 平面 ，则 ，
又 平面 ， ，
则 平面 ，
又 是 中点， 是 中点，
则 ，所以 平面 ，
又 平面 ，则 ，
又 平面 ， ，
则 平面 ，
又 平面 ，则 .
（2）取 的中点H，连接 ,设 ，则
因为 为 的中点，所以 ,
所以 平面ABC, ,所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以异面直线 与 所成角即为 或其补角，
且 ，即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
12．（2023春·江苏盐城）如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD 平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE 平面PAC？若存在，求SE EC的值；若不存在，
试说明理由． ∶
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）
连接AC，BD得交点O，连接SO，则点O是正方形ABCD的中心，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】是等腰三角形， ,
又 ， 平面SBD， 平面SBD， ，
平面SBD， 平面SBD，∴ ；
（2）在SP上取点N，使得 ，过N作 交SC于点E，连BN，
由 面 ， 面 ，则 ，
设底面边长为a，则 ， ，
，由等面积法 ，得出 ，则 ，
∵P是ND的中点，O是BD的中点，
∴ ， 面 ， 面 ，故 面 ，
又 平面 ， 平面 ，则 面 ，
， 面BNE，则平面BNE 平面PAC，
面BNE，则 平面APC，
， ，
综上，存在， .
13．（2023·河南·襄城高中校联考三模）如图，在正四棱台 中， ， ，
， 为棱 ， 的中点，棱 上存在一点 ，使得 平面 ．
(1)求 ；
(2)当正四棱台 的体积最大时，证明： 平面 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）如图所示，作 交 于 ，
再作 交 于 ，连接 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
又平面 平面 ，
所以 ．
又因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，即 为棱 的四等分点，
故 也为棱 的四等分点，所以 ．
（2）由（1）易知 为 的四等分点，
所以点 在点 的正上方，所以 底面 ．
设 ，则 ，所以 ，
所以该四棱台的体积 ，
而 ．
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， ．
作 交 于 ，则 为 的四等分点．
连接 ，在 中， ，
而 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ．
在 中， ， ， ，
所以 ，即 ．
而 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，故 平面 ．
14．（2023·全国·高三对口高考）如图，四棱锥 中， 底面 ，
，E是 的中点．
(1)求证： ；
(2)求证： 面 ；
(3)若 ，求三棱锥 体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【解析】（1）由 平面 ， 平面 ，可得 ，
又 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）连接 ，
△ 中， ，则 ，
又E是 的中点，则 ，
又 ， 平面 ，
可得 平面 ，又 平面 ，则 ，
由 平面 ， 平面 ，可得 ，
又 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，则 ,
又 ， ， 平面 ，
则 平面 .
（3）△ 中， ，则 ，
在△ 中，过点C作 于N，则 ，
又由 平面 ， 平面 ，
可得平面 平面 ，又平面 平面 ，
则 平面 ，则点C到平面 的距离为 ，
又E是 的中点，则点E到平面 的距离为 ，
则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．（2023春·河北）如图所示，在直角三角形 中， ，将
沿 折起到 的位置，使平面 平面 ，点 满足 .
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
在直角三角形 中，因为 ，所以 ，
即在四棱锥 中， ， 平面PDB， 平面PDB，
所以 平面 ，从而 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以四边形 是矩形，所以 ， 平面MEF， 平面MEF， 平面
MEF，
在 中， ，所以 ， 平面MEF, 平面MEF， 平面
MEF，
又因为 ， 平面PBD， 平面PBD，所以平面 平面 ，
所以 平面 ，故 ；
（2）连接 ，因为平面 平面 ，交线为 ，且 ，所以 平面 ，
所以三棱锥 的体积 ，
所以 ，
在 中，计算可得 ，由余弦定理得 ，所以
，
，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，故 ；
综上，点M到平面PBE的距离为 .
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