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7.1 空间几何中的平行与垂直（精练）
1．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下
列各图中，不满足直线 平面ABC的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）a，b，c为三条不重合的直线， ， ，
为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：
① ， ，则 ；②若 ， ，则 ；
③ ， ，则 ；④若 ， ，则 ；
⑤若 ， ，则 ；⑥若 ， ，则 .
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满
足直线BM与平面CNQ平行的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）在正方体 中，下列结论正
确的是（ ）① ；②平面 平面 ；③ ；④ 平面 .
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
5（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为
底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面 ，使 ，设 与SM交于点N，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知 是两条不相同的直线， 是两
个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 是异面直线， ，则 .
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）（多选）已知点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在
棱的中点，则下列各图中，直线PQ与RS是平行直线的是（ ）A． B． C． D．
8．（2023春·福建）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，现将 与 折起，使得平面BAE和
平面CDE都与平面DAE垂直.求证： 平面DAE.
9．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）如图，在四棱锥 中，四边形 是梯形， ，
， ， 分别是棱 ， 的中点，证明： 平面
10．（2023·河南洛阳）如图，平面ABCD是圆柱OO₁的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G，BF∩CE=H，
AB=AD=2，求证：GH∥平面ABCD
11．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，M，N分别为，AC的中点，求证： 平面
12．（2023·河北·统考模拟预测）在圆柱 中，等腰梯形 为底面圆 的内接四边形，且
，矩形 是该圆柱的轴截面， 为圆柱的一条母线， ，求证：平面
平面
13．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）如图，在几何体 中，四边形 是
等腰梯形， ， 分别是 ， 的中点，证明： 平面14．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）如图，在四面体 中，点 分别为边
的中点，点 在线段 上，证明： 平面
15．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面
垂直，MB//NC，MN⊥MB．
(1)求证：平面AMB//平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．
16．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥 中， ，
， ， 为棱 的中点，在直线 上找一点 ，使得直线 平面 ，并说明理由
17．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABC－A B C 中，E，F，G，H分别是AB，AC，A B ，A C
1 1 1 1 1 1 1
的中点．求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA 平面BCHG.
1
18．（2023·安徽）已知四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 分别为 ，
的重心，求证： 平面19．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图所求，四棱锥 ，底面 为平
行四边形， 为 的中点， 为 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)已知 点在 上满足 平面 ，求 的值.
20．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）在如图的空间几何体中， 是等腰直角三角形，，四边形 为直角梯形， 为 的中点，
证明： 平面
21．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）如图，线段 是圆柱 的母线， 是圆柱下底面 的直
径，弦 上是否存在点D，使得 平面 ，请说明理由；
22．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
23．（2023·海南）如图所示，直三棱柱 中， ， ， 、 分别是 、
的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)求证：平面 平面 ；(4)求 与 的夹角．
24．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正三角形 中， 、 、 分别是 、 、 边上的点，
满足 ： ： ： ： 如图 将 沿 折起到 的位置，使二面角
成直二面角，连结 如图
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
25．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，若 为等边三角
形， 为等腰直角三角形，且 ，点E为 的中点，点D在线段 上，且 ，证明：
⊥平面26．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，在三棱柱 中，底面 是边长为4
的等边三角形， 在 上且满足 ，求证：平面 平
面
27．（2023春·江苏无锡·）如图，在多面体 中，平面 平面 ， ， ，
， ，)求证：28．（2023春·山西太原·）如图，已知直三棱柱 ，O，M，N分别为线段 ， ， 的中
点， 为线段 上的动点， ， ，若 ，试证
29．（2023春·全国·专题练习）如图，在直三棱柱 中， ，求证：30．（2023春·河北石家庄）如图，在直三棱柱 中， ， ， 、
分别为 、 的中点．求证： 平面 .
31．（2022秋·湖南益阳）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ，
， 为 的中点，求证： 平面32．（2023云南）如图，四棱柱 的底面为菱形， 底面 ， ，E，F
分别是CD， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 .33．（2023春·湖北）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD， ，
(1)证明：EA∥平面BCF；
(2)证明：平面EAC⊥平面FAC.
34．（2023·全国·北京）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，已知
，且 平面 ， ， ．在线段FG上确定一点M使得平面 平面
PFG，并说明理由；35．（2023·全国·安徽）如图，在四棱锥 中， 为线段 的
中点， ，证明： .
1．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）如图，在正方体 中， ， 分
别是棱 ， 的中点，点 在正方形 内，若 ， 平面 ，则 的最小值是
（ ）
A．2 B． C． D．3
2．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）（多选）已知四棱锥 的所有棱长相等，M，N
分别是棱PD，BC的中点，则（ ）A． B． 面
C． D． 面
3．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，已知 是平行四边形，点P是平面 外一点，M是
的中点，在 上取一点G，过G和 作平面交平面 于 ，则 与 的位置关系是
_________．
4．（2023·海南）正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，
① 与 平行；
② 与 是异面直线；
③ 与平面 平行；
④平面 与平面 平行．
以上四个命题中，正确命题的序号是_________．
5．（2023·山东）如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面
AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．其中，正确命题的序号是________．6．（2023·四川达州·统考二模）如图， 、 、 分别是正方体 的棱 、 、 的
中点， 是 上的点， 平面 .若 ，则 ___________.
7．（2023·江西南昌·统考三模）如图，在多面体 中，四边形 与 均为直角梯形，
， 平面 ， ， ，G在 上，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 与 所成的角为 ，求多面体 的体积．8．（2023·全国·高一专题练习）如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD， 平面ABCD， 平面
ABCD，且 .
(1)求证： 平面AEC；
(2)求证： 平面AEC.
9．（2023·浙江·高三专题练习）如图，直三棱柱 中， ， ，
，证明： 平面10．（2023春·陕西榆林）如图所示，四棱锥 中，点 在线段 上（不含端点位置），
， ．
求证：平面 平面 ；
11．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面 ，
， ， 为 的中点， 交 于点 ．(1)证明： ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．
12．（2023春·江苏盐城）如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD 平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE 平面PAC？若存在，求SE EC的值；若不存在，
试说明理由． ∶13．（2023·河南·襄城高中校联考三模）如图，在正四棱台 中， ， ，
， 为棱 ， 的中点，棱 上存在一点 ，使得 平面 ．
(1)求 ；
(2)当正四棱台 的体积最大时，证明： 平面 ．
14．（2023·全国·高三对口高考）如图，四棱锥 中， 底面 ，
，E是 的中点．
(1)求证： ；
(2)求证： 面 ；
(3)若 ，求三棱锥 体积．15．（2023春·河北）如图所示，在直角三角形 中， ，将
沿 折起到 的位置，使平面 平面 ，点 满足 .
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离.
