文档内容
第 12 讲 函数与导数的综合
真题展示
2022 新高考一卷第 12 题
已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．若 ，
均为偶函数，则
A． B． C． （4） D． （2）
考查目标
试题以抽象函数作为背景，考查函数的奇偶性、对称性、周期性等基础知识.
试题考查了考生分析问题的能力和运用函数、导数相关知识解决问题的能力.作
为新高考试卷的压轴选择题，试题紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础性、
综合性、应用性、创新性的考查要求．试题将导函数与函数的性质结合，设计
新颖，具有较好的选拔功能.
试题亮点
以往试题中考查抽象函数性质的问题，往往通过特殊值法、单调性、奇偶性
即可得出结论.试题除了考查抽象函数的奇偶性、周期性、对称性，还创造性地
将导函数引入其中，这便成为本题的一大亮点；同时多选题的题型设置也为不
同能力层次的考生提供了发挥的空间．试题源于教材，紧扣课程标准，对考生
的能力能进行很好的区分，具有较好的选拔功能.知识要点整理
构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与
之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
（1）直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，
进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－
1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把
不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调
性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．
方法 高考示例 思维过程
……
(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由
于f(x)的两个极值点x ，x 满足x2－ax＋1＝0(函数在极值
1 2
点处的导数为0)，所以x x ＝1.
1 2
已知函数f(x)＝－x＋
不妨设x ＜x ，则x ＞1(注意原函数的定义域)．
1 2 2
aln x.
由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以＜a－2等价于
直接构 (1)讨论f(x)的单调性；
－x ＋2ln x ＜0. 【关键 1 ：将所证不等式进行变形与化
造法 (2)若f(x)存在两个极值 2 2
简】
点x ，x ，证明：＜a
1 2
设函数g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)单调
－2.
递减， 【关键 2 ：直接构造函数 ， 判断函数单调性】
又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，所以－x ＋
2
2ln x ＜0，即＜a－2. 【关键 3 ：结合单调性得到函数最
2
值 ， 证明不等式】
已知函数f(x)＝aex－ln ……
放缩构
x－1. (2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1. 【关键 1 ：利用不等
造法
(1)设x＝2是f(x)的极值 式性质放缩 ， 将 a 代换掉】设g(x)＝－ln x－1， 【关键 2 ：利用不等式右边构造函
数】
点，求a，并求f(x)的 则g′(x)＝－.当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞
单调区间； 0.所以x＝1是g(x)的最小值点． 【关键 3 ：利用导数研究
(2)证明：当a≥时， 函数的单调性、最值】
f(x)≥0. 故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0. 【关键 4 ：利用函数最值使
放缩后的不等式得到证明】
因此，当a≥时，f(x)≥0.
……
(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，从而f(x)＞1等价
于xln x＞xe－x－. 【关键 1 ：将所证不等式等价转化 ， 为
构造双函数创造条件】
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x，所以当x∈(0，)
设函数f(x)＝aexln x
时，g′(x)＜0；当x∈(，＋∞)时，g′(x)＞0.故g(x)在(0，)
＋，曲线y＝f(x)在点 上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，从而g(x)在(0，＋
构造双 (1，f(1))处的切线方程 ∞)上的最小值为g()＝－. 【关键 2 ：构造函数 ， 利用导数
函数法 为y＝e(x－1)＋2. 研究函数的单调性 ， 求最小值】
(1)求a，b； 设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0，
(2)证明：f(x)＞1. 1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0.故h(x)在
(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在
(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－. 【关键 3 ：构造函数 ，
利用导数研究函数的单调性 ， 求最大值】
因为g(x) ＝g()＝h(1)＝h(x) ，所以当x＞0时，g(x)＞
min max
h(x)，即f(x)＞1. 【关键 4 ：利用函数最值证明不等式】
突破疑难点2 利用分类讨论法确定参数取值范围
一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x) ；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a
max
＜f(x) .若存在x ∈D，使a＞f(x )成立，则只需a＞f(x) ；若存在x ∈D，使a＜f(x )成立，则
min 0 0 min 0 0
只需a＜f(x ) .由此构造不等式，求解参数的取值范围．
0 max
常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外
一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者
一次函数．
提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大．
方法 高考示例 思维过程
(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)(求函数定义域)．
已知函数f(x)＝x－1－
①若a≤0，因为f＝－＋aln 2＜0，所以不满足题意．【关
aln x.
键 1 ：利用原函数解析式的特点确定分类标准】
(1)若f(x)≥0，求a的
②若a＞0，由f′(x)＝1－＝知，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；
值；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，a)上单调递减，
(2)设m为整数，且对
在(a，＋∞)上单调递增． 【关键 2 ：根据导函数的零点分
于任意正整数n，(1＋)
类讨论】
(1＋)…(1＋)＜m，求m
故x＝a是f(x)在(0，＋∞)上的唯一最小值点．
的最小值．
由于f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.
……
……
结合导
(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1，0]上单调递减，在
函数的
零点分 [0，1]上单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值．所以对于
设函数f(x)＝emx＋x2－
类讨论 任意x ，x ∈[－1，1]，|f(x )－f(x )|≤e－1的充要条件是即
mx. 1 2 1 2
(1)证明：f(x)在(－∞， ① 【关键 1 ：利用充要条件把不等式恒成立等价转化】
0)上单调递减，在(0， 设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1. 【关键 2 ：直接构
＋∞)上单调递增； 造函数 ， 并求导】
(2)若对于任意x ， 当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，
1
x
2
∈[－1，1]，都有|f(x
1
) 0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝0，g(－
－f(x
2
)|≤e－1，求m的
1)＝e－1＋2－e＜0，故当t∈[－1，1]时，g(t)≤0. 【关键 3 ：
取值范围．
根据导函数的零点分类讨论】
故当m∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；
当m＞1时，由g(t)的单调性，知g(m)＞0，即em－m＞e－
1；当m＜－1时，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1. 【关键 4 ：通
过分类讨论得到参数的取值范围】
综上，m的取值范围是[－1，1].
……
函数f(x)＝ax3＋3x2＋ (2)当a＞0，x＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0. 【关 键 1 ：函
由导函 3x(a≠0)． 数求导 ， 根据导函数的特点确定分类标准】
数的特 (1)讨论f(x)的单调性； 故当a＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．
点直接 (2)若f(x)在区间(1，2) 当a＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数，当且仅当f′(1)≥0
分类讨 是增函数，求a的取值 且f′(2)≥0，解得－≤a＜0. 【关键 2 ：利用导数判断函数的
论 范围． 单调性 ， 结合需满足的条件 ， 求解关于参数的不等式 ， 得
到参数的取值范围】
综上，a的取值范围是∪(0，＋∞).
突破疑难点3 两法破解函数零点个数问题
两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是
连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取
值证明f(a)·f(b)＜0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的
标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.
方法 高考示例 思维过程
……
(2017·全国卷Ⅱ)已
(2)证明：由(1)知f(x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x.
知函数f(x)＝ax2－ax
设h(x)＝2x－2－ln x，
－xln x，且f(x)≥0.
(1)求a； 则h′(x)＝2－.当x∈时，h′(x)＜0；当x∈时，h′(x)＞0.所以h(x)在
(2)证明：f(x)存在唯 上单调递减，在上单调递增． 【关键 1 ：构造函数 ， 利用导数
直接
一的极大值点x ， 研究函数的单调性】
0
法
且e－2＜f(x )＜2－2 又h(e－2)＞0，h＜0，h(1)＝0，所以h(x)在上有唯一零点x ，在
0 0
上有唯一零点1， 【关键 2 ：利用零点存在性定理判断导函数
零点的位置】
且当x∈(0，x )时，h(x)＞0；当x∈(x ，1)时，h(x)＜0；当
0 0
x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0.因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x 是f(x)的唯一极大值点．由f′(x )＝0
0 0
得ln x ＝2(x －1)，
0 0
故f(x )＝x (1－x )．由x ∈得f(x )＜. 【关键 3 ：求二次函数值域
0 0 0 0 0
得到 f ( x ) 的范围】
0
.
因为x＝x 是f(x)在(0，1)上的最大值点，由e－1∈(0，1)，f′(e－
0
1)≠0得f(x )＞f(e－1)＝e－2，所以e－2＜f(x )＜2－2. 【关键 4 ：利用
0 0
函数最值证明不等式】
……
(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x＜0，从而h(x)＝min{f(x)，
g(x)}≤g(x)＜0，故h(x)在(1，＋∞)上无零点． 【关键 1 ：对 x
的取值分类讨论 ， 适当放缩 ， 判断 h ( x ) 的符号 ， 确定函数零点
个数】
当x＝1时，若a≥－，则f(1)＝a＋≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}
已知函数f(x)＝x3＋ ＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零点；若a＜－，则f(1)＜0，h(1)
ax＋，g(x)＝－ln x.
＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)＜0，故x＝1不是h(x)的零点．【关键
(1)当a为何值时，x
2 ：当 x 的取值固定时 ， 对参数 a 的取值分类讨论 ， 确定函数值
轴为曲线y＝f(x)的
的符号得到零点个数】
分类 切线；
当x∈(0，1)时，g(x)＝－ln x＞0，所以只需考虑f(x)在(0，1)上
讨论 (2)用min{m，n}表
的零点个数．
法 示m，n中的最小
(ⅰ)若a≤－3或a≥0，则f′(x)＝3x2＋a在(0，1)上无零点，故
值，设函数h(x)＝
f(x)在(0，1)上单调．而f(0)＝，f(1)＝a＋，所以当a≤－3时，
min{f(x)，g(x)}(x＞
f(x)在(0，1)上有一个零点；当a≥0时， f(x)在(0，1)上没有零
0)，讨论h(x)零点的
点．
个数．
(ⅱ)若－3＜a＜0，则f(x)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递
增，故在(0，1)上，当x＝时，f(x)取得最小值，最小值为f()＝
＋.
①若f()＞0，即－＜a＜0，则f(x)在(0，1)上无零点；
②若f()＝0，即a＝－，则f(x)在(0，1)上有唯一零点；
③若f()＜0，即－3＜a＜－，由于f(0)＝，f(1)＝a＋，所以当－＜a＜－时，f(x)在(0，1)上有两个零点；当－3＜a≤－时，f(x)
在(0，1)上有一个零点． 【关键 3 ：当 x 的取值固定在一个范围
内时 ， 对参数 a 的取值分类讨论 ， 利用函数单调性、最值、零
点存在性定理得到零点个数】
综上，当a＞－或a＜－时，h(x)有一个零点；当a＝－或a＝
－时，h(x)有两个零点；当－＜a＜－时，h(x)有三个零点.
突破疑难点4 两法破解由零点个数确定参数问题
已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求
满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由
参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数
范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通
常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题
意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
方法 高考示例 思维过程
……
(2)设函数h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一个零点当且仅
当h(x)在(0，＋∞)只有一个零点． 【关键 1 ：构造函数 h ( x ) ， 将
f ( x ) 的零点情况转化为 h ( x ) 的零点情况】
已知函数f(x)＝ex
－ax2.
(ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点．
由导
(1)若a＝1，证 (ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x. 【关键 2 ：对参数 a 分类讨
数特
明：当x≥0时， 论 ， 结合函数值判断函数零点情况】 当x∈(0，2)时，h′(x)＜0；
点分
f(x)≥1；
当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.所以h(x)在(0，2)上单调递减，在
类讨
(2)若f(x)在(0，＋
论
(2，＋∞)上单调递增．故h(2)＝1－是h(x)在(0，＋∞)的最小
∞)只有一个零
值． 【关 键 3 ：分类讨论 ， 利用导数研究函数单调性 ， 求函数
点，求a.
最值】
①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，＋∞)没有零点；
②若h(2)＝0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点；
③若h(2)＜0，即a＞，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)有一个零点．
由(1)知，当x＞0时，ex＞x2，所以h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－
＞0.
故h(x)在(2，4a)有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)有两个零
点． 【关键 4 ：对函数最小值的符号分类讨论 ， 结合函数单调
性判断零点情况 ， 求出参数值】
综上，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝.
……
(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点． 【关键 1 ：针对
f ( x ) 解析式的特点 ， 可对参数 a 直接分类讨论】
(ⅱ)若a＞0，由(1)知，当x＝－ln a时，f(x)取得最小值，最小
值为f(－ln a)＝1－＋ln a.
【关键 2 ：结合函数单调性求函数最小值 ， 进而根据最小值直
已知函数f(x)＝ 接判断零点的情况】
ae2x＋(a－2)ex－x. ①当a＝1时，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一个零点；
(1)讨论f(x)的单
②当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋ln a＞0，即f(－ln a)＞0，故
直接
调性；
分类
f(x)没有零点；
(2)若f(x)有两个
讨论 ③当a∈(0，1)时，1－＋ln a＜0，即f(－ln a)＜0.
零点，求a的取
又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，
值范围．
－ln a)上有一个零点．
设正整数n 0 满足n 0 ＞ln(－1)，则f(n 0 )＝en 0(aen 0＋a－2)－n 0 ＞en 0
－n
0
＞2n 0－n
0
＞0.
由于ln(－1)＞－ln a，因此f(x)在(－ln a，＋∞)上有一个零
点． 【关键 3 ：对参数 a 分类讨论 ， 结合函数单调性与最小值
判断函数零点情况 ， 求参数取值范围】
综上，a的取值范围为(0，1).
三年真题一、单选题
1．设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， ．且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．设 是函数 的导函数， 的图像如图所示，则 的图像最有可能的是（ ）A． B．
C． D．
5．当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ）A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
7．用计算器验算函数 的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ）
A． 在 上是单调减函数 B． 的值域为
C． 有最小值 D．
8． 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ．对任意正数a，b，若 ，则必
有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
9．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数 在 处连续，则B．函数 的不连续点是 和
C．若函数 ， 满足 ，则
D．
10．若 ，则常数a，b的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
11．函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
12．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四
棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
13．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
14．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，
则（ ）
A． B． C． D．
三年模拟多选题
1．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
3．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是函
数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.某同学经过探
究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若
函数 ，则下列说法正确的是（ ）A． 的极大值点为
B． 有且仅有3个零点
C．点 是 的对称中心
D．
4．下列不等式关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 （ ， ， ），则下列说法正确的是（ ）
A．若实数 是 的两个不同的极值点，且满足 ，则 或
B．函数 的图象过坐标原点的充要条件是
C．若函数 在 上单调，则
D．若函数 的图象关于点 中心对称，则6．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，函数 在定义域内是减函数
B．存在一个实数 ，使得函数 满足
C．对于任意的实数 ，函数 无极值点
D．当 时，若曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，则
7．已知函数 则下列结论正确的有（ ）
A．当 时， 是 的极值点
B．当 时， 恒成立
C．当 时， 有2个零点
D．若 是关于x的方程 的2个不等实数根，则
8．关于函数 ， ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 在 处的切线方程为B．当 时， 存在唯一极小值点 且
C．对任意 ， 在 上均存在零点
D．存在 ， 在 上有且只有一个零点
9．已知函数 ， ，当 时， 恒成立，则实数a的可能
取值为（ ）
A． B．0 C． D．2
10．已知函数 ，若 恒成立，则实数 的可能的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 ，且 ，则（ ）
A． B．C． D．
12．设函数 ，已知 在 ， 有且仅有4个零点．则下列说法正确的是
（ ）
A． 在 必有有2个极大值点 B． 在 有且仅有2个极小值点
C． 在 上单调递增 D． 的取值范围是
13．已知函数 ，则（ ）．
A． B．若 有两个不相等的实根 ，则
C． D．若 ， 均为正数，则
14．以下四个不等关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．15．若 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数 有两个零点 ， 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间 上单调递减
C．
D．若 ，则
