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专题24 一次函数与几何综合最值问题及折叠问题（原卷版）
第一部分 知识梳理+方法指引
模块一：一次函数和将军饮马模型综合
“将军饮马”问题比较经典，近两年常出现在压轴题的第2、3问，但是在考试中往往不是单一出现，
而是“将军饮马”模型和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试，综合考察．
模型I：最小问题
A A
A
B
P
l
l
P' P l
P
B' B
B
A A
P A
1
C'
C
P E C C P
D
O D B O D B
O F B
P2 D'
P'
模型II：最大问题
A
A
B B'
l
l P
P P' B
模块二：一次函数与折叠问题
一次函数斜率与倾斜角（直线与x轴正方向所形成的夹角）的关系：
角度
斜率
方法：解析法（根据折叠前后图像对称）、几何法（解直角三角形）第二部分 典例剖析+针对训练
【典例1】（2023春•广宁县期末）如图，直线l ：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l ：y＝﹣x+b与x轴交于
1 2
点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l 与l 交于点C（2，m）．
1 2
（1）求k、b和m的值；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说
明理由；
（4）若动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向点A运动，设点P的运动时间为t秒．
是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023秋•长兴县期末）如图，一次函数y=−x+❑√2第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线
段，垂足为A，连结OP，则Rt△OAP的周长的最小值是（ ）
A．❑√2 B．2❑√2 C．❑√2+1 D．❑√2+22．（2023秋•碑林区期末）如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣1，0）
是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x+2和y轴上的两个动点，则△CEF的周长最小值是（ ）
A．❑√13 B．2❑√2 C．3 D．❑√10
3．（苏州模拟）在直角坐标系中有四个点 A（﹣6，3），B（﹣2，5），C（0，m），D（n，0），当四
边形ABCD周长最短时，则m+n＝ ．
4．（鄂州二模）在直角坐标系中，有四个点 A（﹣8，3）、B（﹣4，5）、C（0，n）、D（m，0），当
n
四边形ABCD的周长最短时， 的值为（ ）
m
3 2 7 2
A．− B．− C．− D．
7 3 2 3
5．（2021•青羊区开学）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣2，﹣2），C（3，
0），点P在线段AC上移动．
（1）△ABC的面积为 ．
（2）当点P坐标为（1，m）时，请在y轴上找点Q，使△PQC周长最小，画出图形并求出Q点坐标和
△PQC周长．类型二 一次函数的折叠问题
【典例2】（2023秋•金水区期末）如图，一次函数y＝kx+b分别与坐标轴交于A（8，0），B（0，15），
点M为y轴上一点，把直线AB沿AM翻折，点B刚好落在x轴上，则点M的坐标为 ．
【变式训练】
1
1．（2023秋•宿豫区期末）将y= x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，再沿x轴翻折所得函数图象
2
的对应的函数表达式为（ ）
1 1 1 1
A．y=− x−2 B．y=− x+2 C．y= x+2 D．y= x−2
2 2 2 2
2．（2022•利辛县二模）将函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象位于x轴上方的部分沿x轴翻折至其下方，
所得的折线记为图象C，若图象C在直线y＝﹣3上方所有点（含交点）的横坐标x均满足0≤x≤4，则
b的取值范围是（ ）
A．3≤b≤5 B．0≤b≤3 C．0＜b＜3 D．3＜b＜5
3．（2023秋•鼓楼区期末）要使一次函数y＝﹣3x+2的图象经过运动后过点（1，﹣7），则以下该函数图
象的运动方式中，可行的是 （只填序号）．
①向下平移9个单位长度；②绕点（0，﹣1）旋转180°；③沿着经过点（2，0）且平行于y轴的直线
翻折．
4．（2023秋•中原区期末）一次函数y＝kx+b分别与坐标轴交于A（0，12），B（﹣5，0），点P为y轴
上一点，把直线AB沿BP翻折，点A刚好落在x轴上，则点P的坐标为 ．
1
5．（2023秋•南岸区期中）如图，直线AB：y=− x+b与坐标轴交于A、B两点，点C为第一象限内一
2
点，连接BC且BC∥x轴，交直线x＝3于点E，连接AC，AE，将△ABC沿着直线AB翻折，得到
△ABD，点D正好落在直线x＝3上，若S△BDE ＝2S△ACE ＝6，那么点C的坐标为 ．4
6．（2023春•清原县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=− x+4与x轴、y轴分别交于点A、
3
点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
1
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB = S△OCD ？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明
2
理由．
4
7．（2023秋•福田区期中）如图，直线y=− x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿着过点A
3
的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
4
（3）若将一次函数y=− x+4的图象绕点B顺时针旋转45°后得到直线m，请写出直线m的解析式
3
．8．（2022•固安县模拟）如图，A点坐标为（6，0），直线l 经过点B（0，2）和点C（2，﹣2），交x轴
1
于点D．
（1）求直线l 的函数表达式．
1
（2）点M在直线l
1
上，且满足2S△ADM ＝S△ADC ，求点M的坐标．
（3）过C点作一条直线l ，使得直线l 沿l 折叠之后正好经过点A，求直线l 的解析式．
2 1 2 2
9．（2022春•通州区期末）把一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，
与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如：如图
1就是函数y＝x的“V形”图象．
（1）请在图2中画出一次函数y＝x+1的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是
；
1
（2）在（1）的条件下，若直线y=− x+1与一次函数y＝x+1的“V形”图象相交于B，C两点，求
3
△ABC的面积；
（3）一次函数y＝kx﹣5k+4（k为常数）的“V形”图象经过（﹣1，y ），（3，y ）两点，且y ＞y ，
1 2 1 2
求k的取值范围．第三部分 专题提优训练
1．在平面直角坐标系中，x轴上的动点P到定点A（5，5），B（2，1）的距离分别为PA和PB，那么当
PA+PB取最小值时，点P的坐标为 ．
2．已知点P坐标是（4，0），点Q坐标是（6，2），在直线y＝x上找一点M，使得△QMP的周长最小．
则点M的坐标为 ．
3．如图，在直角坐标系中有线段AB，AB＝50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的
距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（
）
A．50 B．50❑√5 C．50❑√5−50 D．50❑√5+50
4．如图，长方形ABCD中，点B与原点O重合，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，E为
AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，CF所在的直线方程
为 ，则折痕EF的长为 ．
5．在直角坐标系中，有四个点A（﹣8，3），B（﹣4，5），C（0，n），D（m，0），当四边形ABCD
m
的周长最短时，求 的值．
n6．如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x的正半轴上，OA＝6，OC＝10，在
OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标．
7．（2023春•拜泉县期末）综合与探究．
如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线AC=4❑√5，点B的坐
标为B（2a，a）．
（1）A ，C ．
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，
E，求直线DE的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）．
（3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、
D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
